Lê Xuân Quảng, Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng – Bài tập môn Toán Cao cấp 1 1 BÀI TẬP ÔN TẬP MÔN TOÁN CAO CẤP 1 CÁC LỚP ĐẠI HỌC CHÍNH QUY Chương I: TẬP HỢP – ÁNH XẠ - SỐ PHỨC Bài 1: a, Cho ánh xạ : f X Y , , A B X .Chứng minh rằng : ( ) ( ) ( ) f A B f A f B b, Giải phương trình 6 3 1 0 z z i i Bài 2 : a. Tìm tất cả các số phức z thoả mãn phương trình 6 1 1 3 z i i . b, Gọi là tập các số thực, là tập các số thực không âm. Xét ánh xạ: + :f xác định bởi 2 ( ) 1 f x x . Hỏi f có là đơn ánh không, có là toàn không? Tại sao. Bài 3: a, Giải phương trình: 3 3 0 x i . b, Cho ánh xạ 1 : \ 5 f xác định như sau: 4 2 ( ) 5 1 x f x x . Hỏi f có là đơn ánh không? Toàn ánh không? Vì sao? Bài 4 : a, , Tìm các căn bậc 4 của số phức 1 3 z i b, Cho ánh xạ : f xác định bởi 2 2 ( ) 1 x f x x . Hỏi f có là đơn ánh không? Toàn ánh không? Vì sao? Bài 5: a. Biểu diễn số phức 2 2 3 z i dưới dạng lượng giác và tính 4 z . b. Cho ánh xạ : \ 1f xác định bởi 4 2 ( ) 1 x f x x . Hỏi f có là đơn ánh? là toàn ánh không? Tại sao? Bài 6: a. Tìm tất cả các số phức z thoả mãn phương trình 4 3 1 z i i b. Cho ánh xạ : f xác định bởi 2 2 ( ) 1 x f x x . Hỏi f có là đơn ánh? toàn ánh không? Tìm ảnh ( ) f . Bài 7 : a, Cho , , A B C là các tập hợp tùy ý. Chứng minh rằng: \ ( ) \ \ A B C A B A C b, Giải phương trình 6 3 1 0 z iz i Bài 8 : a, Cho, : f X Y là ánh xạ, các tập hợp , A B X .Chứng minh rằng : ( ) ( ) ( ) f A B f A f B b, Tìm căn bậc 4 của số phức 2 12 z i . Bài 9 : a, Cho các tập hợp , A B X và ánh xạ : f X Y là đơn ánh. Chứng minh rằng ( ) ( ) ( ) f A B f A f B b, Giải phương trình 4 2 6 1 5 6 0 z i z i Bài 10 :a, Cho , , A B C là các tập hợp tùy ý. Chứng minh rằng: \ ( ) \ \ A B C A B A C b, Tìm tất cả các số phức z thỏa mãn 3 z z Lê Xuân Quảng, Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng – Bài tập môn Toán Cao cấp 1 2 Chương II,III : MA TRẬN – ĐỊNH THỨC – HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Bài 1: Cho ma trận: 3 5 0 1 2 1 0 m m A m a, Tìm m để A khả nghich. b, Tìm ma trận nghịch đảo 1 A khi m = 0. Bài 2: Cho phương trình ma trận: 1 1 1 2 1 2 3 1 2 0 X a, Giải phương trình khi 1 b, Tìm để phương trình vô nghiệm. Bài 3: Cho phương trình ma trận: 1 1 2 0 2 1 1 2 4 1 5 X a, Tìm X khi 2 b, Phương trình có bao giờ vô nghiệm không? Tại sao? Bài 4:Cho phương trình ma trận 1 2 1 2 7 2 1 2 3 9 4 1 X a, Giải phương trình khi b,Tìm để phương trình trên có vô số nghiệm Bài 5: Tìm để tồn tại ma trận X sao cho: 2 1 3 6 1 0 5 6 3 2 1 0 1 3 2 X Tìm X với vừa tìm được . Chương IV : KHÔNG GIAN VÉC TƠ Bài 1: a, Chứng minh rằng hệ véc tơ 2; 1;0 , 1;2;0 , 1; 1;1 E là