KỲ THI TOÀN QUỐC GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO NĂM 2009 MÔN: TOÁN 9 (THCS) THỜI GIAN: 150 PHÚT NGÀY THI: 13/03/2009 Bài 1: Tính giá trị của biểu thức a) A = 2 3 4 4 2 3 1,25 15,37 3,75 1 3 2 5 2 4 7 5 7 3 × ÷ + − − ÷ ÷ b) B = 3 5 3 5 2009 13,3 3 2 5 3 7 2 3 5 4 7 + − − + − + + − − + c) C = 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2 3 (1 sin 17 34`) (1 25 30`) (1 cos 50 13`) (1 cos 35 25`) (1 cot 25 30`) (1 sin 50 13`) tg g + ° + ° − ° + ° + ° − ° Bài 2: Hình chữ nhật ABCD có độ dài các cạnh AB = m, BC = n. Từ A kẻ AH vuông góc với đường chéo BD a) Tính diện tích tam giác ABH theo m, n b) Cho biết m = 3,15 cm và n = 2,43 cm. Tính ( chính xác đến 4 chữ số thập phân) diện tích tam giác ABH Bài 3: Đa thức 6 5 4 3 2 ( )P x x ax bx cx dx ex f= + + + + + + có giá trị là 3; 0; 3; 12; 27; 48 khi x lần lượt nhận giác trị là 1; 2; 3; 4; 5; 6 a) Xác định các hệ số a, b, c, d, e, f của P(x) b) Tính giá trị của P(x) với x = 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18; 19; 20 Bài 4: 1. Hình chóp tứ giác đều . O ABCD có độ dài cạnh đáy BC a = , độ dài cạnh bên OA l= a) Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của hình chóp . O ABCD theo a và l . b) Tính ( chính xác đến 2 chữ số thập phân) diện tích xung quanh và thể tích của hình chóp . O ABCD khi cho biết 5,75 , 6,15a cm l cm= = 2. Người ta cắt hình chóp . O ABCD cho trong câu 1 bằng mặt phẳng song song với đáy ABCD sao cho diện tích xung quanh của hình chóp .O MNPQ được cắt ra bằng diện tích xung quanh của hình chóp cụt đều .MNPQ ABCD được cắt ra. Tính thể tích hình chóp cụt được cắt ra ( chính xác đến 2 chữ số thập phân ) Bài 5: a. Một chiếc thuyền khởi hành từ một bến sông A. Sau 5 giờ 10 phút, một chiếc canô chạy từ A đuổi theo và gặp thuyền đó cách bến A 20,5 km. Hỏi vận tốc của thuyền, biết rằng canô chạy nhanh hơn thuyền 12,5 /km h . ( Kết quả chính xác với 2 chữ số thập phân) b. Lức 8 giờ sáng, một ô tô đi từ A đến B, đường dài 157 km. Đi được 102 km thì xe bị hỏng máy phải dừng lại sửa chữa mất 12 phút rồi đi tiếp đến B với vận tốc ít hơn lúc đầu là 10,5 /km h . Hỏi ô tô bị hỏng lúc mấy giờ, biết rằng ô tô đến B lúc 11 giờ 30 phút. ( Kết quả thời gian làm tròn đến phút) Bài 6: Cho dãy số ( ) ( ) 1 2 1 2 2 2 n n n U + − − = với n =1,2,…,k,…. 