Trích đoạn công phá BDT

NGUYỄN VĂN HƯỞNG – TĂNG HẢI TUÂN CÔNG PHÁ BẤT ĐẲNG THỨC NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI Công phá Bất đẳng thức Lovebook.vn MỤC LỤC PHẦN I: HAI BẤT ĐẲNG THỨC CỔ ĐIỂN 1 CHƯƠNG I: BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM 1 $1: LÀM QUEN VỚI BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM 1 I. Bất đẳng thức AM-GM 1 II. Các bất đẳng thức phụ hay dùng 1 III. Một số bài toán sử dụng AM-GM thông thường: 2 A. Ứng dụng trực tiếp bất đẳng thức AM-GM 2 B. Sử dụng hằng đẳng thức:                    . 2 C. Sử dụng các bất đẳng thức phụ 4 D. Vài bất đẳng thức mạnh hơn bất đẳng thức AM-GM 6 $2: CÁC KĨ NĂNG CẦN CÓ TRONG BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM 9 I. Kĩ năng dự đoán điểm rơi: 9 II. Kĩ năng biến hóa: 13 $3: BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM DƯỚI MẪU 17 CHƯƠNG II: BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY-SCHWARZ 23 $1: LÀM QUEN VỚI BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY-SCHWARZ 23 I. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz 23 II. Một số dạng hay dùng trong đề thi đại học 23 III. Một vài ứng dụng 23 $2: CÁC KĨ NĂNG CẦN CÓ TRONG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY-SCHWARZ 28 I. Làm quen với dạng biểu diễn khác của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz 28 II. Kĩ thuật chọn điểm rơi 29 III. Kĩ thuật thêm bớt 32 IV. Kĩ năng đưa về đại lượng giống nhau 34 V. Kĩ năng đổi biến số 36 VI. Kĩ năng nhân; chia đại lượng vào tử và mẫu 38 VII. Kết hợp nhiều kĩ năng 39 PHẦN II: BẤT ĐẲNG THỨC MỘT BIẾN 45 $1: TƯ TƯỞNG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC MỘT BIẾN 45 $2: KĨ NĂNG ĐỔI BIẾN TRONG BẤT ĐẲNG THỨC MỘT BIẾN 54 $3: MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẶC BIỆT 59 PHẦN III: BẤT ĐẲNG THỨC HAI BIẾN SỐ 62 $1: PHƯƠNG PHÁP THẾ VỀ MỘT BIẾN 62 $2: PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ DO TÍNH ĐỐI XỨNG 66 $3: BẤT ĐẲNG THỨC CÙNG BẬC VỚI HAI BIẾN 69 $4: MỘT VÀI BÀI TOÁN ĐẶC BIỆT 71 PHẦN IV: BẤT ĐẲNG THỨC BA BIẾN 73 $1: PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ TOÀN PHẦN 73 $2: KĨ NĂNG ĐƯA VỀ MỘT BIẾN 82 I. Kĩ thuật dồn biến 82 II. Kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức cổ điển, bất đằng thức phụ và những ý tưởng nhỏ 87 PHẦN V: BẤT ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC 96 I. Dạng sử dụng các loại bất đẳng thức 98 II. Phương pháp dồn biến trong bất đẳng thức lượng giác 101 PHẦN VI: PHƯƠNG PHÁP TAM THỨC BẬC HAI 107 1. Một số tính chất của tam thức bậc hai trong chứng minh bất đẳng thức 107 2. Sử dụng tam thức bậc 2 để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức 108 3. Sử dụng phương pháp tam thức bậc hai chứng minh các bất đẳng thức 116 4. Sử dụng phương pháp tam thức bậc hai để chứng minh bất đẳng thức trong tam giác 132 PHẦN VII: “VÙNG BIỂN” CHƯA ĐƯỢC KHAI THÁC 136 $1: CÁC BẤT ĐẲNG THỨC NÊN BIẾT 136 I. BÀI TOÁN I: TƯ TƯỞNG TỪ BẤT ĐẲNG THỨC JENSEN 136 II. BÀI TOÁN II: TỬ TƯỞNG TỪ BẤT ĐẲNG THỨC CHEBYSHEV 140 III. BÀI TOÁN III : TƯ TƯỞNG TỪ BẤT ĐẲNG THỨC SCHUR 144 IV. BÀI TOÁN IV: TƯ TƯỞNG TỪ BẤT ĐẲNG THỨC