Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm Bài viết tháng 2 – Năm 2012 Tổ : Toán – Tin Chủ đề: Quan hệ vuông góc trong không gian QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN Bài viết tháng 02 năm 2012 Thầy giáo: Hồ Thanh Tùng Các bài toán về quan hệ vuông góc luôn là một chủ đề quen thuộc và không thể thiếu trong mọi bài toán hình học không gian có mặt trong các kì thi nói chung và thi Đại học, Cao đẳng nói riêng. Các nội dung chính trong các bài thi tuyển sinh thuộc dạng toán này thường được đề cập đến là: 1/ Chứng minh tính vuông góc: +/ Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. +/ Hai đường thẳng vuông góc với nhau. +/ Hai mặt phẳng vuông góc với nhau…. 2/ Các bài toán tìm khoảng cách: +/ Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. +/ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau . . . 3/ Các bài toán xác định góc: +/ Góc giữa hai đường thẳng chéo nhau. +/ Góc giữa hai mặt phẳng. +/ Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng…. Trong bài viết này, chỉ đề cập đến 2 nội dung: Tính vuông góc và Khoảng cách và những vấn đề liên quan trực tiếp đến nó. VẤN ĐỀ 1: CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH TÍNH VUÔNG GÓC 1. Kiến thức cơ bản cần biết: a. Tiêu chuẩn vuông góc: + Đường thẳng (d) vuông góc mặt phẳng (P) khi (d) vuông góc với hai đường thẳng giao nhau của (P). + Hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau khi góc tạo bởi hai mặt phẳng đó bằng 90 0 . b. Các định lý về tính vuông góc: d' d P a Q P R Q P + Định lý ba đường vuông góc: Giả sử ( ) d P ⊂ và d không vuông góc (P), ( ) P ∆ ⊂ , d’ là hình chiếu của d lên (P). Khi đó ∆ ⊥ d 'd ⇔ ∆ ⊥ + Giả sử (P) và (Q) là hai mặt phẳng vuông góc với nhau, ( ) ( )P Q ∩ = ∆ . Nếu ( ),a P a ⊂ ⊥ ∆ thì ( )a Q ⊥ + Nếu ( ) P ∆ ⊥ thì Δ sẽ vuông góc với mọi đường thẳng chứa trong mp(P). + Giả sử (P) và (Q) cùng vuông góc với (R) trong đó ( ) ( )P Q ∩ = ∆ thì ( ) R ∆ ⊥ + Nếu ( )a Q ⊥ và ( ) P a ⊃ thì ( ) ( ) P Q ⊥ Trang 1 b a d P Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm Bài viết tháng 2 – Năm 2012 Tổ : Toán – Tin Chủ đề: Quan hệ vuông góc trong không gian 2. Các dạng toán thường gặp: Loại 1: Chứng minh đường thẳng vuông góc với đường thẳng: Đây là một trong những dạng toán hay gặp nhất trong chuyên mục các bài toán về “quan hệ vuông góc”( và có tần suất khá cao trong các bài toán gặp phải phần hình học không gian trong các đề thi tuyển sinh vào các trường Đại học, Cao đẳng các năm gần đây). Để giải dạng toán này phương pháp chính được sử dụng là: - Để chứng minh đường thẳng d vuông góc với đường thẳng ∆ ta thường chứng minh d vuông góc với mặt phẳng (Q) chứa ∆ - Dĩ nhiên để làm được điều này ta phải biết được: + Nếu ( )a P ⊥ thì a vuông góc với mọi đường trong (P) + Để ( )a P ⊥ chỉ cần a vuông góc với hai đường thẳng giao nhau trong (P). Ví dụ 1: (ĐH Khối B năm 2002) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’.Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BB’, CD, A’D’. Chứng minh: 'MP C N ⊥ . Giải: Gọi E là trung điểm CC’. Ta có: ME// A’D’, ( ' ')MP MED A ⊂ (1) Hai tam giác vuông C’CN và D’C’E bằng nhau · · · · 0 ' ' ' ' ' 90 ' 'CNC C ED CC N C NC C N ED⇒ = = + = ⇒ ⊥ (2) Do ME // BC ( ' ') 'ME CDD C ME C N ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ (3) Từ (2) và (3) ' ( ' ') 'C N MED A C N MP ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ Ví dụ 2: (ĐH Khối A năm 2007) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Mặt bên SAD là tam giác đều và ở trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SB, BC, CD. Chứng minh AM ⊥ BP. Giải : Gọi H là trung điểm AD, do tam giác SAD đều nên SH ⊥ AD Vì (SAD) ⊥ (ABCD), suy ra SH ⊥ (ABCD) suy ra SH ⊥ BP (1) Dễ thấy hai tam giác vuông BPC và CHD bằng nhau, nên ta có · · · · 0 90CBP DCH CBP HCB BP CH= ⇒ + = ⇒ ⊥ (2) Từ (1) và (2) suy ra: ( ) BP SHC ⊥ (3) Do HC // AN, MN // SC ( ) ( ) / /SHC MAN ⇒ (4) Từ (3) và (4) suy ra: ( ) BP MAN AM BP ⊥ ⇒ ⊥ (đpcm) Ví dụ 3: (ĐH khối B năm 2007) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy bằng a. Gọi E là điểm đối xứng của điểm D qua trung điểm của SA. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AE, BC. Chứng minh MN BD ⊥ Giải Ta có SEAD là hình bình hành / /SE DA ⇒ và SE = DA ⇒ SEBC cũng là hình bình hành / /SC EB ⇒ Gọi P là trung điểm của AB. Khi đó trong các tam giác EAB và ABC ta có MP // EB, PN // AC. Từ đó suy ra (MNP) // (SAC) (1) Trang 2 H M N P A C B D S N P N M E H D C B A S Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm Bài viết tháng 2 – Năm 2012 Tổ : Toán – Tin Chủ đề: Quan hệ vuông góc trong không gian Ta có DB AC ⊥ và ( ) SH (ABCD)BD SH do ⊥ ⊥ ( ) BD SAC ⇒ ⊥ (2) Từ (1) và (2) suy ra: ( ) DB MNP BD MN ⊥ ⇒ ⊥ (đpcm) Loại 2: Các bài toán về tính vuông góc của hai mặt phẳng: Mặc dù các bài toán này trong các đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng những năm 2002- 2011 là ít hơn nhiều so với các bài toán có trong loại 1 nhưng nó vẫn là một bài toán cơ bản và không được xem nhẹ. Phương pháp chính để giải các bài toán này là dựa vào định lý quan trọng sau đây: Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến d.Khi đó một đường thẳng nằm trong một mặt phẳng mà vuông góc với d thì vuông góc với mặt phẳng còn lại. Ngoài ra người ta cũng dựa vào định nghĩa của hai mặt phẳng vuông góc để chứng minh tính vuông góc của hai mặt phẳng. Ví dụ 4: (ĐH Khối B năm 2006) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a , SA = a và ( )SA ABCD ⊥ . Gọi M là trung điểm của AD. Chứng minh ( ) ( )SAC SMB ⊥ . Giải: Giả sử I là giao điểm của AC và MB Ta có MA = MD và AD // BC nên theo định lý Talet suy ra 1 2 AI IC= 2 2 2 2 2 2 2 1 3 , 9 3 a AC AD DC a AI AC= + = = = 2 2 2 2 2 1 1 2 9 9 2 6 a a MI MB a = = + = ÷ ÷ Từ đó suy ra 2 2 2 2 2 2 2 3 6 2 a a a AI MI MA + = + = = ÷ ÷ Vậy AMI là tam giác vuông tại I MB AC ⇒ ⊥ (1) Mặt khác ( )SA ABCD SA MB ⊥ ⇒ ⊥ (2) Từ (1),(2) suy ra ( ) ( ) ( )MB SAC SMB SAC ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ đpcm Ví dụ 5: (ĐH khối A năm 2003) Cho hình hộp chữ nhật ABCD,A’B’C’D’ đáy là hình vuông ABCD cạnh a, AA’ = b. Gọi M là trung điểm của CC’. Xác định tỷ số a b để hai mặt phẳng (A’BD) và (MBD) vuông góc với nhau. Giải : Ta có A’B = A’D 'A O BD ⇒ ⊥ ( O là tâm cua hình vuông ABCD ) Lại có MB MD MO BD = ⇒ ⊥ Từ đó · 'A OM là góc giữa hai mặt phẳng (A’BD) và (MBD) Vì vậy · 0 ( ' ) ( ) ' 90A BD MBD A OM ⊥ ⇔ = 2 2 2 ' 'A O OM A M ⇔ + = (1) Trang 3 a 2 a I M D C B A S O M a b D' C' B' A' D C B A Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm Bài viết tháng 2 – Năm 2012 Tổ : Toán – Tin Chủ đề: Quan hệ vuông góc trong không gian Ta có 2 2 2 ' 'A O A B BO = − 2 2 2 2 2 2 2 2 a a a b b = + − = + ÷ ÷ (2) 2 2 2 2 2 4 2 b a OM MC CO= + = + (3) 2 2 2 2 2 ' ' ' ' 2 4 b A M A C C M a= + = + (4) Từ (1), (2), (3) và (4) suy ra 2 2 2 2 5 2 (do a , b >0) 4 4 b b a a b a+ = + ⇔ = Vậy với 1 a b = thì ( ' ) ( )A BD MBD ⊥ Ví dụ 6: (ĐH Hải Phòng năm 2006) Cho hình chóp tam giác S.ABC đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC). Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh hai mặt phẳng (SAI) và (SBC) vuông góc với nhau. Giải: Do AB = AC AI BC ⇒ ⊥ (1) Vì AB = AC SB = SC SI BC ⇒ ⇒ ⊥ (2) Từ (1) và (2) suy ra BC (SAI) (SBC) (SAI) dpcm ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ 3. Các bài tập rèn luyện. Bài 1: (ĐH Khối D năm 2007) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, trong đó · · 0 90 ,ABC BAD = = , 2BA BC a AD a= = = . Giả sử 2, ( )SA a SA ABCD = ⊥ . Chứng minh SC SD ⊥ . Bài 2: (Cao đẳng khối A năm 2008) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang , với · · 0 90 , ( )ABC BAD SA ABCD = = ⊥ , BA = BC = a, AD = 2a. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SA, SD. Chứng minh BCNM là hình chữ nhật. Bài 3: (Cao đẳng khối A, B, D năm 2009) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD , cạnh đáy bằng a.Cạnh bên bằng 2a . Gọi M, N , P lần lượt là trung điểm của SA, SD, DC .Chứng minh rằng MN SP ⊥ . Bài 4: Cho hình chóp S.ABC trong đó đáy ABC là tam giác vuông tại C, hai mặt bên (SAC) và (SAB) cùng vuông góc với đáy. Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của A trên SC và SB. Chứng minh (SAB) (ADE) ⊥ . Bài 5: Trong mặt phẳng (P) cho hình vuông ABCD cạnh a. Đoạn SA cố định vuông góc với (P) tại A, M và N là hai điểm tương ứng di động trên các cạnh BC và CD. Đặt BM = u, DN = v. Chứng minh rằng 2 2 a(u + v) = a u+ là điều kiện cần và đủ để (SAM) ⊥ (SMN). Bài 6: Trong mặt phẳng (P) cho hình vuông ABCD cạnh a. Hai nửa đường thăng Bx và Dy vuông góc với (P) và ở về cùng một phía đối với (P), M và N là hai điểm di động tương ứng trên Bx, Dy. Đặt BM = u, DN = v. a/ Tìm mối liên hệ giữa u , v để (MAC) (NAC) ⊥ b/ Giả sử ta có điều kiện ở câu 1, chứng minh (AMN) (CMN) ⊥ . Đáp số: a/ (MAC) (NAC) 2uv = a ⊥ ⇔ VẤN ĐỀ 2: CÁC BÀI TOÁN TÌM KHOẢNG CÁCH Trang 4 I C B A S Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm Bài viết tháng 2 – Năm 2012 Tổ : Toán – Tin Chủ đề: Quan hệ vuông góc trong không gian Hai bài toán quan trọng nhất của mục này, cũng là hai dạng toán thường xuyên có mặt trong các kì thi tuyển sinh vào Đại học, Cao đẳng trong những năm gần đây: 1/ Tìm khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng ( hoặc đến một đường thẳng ) 2/ Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau và bài toán về đường thẳng vuông góc chung. 