Vẽ một đờng tròn tâm E tiếp xúc với đờng tròn tâm O tại M và tiếp xúc với đoạn AB tại N.. Chứng minh: CD song song với AB.. Chứng minh: MN là phân giác góc AMB và MN luôn đi qua một điểm
Trang 1Ubnd huyện đông hng đề khảo sát chọn nguồn HSG Môn Toán lớp 9
Phòng giáo dục năm học 2005-2006
(Thời gian làm bài: 90 phút)
đề bài Câu 1( 4điểm) : Tính giá trị của biểu thức:
A=
+
−
−
+
+
− +
+
a 1
a 1 a
-1
a 1 : a 1
a 1 a
-1
a 1
với a =
6
1 12
5 3
1 2 3
1 3
1
− +
+
Câu 2 (4điểm) Cho x , y , z là 3 số dơng thoả mãn: x + y + z = 1
Chứng minh: 3 2 22 2 >14
+ +
+ + + yz zx x y z xy
Câu 3 (4điểm) Cho phơng trình:
x2 – 2(m-2)x + m2 + 2m – 3 = 0 (m là tham số) (1)
a Giải phơng trình khi m =
6
2
b Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm, từ đó suy ra điều kiện có nghiệm của phơng trình:
0 4
11
2 2
2 2
4
2
2 2
=
−
−
− + + +
−
m m
y y
m y
Câu 4( 4điểm) Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB = 2R và một điểm M di động
trên nửa đờng tròn đó Vẽ một đờng tròn tâm E tiếp xúc với đờng tròn tâm O tại M và tiếp xúc với đoạn AB tại N Đờng tròn (E) cắt MA, MB lần lợt tại các điểm thứ hai là C ,
D
a Chứng minh: CD song song với AB
b Chứng minh: MN là phân giác góc AMB và MN luôn đi qua một điểm cố
định khi M chạy trên nửa đờng tròn (O)
Câu 5 (4điểm) : Cho tam giác ABC đều, một đờng tròn tâm O cắt cạnh BC ở E và D (D nằm giữa B và E), cắt cạnh AB ở H và J (H nằm giữa A và J), cắt cạnh AC ở G và
F (G nằm giữa A và F)
a) So sánh AH.AJ và AG.AF
b) Cho AG = 2 cm , GF = 13 cm , FC = 1 cm , HJ = 7 cm Tính DE?
Trang 2đáp án,biểu điểm.
Câu 1: (4 điểm)
A=
+
−
−
+
+
− +
+
a 1
a 1 a
-1
a 1 : a 1
a 1 a
-1
a
1
6
1 12
5 3
1 2 3
1 3
- Điều kiện xác định giá trị biểu thức A là:
≠
<
0
1
a
a
(0,5 điểm)
1 2 1 2 1 :
−
+
=
− +
=
=
−
+
x
x x
x
x
1 x A có x a 1
a
a
1 1 a 1
a 1
1 a -1
a 1 A : có a -1
a 1 x
−
− +
+
+
=
+
= (0,5 điểm)
6
1 12
5 3
1 2 3
1 3
1
− +
12
6 2 5 3
1 2 3
1 3
1 + + − (0,5 điểm)
( )2
12
3 3 2
3
2
diem
thỏa mãn ĐK (0,5 Điểm) 2
thay a vào A có : A
Câu2.(4điểm)
CM i phả
diều
VP 14
2.3 8 12
2
8
) 2 z 2 y 2 x
zx yz xy )(4.
zx yz xy
2 z 2 y 2 x (3.
2
8
VT
: có 2 z 2 y 2 x
zx yz xy 4.
và zx yz
xy
2 z 2
y
2
x
3.
ng dư
số cho Côsi T BĐ
dụng
áp n nê dưong
z
y,
x,
do
) 2 z 2 y 2 x
zx yz xy 4.
zx yz xy
2 z 2 y 2
x
(3.
8
2 z 2 y 2 x
zx yz xy 4.
2 6 zx yz
xy
2 z 2
y
2
x
3.
2 z 2 y 2 x
zx) yz 2(xy 2
z 2 y 2 x 2.
zx yz xy
zx) yz 2(xy 2
z 2
y
2
x
3.
2 z 2 y 2 x
2 z) y (x 2.
zx yz
xy
2 z) y
(x
3.
2 z 2 y 2 x
2 zx
yz
xy
3
VT
=
= +
>
+
=
+ +
+
+ +
+ +
+ +
≥
+ +
+
+ +
+ +
+
+ +
+ + +
+ + +
+
+
=
+ +
+ + +
+ + + + +
+
=
+ +
+ + +
+ + +
+ ++ + +
+ +
=
= + + +
+
+ + +
+
+ +
+
=
+ +
+ + +
=
o
z y x
vi 1 ) (
Trang 3Câu 3: (4điểm)
a) (2điểm ) Thay m =
6
2
vào phơng trình (1) có:
x2 – 2(
6
2
-2)x +
3
2
+
6
4
– 3 = 0 <=>3 2 x 2 − 2(2 3 − 6 2 )x + 2 2 + 4 3 − 9 2 = 0
Có: ∆/ =7-2 6 = ( 6 − 1 ) 2>0 phơng trình có 2 nghiệm phân biệt:
4
11 2 2
2 2
4
2
2 2
=
−
−
− + + +
−
m m y y
m y
−
=
−
−
=
6
6 3 8 x
6
6 4 x
2 1
b) (2điểm)
Phơng trình:
x2 – 2(m-2)x + m2 + 2m – 3 = 0 (m là tham số) (1)
là phơng trình bậc 2 có: ∆/ = (m-2)2- (m2+2m-3) = - 6m+7
Phơng trình có nghiệm <=> ∆/ ≥0 <=> -6m+7 ≥0 <=> m
6
7
≤ .
