ĐỀ I Câu 1 (3 điểm). Tìm các nguyên hàm sau: a) 6 x dx ∫ b) 4 dx x − ∫ c) 2 . x x e dx − ∫ Câu 2 (4 điểm). Tính các tích phân sau: a) 2 0 cos xdx π ∫ b) ln2 0 2 x x e dx e + ∫ c) 2 1 3 ln e x xdx x − ∫ d) 3 5 3 3 .cosx x xdx − + ∫ Câu 3 (1,5 điểm). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong 2 3 4y x x= + − ; trục hoành; trục tung và đường thẳng 2x = . Câu 4 (1,5 điểm). Cho hình phẳng ( ) D giới hạn bởi đồ thị 1y x= − ; trục hoành và hai đường thẳng 2; 3x x= = . Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình ( ) D xung quanh trục Ox . ĐÁP ÁN Câu 1 (3 điểm). Tìm các nguyên hàm sau: a) 6 7 1 7 x dx x C= + ∫ 1 điểm b) ( ) 4 ln 4 4 4 d x dx x C x x − = = − + − − ∫ ∫ 1 điểm c) 2 . x x e dx − ∫ Đặt 2 2 x x u x du dx dv e dx v e − − = = ⇒ = = − 0,5 điểm Từ đó 2 . 2 . 2 x x x x e dx x e e dx − − − = − + ∫ ∫ 0,25 điểm 2 2 x x xe e C − − = − − + 0,25 điểm Câu 2 (4 điểm). Tính các tích phân sau: a) 2 2 0 0 cos sin sin sin 0 1 2 xdx x π π π = = − = ∫ 1 điểm b) ( ) ( ) ln2 ln 2 ln2 0 0 0 2 ln 2 2 2 x x x x x d e e dx e e e + = = + + + ∫ ∫ 0,5 điểm 4 ln 4 ln 3 ln 3 = − = 0,5 điểm c) 2 1 1 1 1 3 3 3ln ln ln ln e e e e x x xdx x xdx x xdx dx x x x − = − = − ÷ ∫ ∫ ∫ ∫ 0,25 điểm Tính 1 1 ln e I x xdx= ∫ Đặt 2 ln 1 2 dx du u x x dv xdx v x = = ⇒ = = Từ đó 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 ln 2 2 2 4 2 4 4 4 e e e e x e e e I x x xdx + = − = − = − + = ÷ ∫ 0,25 điểm Tính ( ) 2 2 1 1 1 3ln 3 3 3ln ln ln 2 2 e e e x I dx xd x x x = = = = ÷ ∫ ∫ 0,25 điểm Vậy 2 2 1 2 1 3 5 4 2 4 e e I I I + − = − = − = 0,25 điểm d) 3 5 3 3 .cosI x x xdx − = + ∫ Đặt x t dx dt = − ⇒ = − Đổi cận: 3 3x t= − ⇒ = 3 3x t= ⇒ = − Từ đó ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 5 53 3 5 3 3 3 .cos .cos .cosI t t t dt t t tdt t t tdt I − − − = − − − − = + = − + = − ∫ ∫ ∫ Suy ra 0I = 1 điểm Câu 3 (1,5 điểm). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong 2 3 4y x x= + − ; trục hoành; trục tung và đường thẳng 2x = . Diện tích cần tìm là 2 2 0 3 4S x x dx= + − ∫ 0,5 điểm Ta có: ( ) ( ) 2 1 0;2 3 4 0 4 0;2 x x x x = ∈ + − = ⇔ = − ∉ Vậy 2 1 2 2 2 2 0 0 1 3 4 3 4 3 4S x x dx x x dx x x dx= + − = + − + + − ∫ ∫ ∫ 0,5 điểm ( ) ( ) 1 2 2 2 0 1 3 4 3 4x x dx x x dx= + − + + − ∫ ∫ 1 2 3 2 3 2 0 1 1 3 1 3 4 4 3 2 3 2 x x x x x x = + − + + − ÷ ÷ 1 3 8 1 3 13 2 13 13 17 4 6 8 4 5 3 2 3 3 2 6 3 6 6 6 = + − + + − − + − = − + + = + = ÷ ÷ (đvdt) 0,5 điểm Câu 4 (1,5 điểm). Cho hình phẳng ( ) D giới hạn bởi đồ thị 1y x= − ; trục hoành và hai đường thẳng 2; 3x x= = . Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình ( ) D xung quanh trục Ox . Thể tích cần tìm là: ( ) 3 2 2 1V x dx π = − ∫ 0,5 điểm ( ) 3 3 2 3 2 2 2 1 2 1 3 x x dx x x x π π = − + = − + ÷ ∫ 0,5 điểm 3 2 3 2 1 1 7 .3 3 3 .2 2 2 3 3 3 π π = − + − − + = ÷ ÷ (đvtt) 0,5 điểm ĐỀ II Câu 1. Tìm các nguyên hàm sau: a) 9 x dx ∫ b) 7 dx x − ∫ c) 4 . x x e dx − ∫ Câu 2. Tính các tích phân sau: a) 2 0 sin xdx π ∫ b) ln4 0 4 x x e dx e + ∫ c) 2 1 4 ln e x xdx x − ∫ d) 2 7 3 2 2 .cosx x xdx − + ∫ Câu 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong 2 5 4y x x= − + ; trục hoành; trục tung và đường thẳng 3x = . Câu 4. Cho hình phẳng ( ) D giới hạn bởi đồ thị 3y x= − ; trục hoành và hai đường thẳng 1; 2x x= = . Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình ( ) D xung quanh trục Ox . ĐÁP ÁN Câu 1 (3 điểm). Tìm các nguyên hàm sau: a) 9 10 1 10 x dx x C= + ∫ 1 điểm b) ( ) 7 ln 7 7 7 d x dx x C x x − = = − + − − ∫ ∫ 1 điểm c) 4 . x x e dx − ∫ Đặt 4 4 x x u x du dx dv e dx v e − − = = ⇒ = = − 0,5 điểm Từ đó 4 . 4 . 4 x x x x e dx x e e dx − − − = − + ∫ ∫ 0,25 điểm 4 4 x x xe e C − − = − − + 0,25 điểm Câu 2 (4 điểm). Tính các tích phân sau: a) ( ) 2 2 0 0 sin cos cos cos0 1 2 xdx x π π π = − = − + = ∫ 1 điểm b) ( ) ( ) ln4 ln 4 ln4 0 0 0 4 ln 4 4 4 x x x x x d e e dx e e e + = = + + + ∫ ∫ 0,5 điểm 8 ln8 ln 5 ln 5 = − = 0,5 điểm c) 2 1 1 1 1 4 4 4ln ln ln ln e e e e x x xdx x xdx x xdx dx x x x − = − = − ÷ ∫ ∫ ∫ ∫ 0,25 điểm Tính 1 1 ln e I x xdx= ∫ Đặt 2 ln 1 2 dx du u x x dv xdx v x = = ⇒ = = Từ đó 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 ln 2 2 2 4 2 4 4 4 e e e e x e e e I x x xdx + = − = − = − + = ÷ ∫ 0,25 điểm Tính ( ) ( ) 2 2 1 1 1 4ln 4ln ln 2ln 2 e e e x I dx xd x x x = = = = ∫ ∫ 0,25 điểm Vậy 2 2 1 2 1 7 2 4 4 e e I I I + − = − = − = 0,25 điểm d) 2 7 3 2 2 .cosI x x xdx − = + ∫ Đặt x t dx dt = − ⇒ = − Đổi cận: 2 2x t= − ⇒ = 2 2x t= ⇒ = − Từ đó ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 7 73 3 3 3 7 2 2 2 2 .cos 2 .cos 2 .cosI t t t dt t t tdt t t tdt I − − − = − + − − − = + = − + = − ∫ ∫ ∫ Suy ra 0I = 1 điểm Câu 3 (1,5 điểm). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong 2 5 4y x x= − + ; trục hoành; trục tung và đường thẳng 3x = . Diện tích cần tìm là 3 2 0 5 4S x x dx= − + ∫ 0,5 điểm Ta có: ( ) ( ) 2 1 0;3 5 4 0 4 0;3 x x x x = ∈ − + = ⇔ = ∉ Vậy 3 1 3 2 2 2 0 0 1 5 4 5 4 5 4S x x dx x x dx x x dx= − + = − + + − + ∫ ∫ ∫ 0,5 điểm ( ) ( ) 1 3 2 2 0 1 5 4 5 4x x dx x x dx= − + + − + ∫ ∫ 1 3 3 2 3 2 0 1 1 5 1 5 4 4 3 2 3 2 x x x x x x = − + + − + ÷ ÷ 1 5 27 45 1 5 11 3 11 11 20 31 4 12 4 3 2 3 2 3 2 6 2 6 6 6 6 = − + + − + − − + = + − − = + = ÷ ÷ (đvdt) 0,5 điểm Câu 4 (1,5 điểm). Cho hình phẳng ( ) D giới hạn bởi đồ thị 3y x= − ; trục hoành và hai đường thẳng 1; 2x x= = . Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình ( ) D xung quanh trục Ox . Thể tích cần tìm là: ( ) 2 2 1 3V x dx π = − ∫ 0,5 điểm ( ) 2 2 2 3 2 1 1 1 6 9 3 9 3 x x dx x x x π π = − + = − + ÷ ∫ 0,5 điểm 3 2 1 1 7 .2 3.2 9.2 3 9 3 3 3 π π = − + − − + = ÷ ÷ (đvtt) 0,5 điểm ĐỀ III Câu 1. Tìm các nguyên hàm sau: a) 11 x dx ∫ b) 12 dx x − ∫ c) 3 . x x e dx − ∫ Câu 2. Tính các tích phân sau: a) 4 2 0 cos dx x π ∫ b) ln3 0 3 x x e dx e + ∫ c) 2 1 2 ln e x xdx x − ∫ d) 5 3 5 5 2 .cosx x xdx − + ∫ Câu 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong 2 4 3y x x= − + ; trục hoành; trục tung và đường thẳng 2x = . Câu 4. Cho hình phẳng ( ) D giới hạn bởi đồ thị 5y x= − ; trục hoành và hai đường thẳng 3; 4x x= = . Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình ( ) D xung quanh trục Ox . ĐÁP ÁN Câu 1 (3 điểm). Tìm các nguyên hàm sau: a) 11 12 1 12 x dx x C= + ∫ 1 điểm b) ( ) 12 ln 12 12 12 d x dx x C x x − = = − + − − ∫ ∫ 1 điểm c) 3 . x x e dx − ∫ Đặt 3 3 x x u x du dx dv e dx v e − − = = ⇒ = = − 0,5 điểm Từ đó 3 . 3 . 3 x x x x e dx x e e dx − − − = − + ∫ ∫ 0,25 điểm 3 3 x x xe e C − − = − − + 0,25 điểm Câu 2 (4 điểm). Tính các tích phân sau: a) 4 4 2 0 0 tan tan tan 0 1 cos 4 dx x x π π π = = − = ∫ 1 điểm b) ( ) ( ) ln3 ln3 ln3 0 0 0 3 ln 3 3 3 x x x x x d e e dx e e e + = = + + + ∫ ∫ 0,5 điểm 3 ln 6 ln 4 ln 2 = − = 0,5 điểm c) 2 1 1 1 1 2 2 2ln ln ln ln e e e e x x xdx x xdx x xdx dx x x x − = − = − ÷ ∫ ∫ ∫ ∫ 0,25 điểm Tính 1 1 ln e I x xdx= ∫ Đặt 2 ln 1 2 dx du u x x dv xdx v x = = ⇒ = = Từ đó 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 ln 2 2 2 4 2 4 4 4 e e e e x e e e I x x xdx + = − = − = − + = ÷ ∫ 0,25 điểm Tính ( ) ( ) 2 2 1 1 1 2ln 2ln ln ln 1 e e e x I dx xd x x x = = = = ∫ ∫ 0,25 điểm Vậy 2 2 1 2 1 3 1 4 4 e e I I I + − = − = − = 0,25 điểm d) 5 3 5 5 2 .cosI x x xdx − = + ∫ Đặt x t dx dt = − ⇒ = − Đổi cận: 5 5x t= − ⇒ = 5 5x t= ⇒ = − Từ đó ( ) ( ) ( ) ( ) 5 5 5 5 3 35 5 3 5 5 5 2 .cos 2 cos 2 cosI t t t dt t t tdt t t tdt I − − − = − + − − − = + = − + = − ∫ ∫ ∫ Suy ra 0I = 1 điểm Câu 3 (1,5 điểm). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong 2 4 3y x x= − + ; trục hoành; trục tung và đường thẳng 2x = . Diện tích cần tìm là 2 2 0 4 3S x x dx= − + ∫ 0,5 điểm Ta có: ( ) ( ) 2 1 0;2 4 3 0 3 0;2 x x x x = ∈ − + = ⇔ = ∉ Vậy 2 1 2 2 2 2 0 0 1 4 3 4 3 4 3S x x dx x x dx x x dx= − + = − + + − + ∫ ∫ ∫ 0,5 điểm ( ) ( ) 1 2 2 2 0 1 4 3 4 3x x dx x x dx= − + + − + ∫ ∫ 1 2 3 2 3 2 0 1 1 1 2 3 2 3 3 3 x x x x x x = − + + − + ÷ ÷ 1 8 1 4 2 4 4 2 2 3 8 6 2 3 2 3 3 3 3 3 3 3 3 = − + + − + − − + = + − = + = ÷ ÷ (đvdt) 0,5 điểm Câu 4 (1,5 điểm). Cho hình phẳng ( ) D giới hạn bởi đồ thị 1y x= − ; trục hoành và hai đường thẳng 2; 3x x= = . Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình ( ) D xung quanh trục Ox . Thể tích cần tìm là: ( ) 4 2 3 5V x dx π = − ∫ 0,5 điểm 0,5 điểm (đvtt) 0,5 điểm . ∫ 1 3 3 2 3 2 0 1 1 5 1 5 4 4 3 2 3 2 x x x x x x = − + + − + ÷ ÷ 1 5 27 45 1 5 11 3 11 11 20 31 4 12 4 3 2 3 2 3 2 6 2 6 6 6 6 = − + + − + − − + = + − − = + = . 7 .2 3.2 9.2 3 9 3 3 3 π π = − + − − + = ÷ ÷ (đvtt) 0,5 điểm ĐỀ III Câu 1. Tìm các nguyên hàm sau: a) 11 x dx ∫ b) 12 dx x − ∫ c) 3 . x x e dx − ∫ Câu 2. Tính