HOLDER 148 V. TƯ TƯỞNG BẤT ĐẲNG THỨC DÙNG KHAI TRIỂN ABEL 151 VI. KĨ THUẬT PHÂN TÍCH BÌNH PHƯƠNG SOS 154 $2: MỘT PHƯƠNG PHÁP “LẠ” 156 PHẦN VIII: BẤT ĐẲNG THỨC CHỌN LỌC 162 $1: CHIA SẺ KINH NGHIỆM TỪ MỘT BÀI TOÁN “CŨ” 162 $2: 131 BÀI TOÁN TUYỂN CHỌN VÀ PHÂN TÍCH GIẢI 168 $3 : TUYỂN TẬP CÁC CÂU BẤT ĐẲNG THỨC TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC 2005 – 2014 240 $4 : BÀI TẬP RÈN KĨ NĂNG 252 PHẦN IX: ĐÀO SÂU VÀ MỞ RỘNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC HAY DÙNG 257 $1: PHƯƠNG PHÁP SOS SUY RỘNG 257 1. Phương pháp S.S 262 2. Phương pháp S.O.S hoán vị 265 $ 2: BẤT ĐẲNG THỨC JENSEN VÀ NHỮNG MỞ RỘNG 267 I. Bất đẳng thức Jensen tổng quát 267 II. Bất đẳng thức Karamata 269 III. Bất đẳng thức Muirhead 270 $3: BẤT ĐẲNG THỨC VORNICU-SCHUR 272 PHẦN X: MỘT SỐ BỔ ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC HOÁN VỊ. 276 PHẦN XI: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP MỚI TRONG BẤT ĐẲNG THỨC HIỆN ĐẠI 295 $1: PHƯƠNG PHÁP PHÂN LY ĐẲNG THỨC 295 $2: ỨNG DỤNG GIẢI TÍCH TRONG BẤT ĐẲNG THỨC 301 I. Một dạng toán xuất phát từ bất đẳng thức tích phân 301 A. Cơ sở lý thuyết 301 Công phá Bất đẳng thức Lovebook.vn B. Bài tập minh họa 301 II. Sử dụng dãy số để chứng minh một số bất đẳng thức ba biến đối xứng 305 $3: BẤT ĐẲNG THỨC NHIỀU BIẾN 308 I. Một số kĩ thuật đặc trưng với bất đẳng thức bốn biến 308 II. Bất đẳng thức n biến 314 PHẦN XII: BẤT ĐẲNG THỨC TRONG CÁC ĐỀ THI CHỌN HSG TRÊN CẢ NƯỚC 324 PHẦN A. ĐỀ BÀI 324 PHẦN B. LỜI GIẢI 328 PHẦN XIII: TUYỂN TẬP VÀ TỔNG HỢP CÁC BÀI TOÁN KHÓ 354 $1: BẤT ĐẲNG THỨC TRONG BÀI THI TST (2000-2014) 354 $2: BÀI TẬP TỔNG HỢP 380 $3: MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN 434 PHỤ LỤC I : SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC TRONG MỘT SỐ BÀI TOÁN VẬT LÍ 437 PHỤ LỤC II : MỘT SỐ TỪ NGỮ TIẾNG ANH HAY DÙNG LIÊN QUAN ĐẾN BẤT ĐẲNG THỨC 443 PHỤ LỤC III : TIỂU SỬ MỘT SỐ NHÀ TOÁN HỌC ĐƯỢC ĐẶT TÊN CHO CÁC BẤT ĐẲNG THỨC KINH ĐIỂN 446 TÀI LIỆU THAM KHẢO 455 LỜI KẾT 456 PHN VIII: BNG THC CHN LC $1: CHIA S KINH NGHIM T M Phn này tôi s xoay quanh mt bài toán t ng hp mt s kin thc quan trng cho các bn ! Bài toán 1: Cho  Tìm giá tr nh nht ca:                                : Khi gp bài toán này, bu tôi mun bn bit. Khi gp mt bài toán bng thc, ng có hong s, c gng vch ra nhng mà mình có th  n vông khi mà b Vi bài toán 1, tôi thy ngay mu tiên: o hàm cho tng bin, bi l các bin x, y, z không ràng buc vào nhau bi mng th, nó li quá phc tp cho vic xét du co hàm. V, hay nói cách khác, ta phi làm gì bây git phi làm gì,  các bài toán bng th: 1. , mc ni gi thit và kt lun vi nhau. 2. Th d u bng xy ra. 3. La ch: 1. Công c mnh: n bin.    Bng thc Schur. 2. Bng thc c n:  Bng thc Cauchy  Bng thc Cauchy-Schwarz  Bng thc Holder  Bng thc Jensen   3. Phi h: Tách, ghép, i bin, bng thc ph,   các bài toán, nó ch na u mà tôi nhn mnh  :  ch không phi là tt c. Ví d  c hai, d u bng, rt nhii nói rng: d c du bng có th coi i quyc 50% bài toán. : c khi d , ta ct câu hi: D u b làm gì (m); d ( sai), nhng bài toán nào nên d (ng) tr li nhng câu hi này, tôi s t s ch tiêu sau: - Mt là: Ch nên d ng bài có hình thn,  mc tiêu không b tn quá nhiu vào vic d bài toán 1 trên chc ch u vào vic tìm du bng x vy, cn nhn mnh mc tiêu mt: nên d u bng hay không? - Hai là: Theo kinh nghim tôi thy, hu ht các bài toán có du bng xy ra khi:  Hoc là mt bin ti biên. (nm  gi thit).  