SKKN du thi cap truong Toan

Sử dụng những ứng dụng của đạo hàm để giải phương trình và bất phương trình THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN 1. Tên sáng kiến : “ Sử dụng những ứng dụng của đạo hàm để giải phương trình và bất phương trình” 2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến : Môn toán - THPT 3. Thời gian áp dụng sáng kiến : Từ ngày 5 tháng 9 năm 2010 đến ngày 20 tháng 12 năm 2011 4. Tác giả : Họ và tên : Vũ Thị Trang Năm sinh : 1985 Nơi thường trú : Nghĩa Trung – Nghĩa Hưng – Nam Định Trình độ chuyên môn : Cử nhân Toán Chức vụ công tác: Giáo viên dạy toán Nơi làm việc : Trường THPT A Nghĩa Hưng Địa chỉ liên hệ : Vũ Thị Trang - Trường THPT A Nghĩa Hưng – Nam Định Điện thoại : 0977768756 5. Đồng tác giả : Họ và tên : Năm sinh : Nơi thường trú : Trình độ chuyên môn : Chức vụ công tác: Nơi làm việc : Địa chỉ liên hệ : Điện thoại : 6. Đơn vị áp dụng sáng kiến: Tên đơn vị : Trường THPT A Nghĩa Hưng Địa chỉ : Nghĩa Hưng – Nam Định Điện thoại : 03503871173 Vũ Thị Trang - Tổ Toán - Trường THPT A Nghĩa Hưng Trang 1 Sử dụng những ứng dụng của đạo hàm để giải phương trình và bất phương trình I. Lý do chọn đề tài Ta đã biết rằng các bài toán về giải phương trình và bất phương trình thường xuất hiện trong các đề thi tuyển sinh đại học và nó cũng thường gây khó khăn đối với học sinh nhất là những bài toán chứa tham số. Rất nhiều bài giải phương trình và bất phương trình cần phải sử dụng phương pháp đạo hàm mới có thể giải quyết được. Đặc biệt những bài toán chứa tham số khi mà SGK bỏ định lý đảo dấu tam thức bậc hai thì nhiều bài toán mất đi một công cụ hay để giải. Tuy nhiên nếu nghiên cứu kỹ vấn đề thì ta có thể dùng ứng dụng của đạo hàm để giải và thực tế cho thấy cách giải này cho lời giải ngắn gọn hơn. Và việc hướng dẫn học sinh bằng phương pháp đó phát triển cho học sinh nhiều phẩm chất tư duy như khái quát hoá, tư duy hàm, tư duy phân tích tổng hợp Vì vậy tôi quyết định chọn đề tài nghiên cứu “Sử dụng những ứng dụng của đạo hàm để giải phương trình và bất phương trình”. Đề tài này phù hợp với các đối tượng học sinh. II. Nội dung nghiên cứu Nội dung nghiên cứu gồm 2 phần: + Phần1. Giải phương trình + Phần 1. Giải bất phương trình 1.Giải phương trình Khi sử dụng đạo hàm trong giải phương trình ta thường sử dụng những ứng dụng như các khoảng đơn điệu của hàm số, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, Đồng thời sử dụng các tính chất sau: Tính chất 1: Nếu ( )f x là hàm số đồng biến (nghịch biến) trên (a;b) thì phương trình ( ) kf x = nếu có nghiệm sẽ có không quá một nghiệm. Chứng minh Xét trường hợp ( )f x là hàm số đồng biến. Giả sử phương trình ( ) 0f x = có hai nghiệm 1 2 1 2 ; ( ).x x x x < Nên 1 2 ( ) ( ) k.f x f x = = Do hàm số ( )f x là hàm số đồng biến nên từ 1 2 1 2 ( ) ( )x x f x f x < ⇒ < mâu thuẫn với 1 2 ( ) ( ) kf x f x = = . Chứng tỏ giả sử sai. Vậy phương trình nếu có nghiệm sẽ có không quá một nghiệm. Với trường hợp ( )f x là hàm số nghịch biến ta chứng minh tương tự. Tính chất 2: Nếu ( )f x là hàm số đồng biến (nghịch biến) trên (a;b) ( ) ( ), , (a;b)f u f v u v u v = ∀ ∈ ⇔ = . Vũ Thị Trang - Tổ Toán - Trường THPT A Nghĩa Hưng Trang 2 Sử dụng những ứng dụng của đạo hàm để giải phương trình và bất phương trình Chứng minh Xét trường hợp ( )f x là hàm số đồng biến . Nếu ( ) ( )u v f u f v = ⇒ = (hiển nhiên). Ta chứng minh nếu ( ) ( )f u f v u v = ⇒ = . Giả sử u v ≠ ,không mất tính tổng quát giả sử u v < . Do hàm số ( )f x là hàm số đồng biến nên ( ) ( )f u f v < Chứng tỏ giả sử sai. vậy ( ) ( ), , (a ;b)f u f v u v u v = ∀ ∈ ⇔ = Với trường hợp ( )f x là hàm số nghịch biến ta chứng minh tương tự. Tính chất 3: Nếu ( )f x là hàm số đồng biến còn ( )g x là hàm số nghịch biến trên ( ; )a b thì phương trình ( ) ( )f x g x= có nhiều nhất một nghiệm. Chứng minh Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 0.f x g x f x g x = ⇔ − = Xét hàm số ( ) ( ) ( )h x f x g x = − trên ( ; )a b . Khi đó ( )h x là hàm số đồng biến trên ( ; )a b . Theo tính chất 1 thì phương trình ( ) 0h x = có nhiều nhất một nghiệm (Đpcm). Đối với bài toán chứa tham số dạng f(x) = m có nghiệm trên D khi và chỉ khi: )()()(min xaxf D mmhxf D ≤≤ Ví dụ 1 : Giải phương trình sau: = + + + 3 3 1 log (1 2 ). (6.3) x x x Giải: Điều kiện: − > 1 . 2 x Đặt = + ⇒ + = 3 log (1 2 ) 1 2 3 . y y x x Ta có ⇔ + = + + + ⇔ + = + 3 (6.3) 3 1 2 log (1 2 ) 3 3 . (6.4) x x y x x x x y Xét hàm số ( ) 3 t f t t = + trên R . Có ( ) Rt t tf ∈∀>+= ′ 013ln.3 Nên hàm số ( )f t là hàm số đồng biến trên R Khi đó ⇔ = ⇔ = ⇔ = + ⇔ − − = 3 (6.4) ( ) ( ) log (1 2 ) 3 2 1 0. x f x f y x y x x x Vũ Thị Trang - Tổ Toán - Trường THPT A Nghĩa Hưng Trang 3 Sử dụng những ứng dụng của đạo hàm để giải phương trình và bất phương trình Xét − = − − > 1 ( ) 3 2 1, . 2 x g x x x Mà − = − = > ∀ > 2 1 '( ) 3 ln3 2, ''( ) (3 ln3) 0, . 2 x x g x g x x '( )g x ⇒ là hàm số đồng biến và có đổi dấu vì : = − > = − < '(2) 9ln3 2 0, '(0) ln3 2 0.g g '( ) 0g x ⇒ = có nghiệm duy nhất α = .x Ta có bảng biến thiên x -1/2 0 α 2 +∞ '( )g x - 0 + ( )g x ( )g α Từ bảng biến thiên ta thấy nếu ( ) 0g x = có nghiệm thì có nhiều nhất 2 nghiệm. Mặt khác (0) (1) 0g g = = . Do đó phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt 0, 1x x= = . Ví dụ 2: Giải phương trình: 2 2 1 1 1 1x x x x x x + − + − + + + + = . Giải: Điều kiện: 2 2 2 2 1 0 1 (6.5) 1 1 0 1 1.