Sở GD & ĐT Hoà Bình kỳ thi chọn học sinh giỏi các trờng PT DTNT Đề chính thức Năm học 2010 - 2011 Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 10 tháng 03 năm 2011 (Đề thi gồm có 01 trang) Bài 1: (6 điểm) a) Rút gọn biểu thức: 14 7 15 5 1 ( ) : 1 2 1 3 7 5 A = + b) Phân tích đa thức sau thành tích của hai nhân tử: 3 3 2 2 2B x y x xy y= + + + + c) Tìm m để đồ thị hàm số 3y mx= + đi qua điểm 1 ( ;0) 2 A Bài 2: (4 điểm) a) Cho đờng thẳng a và một điểm O cách a là 4 cm, vẽ đờng tròn tâm O, bán kính 5 cm. Gọi B và C là các giao điểm của đờng thẳng a và đờng tròn (O). Tính độ dài đoạn thẳng BC. b) Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB=24 cm; BC=30 cm. Gọi BE là đờng phân giác trong của góc B. Tính độ dài đoạn thẳng AE. Bài 3: (4 điểm) Năm ngoái, tổng số dân của hai tỉnh A và B là 4 triệu. Năm nay dân số của tỉnh A tăng thêm 1,1%, còn dân số của tỉnh B tăng thêm 1,2%. Tuy vậy số dân của tỉnh A năm nay vẫn nhiều hơn tỉnh B là 807.200 ngời. Tính số dân năm ngoái của mỗi tỉnh. Bài 4: (5 điểm) Cho tam giác ABC, lấy điểm D bất kỳ trên đoạn BC. Kẻ DE, DF lần lợt song song với AC và AB (E thuộc AB, F thuộc AC). a) Chứng minh rằng 1 AE AF AB AC + = với mọi vị trí của D. b) Nêu cách xác định điểm D trên BC sao cho EF song song với BC. c) Biết rằng điểm D thoả mãn 1 2 DB DC = , chứng minh rằng EF song song với đờng trung tuyến BM của tam giác ABC. Bài 5: (1 điểm) Tìm tất cả các số nguyên dơng n sao cho 4 4n + là số nguyên tố. Hết Họ và tên thí sinh: SBD: Giám thị 1 (họ và tên, chữ ký): Giám thị 2 (họ và tên, chữ ký): Sở GD&ĐT Hoà Bình Hớng dẫn chấm môn toán Kỳ thi chọn học sinh giỏi các trờng DTNT Năm học 2010-2011 Bài ý Nội dung Điểm 1. (6đ) a b c A=-2 = + + + + 2 2 B ( )( )x y x xy y x y m = -6 2,0 2,0 2,0 30 24 A C B E E F A B C D 2 (4 đ) a b Gọi H là trung điểm của BC, theo gt OH=4 cm, OC=5 cm, áp dụng Pi ta go cho tam giác vuông OHC tìm đợc HC=3 cm, suy ra BC=6 cm. Theo Pi ta go: AC=18 cm Theo t.c phân giác trong của tam giác có: 4 8 . 9 AE AB AE AE cm EC BC AC = = = 2,0 2,0 3 (4 đ) Gọi số dân năm ngoái của tỉnh A, B là x, y (nghìn ngời) (x, y dơng) Lập đợc hệ pt: 4000 1,1%. 1, 2%. 807, 2 x y x x y y + = + = + + Thế và rút gọn thu đợc: 4000 2400 2,023. 3236,8 1600 x y x y y = = = = Vậy số dân năm ngoái của tỉnh A là 2.400.000; tỉnh B là 1.600.000 ngời. 2,0 2,0 4 (5 đ) a . b . c . Theo Ta let: ; AE DC AF BD AB BC AC BC = = , cộng các vế tơng ứng ta có đpcm. Để EF song song với BC thì: AE AF AB AC = , kết hợp với kết quả phần a dẫn đến 1 2 AE AF AB AC = = , suy ra E, F lần lợt là trung điểm của AB và AC. Với gt, có 2 1 ; 3 3 AE AF AB AC = = ; M là trung điểm của AC nên AC=2AM nên 2 3 AE AF AB AM = = , từ đó có EF song song với BM. 2,0 1,5 1,5 5 (1 đ) Viết lại 4 2 2 4 ( 2 2)( 2 2)n n n n n+ = + + + Lập luận dẫn về 2 2 2 1n n + = , từ đó n =1 0,5 0,5 Chú ý: Mọi lời giải đúng khác đều đợc cho điểm tơng đơng HB C . kỳ thi chọn học sinh giỏi các trờng PT DTNT Đề chính thức Năm học 2010 - 2011 Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 10 tháng 03 năm 2011 (Đề thi. dân năm ngoái của mỗi tỉnh. Bài 4: (5 điểm) Cho tam giác ABC, lấy điểm D bất kỳ trên đoạn BC. Kẻ DE, DF lần lợt song song với AC và AB (E thuộc AB, F thuộc AC). a) Chứng minh rằng 1 AE AF AB AC +. tên, chữ ký): Giám thị 2 (họ và tên, chữ ký): Sở GD&ĐT Hoà Bình Hớng dẫn chấm môn toán Kỳ thi chọn học sinh giỏi các trờng DTNT Năm học 2010-2011 Bài ý Nội dung Điểm 1. (6đ) a b c A=-2 =