4
11 2 2
2 2
4
2
2 2
=
−
−
− + + +
−
m m y y
m
(điều kiện xác định: y≠2và y≠−2) Phơng trình (2) <=> y2-2(m-2)y+m2+2m-3= 0 (*)
Phơng trình (2) có nghiệm khi và chỉ khi phơng trình (*) có nghiệm thoả mãn điều kiện y ≠ 2 và y ≠ − 2
Phơng trình (*) là phơng trình bậc 2 có cùng hệ số a,b,c với phơng trình (1) nên
ph-ơng trình (*)có nghiệm khi m
6
7
≤ (3) Nghiệm y của (*) thoả mãn ĐK
2 y
và
2
y ≠ ≠ − <=>
≠
− +
−
−
−
−
≠
− + +
−
−
0 3 2m 2) 2).(
2(m 2)
(
0 3 2m m
2).2 2(m 2
2
2 2
<=>
≠
− +
≠ +
−
0 7 6m m
0 9 2m m
2
2
<=>
−
≠
≠
7
m
1
m
(4)
Kết hợp (3) và (4) ta có : phơng trình (2) có nghiệm <=>
≤
−
≠
≠
6
7 m
7 m
1 m
Câu 4: (4điểm)
a)(2điểm )Chứng minh: CD song song với AB
Do (O) và (E) tiếp xúc nên E,O,M thẳng hàng
Mà các tam giác MED và MOB cân ở E và O
góc MDE= góc MBO
(cùng bằng góc OMD)
Ta thấy góc MDE và góc MBO là 2 góc đồng vị
của 2 đờng thẳng CD và AB với MB là cát tuyến
nên CD song song với AB K
A
M
D
Trang 4
b) (2điểm)
Chứng minh MN là phân giác của góc AMB (1đ)
Do AB tiếp xúc với (E) tại N nên EN vuông góc với AB
=>C Eˆ N = N Eˆ D=900 => cung CN bằng cung ND => C MˆN =N MˆB=> MN là phân giác góc AMB
*) Chứng minh khi M di động trên nửa đờng tròn (O) thì MN luôn đi qua 1 điểm cố
định (1đ)
Gọi MN cắt đờng tròn (O) tại điểm thứ 2 là K (khác M)
Có 2 góc AMN và BMN bằng nhau (chứng minh trên) mà chúng là góc nội tiếp của
đờng tròn (O) nên các cung AK và BK bằng nhau => K là điểm chính giữa của cung AKB cố định của đờng tròn (O) cố định nên K là điểm cố định
Vậy khi M di động trên nửa đờng tròn (O) thì MN luôn đi qua điểm cố định là điểm chính giữa cung AB còn lại của (O)
Câu 5 (4 điểm)
∆ABC : AB = BC = CA ; (0) nh hình vẽ
a(2 điểm )
So sánh: AH.AJ và AG.AF
Xét ∆AGH và ∆AJF có tứ giác GHJF nội tiếp
=> H GˆF+H JˆF = 180 0 màH GˆF+H GˆA= 180 0 (kề bù)
nên H GˆA=A JˆF (1đ)
Lại có góc A chung
nên ∆ AGH và ∆AJF đồng dạng (g,g)(0,5 đ)
=>
AF
AH AJ
AG= => AG.AF = AH.AJ (0,5 đ)
b) Tính DE = ? (2điểm)
Gọi DE = x cm, BD = a cm, CE = b cm ta có: x+a+b = 16 (1) (0,5đ) Theo câu a có:
AG.AF = AH.AJ => AH(AH+HJ) = 30 AH2+7AH-30 = 0
<=> AH = 3(cm) => BJ = 6 cm
Tơng tự câu a có : CE.CD = CF.CG => b(b+x) =14 <=> b2+bx = 14 (2) (0,5đ)
và: a2 + ax = 78 (3) Từ (1), (2), (3) ta có hệ PT:
= +
= +
= + +
) 3 ( 78
) 2 ( 14
) 1 ( 16
2
2
ax a
bx b
b a x
(0,5đ)
trừ vế PT (2) và (3) đợc PT (b-a)(a+b+x) = -64 (4)
Thay (1) vào (4) đợc b-a=-4 =>b=a-4,
thay b = a - 4 vào (1) có a = 10 - 0,5x,
thay a = 10 - 0,5x vào (3) có: (10 - 0,5x)2 + (10 - 0,5x)x = 78
<=> x2 = 88 <=> x = 2 22cm (0,5đ)
A
B C
D E
H
J G
F