Bồi dưỡng HSG toán 8

MT CCH HC TON Trong học toán chúng ta có rất nhiều cách học, cách tìm tòi có hiệu quả. Để chủ động trong việc tiếp cận kiến thức, rèn luyện t duy suy luận linh hoạt, kĩ năng giải toán thì sau mỗi bài toán ta có thể dựa vào đề bài , dựa vào hình vẽ của bài toán ban đầu để phát biểu bài toán dới dạng khác, đa ra bài toán mới, tìm cách giải mới cho bài toán quen thuộc, Bài viết này xuất phát từ hai bài toán là bài 12,13 trang 74 SGK Toán 8 để xây dựng các bài toán về nhận biết hình thang cân. Bài 1: (Bài 12 trang 74 SGK Toán 8) Cho hình thang cân ABCD (AB//CD, AB < CD). Kẻ các đờng cao AE, BF của hình thang. Chứng minh rằng DE = CF. Li gii Xem hình vẽ 1. Vì ABCD là hình thang cân nên AD=BC , D = C Do đó: vuông AED = vuông BFC (Cạnh huyền -góc nhọn) DE = CF . Từ bài toán trên ta phát biểu bài toán đảo của bài 1 nh sau. Bài 2: Cho hình thang ABCD (AB//CD, AB < CD). Kẻ các đờng cao AE, BF của hình thang. Chứng minh rằng: Nếu DE = CF thì ABCD là hình thang cân. Li gii Xem hình vẽ 1. Vì AE, BF là hai đờng cao của hình thang nên AE=BF. Do đó: AED = BFC (c.g.c) D = C . Suy ra ABCD là hình thang cân. Lời giải ở bài 1 có sử dụng tính chất : Trong hình thang cân , hai cạnh bên bằng nhau. Dựa vào hình vẽ 1, ta có thể chứng minh đợc tính chất này trong trờng hợp hai đáy của hinh thang không bằng nhau. Từ đó, ta có bài toán sau: Bài 3: Cho hình thang cân ABCD (AB//CD, AB < CD) .Chứng minh : AD = BC. Li gii Xem hình vẽ 1. Kẻ các đờng cao AE, BF của hình thang. Vì ABCD là hình thang cân nên D = C (1) Trong AED có DAE + D = 90 0 (2) Trong BFC có CBF + C = 90 0 (3) Từ (1),(2) và (3) suy ra DAE = CBF . Mà AE, BF là các đờng cao của hình thang nên AE = BF. Do đó AED = BFC (g.c.g) AD = BC . Nguyn Thanh Bng - THCS Thanh Long -Thanh Chng - Ngh an A B D E F C Hình 1 Tiếp tục phát biểu bài toán đảo cho bài 3 ,ta có: Bài 4: Cho hình thang ABCD (AB//CD, AB < CD) có AD = BC. Chứng minh rằng ABCD là hình thang cân. Li gii Xem hình vẽ 1. Kẻ các đờng cao AE, BF của hình thang. Khi đó, ta có AE =BF. Mà AD = BC (giả thiết). Suy ra vuông AED = vuông BFC (Cạnh huyền-cạnh góc vuông). D = C . Vậy ABCD là hình thang cân. Dựa vào bài 1 và hình vẽ 1 ,ta có các bài toán mới và các bài toán chứng minh có hình vẽ tơng tự Bài 5: Cho tứ giác ABCD (AB < CD) có AD = BC, kẻ AE DC , BF DC cho biết AE = BF. Chứng minh rằng ABCD là hình thang cân. Li gii Xem hình vẽ 1. Vì AE DC , BF DC nên AE // BF ABFE là hình thang , mà AE = BF (giả thiết) nên AB // EF AB// CD . Do đó ABCD là hình thang. mà AD = BC (giả thiết) nên theo bài 4 ,ta có ABCD là hình thang cân. Bài 6: Cho tứ giác ABCD (AB < CD) có AD = BC, kẻ AE DC , BF DC cho biết DE = CF. Chứng minh rằng ABCD là hình thang cân. Li gii Xem hình vẽ 1. Vì AE DC , BF DC nên AE // BF ABFE là hình thang (4) Xét hai tam giác vuông AED và BFC có AD =BC (giả thiết), DE = CF (giả thiết) nên AED = BFC (cạnh huyền-cạnh góc vuông) AE = BF (5) và D = C (6) Kết hợp (4),(5), ta có: ABFE là hình thang có