1. Chứng minh rằng: 1 1 2 n n n U U U + − = + với 1n∀ ≥ 2. Lập quy trình bấm phím liên tục tính 1n U + theo n U và 1n U − với 1 2 1, 2U U= = 3. Tính các giá trị từ 11 U đến 20 U Bài 7: Hình thang vuông ( // )ABCD AB CD có góc nhọn BCD α = , độ dài các cạnh ,BC m CD n= = a) Tính diện tích, chu vi và các đường chéo của hình thang ABCD theo ,m n và α . b) Tính ( chính xác đến 4 chữ số thập phân ) diện tích, chu vi và các đường chéo của hình thang ABCD với , 4,25 , 7,56 , 54 30 o m cm n cm α = = = Bài 8: 1. Số chính phương P có dạng 17712 81P ab= . Tìm các chữ số ,a b biết rằng 13a b+ = 2. Số chính phương Q có dạng 15 26849Q cd= . Tìm các chữ số ,c d biết rằng 2 2 58c d+ = 3. Số chính phương M có dạng 1 399025M mn= chia hết cho 9. Tìm các chữ số ,m n Bài 9: Cho dãy số xác định bởi công thức : 2 1 2 3 13 1 n n n x x x + + = + với 1 0,09x = , n = 1,2,3,…, k,… a) Viết quy trình bấm phím liên tục tính 1n x + theo n x . b) Tính 2 3 4 5 6 , , , ,x x x x x ( với đủ 10 chữ số trên màn hình ) c) Tính 100 200 ,x x ( với đủ 10 chữ số trên màn hình ) Bài 10: Cho tam giác ABC vuông tại A . Từ A kẻ AH vuông góc với BC ( H thuộc BC ) Tính độ dài cạnh AB ( chính xác đến 2 chữ số thập phân), biết rằng diện tích tam giác AHC là 2 4,25S cm= , độ dài cạnh AC là 5,75m cm= . HẾT BÀI GIẢI: Câu 3: Đa thức 6 5 4 3 2 ( )P x x ax bx cx dx ex f= + + + + + + có giá trị là 3; 0; 3; 12; 27; 48 khi x lần lượt nhận giác trị là 1; 2; 3; 4; 5; 6 c) Xác định các hệ số a, b, c, d, e, f của P(x) Tính giá trị của P(x) với x = 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18; 19; 20. Giải: Cách 1: Thay giá trị x và P(x) tương ứng, ta được hệ phương trình sau: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 4 3 2 6 5 4 3 2 6 5 4 3 5 4 3 2 6 5 4 3 2 6 5 4 3 2 6 5 4 3 2 6 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 3 1 3 1 3 1 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 12 4 5 5 5 5 5 27 5 6 6 6 6 6 48 6 a b c d e f a b c d e a b c d e f a b c a b c d e f a b c d e f a b c d e f a b c d e f + + + + + = − + − + − + − + = − − + + + + + = − − + − + − + + + + + = − ⇔ + + + + + = − + + + + + = − + + + + + = − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 6 5 4 3 2 6 5 4 3 2 6 5 4 3 2 6 3 1 2 1 3 4 1 4 1 4 1 4 1 3 10 4 5 1 5 1 5 1 5 1 4 25 5 6 1 6 1 6 1 6 1 5 46 6 d e a b c d e a b c d e a b c d e + − + = − − + − + − + − + = − − + − + − + − + = − − + − + − + − + = − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 5 4 4 3 3 2 2 6 6 5 5 4 4 3 3 2 2 6 6 5 5 4 4 3 3 2 3 1 2 2 1 3 1 2 2 1 3 1 2 2 1 3 1 2 2 1 1 3 2 2 2 4 1 3 2 1 4 1 2 2 1 4 1 3 2 1 4 1 3 2 1 10 4 3 2 2 5 1 4 2 1 5 1 2 2 1 5 1 4 2 1 5 a b c d a b c d a b c − − − + − − − + − − − + − − − = − + + − − − + − − − + − − − + − − − = − + + − − − + − − − + − − − + − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 6 6 5 5 4 4 3 3 2 2 6 6 1 4 2 1 25 5 4 2 2 6 1 5 2 1 6 1 2 2 1 6 1 5 2 1 6 1 5 2 1 46 6 5 2 2 d a b c d − − = − + + − − − + − − − + − − − + − − − = − + + Dùng chức năng CALC để tính các hệ số của phương trình: ALPHA A ^ ALPHA X − 1 − ALPHA B ( 2 ^ ALPHA X − 1 ) CALC Nhập A = 3 = Nhập X = 5 = Nhập B = 2 = Ta được a 1 = 180 CALC = Nhập X = 4 = = Ta được b 1 = 50 CALC = Nhập X = 3 = = Ta được c 1 = 12 CALC = Nhập X = 2 = = Ta được d 1 = 2 CALC Nhập A = 4 = Nhập X = 5 = Nhập B = 3 = Ta được a 2 = 930 CALC = Nhập X = 4 = = Ta được b 2 = 210 CALC = Nhập X = 3 = = Ta được c 2 = 42 CALC = Nhập X = 2 = = Ta được d 2 = 6. Tiếp tục ta được các hệ số của các vế trái. Tính các hệ số của các vế phải: 2 ^ 6 + 2 SHIFT STO A 1 − 3 ^ 6 + 2 ALPHA A = Cho e 1 = -596 10 − 4 ^ 6 + 3 ALPHA A = Cho e 2 = -3888 25 − 5 ^ 6 + 4 ALPHA A = Cho e 3 = -51336 46 − 6 ^ 6 + 5 ALPHA A = Cho e 4 = -46280 Ta có hệ 4 phương trình 4 ẩn số: 180 50 12 2 596 930 210 42 6 3888 3000 564 96 12 15336 7620 1220 180 20 46280 a b c d a b c d a b c d a b c d + + + = − + + + = − + + + = − + + + = − Dùng máy Vn-570MS giải hệ ta được: 21 ; 175 ; 735 ; 1627a b c d= − = = − = Thay vào 1 trong 5 phương trình của hệ 5 phương trình 5 ẩn số, ta được: 1776e = − Thay tiếp vào 1 phương trình của hệ 6 phương trình 6 ẩn số, ta được 732f = . Dùng chức năng CALC để tính giá trị của P(x) tại các giá trị của X: ALPHA X ^ 6 − 21 ALPHA X ^ 5 + 175 ALPHA X ^ 4 − 735 ALPHA X SHIFT x 3 + 1627 ALPHA X x 2 − 1776 ALPHA X + 732 CALC Nhập X = 11 = Cho kết quả P(11)=151443, Cách 2: Ta có: (1) 3 0; (3) 3 0P P− = − = , nên đa thức ( ) 3P x − chia hết cho ( ) ( ) 1 3x x− − , do đó: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 1 3 ( ) ( ) 1 3 ( ) 3P x x x Q x P x x x Q x− = − − ⇔ = − − + (2) 0 (2) 3 0P Q= ⇔ − + = , suy ra: Đa thức 3 ( )Q x− chia hết cho 2x − hay: ( ) ( ) 3 ( ) 2 ( ) ( ) 3 2 ( )Q x x R x Q x x R x− = − ⇔ = − − , do đó: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 3 3 2 ( ) 3 1 3 2 ( ) 3 1 3 3P x x x x R x x x x R x x x= − − − − + = − − − − + − − + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 ( ) 1 3 2 ( ) 3 4 4 1 3 2 ( ) 3 2P x x x x R x x x x x x R x x= − − − − + − + = − − − − + − (4) 12 6 (4) 12 12 (4) 0P R R= ⇔ − + = ⇔ = . Do đó: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 ( ) 1 3 2 4 ( ) 3 2P x x x x x R x x= − − − − − + − 1 1 (5) 27 24 (5) 27 27 (5) 0P R R= ⇔ − + = ⇔ = . Do đó: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 ( ) 1 2 3 4 5 ( ) 3 2P x x x x x x R x x= − − − − − − + − 2 2 (6) 48 120 (6) 48 48 (6) 0P R R= ⇔ − + = ⇔ = . Do đó: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 ( ) 1 2 3 4 5 6 ( ) 3 2P x x x x x x x R x x= − − − − − − − + − Nhưng hệ số của 6 x là 1 nên ( ) 3 1R x = − . Vậy: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) 1 2 3 4 5 6 3 2P x x x x x x x x= − − − − − − + − Khai triển, ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) 1 6 2 5 3 4 3 12 12P x x x x x x x x x= − − − − − − + − + ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 ( ) 7 6 7 10 7 12 3 12 12P x x x x x x x x x= − + − + − + + − + ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 ( ) 6 10 12 3 12 12 7P x t t t x x t x x= + + + + − + = − ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 2 2 2 ( ) 6 22 120 3 12 12 7 28 252 720 3 12 12 7P x t t t x x t x x t t t x x t x x= + + + + − + = − = + + + + − + = − ( ) ( ) 3 3 2 2 2 2 2 ( ) 21 147 343 28 14 49 252 1764 720 3 12 12P x x x x x x x x x x x x= − + − + − + + − + + − + 6 5 4 3 2 ( ) 21 175 735 1627 1776 732P x x x x x x x= − + − + − + . Vậy: 21 ; 175 ; 735 ; 1627; 1776; 732a b c d e f= − = = − = = − = Câu 5: 1. Một chiếc thuyền khởi hành từ một bến sông A. Sau 5 giờ 10 phút, một chiếc canô chạy từ A đuổi theo và gặp thuyền đó cách bến A 20,5 km. Hỏi vận tốc của thuyền, biết rằng canô chạy nhanh hơn thuyền 12,5 /km h . ( Kết quả chính xác với 2 chữ số thập phân) 2. Lức 8 giờ sáng, một ô tô đi từ A đến B, đường dài 157 km. Đi được 102 km thì xe bị hỏng máy phải dừng lại sửa chữa mất 12 phút rồi đi tiếp đến B với vận tốc ít hơn lúc đầu là 10,5 /km h . Hỏi ô tô bị hỏng lúc mấy giờ, biết rằng ô tô đến B lúc 11 giờ 30 phút. ( Kết quả thời gian làm tròn đến phút) Giải: 1) Gọi x (km/h) là vận tốc thuyền (x > 0). Đoạn đường thuyền đi trước: 1 31 5 6 6 x x + = ÷ . Ta có phương trình: 2 31 31 31 31 20,5 20,5 0 6 12,5 6 6 12,5 6 x x x x x+ = ⇔ + − = × × 2) Gọi x (km/h) là vận tốc ban đầu của ô tô (x > 10,5). Ta có phương trình: 102 55 1 18 102 55 33 3 0 10,5 2 60 10,5 10x x x x + = − ⇔ + − = − − Dùng chức năng SOLVE để giải phương trình (giá trị đầu là 11) Câu 6: Cho dãy số ( ) ( ) 1 2 1 2 2 2 n n n U + − − = với n =1,2,…,k,…. 1. Chứng minh rằng: 1 1 2 n n n U U U + − = + với 1n∀ ≥ 2. Lập quy trình bấm phím liên tục tính 1n U + theo n U và 1n U − với 1 2 1, 2U U= = 3. Tính các giá trị từ 11 U đến 20 U Giải: Với 2n∀ ≥ , ta có: ( ) ( ) 1 2 1 2 2 2 n n n U + − − = ; ( ) ( ) 1 1 1 1 2 1 2 2 2 n n n U − − − + − − = ; ( ) ( ) 1 1 1 1 2 1 2 2 2 n n n U + + + + − − = ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 n n n n n n U U − − − + − − + − − + = + ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 2 n n n n U U − − − + + + − − − + + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 1 2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 n n n n n n U U − − − − − + + + − − − + + + − − − + = = Vậy: ( ) ( ) 1 1 1 1 1 2 1 2 2 2 2 n n n n n U U U + + − + + − − + = = . Bài 8: 1. Số chính phương P có dạng 17712 81P ab= . Tìm các chữ số ,a b biết rằng 13a b + = 2. Số chính