GỢI Ý GIẢI ĐỀ SỐ 05 - THỬ SỨC TRƯỚC KỲ THI Tạp chí TH&TT số tháng 02 năm 2011 CâuI: 3 2 3 1y x mx= − − 1. Khảo sát khi 1m = 2. ?m = đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt. Hướng dẫn: 2. 2 3 0 (0) 1 ' 3 6 0 2 (2 ) 4 1 x y y x mx x m y m m = ⇒ = − = − = ⇔ = ⇒ = − − (C) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi hàm số có CĐ và CT đồng thời f CĐ. f CT < 0. 3 0 4 1 0 m m ≠ ⇔ + < CâuII. 1. Giải phương trình: sin 3 cos3 2 2 cos( ) 1 0 4 x x x π + − + + = 2. Tìm m để hệ 1 3 1 3 x y m y x m + + − = + + − = có nghiệm Hướng dẫn: 1. 3 3 (*) 4(cos sin ) 5(cos sin ) 1 0x x x x⇔ − − − + = . Đặt cos sin ( 2)t x x t= − ≤ ⇒ 2 2 1 1 2sin cos sin cos 2 t t x x x x − = − ⇒ = khi đó ta được: 3 2 1 0 1; 1 3t t t t− + + = ⇒ = = − − thay ngược lại để giải ra x 2. Trừ vế với vế của hệ suy ra ( ) ( )f x f y= trong đó hàm số ( ) 1 3f t t t= + − − luôn đồng biến trên [-1;3] x y⇒ = khi đó ta cần tìm m để phương trình ( ) 1 3f t t t m= + − − = có nghiệm [ 1;3] [ 1;3] 2 min ( ) max ( ) 2f t m f t − − ⇔ = ≤ ≤ ≤ CâuIII: 1 1 3 2 0 0 ( 1) (3 1) ( 1) 3 4 1 dx dx I x x x x x = = + + + + + ∫ ∫ Đặt 2 1 1 1 1 ; 1x dx dt x t t t + = ⇒ = − = − ta được 1 1 2 2 1 1 3 2 2 1 3 2 dt I t t = − = − = − − ∫ CâuIV: ( ) ( ) BC AB BC SAB SA ABC ⊥ ⇒ ⊥ ⊥ BC AM⇒ ⊥ kết hợp AM SB⊥ ( )AM SBC AM MN⇒ ⊥ ⇒ ⊥ mặt khác · · ¸N ( ) ( ; )AN C SC AMN SBC SAC ANM⊥ ⇒ ⊥ ⇒ = S N A C B M · 0 60ANM⇒ = · 0 30NAM⇒ = . Có 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 . . 3 . ; 4 . 2 SA AB SA AC AM AB SC SC AM AN SB SC AN AC SB SB = = ⇒ = = = 2 2 2 3SC SB⇒ = lại có 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2SB BC SC SB a SC SB SB a+ = ⇒ + = = ⇒ = SA a ⇒ = 2 2; 3 6 a AM a AN a MN⇒ = = ⇒ = 2 . 2 6 AMN S ABC a S V ∆ ⇒ = ⇒ = CâuV: Có 2 1 1 2 1 xy x y xy x y xy xy + ≥ + = ≥ ⇒ ≥ . 6 4 6 4 10 10 4 4 6 6 5 5 4 4 6 6 4 4 3 3 2 3( ) 9 2 6 9 4p x y y x x y x y x y x y x y x y= + + + ≥ + + + ≥ + + ≥ Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 1x y= = CâuVI.a 1. Lập phương trình đường thẳng qua M(2;1) cắt các tia Ox và Oy tại các điểm A, B sao cho tam giác OAB có diện tích nhỏ nhất. 2. Cho A(1;3;-1) ; B(-3;-1;5) và đường thẳng (d):2x-6=y-1=-2z. Tìm M trên d sao cho Q=MA 2 + MB 2 đạt GTNN. Hướng dẫn: 1. đường thẳng (d) qua A(a;0) và B(0;b) có phương trình 1 x y a b + = khi đó 1 2 1 2 ( 0; 0)ab b a a b a b + = ⇒ = + > > . 