hai đáy AE = BF nên AB // EF hay AB // CD suy ra ABCD là hình thang (7). Từ (6),(7) suy ra ABCD là hình thang cân. Bài 7: Cho tứ giác ABCD (AB < CD) ,kẻ AE DC , BF DC cho biết AE = BF và DE = CF . Chứng minh rằng ABCD là hình thang cân. Li gii Xem hình vẽ 1. Vì AE DC , BF DC nên AE // BF ABFE là hình thang ,mà hai đáy AE = BF (giả thiết) nên AB // EF hay AB // CD suy ra ABCD là hình thang (8) Xét hai tam giác vuông AED và BFC có AE =BF (giả thiết), DE = CF (giả thiết) nên AED = BFC (c.g.c) D = C (9) Kết hợp (8),(9), ta có ABCD là hình thang cân. Bài 8: Chứng minh rằng tứ giác lồi ABCD là hình thang cân nếu AD = BC , C = D. Li gii Xem hình vẽ 1. Kẻ AE DC , BF DC . Khi đó AE // BF ABFE là hình thang (10) Nguyn Thanh Bng - THCS Thanh Long -Thanh Chng - Ngh an Xét hai tam giác vuông AED và BFC có AD =BC (giả thiết), D = C (giả thiết) nên AED = BFC (cạnh huyền-góc nhọn) AE =BF (11) Từ (10),(11) thì AEBF là hình thang có hai đáy AE =BF nên AB // EF hay AB// CD suy ra ABCD là hình thang ,mà C = D (giả thiết ). Vậy ABCD là hình thang cân. Bài 9: Cho tứ giác ABCD có AD =BC , B+D =180 0 .Chứng minh rằng ABCD là hình thang cân. Li gii Xem hình vẽ 2. Kẻ AE DC , CK AB. Ta có ABC + B 1 =180 0 (2 góc kề bù) D + ABC =180 0 (giả thiết) Xét hai tam giác vuông AED và BFC có AD =BC (giả thiết), D = B 1 (chứng minh trên) nên AED = CFB (cạnh huyền-góc nhọn) AE =CK Nối AC ,ta xét hai tam giác vuông AEC và CKA có cạnh huyền AC chung, AE = CK (chứng minh trên) nên AEC = CKA (cạnh huyền-cạnh góc vuông) Suy ra A 1 = C 1 ,mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AB // CD hay ABCD là hình thang (12) Từ AB// CD suy ra BCD =B 1 (2 góc so le trong) mà ADC = B 1 (chứng minh trên) Từ (12)và (13) suy ra ABCD là hình thang cân. Bài 10:(Bài 13 trang 74 SGK Toán 8) Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) ,E là giao điểm của hai đờng chéo. Chứng minh rằng EA = EB, EC= ED. Li gii Xem hình vẽ 3. Vì ABCD là hình thang cân nên AD = BC , ADC = BCD Xét ADC và BCD có DC chung , AD= BC ,ADC = BCD nên ADC = BCD (c.g.c) D 1 =C 1 hay EDC cân suy ra ED =EC. Ta có AB // CD (giả thiết ) suy ra B 1 = D 1 , A 1 = C 1 (so le trong) mà D 1 = C 1 (chứng minh trên) suy ra A 1 = B 1 hay EAB cân tai E suy ra EA = EB. Nhận xét: Giải xong bài toán này ta tự hỏi với điều kiện nào của giao điểm hai đờng chéo thì hình thang đó là hình thang cân.Ta sẽ tìm đợc bài toán sau. Bài 11: Cho hình thang ABCD(AB//CD) ,E là giao điểm của AC và BD .Chứng minh rằng :Nếu EC=ED hoặc EA = EB thì ABCD là hình thang cân. Li gii Xem hình vẽ 3. Nếu EC = ED suy ra EDC cân tai E suy ra C 1 =D 1 . suy ra ED =EC. Ta có AB // CD (giả thiết ) suy ra B 1 = D 1 , A 1 = C 1 (so le trong) mà D 1 = C 1 (chứng minh trên) suy ra A 1 = B 1 hay EAB cân tai E suy ra EA = EB. Từ đó, ta có EA+EC=EB+ED hay AC=BD Nh vậy, hình thang ABCD có hai đờng chéo AC=BD nên ABCD là hình thang cân. Với EA=EB ,chứng minh tơng tự ta cũng đợc ABCD là hình thang cân. Nguyn Thanh Bng - THCS Thanh