Tãng Mạng Bất Đẳng Thức

T T T ã ã ã n n n g g g M M M ạ ạ ạ n n n g g g B B B ấ ấ ấ t t t Đ Đ Đ ẳ ẳ ẳ n n n g g g T T T h h h ứ ứ ứ c c c  Bài Toán Mỡ Đầu : Cho 3 số thực a, b, c, Chứng minh rằng 2 2 2 a b c ab bc ca       Chứng Minh: Ta có        2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 a b c ab bc ca a b b c c a               (hiễn nhiên luôn đúng) Dấu “=” xãy ra nếu và chỉ nếu 0 0 0 a b b c a b c c a               . Nhận Xét: Hầu hết chúng ta đều hài lòng với lời giải trên, nó thật sự rất thông minh và có lẽ là chẳng cần phải tìm đến với một lời giải khác. Tôi Không nghĩ vậy G.Polya _ nhà toán học và nhà sư phạm Mỹ có nói “Ngay khi lời giải ta tìm được là đã tốt rồi thì việc tìm một lời giải khác vẫn có lợi. Sung sướng thay khi thấy rằng kết quả bạn tìm được khẳng định bỡi hai dòng suy luận khác nhau. Điều đó giống như bạn muốn cảm nhận thứ gì đó bằng nhiều giác quan. Đã có một chứng cớ rồi lại tìm thêm một chứng cớ khác nựa giống như ta muốn sờ vào thứ gì đó khi đã thấy nó rồi.”. Ta hãy tìm đến với vài lời giải khác như sau: Cách 2: Theo BĐT AM-GM Ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b ab b c bc c a ca            2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c ab bc ca        2 2 2 a b c ab bc ca      Dấu “=” xãy ra nếu và chỉ nếu a b c   . Cách 3: Áp dụng BĐT Cauchy_Schwarz cho 2 bộ 3 số Bộ 1: ( a; b; c ) Bộ 2: ( b; c; a ) Ta có       2 2 2 2 2 2 2 a b c b c a ab bc ca            2 2 2 2 2 a b c ab bc ca       2 2 2 a b c ab bc ca       Mà với mọi x   thì ta có x x  suy ra ab bc ca ab bc ca      Vậy 2 2 2 a b c ab bc ca      (đ.p.c.m) Dấu “=” xãy ra nếu và chỉ nếu a b c   . Đọc đến đây có lẽ bạn bảo tôi đã quan trọng hóa vấn đề. Liệu bất đẳng thức “trẻ con” ấy có đáng cho ta phải suy nghĩ nhiều đến như vậy không??? Thật ra thì nó rất xứng đáng, nhưng trước hết ta xét các hệ quả sau: Cho a, b,c là các số thực. Chứng minh rằng:      2 3 a b c ab bc ca            2 2 2 2 3 a b c a b c       Chứng Minh:  Ta có 2 2 2 a b c ab bc ca      2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c ab bc ca ab bc ca ab bc ca                  2 3 a b c ab bc ca      (đ.p.c.m). Dấu “=” xãy ra nếu và chỉ nếu a b c   .  Ta có: 2 2 2 a b c ab bc ca      2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c ab bc ca       2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c a b c ab bc ca a b c                 2 2 2 2 3 a b c a b c       .(đ.p.c.m) Dấu “=” xãy ra nếu và chỉ nếu a b c   . Giờ thì bạn xem ta sẽ làm được gì với chúng nhé  Bài Tập Vận Dụng : Bài 1: Cho các số thực x, y, z > 0 thỏa mãn x + y + z = 1. Chứng Minh Rằng: 4 1 4 1 4 1 21. x y z      Giải: Đặt 4 1; 4 1; 4 1 a x b y c z       Theo bất đẳng thức  với ta có:     2 2 2 4 1 4 1 4 1 3 3 4 1 4 1 4 1 21 x y z a b c a b c x y z                  . (đ.p.c.m). Dấu “=” xãy ra nếu và chỉ nếu a b c   1 3 x y z     Bài 2: (Vô địch toán Canada 2002) Cho a, b, c là ba số thực dương chứng minh rằng: 3 3 3 a b c a b c bc ca ab      (1) Giải: Nhân cả 2 vế của (1) cho abc ta có: (1) 4 4 4 ( ) a b c abc a b c       Mà ta lại có:       2 2 2 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) a b c a b c a b b c c a ab bc ca ab c abc a bc abc a b c                  Vậy ta có điều phải chứng minh. Dấu “=” xảy ra nếu và chỉ nếu a = b = c. Bài 3: Gọi p là nửa chu vi của tam ABC có các cạnh có độ dài là a, b, c. Chứng minh rằng: 3 . p a p b p c p       Giải: Áp dụng bất đẳng thức  ta có:   3 3 p a p b p c p a p b p c p             (đ.p.c.m) Đẳng thức xãy ra nếu và chỉ nếu a = b = c hay tam giác ABC là tam giác đều. HẾT Cảm ơn bạn đã đọc, chúc bạn thành công Mai Sĩ Kỳ Tiền Giang 16/12/2013. . 3 . p a p b p c p       Giải: Áp dụng bất đẳng thức  ta có:   3 3 p a p b p c p a p b p c p             (đ.p.c.m) Đẳng thức xãy ra nếu và chỉ nếu a = b = c hay tam giác. Rằng: 4 1 4 1 4 1 21. x y z      Giải: Đặt 4 1; 4 1; 4 1 a x b y c z       Theo bất đẳng thức  với ta có:     2 2 2 4 1 4 1 4 1 3 3 4 1 4 1 4 1 21 x y z a b c a b c x y z . ra nếu và chỉ nếu a b c   . Đọc đến đây có lẽ bạn bảo tôi đã quan trọng hóa vấn đề. Liệu bất đẳng thức “trẻ con” ấy có đáng cho ta phải suy nghĩ nhiều đến như vậy không??? Thật ra thì nó rất