một cơ sở của 3 . b, Cho 2;0;1 x là một véc tơ thuộc 3 . Tìm tọa độ của véc tơ x theo cơ sở E. Bài 2: Cho tập hợp , , a b M a b c b c a, Chứng minh M với các phép cộng ma trận và nhân ma trận với 1 số thực là một không gian con của 2 M . b, Tìm cơ sở và số chiều của . M Lê Xuân Quảng, Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng – Bài tập môn Toán Cao cấp 1 3 Bài 3: Cho 2 2 , ,P x ax bx c a b c là không gian các đa thức có bậc không vượt quá 2. a, Chứng minh hệ véc tơ 1; 1; ( 1) B x x x là một cơ sở của 2 P x b, Tìm tọa độ của 2 ( ) 2 3 4 p x x x theo cơ sở B. Bài 4. Trong không gian 2 [x] P cho hệ véc tơ 2 2 2 { 1; 2 1; 2} E x x x x x x . a, Chứng minh hệ véc tơ E là một cơ sở của không gian 2 [x] P . b, Tìm véctơ p(x), biết toạ độ theo cơ sở E là 3 [ ( )] 5 2 E p x . Bài 5. a, Chứng minh hệ véc tơ {(1,1,1);(1,0,1);(1,1,0)} E là một cơ sở của 3 . b, Cho 3,1, 2 x là một véctơ của 3 . Tìm toạ độ của véctơ x theo cơ sở E. Bài 6. Trong không gian 2 [x] P cho hệ véc tơ 2 { 1; 1;2 1} E x x x x a, Chứng minh hệ véc tơ E là một cơ sở của không gian 2 [x] P . b, Tìm toạ độ của véctơ 2 3 4 1 p x x x theo cơ sở E. Bài 7. Trong 3 cho tập 1 2 3 3 1 2 3 ( , , ) | 2 0 F x x x R x x x 1. Chứng tỏ F là không gian con của 3 . 2. Tìm cơ sở và số chiều của F. Bài 8 : Cho tập 2 ( ) [x] | (1) 0 & (2) 0 F p x P p p 1. Chứng tỏ F là không gian con của 2 P x 2. Tìm cơ sở và số chiều của F. Bài 9. Cho tập 2 1 1 [ ] | 0 2 2 F A M A 1. Chứng tỏ F là không gian con 2 M . 2. Tìm cơ sở và số chiều của F. Bài 10. Cho tập 2 , 2 a b a b F a b b a . 1. Chứng tỏ F là không gian con 2 M . 2. Tìm cơ sở và số chiều của F. Bài 11. a, Hãy xác định tập hợp các véctơ sau đây độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính trong 2 M 1 1 2 1 3 4 1 3 ; ; ; 1 0 1 1 0 1 1 2 M . b, Trong 2 P x cho 2 2 2 1,2 3 1, 2 2 F x x x x x x . Tìm cơ sở và số chiều của không gian con F. Bài 12. a, Hãy xác định tập hợp các véctơ 2 2 { 1,2 3 2,2 1} M x x x x x độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính trong 2 P x . b, Trong 3 cho (1,1,1);(2,1,1);(3,1,1) F . Lê Xuân Quảng, Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng – Bài tập môn Toán Cao cấp 1 4 Tìm cơ sở và số chiều của không gian con F. Bài 13. a, Chứng minh rằng các véc tơ 2 1 2 3 1; (1 ); (1 ) e e x e x lập thành một cơ sở của 2 P x . b, Trong 2 M cho 1 1 2 1 3 1 1 0 , , , 2 1 0 1 2 1 2 0 F . Tìm cơ sở và số chiều của không gian con F. Bài 14. a, Trong 3 cho (1, 2,3) x và {(1,1,1);(2,1,0);(3, 1,3)} M . Hỏi x có thuộc không gian con sinh bởi M? b, Chứng minh hệ véc tơ 2 1 2 3 1, 1, 1 E e e x e x lập thành một cơ sở của 2 P x . Bài 15 . Trong 4 cho tập 1 3 44 1 2 3 4 2 3 4 0 ( , , , ) 0 x x x F x x x x x x x 1. Chứng tỏ F là không gian con của 4 . 