Long -Thanh Chng - Ngh an D = B 1 A B K D E C Hình 2 1 1 1 ADC = BCD (13) A B 1 1 1 1 D C Hình 3 E Nhận xét: Điểm cơ bản trong lời giải trên là chỉ ra C 1 =D 1 từ đó để suy ra các kết quả khác,do đó ta có thể phát biểu bài toán trên nh sau. Bài 12: (Bài 17 trang 75 SGK Toán 8) Cho hình thang ABCD(AB//CD) có ACD =BDC .Chứng minh rằng ABCD là hình thang cân. Mở rộng bài 11 đối với tứ giác ta có bài toán sau : Bài 13 Tứ giác ABCD có E là giao điểm của hai đờng chéo AC và BD .Biết rằng EA=EB, EC=ED. Chứng minh rằng ABCD là hình thang cân. Li gii Xem hình vẽ 3. Ta có EAB cân tai E (Vì EA = EB(giả thiết)) A 1 =B 1 = ECD cân tai E (Vì EC = ED(giả thiết)) C 1 =D 1 = A 1 =C 1 mà AEB =CED (đối đỉnh) mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AB//CD suy ra ABCD là hình thang. Mặt khác ,từ giả thiết ta có EA+EC=EB+ED hay AC=BD .Do đó ABCD là hình thang cân. Ngoài ra từ hình vẽ 3 ,nếu ta có AC=BD và AD=BC thì tứ giác ABCD có là hình thang cân không? Ta có bài toán sau Bài 14 Tứ giác ABCD có AD=BC và AC =BD thì ABCD là hình thang cân. Li gii Xem hình vẽ 3. Gọi E là giao điểm của AC và BD. Từ giả thiết ,ta có ADC = BCD (c.c.c) A 1 =B 1 = ADC = BCD (c.c.c) C 1 =D 1 = A 1 =C 1 mà AEB =CED (đối đỉnh) mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AB//CD suy ra ABCD là hình thang. Mặt khác AC=BD (giả thiết).Do đó ABCD là hình thang cân. ở hình vẽ 3 ,nếu AC=BD và C 1 =D 1 thì ABCD là hình thang cân không ? Bài 15: Cho tứ giác ABCD có AC = BD và ACD =BDC .Chứng minh rằng ABCD là hình thang cân. Li gii Xem hình vẽ 3. Từ giả thiết ,ta có ADC = BCD (c.g.c) AD=BC. Nh vậy, Tứ giác ABCD có AC=BD và AD=BC nên theo bài 14 thì ABCD là hình thang cân. ở hình vẽ 3 ,có thể chứng minh định lí Hình thang có hai đờng chéo bằng nhau là hình thang cân bằng cách chứng minh C 1 =D 1 . Bài 16 Hình thang ABCD (AB//CD) có AC=BD .Chứng minh rằng ABCD là hình thang cân. Li gii Xem hình vẽ 4. Kẻ AK CD , BH CD . AK, BH là hai đờng cao của hình thang nên AK=BH. Nguyn Thanh Bng - THCS Thanh Long -Thanh Chng - Ngh an 180 0 -AEB 2 180 0 -CED 2 180 0 -CED 2 180 0 -AEB 2 A B 1 1 D K H C Hình 4 mµ AC= BD (gi¶ thiÕt) ,nªn hai tam gi¸c vu«ng ∆ ACK = ∆ BDH (C¹nh huyÒn -c¹nh gãc vu«ng) ⇒ C 1 =D 1 . Tõ ®ã suy ra ∆ ACD= ∆ BDC (c.g.c) suy ra ADC = BCD. Do ®ã ABCD lµ h×nh thang c©n. =================== HÕt ==================== Nguyn Thanh Bng - THCS Thanh Long -Thanh Chương - Ngh an . bài toán ban đầu để phát biểu bài toán dới dạng khác, đa ra bài toán mới, tìm cách giải mới cho bài toán quen thuộc, Bài viết này xuất phát từ hai bài toán là bài 12,13 trang 74 SGK Toán 8 để. biểu bài toán trên nh sau. Bài 12: (Bài 17 trang 75 SGK Toán 8) Cho hình thang ABCD(AB//CD) có ACD =BDC .Chứng minh rằng ABCD là hình thang cân. Mở rộng bài 11 đối với tứ giác ta có bài toán sau. hình thang nên AK=BH. Nguyn Thanh Bng - THCS Thanh Long -Thanh Chng - Ngh an 180 0 -AEB 2 180 0 -CED 2 180 0 -CED 2 180 0 -AEB 2 A B 1 1 D K H C Hình 4 mµ AC= BD (gi¶ thiÕt) ,nªn hai tam