1. Các dạng toán thường gặp. Loại 1: Tìm khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (hoặc đến một đường thẳng) Trong mục này chúng ta trình bày phương pháp trực tiếp để tính khoảng cách này, mà không dựa vào phương pháp sử dụng thể tích khối đa diện. Phương pháp được tiến hành theo lược đồ chung như sau: - Xác định chân đường vuông góc trên mặt phẳng (hoặc trên đường thẳng) mà cần tính khoảng cách từ một điểm cho trước đến nó. Bước này quan trọng ở chỗ : Nhờ có việc xác định này mà cho phép ta có đủ dữ liệu để chuyển sang bước tiếp theo. - Sử dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông (Bao hàm cả định lý Pitago), hoặc lượng giác để tính các khoảng cách cần tìm. Các bài toán này có khá nhiều trưòng hợp dựa vào bài toán cơ bản sau đây. Ví dụ 1: Bài toán cơ bản Cho tứ diện OABC trong đó OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Kẻ OH (ABC) ⊥ . a/ Chứng minh H là trực tâm tam giác ABC b/ Chứng minh hệ thức 2 2 2 2 1 1 1 1 OH OA OB OC = + + Giải: a/ Kẻ OH (ABC), AH BC = M ⊥ ∩ Ta có OH BC , BC OA ⊥ ⊥ OA OB do OA (OBC) OA OC ⊥ ⇒ ⊥ ÷ ⊥ BC (AOH) BC AH ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ Lập luận tương tự BH AC ⊥ Vậy H là trực tâm của tam giác ABC. b/ Theo định lý ba đường vuông góc, suy ra MO BC ⊥ Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông AOM ta có 2 2 2 1 1 1 OH OA OM = + (1) Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông OBC ta có 2 2 2 1 1 1 OM OB OC = + (2) Từ (1) và (2) suy ra 2 2 2 2 1 1 1 1 OH OA OB OC = + + ⇒ đpcm Nhận xét : Đây là một trong các kết quả cơ bản nhất, nhưng có một ứng dụng rất to lớn trong các bài toán về “quan hệ vuông góc” của hình học không gian. Các ví dụ 2 , 3 dưới đây sẽ minh hoạ cho điều đó. Ví dụ 2: (ĐH khối D năm 2002) Trang 5 H M C B O A Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm Bài viết tháng 2 – Năm 2012 Tổ : Toán – Tin Chủ đề: Quan hệ vuông góc trong không gian Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC), ngoài ra AD = AC = 4cm; AB = 3cm; BC = 5cm. Tìm khoảng cách từ A đến (BCD). Giải : Vì AD = AC = 4cm; AB = 3cm; BC = 5cm , suy ra ABC là tam giác vuông tại A.Vậy AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau. Theo ví dụ 1 ta có : 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 9 16 16AH AB AC AD = + + = + + 6 34 17 AH ⇒ = Ví dụ 3: (ĐH khối D năm 2008) Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông có BA = BC = a, cạnh bên AA’ = 2a . Gọi M là trung điểm của BC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B’C. Giải: Gọi