2. Tìm cơ sở và số chiều của F. Chương V. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Bài 1:Cho ánh xạ 3 2 : f , xác định bởi ( , , ) ( , 2 ) f x y z x y z x y z m a, Tìm m để f là ánh xạ tuyến tính. b, Tìm cơ sở và số chiều của ker f với m vừa tìm được. Bài 2: Cho ánh xạ 2 2 : f P x P x , xác định bởi ( ) ( ) ( ) f p x xp x p x , ' p x là đạo hàm cấp 1 của p x . a, Chứng minh rằng f là ánh xạ tuyến tính . b, Tìm ma trận của f trong cặp cơ sở E,F, biết 2 2 1, , , 1,1 , 1 E x x F x x . Bài 3: Trong 2 P x cho ánh xạ 2 2 : f P x P x xác định bởi ( ) 2 3 f p p p p , ', " p p là các đạo hàm cấp 1 và cấp 2 của p . a, Chứng minh rằng f là ánh xạ tuyến tính. b, Tìm ma trận ánh xạ f trong cơ sở 2 1, , x x Bài 4: Cho ánh xạ tuyến tính 3 3 : f xác định bởi ( , , ) (2 , 2 , ) f x y z x y z x y z z a, Tìm ma trận của f trong cặp cơ sở chính tắc. b, Tìm giá trị riêng, véc tơ riêng của f . Bài 5: Cho ánh xạ 4 3 : f xác định bởi: 1 2 3 4 1 2 3 1 4 3 2 4 ( , , , ) ( ,2 , 2 ) f x x x x x x x x x x x x a, Chứng tỏ rằng f là ánh xạ tuyến tính. b, Tìm cơ sở và số chiều của Ker f , Im f Bài 6: Cho ánh xạ 3 3 : f với ( , , ) (6 2 2 , 2 3 ,2 3 ) f x y z x y z x y x z a, Chứng tỏ f là phép biến đổi tuyến tính, tìm ma trận của f theo cơ sở chính tắc. b, Tìm véc tơ riêng và trị riêng của f . Lê Xuân Quảng, Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng – Bài tập môn Toán Cao cấp 1 5 Bài 7: Cho ánh xạ 2 3 : f xác định bởi , 2 , 4 2 , 6 3 f x y x y x y x y m a. Xác định m để f là ánh xạ tuyến tính và tìm ma trận A của f theo các cơ sở chính tắc của 2 và 3 . b. Tìm cơ sở và số chiều của Ker f , Im f với m tìm được. Bài 8: Cho ánh xạ 3 2 : f xác định bởi ( , , ) ( , 3 ) f x y z x y z x y z m , m là tham số. a. Xác định m để f là ánh xạ tuyến tính, sau đó tìm Ker f và số chiều của Ker f . b. Với m tìm được, tìm ma trận của ánh xạ f trong cặp cơ sở của 3 là 1 (1,1,0) u , 2 (1,0,1) u , 3 (0,1,1) u và cơ sở của 2 là 1 2 (1, 0), (2, 1) v v . Bài 9: Cho ánh xạ 3 3 : f P x P x , xác định bởi ( ) 2 ( ) ( 1) ( ) f p x p x x p x , ' p x là đạo hàm cấp 1 của p x . a. Chứng minh rằng f là ánh xạ tuyến tính. b. Tìm ma trận của ánh xạ f trong cặp cơ sở chính tắc. Bài 10: Hãy chéo hóa ma trận A và đưa ra ma trận chuyển. 