phương Q có dạng 15 26849Q cd= . Tìm các chữ số ,c d biết rằng 2 2 58c d+ = 3. Số chính phương M có dạng 1 399025M mn= chia hết cho 9. Tìm các chữ số ,m n Giải: 1) 13a b+ = nên a và b đối xứng 4a ≥ . Do đó có các cặp sau đây thỏa mãn điều kiện bài toán: 3 SHIFT STO A ALPHA A = ALPHA A + 1 ALPHA : ( 17712 × 10 ^ 4 + 10 SHIFT x 3 ALPHA A + 10 x 2 ( 13 − ALPHA A ) Bấm = liên tiếp và theo dõi A từ 4 đến 9 và các giá trị căn bậc hai sau A giá trị nào nguyên. Chỉ có A = 9 là thỏa mãn. Vậy: ( ) 9; 4a b= = và 177129481 13309= 2) 2 2 58c d+ = nên 1 7c≤ ≤ vì nếu c = 0 thì 58 không phải là số chính phương; nếu c = 8 thì c 2 = 64 > 58. 0 SHIFT STO A ALPHA A = ALPHA A + 1 ALPHA : ( 58 − ALPHA A x 2 ) Bấm = liên tiếp và theo dõi A từ 1 đến 7 và các giá trị căn bậc hai sau A giá trị nào nguyên. Chỉ có A = 3 và A = 7 là thỏa mãn. Do đó chỉ có hai cặp ( ) ( ) 3; 7 , 7; 3c d c d= = = = . Thử chỉ có 157326849 12543= . Vậy: ( ) 7; 3c d= = . 3) 1 399025M mn= nên ( ) ( ) 1 3 9 9 2 5 9 11 9 ' 'm n k k m n k k+ + + + + + + = ∈ ⇔ + + = ∈N N . Ta có: 0 18 11 11 29m n m n ≤ + ≤ ⇒ ≤ + + ≤ , do đó: k' = 2 hoặc k' =3. • Với ' 2: 7k m n= + = : (-) 1 SHIFT STO A ALPHA A = ALPHA A + 1 ALPHA : ( 10 ^ 8 + ALPHA A × 10 ^ 7 + ( 7 − ALPHA A ) × 10 ^ 399025 ) Bấm = liên tiếp và theo dõi A từ 0 đến 7 và các giá trị căn bậc hai sau A giá trị nào nguyên. Chỉ có A = 5 là thỏa mãn. Do đó chỉ có cặp ( ) 5; 2m n= = • Với ' 3: 16k m n= + = : 6 SHIFT STO A ALPHA A = ALPHA A + 1 ALPHA : ( 10 ^ 8 + ALPHA A × 10 ^ 7 + ( 16 − ALPHA A ) × 10 ^ 6 + 399025 ) Bấm = liên tiếp và theo dõi A từ 7 đến 9 và các giá trị căn bậc hai sau A giá trị nào nguyên. Không có giá trị nào của A thỏa mãn điều kiện. Bài 10: Cho tam giác ABC vuông tại A . Từ A kẻ AH vuông góc với BC ( H thuộc BC ) Tính độ dài cạnh AB ( chính xác đến 2 chữ số thập phân), biết rằng diện tích tam giác AHC là 2 4,25S cm= , độ dài cạnh AC là 5,75m cm= . 2 2 2 2 2 1 1 1 mx AH AH x m m x = + ⇒ = + 2 2 2 2 m m BC HC HC m x = × ⇒ = + Ta có phương trình: 3 2 3 2 2 2 1 2 0 2 2 0 2 m x S AH HC S Sx m x Sm m x = × ⇔ − = ⇔ − + = + . KỲ THI TOÀN QUỐC GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO NĂM 2009 MÔN: TOÁN 9 (THCS) THỜI GIAN: 150 PHÚT NGÀY THI: 13/03 /2009 Bài 1: Tính giá trị của biểu thức a). 15,37 3,75 1 3 2 5 2 4 7 5 7 3 × ÷ + − − ÷ ÷ b) B = 3 5 3 5 2009 13,3 3 2 5 3 7 2 3 5 4 7 + − − + − + + − − + c) C = 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2 3 (1 sin 17 34`). Tính giá trị của P(x) với x = 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18; 19; 20 Bài 4: 1. Hình chóp tứ giác đều . O ABCD có độ dài cạnh đáy BC a = , độ dài cạnh bên OA l= a) Tính diện tích xung quanh,