Hoc là hai bin bng nhau. y, ta ch còn mt bin,  tìm ra du bng d  i là tt c. - Ba là: D  du b làm gì? (mc tiêu). Thì khi b,  tng bng thc trong bài, sau khi vit, bn phi kim tra nó có xy ra du bng hay không? Ví d u bng xy ra khi mt trong ba bin x, y, z bng 0 mà bn li xut hi0 trong bng Công phá Bất đẳng thức Lovebook.vn thc thì chc chn rng bn làm kia thì li gii s vn sai. Kinh nghim này bn s thy rõ  cân bng h s.  c ba, a tôi là: t công c mn công c yu. Ti sao tôi l th?  gin là ta phnh mc tiêu ca ta: gii quyt bài toán ch không phi tìm ra li gii bài toán . Hai  nào? Ý mà tôi mun bn hiu là: + Gii quyt bài toán: là tìm ra kt qu bài toán, tìm ra cách chng minh kt lu n cht . Tc là, dù cách gii dài hay ngn logic. + Tìm ra li gii bài toán: i quyt bài toán, tc là ta phi tìm ra li gii hay, p mt, nhiu khi không theo mt suy lun logic nào c. Chc chn rng, tìm ra li gii s phc ti quyt bài toán. Trong kì thi tuyi hc, th mà chúng ta ci quyu bn nm rõ gc gác v thì ch cn suy lun thông ng  tìm ra gi. Tuy nhiên,  c ba này,  ph, ví d  cho bng thc hai bii xng thì ch t dn bin, u mà tôi mun nhc nh: ng quá quy tc, hãy càng linh hot càng tt. Vi mng công c, ta cn chn công c nào cho hp lý???? Quay li bài toán 1, b? ng i mt ln: Toán hn là công thc, mà còn là s tinh t và li Sau mt th, ta có cách bii kinh hoàng:                   , bài toán 1 tr thành: Bài toán 2: Cho  Tìm giá tr nh nht ca:                Quá quen thui (*)?  là nh vào gi thit , s xut hin nhiu ln ca tích xyz cùng vi s m, nhy cm. Bài toán 2, i gi: Li gii 1: Áp dng bng thc Cauchy-Schwarz dng phân s:                                    Áp dng bng thc ph:                                                      Dy ra khi:                                            Các b ng li gii trên i sao ta có li gii này. Vì nó quá quen thuc, xut hin quá nhiu ln? Th , tôi khnh rng: Chúng ta ni gii quyc bài toán. (xem li khái nim gii quyt ra nhé). Bn cht li gic hé m. Hãy quay lm. u tiên mà tôi thy, chc chn rng các bin a;b;c không ph thuc vào nhau, ng o hàm theo bin là không th b qua ! Li gii 2: Gi s  Ta xét:                                                                           Suy ra: ng bin trên                                               Xét hàm s f(x) trên  có:                   , c:            Bài toán có các bic lp vi nhau ta có th  d làm gim bin s. Tip tng gim bin s, ta có mt mnh: Li gii 3: t:      Xét hiu:                                                                                                                                               Xét hàm s f(x) trên  có:                       Lp bng bic:            Công phá Bất đẳng thức Lovebook.vn Li gii c hai cách khá rõ ràng. Cách ba chính là s dng dn bin:                           Khá quen thuy. Nh: Bài toán ba bin, i xng, hình thn, có th n bin. (m mt bin) ng th ng thi có rt nhiu i xng, ta có mt li gii: Li gii 4: Xét