2 ( 2 ) 2 2 8 4 AOB AOB S ab b a ab ab S ∆ ∆ = = + ≥ ⇒ ≥ ⇒ ≥ . Dấu “=” xảy ra khi 2 ( ) : 1 4 2 4 a x y d b = ⇒ + = = 2. M(3+t;1+2t;-t) khi đó ( 2;2 2;1 ); ( 6;2 2; 5)MA t t t MB t t t+ − − + + − − uuur uuur 2 2 2 2 12 24 74 3(2 2) 62 62Q MA MB t t t⇒ = + = + + = + + ≥ đạt tại t=-1 khi đó M(2;-1;1) CâuVII.a Cho 0 < x < y < 4. CMR (4 ) ln (4 ) x y x y y x − < − − (*) Hướng dẫn: (*) ln ln(4 ) ln ln(4 )x x x y y y⇒ − − − < − − − . Xét ( ) ln ln(4 )f t t t t= − − − có 2 1 1 4 4 '( ) 1 0 (0;4) ( ) ( ) 0 4 4 (4 ) t t f t t f x f y x y t t t t − + = + − = ≥ ∀ ∈ ⇒ < ∀ < < < − − CâuVI.b 1. Tam giác ABC cân tại A, có AB: 2x + y – 1 = 0 và BC: x + 4y + 3 = 0. Lập phương trình đường cao kẻ từ B. 2. Đường thẳng (d) : x-1 = -y-1 = 2z-2 và mặt cầu (S) tâm I(4;2;1) bán kính R=3. Lập phương trình mặt phẳng (P) qua (d) và tiếp xúc (S). Hướng dẫn: 1. B(1;-1), gọi A(a;1-2a) đường cao kẻ từ A có phương trình 4x-y-6a+1=0 cắt BC tại trung điểm M của đoạn BC có toạ độ là M() lấy C đối xứng với B(1;-1) qua M sau đó rang buôc điều kiện C thuộc đườngthẳng BC suy ra a → toạ độ của A và của C. 2. Mặt phẳng (P) nhận ( ; ; )n a b c r làm vecto pháp tuyến có phương trình là: ( 1) ( 1) ( 1) 0a x b y c z− + + + − = . Ràng buộc hệ điều kiện 2 2 2 2 2 0 2 2 1; 2; 2 1 2 ; 2 2; 1; 2 a b c c b a a b c a b a b a b a b c a b c − + = = − = = = ⇒ ⇒ + = = = = = = − + + thay vào có được phương trình mặt phẳng (P) tương ứng CâuVII.b Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất thoả mãn: 1 5 1 3 z i z i + − = + − Hướng dẫn: gọi số phưc z a bi z a bi= + → = − khi đó [ ] [ ] 2 2 ( 1) ( 5) ( 3) ( 1) 1 5 ( 1) ( 5) w ( 3) ( 1) ( 3) ( 1) 3 a b i a b i z i a b i a b i a b z i + + − + + + + − + + − = = = + − + + + + + − [ ] 2 2 ( 1)( 3) ( 5)( 1) ( 3)( 5) ( 1)( 1) ( 3) ( 1) a a b b a b a b i a b + + − − + + + − + + + = + + + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 1) ( 3) ( 5) ( 1) ( 3) ( 5) ( 1) ( 1) w ( 3) ( 1) a a b b a b a b a b + + + − + + + − + + + ⇒ = + + + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 3) ( 1) ( 1) ( 5) 1 ( 3) ( 1) ( 1) ( 5) ( 3) ( 1) a b a b a b a b a b + + + + + − = = ⇔ + + + = + + − + + + 3 4a b⇒ = + Khi đó 2 2 2 2 2 2 6 8 4 10 (3 4) 10 24 16 10( ) 5 5 5 z a b b b b b b= + = + + = + + = + + ≥ đạt tại 6 2 5 5 b a= − ⇒ = . GIẢI ĐỀ SỐ 05 - THỬ SỨC TRƯỚC KỲ THI Tạp chí TH&TT số tháng 02 năm 2011 CâuI: 3 2 3 1y x mx= − − 1. Khảo sát khi 1m = 2. ?m = đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt. Hướng dẫn: 2 x-1 = -y-1 = 2z-2 và mặt cầu (S) tâm I(4;2;1) bán kính R=3. Lập phương trình mặt phẳng (P) qua (d) và tiếp xúc (S). Hướng dẫn: 1. B(1 ;-1 ), gọi A(a; 1-2 a) đường cao kẻ từ A có phương trình 4x-y-6a+1=0. giác OAB có diện tích nhỏ nhất. 2. Cho A(1;3 ;-1 ) ; B (-3 ;-1 ;5) và đường thẳng (d):2x-6=y-1 =-2 z. Tìm M trên d sao cho Q=MA 2 + MB 2 đạt GTNN. Hướng dẫn: 1. đường thẳng (d) qua A(a;0) và B(0;b)