7 2 0 2 6 2 0 2 5 A Bài 11: Cho ánh xạ 2 2 : f P x P x , xác định bởi ( ( )) '( ) f p x p x , ' p x là đạo hàm cấp 1 của p x . a, Chứng minh rằng f là ánh xạ tuyến tính. b, Tìm giá trị riêng, véc tơ riêng của f . Bài 12. Cho ánh xạ 3 3 : f xác định bởi 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ( , , ) : ( ) ( , , ) ( ,2 3 ,3 5 ) x x x x R f x f x x x x x x x x x x x x 1. Chứng minh rằng f là ánh xạ tuyến tính. 2. Tìm cơ sở và số chiều của Ker f , Im f . Bài 13. Cho ánh xạ tuyến tính 3 3 : f xác định bởi (1,1,1) (1,2,1); f (1,1,2) (2,1, 1); f (1,2,1) (5,4, 1); f 1. Tìm cơ sở và số chiều của Ker f . 2. Tìm cơ sở và số chiều của ảnh Im f . Bài 14. Cho 3 3 : f là ánh xạ tuyến tính, biết ma trận của f trong cơ sở 1,1,1 , 1,0,1 , 1,1,0 E là , 1 1 1 2 3 3 1 2 4 E E A 1. Tìm 2,3, 1 f . 2. Tìm cơ sở và số chiều của Ker f . Bài 15. Cho 3 3 : f là ánh xạ tuyến tính, biết ma trận của f trong cơ sở Lê Xuân Quảng, Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng – Bài tập môn Toán Cao cấp 1 6 1,1,1 , 1,1,0 , 1,0,0 E là , 1 0 1 2 1 4 1 1 3 E E A 1. Tính 4,3,5 f . 2. Tìm cơ sở và số chiều của Im f . Chương VI: GIỚI HẠN, LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN Bài 1. Tìm các giới hạn sau. 1, 0 3 2 lim 2 1 x x x x 2, 2 lim( )tan 2 x x x , 3, 2 2 2 1 lim( ), 0 x a a a x a x a 4, 1 1 lim 1 n m x x x , 5, lim x a a x x a x a a a a x 6, 2 0 ln cos lim ln(1 ) x x x 7, 3 8 2 2 3 4 lim 5 7 x x x x x x 8, 5 7 0 lim sin2 x x x e e x 9, 100 50 1 2 1 lim 2 1 x x x x x 10, 2 3 2 0 ln 1 lim cos 3 1 x x x e e x x Bài 2, Khảo sát tính liên tục của các hàm số 1, sin , 0 ( ) 1, 0 x x f x x x 2, sin , 0 ( ) 1, 0 x x x f x x 3, 1 ( ) arctan f x x 4, 1 ( ) arctan f x x x Bài 3,Cho hàm số xác định bởi: 2 1 khi 1 ( ) 3 khi 1 x x f x ax x Tìm a để hàm f liên tục với mọi x .? Bài 4, Cho hàm số 2 , | | 1 ( ) , | | 1 x x f x x ax b x Tìm a,b để hàm số liên tục trên . Bài 5, Tìm các điểm gián đoạn của các hàm số sau và phân loại các điểm đó. 1, 2 1 / ( 1), 0 ( ) ( 1) , 0 2 1 , 2 x x f x x x x x 2, | 2 | ( ) 2 x f x x 3, 2 3 | 1 | ( ) x f x x x 4, 1 ( ) ln | 1 | f x x 5, 2 1 ( ) arctan f x x Lê Xuân Quảng, Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng – Bài tập môn Toán Cao cấp 1 7 Chương VII. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Bài 1, Tìm các giới hạn sau: 1, 1 lim x x x x e 2, 1 2 0 lim cos x x x 3, 0 1 1 lim 1 x x x e 4, 2 2 0 1 lim cot x x x 5, 1 1 1 lim ln 1 x x x 6, 1 sin 0 1 tan lim 1 s in x x x x 7, 0 1 sin lim ln(1 2 ) x x e x x x 8, 2 0 1 1 lim( ) tan x x x x 9, 2 0 lim ln x x x 10, ln 0 lim(1 ) x x x Bài 2, Tìm đạo hàm các cấp tương ứng của các hàm số sau. 1, Tìm ( ) ( ) n y x , biết 2 1 4 y x 2, Tìm (100) (0) y , biết 2 1 4 y x 3, Tìm ( ) ( ) n y x , biết 2 sin y x 4, Tìm (100) (1) y , biết 2 (3 1)ln y x x 5, Tìm (100) ( ) y x , biết (2 3) cos2 y x x 6, Tìm (100) (101) (0); (0) y y , biết arctan