hiu:                                                                                                                                                                     Li gin và ngn gn, d i xng, c bing phân thc, có du bng ti các bin bng nhau có m s d Khi các bin  di xng, ta vn còn m: Li gii 5: t:                                                                                     Theo bng thc Schur bc ba ta có:    Li có:                            , ta có:            i xng ba bin, i bi dùng bng thc Schur. Khi hc v n, t ví d, ta th áp dng xem cho bài này c không? Tìm s  có:                     , ta có li gii 6 :                                              , n là áp dng bng thc Cauchy:                                ng thêm hai ln na rng ba bng thc lc:    Quay sang mt góc nhìn hoàn toàn khác vi s c lp, i xng ta còn thy bng thc trên là bng thc cùng bc. Vì vy ta có th gi s:     Bài toán có dng:          ta có th gi s mng thích hp không i. , bài toán 2 tr thành: Cho     Tìm giá tr nh nht ca:                Có bao nhiêu li ging bài tp này. Chc chn ri, s có ít nh: Li gii 7: Ta chng minh:                    Tht vy ta có:                           Áp dng (*) ta có:                                                                 Công phá Bất đẳng thức Lovebook.vn Bài toán có g(a) + g(b) + g(c)=0, và cn chng minh: f(a) + f(b) + f(c) ta có th :          Li gii 8:                                              , theo bng thc Jensen ta có:                            Bài toán có tng hoc tích a;b;c và có f(a) + f(b) + f(c), ta có th i bng thc Jensen. Bài toán 1 quy v bài toán 2. Bài toán 2 li có nhng 7, 8 li gii vi nhng khác nhau hoàn toàn. Mng là s t mt công c,  cn qquan sát tinh t, suy lun theo li mòn, ri s dn tóng khung trên là mc c ý,  chính là ôn li mt s dc h, tip ti là 123 bài toán khin bn có cái nhìn khác v bng thc. Còn na. [...]... bởi sự xuất hiện của đại lượng (1  z  z 2 ) , và (1  x  x 2 )(1  y  y 2 ) là tham số Nếu ta đánh giá được (1  x  x 2 )(1  y  y 2 ) về một biểu Công phá Bất đẳng thức Lovebook.vn thức phụ thuộc vào xy thì khả năng thành công khi dùng phương pháp tam thức bậc hai sẽ cao hơn, bởi khi đó cả vế trái và vế phải đều là biểu thức bậc hai theo biến z và tham số xy Ta hãy thử xem sao? Một lẽ tự nhiên... xảy ra khi và chỉ khi a  b  c  1 Công phá Bất đẳng thức Lovebook.vn Sử dụng Bất đẳng thức giải một số bài toán Vật lí Bài 1 Một điện trở R  9  được cắt thành 9 điện trở nhỏ Với R1  R3  R9 , R2  R4  R5 , R6  R7  R8 được lắp vào mạch như hình vẽ Biết hiệu điện thế đặt vào hai đầu đoạn mạch là U  6V không đổi Xác định giá trị các điện trở được cắt ra để công suất tiêu thụ trên toàn mạch là... giản nhưng thực hiện thì không hề dễ Một bài toán luôn có nhiều phương pháp giải, nhưng bạn đã tự đặt câu hỏi tại sao người ta hình thành ra những phương pháp đó chưa? Thì với bất đẳng thức hai biến, đại đa số là được hình thành từ cách giải hệ phương trình hai ẩn số? Vì sao vậy? Chúng ta cùng tìm hiểu chúng xem sao nhé $1: PHƯƠNG PHÁP THẾ VỀ MỘT BIẾN Tư tưởng chung: Từ điều kiện bài toán rút một biến... đọc hãy thử sức giải bài toán này theo cách khác), nhưng phương pháp tam thức bậc hai đã thể hiện được hiệu quả của nó Lần đầu tiên tôi gặp bài này, tôi đã giải nó cũng bằng phương pháp tam thức bậc hai nhưng lời giải dài dòng và phức tạp hơn Tôi xin trình bày lại lời giải đó cho mọi người tham khảo, và thấy được tính đặc sắc của phương pháp này Sau khi khai triển, rút gọn thì bất đẳng thức cần chứng... 