(6.6) x x x x x x x x x x x x   + − + ≥ − + ≥ −   ⇔   + + + + ≥ + + ≥ − −     Giải (6.5): Nếu 0x ≥ ⇒ (6.5) luôn đúng. Nếu 2 2 0 (6.5) 1 1 0 1x x x x x x < ⇒ ⇔ − + ≥ ⇔ − < ⇔ < 0x ⇒ < Chứng tỏ (6.5) đúng x ∀ ∈ ¡ . Giải (6.6): Nếu 1x ≥ − ⇒ (6.6) luôn đúng Nếu 2 2 2 2 1 (6.6) 1 ( 1) 1 2 1x x x x x x x x < − ⇒ ⇔ + + ≥ − − ⇔ + + ≥ + + Vũ Thị Trang - Tổ Toán - Trường THPT A Nghĩa Hưng Trang 4 Sử dụng những ứng dụng của đạo hàm để giải phương trình và bất phương trình 0x⇔ ≤ . Kết hợp với 1x < − ⇒ 1.x < − Chứng tỏ (6.6) đúng x∀ ∈¡ . Vậy phương trình xác định với mọi x. Phương trình tương đương với + − + + = + + + − + + + + 2 2 1 1 ( 1) ( 1) 1 ( 1) (6.7)x x x x x x x x Xét hàm số = + − + + 2 ( ) 1 .f t t t t t Ta có − + + − = + + − + − + 2 2 2 2 1 2 1 '( ) 1. 4 1 1 t t t f t t t t t t Mặt khác − + + − = − + + − > − + − ≥ 2 2 2 1 2 1 (2 1) 3 2 1 2 1 2 1 0.t t t t t t t Vậy '( ) 0f t t > ∀ ⇒ hàm số ( )f t luôn đồng biến trên .R . Khi đó ⇔ = + ⇔ = + (6.7) ( ) ( 1) 1f x f x x x (vô nghiệm). Vậy pt đã cho vô nghiệm. Ví dụ 3:Giải pt 5 7 16 14x x x x + − + + + + = . Giải: Điều kiên: ≥ 5.x Xét hàm số ( ) 5 7 16f x x x x x = + − + + + + trên ≥ 5.x Ta có : = + + + > ∀ > − + + 1 1 1 1 '( ) 0, 5. 2 2 5 2 7 2 16 f x x x x x x Hàm số ( )f x đồng biến trên +∞ (5; ). Có = + + + = ⇒ = ⇔ = (9) 3 2 4 5 14 ( ) (9) 9.f f x f x Vậy pt có nghiệm duy nhất 9x = . Ví dụ 4: Giải pt: 2 2 log (3log (3 1))x x − = . Giải: Đặt 2 1 log (3 1), 3 y x x = − > d . Vũ Thị Trang - Tổ Toán - Trường THPT A Nghĩa Hưng Trang 5 Sử dụng những ứng dụng của đạo hàm để giải phương trình và bất phương trình Ta có hệ pt: − =   = −  2 2 log (3 1) log (3 1). y x y xd Cộng vế với vế ta được: − + = − + 2 2 log (3 1) log (3 1) . (6.8)x x y y Xét hàm số = − + > 2 1 ( ) log (3 1) , . 3 f t t t t Có = + > ∀ > − 3 1 '( ) 1 0, . (3 1)ln2 3 f t x t Hàm số ( )f t là hàm đồng biến trên +∞ 1 ( ; ). 3 ⇔ = ⇔ = ⇔ = − ⇔ − + = 2 (6 .8) ( ) ( ) log (3 1) 2 3 1 0. x f x f y x y x x x Xét hàm số = − + = − ( ) 2 3 1, '( ) 2 ln2 3. x x g x x g x Ta có : = ⇔ = = 0 2 3 '( ) 0 log ( ). ln 2 g x x x Mà > ⇔ > < ⇔ < 0 0 '( ) 0 , '( ) 0 .g x x x g x x x Nên hàm số ( )g x nghịch biến trên 0 ( ; )x −∞ , đồng biến trên +∞ 0 ( ; ).x Do đó pt ( ) 0g x = có không quá 2 nghiệm trên R . Mà = = (0) (1) 0.g g Kết hợp với điều kiện được 1x = là nghiệm duy nhất của pt đã cho. Ví dụ 5: Giải pt: 1 7 7 6log (6 5) 5 x x − = − − . Giải: Điều kiện: > 5 . 6 x Đặt − = − 7 log (6 5) 1.x y − −  = −  ⇒  = −   1 1 7 6 5 (6.15) 7 6 5. (6.16) y x x y . Trừ vế với vế (6.15) và (6.16) ta có : − − − − ⇒ − = − ⇔ + = + 1 1 1 1 7 7 6 6 7 6 7 6 . (6.17) y x x y x y x y Xét hàm số 1 5 ( ) 7 6 , 6 t f t t t − = + > . Cã − = + > ∀ ∈ +∞ 1 5 '( ) 7 ln7 6 0, ( ; ). 