E là trung điểm BB’ Ta có EM // B’C suy ra B’C / / (AEM) Suy ra d(B’C,AM) = d(B’C,(AEM)) = d(C,(AEM)) = d(B, (AEM)) (vì MB = MC) Do tam giác ABC vuông tại B nên tứ diện BAEM có BA, BE, BM đôi một vuông góc với nhau. Theo ví dụ 1 nếu gọi BH là chiều cao kẻ từ B của tứ diện ABCD ( ( )H AEM ∈ ) thì 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 7 7 7 2 4 a BH a a BH BA BE BM a a = + + = + + = ⇒ = 7 ( , ' ) 7 a d AM B C ⇒ = Loại 2: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau chính là độ dài đường vuông góc chung của hai đường thẳng đó. Vì lẻ đó nếu xác định được đường vuông góc chung ấy thì việc tính độ dài ấy coi như được giải quyết. Tuy nhiên, việc xác định đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau không phải là một việc dễ làm. hơn thế nữa trong rất nhiều bài toán người ta chỉ đòi hỏi tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau mà không yêu cầu xác định cụ thể đường vuông góc chung của chúng. Vì vậy trong thực tế người ta thường chuyển bài toán xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau về các bài toán dễ giải hơn sau đây: 1/ Nếu như d 1 // (P), trong đó d 2 chứa trong (P) thì khoảng cách giữa d 1 , d 2 bằng khoảng cách giữa d 1 và (P). 2/ Nếu như d 1 chứa trong (P), d 2 chứa trong (Q) mà (P) // (Q) thì khoảng cách giữa d 1 và d 2 bằng khoảng cách giữa (P) và (Q) Lưu ý rằng nếu d 1 // (P) thì khoảng cách giữa d 1 và (P) bằng khoảng cách từ một điểm bất kỳ của d 1 đến (P). Tương tự khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (P) và (Q) bằng khoảng cách từ một điểm bất kỳ của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia. Trang 6 C' B' A' M E B C A H 5 3 4 4 D C B A Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm Bài viết tháng 2 – Năm 2012 Tổ : Toán – Tin Chủ đề: Quan hệ vuông góc trong không gian Nhu vậy cuối cùng ta lại quy bài toán tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau về bài toán khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Ví dụ 4: (ĐH khối D năm 2008) Đó chính là ví dụ 3 , loại 1 vừa xét ở trên Ví dụ 5: (ĐH khối B năm 2007) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy bằng a. Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AE và BC. Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng MN, AC theo a. Giải : Gọi P là trung điểm của AB .Khi đó MP // AB (1) Ta có SE // DA và SE = DA ⇒ SE // BC Có SE = BC ⇒ SEBC là hình bình hành ⇒ EB // SC (2) Vậy từ (1) , (2) ⇒ MP // SC Lại có PN // AC nên (MNP) // (SAC) ⇒ d(MN, AC) = d((MNP),(SAC)) = d(H,(SAC)) = OH = 1 2 4 4 a BD = (với H, O lần lượt là giao điểm của BD với NP và AC). Ví dụ 6: (Đề thi tuyển sinh ĐH khối A – 2006) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng 1. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng A’C và MN. Giải : Ta có : BC // MN ⇒ MN // (A’BC) ⇒ d(MN,A’C) = d(MN,(A’BC)) = d(M,(A’BC)) (1) Ta có : AI A'B ( AB' A'B = I) ⊥ ∩ Lại có BC (BAA'B') BC AI ⊥ ⇒ ⊥ Từ đó AI (A'BC) ⊥ .Vì thế nếu kẻ MH // AI (H A'B) ∈ thì MH (A'BC) ⊥ và 1 2 d(M,(A'BC)) = MH = AI = 2 4 a (2) Từ (1) , (2) suy ra 2 d(MN,A'C) = 4 Chú ý : Các em (học sinh lớp 12) có thể giải ví dụ này bằng phương pháp thể tích. Loại 3: Bài toán xác định đường vuông góc chung. Như đã nói ở mục trước, bài toán đòi hỏi tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau nói chung không cần xác định đường vuông góc chung. Tuy nhiên trong một số bài toán lại đòi hỏi xác định đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau, đó là một yêu cầu cao hơn. Mục này dành để trình bày cách tìm đường vuông góc chung. Nguyên tắc chung để giải bài toán này như sau: Xác định điểm ,M a N b ∈ ∈ sao cho ,MN a MN b ⊥ ⊥ , khi đó MN là đường vuông góc chung của cả a và b. Vấn đề ở chỗ là làm thế nào để xác định được hai điểm M, N? Phương pháp tổng quát tiến hành như sau: - Dựng mp(P) chứa a và song song với b. Lấy một điểm B trên b, kẻ BB’ ⊥ (P), B’ ∈ (P) Trang 7 H P N M E O B C D A S I H N M D' C' B' A' D C B A Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm Bài viết tháng 2 – Năm 2012 Tổ : Toán – Tin Chủ đề: Quan hệ vuông góc trong không gian - Trong (P) qua B’ dựng b’ // b - Gọi M = 'a b ∩ . Từ M kẻ MN // BB’ (N ∈ b) - Khi đó MN là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b. Tuy nhiên nếu a và b có cấu trúc dặc biệt (thí dụ a và b vuông góc với nhau …) thì ta lại có cách xử lý tương ứng và đơn giản hơn. Ví dụ 7: Trình bày cách dựng đường vuông góc chung với hai đường thẳng chéo nhau và vuông góc với nhau. Giải : Giả sử 2 đường thẳng a, b chéo nhau và vuông góc nhau. Dựng (P) qua b vuông góc với a. Giả sử a ∩ (P) = M Trong (P) dựng MN vuông góc với b. Khi đó MN là đường vuông góc chung của a và b. Xem một ứng dụng của ví dụ 7 sau đây: Ví dụ 8: (ĐH khối B năm 2002) Cho hình lập phương ABCD.A 1 B 1 C 1 D 1 cạnh a. Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng A 1 B và B 1 D. Giải : Ta có AB 1 ⊥ A 1 B (vì BAA 1 B 1 là hình vuông) A 1 B ⊥ AD (vì AD ⊥ (BAA 1 B 1 )) ⇒ A 1 B ⊥ (B 1 AD) ⇒ A 1 B ⊥ B 1 D (1) Ví DD 1 ⊥ (A 1 B 1 C 1 D 1 ) ⇒ DD 1 ⊥ A 1 C 1 Do A 1 B 1 C 1 D 1 là hình vuông nên A 1 C 1 ⊥ B 1 D 1 Từ đó A 1 C 1 ⊥ (B 1 DD 1 ) ⇒ A 1 C 1 ⊥ B 1 D (2) Từ (1) và (2) suy ra : B 1 D ⊥ (A 1 BC 1 ) (3) Bây giờ ta tìm giao điểm của B 1 D với (A 1 BC 1 ) . Gọi H là giao điểm của AB 1 và A 1 B. Trong mặt chéo (B 1 A 1 DA) rõ ràng : HC 1 ∩ B 1 D = G. Do B 1 H = HA = 1 2 C 1 D ⇒ GH = 1 2 GC 1 ⇒ G là trọng tâm của tam giác A 1 BC 1 . Vì A 1 BC 1 là tam giác đều nên GH ⊥ A 1 B , còn GH ⊥ B 1 D vì B 1 D ⊥ (A 1 B 1 C 1 ). Như thế GH là đường vuông góc chung của A 1 B và B 1 D nên nó chính là khoảng cách giữa A 1 B và B 1 D. Ta có : 1 1 1 1 1 2. 