0 và có biệt thức  là   (c  d  2b)2  2[(b  c  d )2  3(b2  c2  d 2 )]  (c  b)2  (d  b)2  2(c  b)(d  b)  2(c  d )2  3(c  d )2  0 Vậy nên f (a)  0, a, b, c , d  R Còn nữa… Công phá Bất đẳng thức Lovebook.vn PHẦN III: BẤT ĐẲNG THỨC HAI BIẾN SỐ Bất đẳng thức hai hay nhiều biến số gần đây xuất hiện thường xuyên trong đề thi đại học Và về bất đẳng thức hai biến sẽ là rất đơn giản...3 Sử dụng phương pháp tam thức bậc 2 chứng minh các bất đẳng thức Ngoài khả năng tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của một biểu thức, phương pháp tam thức bậc hai còn dùng để chứng minh một số bất đẳng thức Chúng ta cần nhớ lại rằng Với tam thức bậc hai f ( x )  ax 2  bx  c với... − 2√3x − 2 + 4 1 2 2 5 5 Với − 6 ≤ x ≤ thì 3 ≤ < ≤ 2 3 3 ( √3x − 2) − 2 √3x − 2 + 4 7 12 √6 − 5x + 4 GTLN của P = Do đó f ′ (x) = 0 ⟺ x = −2 Lập bảng biến thiên cho f(x) trên − 6 ≤ x ≤ 1 ta được: 3 Công phá Bất đẳng thức Lovebook.vn 1 26√39 f(x) ≥ f ( ) = 19 + { 3 9 3 f(x) ≤ f(−6) = 752 + 60 √20 Vậy ta có kết luận: 26√39 1 khi x = , y = −2 9 3 −21 3 GTLN của P = 752 + 60√20 khi x = −6, y = 20 Nhận... Suy ra: f ′ (x) = 0 ⟺ x = 1 Lại có: x ≥ y ⟺ x ≥ 1 ≥ y ⟺ ln x ≥ 0 ≥ ln y ⟹ x y ln x ≥ y x ln y x ≤ y ⟺ x ≤ 1 ≤ y ⟺ ln x ≤ 0 ≤ ln y ⟹ x y ln x ≤ y x ln y Như vậy: y x ln y − x y ln x ≤ 0 ⟺ x ≥ y (∗∗) Công phá Bất đẳng thức Do đó, kết hợp (∗); (∗∗) ta có: Lovebook.vn x ≥ 1 ⟺ x ≥ y ⟺ f ′ (x) ≤ 0 Do đó: f ′ (x) = 0 ⟺ x = y = 1 Từ đó, lập bảng biến thiên, ta thu được: P = f(x) ≤ f(1) = 2 Còn nữa… PHẦN X:...  0 hoặc các hoán vị a 1  b3  b 1  c3  c 1  a3  Ví dụ 2 (Trần Quốc Anh): Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn a  b  c  3 Chứng minh rằng a b c 1  3  3  b  16 c  16 a  16 6 3 Công phá Bất đẳng thức Lovebook.vn Lời giải Nhìn hình thức vế trái ta nghĩ ngay đến kĩ thuật AM-GM ngược dấu Ta có  a 1 16a 1 a(b3  16)  ab3 1  ab3  3   a 3 3 3  3 3 16  b  16 16 b  16 16... thức bậc hai theo a hoặc b Ta viết lại bất đẳng thức này như sau: f (a)  (b2  2)a 2  3(b  1)a  2b2  3b  4  0 Ta có f (a ) là một tam thức bậc hai với hệ số của a 2 luôn dương và có biệt thức Công phá Bất đẳng thức Lovebook.vn  a  9(b  1)  4(b  2)(2b  3b  4) 2 2 2  (b  1)2 (8b2  4b  23)  0 Do đó, theo định lí về dấu của tam thức bậc hai, ta có f (a )  0 Bài toán được chứng minh . NGUYỄN VĂN HƯỞNG – TĂNG HẢI TUÂN CÔNG PHÁ BẤT ĐẲNG THỨC NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI Công phá Bất đẳng thức Lovebook.vn MỤC LỤC PHẦN I: HAI. được     22 (1 )(1 )x x y y về một biểu Công phá Bất đẳng thức Lovebook.vn thức phụ thuộc vào xy thì khả năng thành công khi dùng phương pháp tam thức bậc hai sẽ cao hơn, bởi khi đó cả. XI: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP MỚI TRONG BẤT ĐẲNG THỨC HIỆN ĐẠI 295 $1: PHƯƠNG PHÁP PHÂN LY ĐẲNG THỨC 295 $2: ỨNG DỤNG GIẢI TÍCH TRONG BẤT ĐẲNG THỨC 301 I. Một dạng toán xuất phát từ bất đẳng thức