6 t f t t Vũ Thị Trang - Tổ Toán - Trường THPT A Nghĩa Hưng Trang 6 Sử dụng những ứng dụng của đạo hàm để giải phương trình và bất phương trình ( )f t ⇒ là hàm số đồng biến trên +∞ 5 ( ; ). 6 − − ⇒ ⇔ = ⇔ = ⇔ = − ⇔ − + = 1 1 (6.17) ( ) ( ) 7 6 5 7 6 5 0 . x x f x f y x y x x Xét hàm số − = − + > 1 5 ( ) 7 6 5, . 6 x g x x x Ta có − − = − = > ∀ > 1 1 2 5 '( ) 7 ln 7 6, ''( ) (7 ln 7) 0, . 6 t t g x g x x '( )g x ⇒ đồng biến trên 5 ( ; ) 6 +∞ . Mà = − < = − > 1 '(0) ln7 6 0, '(2) 7ln 7 6 0. 7 g g '( ) 0g x ⇒ = có duy nhất 1 nghiệm α = .x Ta có bảng biến thiên x 5/6 0 α 2 +∞ '( )g x - 0 + ( )g x ( )g α Dựa vào bảng biến thiên ta thấy pt ( ) 0g x = nếu có nghiệm thì có nhiều nhất 2 nghiệm. Mà, (0) (2) 0g g = = . Do đó pt có 2 nghiệm 0, 2x x = = . Ví dụ 6: Tìm m để pt x 2 – 2x = m có nghiệm x ∈ [ 0; 1] Giải: Xét hàm số f(x) = x 2 – 2x Là hàm số liên tục trên [0;1] từ bảng biến thiên của hàm số f(x) trên [0;1] Ta có : maxf(x) = 0 ; min f(x) = - 1 [0 ; 1] [0; 1] Vậy với 1 ≤m≤0 thì pt đã cho có nghiệm trên [0;1]. ví dụ 7: Tìm m để pt sau có nghiệm mxxxx =−+−+++ )3)(1(31 Vũ Thị Trang - Tổ Toán - Trường THPT A Nghĩa Hưng Trang 7 Sử dụng những ứng dụng của đạo hàm để giải phương trình và bất phương trình Giải : Đặt t = xx +++ 31 thì 2 ≤ t ≤ 2 2 + Khi đó pt trở thành: f(x) = mt t =++− 2 2 2 Lập bảng biến thiên của f(t) với 2 ≤ t ≤ 2 2 Ta có : 222 ]22;2[ )(min −=tf 2 ]22;2[ )'(max =tf Vậy pt có nghiệm khi  2222 ≤≤− m . Ví dụ 8: Xác định m để pt sau có nghiệm: 2 1 2 1 4 122 2 1 2 1 xxxxxm −−++−=+−−+         . Giải: Điều kiện: 11 ≤≤− x . Đặt 2 1 2 1 xxt −−+= Với [ ] [ ] 2;01;1 ∈⇒−∈ tx . Pt đã cho trở thành: ( ) 2 2 2 ++−=+ tttm 2 2 2 + ++− =⇔ t tt m . Đặt ( ) 2 2 2 + ++− = t tt tf Lập bảng biến thiên của hàm số ( ) tf trên [ ] 2;0 . Ta có: ( ) ( ) 2 2 4 2 + −− = ′ t tt tf ( ) 0= ′ tf ⇔ Bảng biến thiên: t -4 0 2 ( ) tf ′ 0 + 0 - f(t) 1 Vũ Thị Trang - Tổ Toán - Trường THPT A Nghĩa Hưng Trang 8 Sử dụng những ứng dụng của đạo hàm để giải phương trình và bất phương trình 2 -1 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy với 112 ≤≤− m thì pt đã cho có nghiệm. 2. Giải bất phương trình Để giải bất phương trình ta thường sử dụng tính chất: Nếu ( )f x đồng biến trên ( ; )a b thì bất pt: < ∈ ⇔ < ( ) ( ), , ( ; ) .f u f v u v a b u v Đối với bất pt chứa tham số: 1. Bất pt dạng f(x) ≥ h(m) có nghiệm trên D <=> ( ) )(max xf D mh ≤ 2. Bất pt dạng : f(x) ≥ h(m) nghiệm đúng ∀x∈D <=> ( ) )(min xf D mh ≤ 3. Bất pt dạng : f(x) ≥ h(m) vô nghiệm trên D <=> ( ) )(max xf D mh > 4. Bất pt dạng h(m) > f(x) có nghiệm trên D <=> ( ) )(min xf D mh > 5. Bất pt dạng : h(m)> f(x) nghiệm đúng ∀x∈D <=> ( ) )(max xf D mh > 6. Bất pt dạng : h(m) > f(x) vô nghiệm trên D <=> ( ) )(min xfmh ≤ Ví dụ 9 : Giải bất pt sau: + + − + + − < − 2 7 7 7 6 2 49 7 12 181 14 .x x x x x x (6.20) ( ĐHAN - 2001 ) Giải: Điều kiện: ≥ 6 . 