3 6 6 ( , ) 3 3 6 6 6 a a a GH C H d A B B D = = = ⇒ = Nhận xét : Trong ví dụ này vì A 1 B ⊥ B 1 D nên cách làm trong ví dụ trên chính là sự thực hành các bước đã nêu trong ví dụ 7. Ví dụ 9: Cho hình tứ diện đều ABCD cạnh a = 6 2 cm. Hãy xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng AB và CD. Giải: Trang 8 B' B N M b' b a P M N b a P G a H D 1 C 1 B 1 A 1 D C B A Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm Bài viết tháng 2 – Năm 2012 Tổ : Toán – Tin Chủ đề: Quan hệ vuông góc trong không gian Gọi M và N tương ứng là các trung điểm của AB và CD. Do ABCD là tứ diện đều , nên ta có CM ⊥ AB và DM ⊥ AB ⇒ AB ⊥ (MCD) ⇒ AN ⊥ MN Lý luận tương tự ta có : CD ⊥ (ANB) ⇒ CD ⊥ MN. Vậy MN là đường vuông góc chung của AB và CD. Ta có : MC = MD = 6 2. 3 3 6 2 = . Vậy 2 2 2 2 2 (3 6) (3 2) 36 6MN MC CN MN cm = − = − = ⇒ = 2. Các bài tập rèn luyện. Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có SA = 3a, SA (ABCD) ⊥ .Giả sử AB = AC = 2a, · 0 120ABC = Tìm khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC). Hướng dẫn - Đáp số: 3 d(A,(SBC)) = 2 a Bài 2: (ĐH khối A năm 2004) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh bằng 5 , đường chéo AC = 4, SO = 2 2 và SO ⊥ (ABCD), với O là giao điểm của AC và BD. Gọi M là trung điểm cạnh SC. Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BM. Hướng dẫn - Đáp số: d(SA,BM) = d(C,(MOB)) = 2 6 3 Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABC là tam giác vuông tại B , AB = a, BC = 2a, cạnh SA vuông góc với đáy và SA = 2a. Xác định và tính độ dài đường vuông góc chung của hai đường thẳng AB và SC. Hướng dẫn - Đáp số: Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SC và AB. Khi đó MN là đường vuông góc chung của AB và SC, 2MN a= Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = h và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng SC và AB. Hướng dẫn - Đáp số: Trong mặt phẳng (SAD) , vẽ ( )AK SD K SD ⊥ ∈ Trong mặt phẳng (SCD) , kẻ / / ( )KE CD E SC ∈ Trong mặt phẳng xác định bởi EK , AB ( chú ý EK // AB ) kẻ EF // AK (K ∈ AB). Khi đó EF là đường vuông góc chung của SC và AB và tính được 2 2 ah EF a h = + Bài 5: Cho đường tròn đường kính AB = 2R trong mặt phẳng (P). C là một điểm chạy trên đường tròn. Trên đường thẳng đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (P) lấy điểm S sao cho SA = a < 2R. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AC và SB. Xác định vị trí của C trên đường tròn sao cho EF là đường vuông góc chung của AC và SB. Hướng dẫn - Đáp số: C là giao điểm của hai đường tròn : Đường tròn đường kính AB = 2R đã cho và đường tròn tâm B đường kính 2a.Vì a < 2R nên tồn tại hai giao điểm C như vậy. Trang 9 N M D C B A . Toán – Tin Chủ đề: Quan hệ vuông góc trong không gian QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN Bài viết tháng 02 năm 2012 Thầy giáo: Hồ Thanh Tùng Các bài toán về quan hệ vuông góc luôn là một chủ. Tin Chủ đề: Quan hệ vuông góc trong không gian 2. Các dạng toán thường gặp: Loại 1: Chứng minh đường thẳng vuông góc với đường thẳng: Đây là một trong những dạng toán hay gặp nhất trong chuyên. Tin Chủ đề: Quan hệ vuông góc trong không gian Hai bài toán quan trọng nhất của mục này, cũng là hai dạng toán thường xuyên có mặt trong các kì thi tuyển sinh vào Đại học, Cao đẳng trong những