Sở GD&ĐT Bắc ninh Tr ờng THPT Quế võ i đề thi chọn học sinh giỏi cấp trờng Năm học: 2009 - 2010 Đề thi có 01 trang Môn: Toán - Khối 11 Thời gian làm bài 150 phút C âu 1: (2 điểm) 1.Giải phơng trình lợng giác sau: 4 4 2 2 sin cos 1 sin 2 2 tan .sin tan 1 sin 2 x x x x x x x + + = + 2. Tìm điều kiện của m để phơng trình: cos2 cos 1 0x x m + = có nghiệm thuộc khoảng 3 ; 2 2 ữ Câu 2: (2 điểm) 1. Giải phơng trình: 2 2 3 1 ( 3) 1x x x x+ + = + + 2. Cho dãy số ( n u ) xác định bởi 1 2 1 1 2009; 2010 2 ( 2) 3 n n n u u u u u n + = = + = Chứng tỏ rằng dãy số (v n ) với 1n n n v u u + = là một cấp số nhân. Từ đó lập công thức tính n u theo n. Cau 3: (2 điểm) 1. Số 16200 có bao nhiêu ớc nguyên dơng. 2. Tìm hệ số lớn nhất của khai triển: 12 (1 2 )x+ . Câu 4: (3 điểm) 1. Cho đờng tròn (C): 2 2 2 4 2 0x y x y+ + = và đờng thẳng (d) : 2 0x y = . Viết phơng trình đờng tròn (C ) đối xứng với đờng tròn (C) qua đờng thẳng (d). 2. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thang ABCD có đáy lớn BC=2a, AD=a, AB=b. Mặt bên SAD là tam giác đều, ( ) là mặt phẳng qua điểm M trên cạnh AB và song song với SA và BC, ( ) cắt CD, SC, SB lần lợt tại N, P, Q. a) Chứng minh rằng: MNPQ là hình thang cân. b) Tính diện tích thiết diện theo a và x=AM (0 < x <b). Câu 5: ( 1 điểm). Cho A,B,C là 3 góc nhọn của 1 tam giác CMR sin sin sin 1 2 sin sin sin sin sin si n A B C B C C A A B < + + < + + + __________________Hết___________________________ (Thí sinh không đợc sử dụng tài liệu trong quá trình làm bài) Đáp án đề thi chọn học sinh giỏi cấp trờng năm học 2009 2010 Môn: Toán Khối 11. Ngời soạn: Đỗ Thị Nguyên Câu Nội dung Điểm I 1 1đ Đk: cos 0x (1) 2 2 2 1 2sin .cos 1 sin 2 2 tan (1 sin ) 1 sin 2 x x x x x x + = + + 2 2 1 1 sin 1 sin sin 2 1 sin 2 1 sin x x x x x + = + 2 2 3 1 sin 1 sin 2 2sin 1 cos2 0 1 sin 2 x x x x x + = = = ( ) ( ) 4 2 k x k tm = +  0.25 0.25 0.25 0.25 2 1đ 2 (2) 2cos cosx x m = Đặt ( ) cos 3 ; 1;0 2 2 x t x t = ữ 2 (2) 2t t m = +) Xét f(t) = 2t 2 - t trên (-1; 0) có bảng biến thiên Và PT (2) có nghiệm khi đờng thẳng y= m (song song hoặc trùng 0x ) cắt parabol f(t) trên (-1; 0) +) ĐS: (0;1)m 0.25 0.25 0.25 0.25 Câu 2 1 1đ Đặt ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 ( 0) (3) 3 3 3 0 3( ) 1 x t t t x x t t x t t x t loai x x ptvn + = + = + + + = = = + = Vậy pt đã cho vô nghiệm 0.25 0.25 0.5 2 1 1 1 1 1 2 2 3 2 1 1 1 2 3 2 1 1 1 1 1 1 2,3( ) ( ) 1 ; 2 3 1 1 3 1 2009 1 4 3 n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n u u u u v v n u u u u u u u u u u v v v v v u q u v u q u + = = = + + + + + = + + + + + + = + = + ữ 0.25 0.25 0.25 0.25 Câu 3 1 1đ Ta có: 3 4 2 16200 2 .3 .5= Ước cua 16200 co dạng: ( ) 2 .3 .5 , , ;0 3,0 4,0 2 m n p m n p m n p Ơ + Với mỗi bộ số(m, n, p) ta có 1 ớc số tự nhiên của 16200. + Chọn m: có 4 cách. n: có 5 cách. Suy ra: có 4.5.3=60 (bộ số(m, n, p) p: có 3 cách. Vậy có 60 ớc số cần tìm. 0.25 0.25 0.25 0.25 2 ( ) 12 12 12 12 0 1 1 1 12 12 1 2 3 7 8 9 12 1 2 (2 ) ; 2 . 23 2 2 3 . k k k k k k k k k k k k x C x b C b b C C k b b b b b b b = + + + + = = < < < < < < < < > > > Vậy hệ số lớn nhất là: 8 8 8 12 2 126720.b C= = 0.25 0.25 0.25 0.25 Câu 4 1 1đ (C) có tâm I(1;-2);bán kính R= 7 Đ d : (C) (C); (C) =(I;R). Pt đờng thẳng II:2x + y = 0 +Tọa độ của I(-1;2) + Phơng trình đờng rròn (C) là: (x+1) 2 +(y-2) 2 =7 0.25 0.25 0.25 0.25 2 1đ B C A D S M Q N P H a) Ta cã: ⇒//NP MQ MNPQ lµ h×nh thang. ⇒ = = = = ⇒ = ⇒ = ⇒ = // (1) (2) (3) // MN BM BN MN SA SA BA BS BN CP BS CS BM CQ BA CD CQ CP PQ SD CD CS MN PQ MN PQ SA SD Mµ MN kh«ng song song PQ Suy ra MNPQ lµ h×nh thang c©n. b) TÝnh ®îc MN,NP MQ,NH DiÖn tÝch ( ) ( ) = + − 2 3 3 4 ac S x b b x b 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5 0.25 C©u 5 1® ¸p dông ®Þnh lÝ sin.B§T trë thµnh: < + + < + + + + + > < ⇒ < < + + + + ⇒ < + + + + + ⇒ + + < + + + ⇒ 1 2. : , , 0; (*) / (*) (*) 1 (*) 2. a b c b c c a a b x x x z NX x y z x y y z y y z c m a b c AD b c c a a b a b c AD b c c a a b dpcm 0.25 0.25 0.25 0.25 . biến thi n Và PT (2 ) có nghiệm khi đờng thẳng y= m (song song hoặc trùng 0x ) cắt parabol f(t) trên (- 1; 0) +) ĐS: (0 ;1)m 0.25 0.25 0.25 0.25 Câu 2 1 1đ Đặt ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 ( 0) (3 ) 3. = 0.25 0.25 0.25 0.25 Câu 4 1 1đ (C) có tâm I(1;-2);bán kính R= 7 Đ d : (C) (C); (C) =(I;R). Pt đờng thẳng II:2x + y = 0 +Tọa độ của I(-1;2) + Phơng trình đờng rròn (C) là: (x+1) 2 +(y-2) 2 =7 0.25 0.25 0.25 0.25 2. Bắc ninh Tr ờng THPT Quế võ i đề thi chọn học sinh giỏi cấp trờng Năm học: 2009 - 2010 Đề thi có 01 trang Môn: Toán - Khối 11 Thời gian làm bài 150 phút C âu 1: (2 điểm) 1.Giải phơng trình lợng