7 x Ta có (6.20) ⇔ + + − + + + − − < 2 ( 7 7 7 6) ( 7 7 7 6) 182 0x x x x Vũ Thị Trang - Tổ Toán - Trường THPT A Nghĩa Hưng Trang 9 Sử dụng những ứng dụng của đạo hàm để giải phương trình và bất phương trình ⇔ + + − − < 7 7 7 6 13 0.x x (6.21) Xét hàm số ( ) 7 7 7 6 13f x x x = + + − − trên +∞ 6 [ ; ). 7 Có = + > ∀ > + − 7 7 6 '( ) 0, . 7 2 7 7 2 7 6 f x x x x Do đó hàm số ( )f x đồng biến trên +∞ 6 ( ; ). 7 Mà (6) 0 6f x= ⇒ = là nghiệm duy nhất của = ( ) 0.f x Khi đó (6.21) ⇔ < ⇔ < ( ) (6) 6.f x f x Vậy bất pt đã cho có nghiệm 6 6 7 x ≤ < . Ví dụ 10 : Giải bất pt sau: − + − − + > − − − 2 2 2 3 6 1 3 1.x x x x x x (6.22) Giải: Điều kiện: ≤ ≤ 1 3.x Ta có ⇔ − + + − > − + + − 2 2 (6.22) 2 3 1 6 1 3x x x x x x ⇔ − + + − > − + + − 2 2 ( 1) 2 1 (3 ) 2 3 .x x x x (6.23) Xét hàm số 2 ( ) 2f t t t = + + trên [0;2]. Có 2 1 '( ) 0 (0;2] 2 2 t f t t t t = + > ∀ ∈ + . Hàm số ( )f t đồng biến trên (0;2). ⇒ ⇔ − > − ⇔ − > − ⇔ > (6.23) ( 1) (3 ) 1 3 2f x f x x x x . Vậy bất phương trình có tập nghiệm là T (2;3] = . Ví dụ 11: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: .41 mxx ≥−−+ (*) Giải: Điều kiện: -1≤ x≤ 4. Đặt ( ) =xf xx −−+ 41 Để (*) có nghiệm thì [ ] )( 4;1 max xfm − ≤ Vũ Thị Trang - Tổ Toán - Trường THPT A Nghĩa Hưng Trang 10 [...]... trình và bất phương trình 4 Đề tài nhằm phục vụ cho các đối tượng học sinh trung bình, khá và giỏi Bên cạnh những kết quả thu được chuyên đề còn nhiều hạn chế và thi u sót Kính mong được sự đóng góp của các đồng nghiệp để đề tài được hoàn thi n hơn Tôi xin chân thành cảm ơn! Nghĩa Hưng, ngày 08 tháng 02 năm 2011 Người viết Vũ Thị Trang Vũ Thị Trang - Tổ Toán - Trường THPT A Nghĩa Hưng Trang 12 Sử dụng... Tìm các giá trị của m để pt sau có nghiệm thực: 3 x − 1 + m x + 1 = 24 x 2 − 1 (ĐH Khối A-2007) Bài 6 Tìm m để bất pt x -2x - m - 20m≥ 0 có nghiệm trên III Kết luận: Trải qua thực tiễn giảng dạy nội dung liên quan đến chuyên đề, với sự góp ý của đồng nghiệp, vận dụng chuyên đề vào giảng dạy đã thu được một số kết quả sau: 1 Học sinh có thể vận dụng được các kết quả cơ bản của chuyên đề vào giải phương . dẫn học sinh bằng phương pháp đó phát triển cho học sinh nhiều phẩm chất tư duy như khái quát hoá, tư duy hàm, tư duy phân tích tổng hợp Vì vậy tôi quyết định chọn đề tài nghiên cứu “Sử dụng. ln3 2 0.g g '( ) 0g x ⇒ = có nghiệm duy nhất α = .x Ta có bảng biến thi n x -1/2 0 α 2 +∞ '( )g x - 0 + ( )g x ( )g α Từ bảng biến thi n ta thấy nếu ( ) 0g x = có nghiệm thì. 0. 7 g g '( ) 0g x ⇒ = có duy nhất 1 nghiệm α = .x Ta có bảng biến thi n x 5/6 0 α 2 +∞ '( )g x - 0 + ( )g x ( )g α Dựa vào bảng biến thi n ta thấy pt ( ) 0g x = nếu