y x 7, Tìm (100) ( ) y x , biết 2 sin y x x 8, Tìm (100) ( ) y x , biết ln(2 3) y x 9, Tìm ( ) ( ) n y x , biết 2 ln( 3 2) y x x 10, Tìm đạo hàm cấp n của hàm số 1 ln 1 x y x . Bài 3: Tính đạo hàm cấp n của các hàm số. 1, 3 ln 3 x x x 2, 2 ln 3 2 x x x 3, 2 2 ( )cos x x x 4, 2 2 3 3 2 x x e Bài 4: Tìm khai triểm Maclaurin đến cấp n của hàm số. 2 2 3 1) , 3 x x x e n e 2 3 2) ln , 3 3 2 x n x 2 3) ln 3 2 , 4 x x n 4) (1 - )ln(1 ) - (1 )ln(1 - ), 5 x x x x n 5, 2 1 ( ) , 3 5 6 f x n x x Bài 5: Tìm khai triển Taylor tại 0 x đến cấp n của các hàm số sau: 2 2 1) ( 1) , 1, 3 x x e x n 2) ln 2 1 , 1/ 2, 3 x x n 3, ( ) ln(2 3 ), 1, 3 f x x x n 2 3 4) , 1, 3 1 x x x n x 2 5) ln(2 ), 1, 3 x x x n Chương VIII. TÍCH PHÂN KHÔNG XÁC ĐỊNH Tính các tích phân sau 1, 5 4 x e cos xdx 2, 2 1 dx x x 3, 4 3 cos sin x dx x 4, arcsin x+1 x dx 5, ln ln(ln ) dx x x x 6, 2 2 2 2 , , 0 sin dx a b a x b cos x Lê Xuân Quảng, Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng – Bài tập môn Toán Cao cấp 1 8 7, 3 4 (1 ) xdx x x 8, 2 ( 2 5) x x x e dx 9, 3 3 2 sin x dx cos x 10, 0 a x dx a a x 11, 4 1 dx x 12, 6 cot xdx 13, (ln ) cos x dx 14, ln( 1 1 ) x x dx 15, 2 sin (2 1) dx x cos x Chương IX. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH – TÍCH PHÂN SUY RỘNG Bài 1. Tính các tích phân sau: 1, 2 0 4 3 5 cos dx x ; 2, 3 2 3 3 0 cos cos sin x dx x x 3, 5 2 0 sin 4 x I e xdx 4, ln2 0 1 x I e dx 5, 2 2 0 sin x xdx 6, 1 0 x xe dx 7, 1 0 arctan x xdx 8, 1 2 0 ln(1 ) 1 x dx x 9, 1 0 arctan xdx 10, 3 2 3 sin cos x x dx x 11, 1 0 ln( 1) x x e e dx 12, 1 0 arccos xdx 13, 1 2 0 arctan 1 x x dx x 14, 3 2 2 1 2 1 dx x x 15, 3 2 4 sin xdx x Bài 2. Tích các tích phân suy rộng 1, x 0 I xe dx 2, 2 3 0 I= x x e dx 3, 0 I= x e dx 4, 2 0 2 2 I= x dx x 5, 2 0 2 1 I= dx x 6, 3 21 4 3 I= dx x x 7, 3 2 2 3 9 x dx x Bài 3. Xét sự hội tụ của các tích phân 1, 0 I= x xe dx 2, 2 1 1 I= ln x dx x 3, 4 I= dx xln lnx 4, 3 1 2 dx x x x 5, 1 1 1 cos dx x 6, 2 1 1 cos n nx dx n x 7, 1 40 1 I= n x dx n N x 8, 1 2 0 sin 2 1 x dx x . Lê Xuân Quảng, Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng – Bài tập môn Toán Cao cấp 1 1 BÀI TẬP ÔN TẬP MÔN TOÁN CAO CẤP 1 CÁC LỚP ĐẠI HỌC CHÍNH QUY Chương I: TẬP HỢP – ÁNH XẠ - SỐ. phức z thỏa mãn 3 z z Lê Xuân Quảng, Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng – Bài tập môn Toán Cao cấp 1 2 Chương II,III : MA TRẬN – ĐỊNH THỨC – HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Bài 1: Cho. cơ sở và số chiều của . M Lê Xuân Quảng, Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng – Bài tập môn Toán Cao cấp 1 3 Bài 3: Cho 2 2 , ,P x ax bx c a b c là không gian các