A. Các kiến thức thường sử dụng là: + Bất đẳng thức Côsi: “Cho hai số không âm a, b; ta có bất đẳng thức: ; Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b”. + Bất đẳng thức: (BĐT: Bunhiacopxki); Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi . + ; Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ab 0. + Sử dụng “bình phương” để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. Nếu thì min y = a khi f(x) = 0. Nếu thì max y = a khi f(x) = 0. + Phương pháp “tìm miền giá trị” (cách 2 ví dụ 1 dạng 2). C. CÁC DẠNG TOÁN VÀ CÁCH GIẢI • Dạng 1: CÁC BÀI TOÁN MÀ BIỂU THỨC CHO LÀ MỘT ĐA THỨC
A. Các kiến thức thường sử dụng là: + Bất đẳng thức Côsi: “Cho hai số không âm a, b; ta có bất đẳng thức: 2 a b ab + ≥ ; Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b”. + Bất đẳng thức: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 ac bd a b c d+ ≤ + + (BĐT: Bunhiacopxki); Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a b c d = . + a b a b+ ≥ + ; Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ab ≥ 0. + Sử dụng “bình phương” để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. Nếu [ ] 2 ( )y a f x= + thì min y = a khi f(x) = 0. Nếu [ ] 2 ( )y a f x= − thì max y = a khi f(x) = 0. + Phương pháp “tìm miền giá trị” (cách 2 ví dụ 1 dạng 2). C. CÁC DẠNG TOÁN VÀ CÁCH GIẢI • Dạng 1 : CÁC BÀI TOÁN MÀ BIỂU THỨC CHO LÀ MỘT ĐA THỨC Bài toán 1: Tìm GTNN của các biểu thức: a) 2 4 4 11A x x= + + b) B = (x-1)(x+2)(x+3)(x+6) c) 2 2 2 4 7C x x y y= − + − + Giải: a) ( ) 2 2 2 4 4 11 4 4 1 10 2 1 10 10A x x x x x= + + = + + + = + + ≥ ⇒ Min A = 10 khi 1 2 x = − . b) B = (x-1)(x+2)(x+3)(x+6) = (x-1)(x+6)(x+2)(x+3) = (x 2 + 5x – 6)(x 2 + 5x + 6) = (x 2 + 5x) 2 – 36 ≥ -36 ⇒ Min B = -36 khi x = 0 hoặc x = -5. c) 2 2 2 4 7C x x y y= − + − + = (x 2 – 2x + 1) + (y 2 – 4y + 4) + 2 = (x – 1) 2 + (y – 2) 2 + 2 ≥ 2 ⇒ Min C = 2 khi x = 1; y = 2. 1 Bài toán 2: Tìm GTLN của các biểu thức: a) A = 5 – 8x – x 2 b) B = 5 – x 2 + 2x – 4y 2 – 4y Giải: a) A = 5 – 8x – x 2 = -(x 2 + 8x + 16) + 21 = -(x + 4) 2 + 21 ≤ 21 ⇒ Max A = 21 khi x = -4. b) B = 5 – x 2 + 2x – 4y 2 – 4y = -(x 2 – 2x + 1) – (4y 2 + 4y + 1) + 7 = -(x – 1) 2 – (2y + 1) 2 + 7 ≤ 7 ⇒ Max B = 7 khi x = 1, 1 2 y = − . Bài toán 3: Tìm GTNN của: a) 1 2 3 4M x x x x= − + − + − + − b) ( ) 2 2 1 3 2 1 2N x x= − − − + Giải: a) 1 2 3 4M x x x x= − + − + − + − Ta có: 1 4 1 4 1 4 3x x x x x x− + − = − + − ≥ − + − = Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (x – 1)(4 – x) ≥ 0 hay 1 4x ≤ ≤ 2 3 2 3 2 3 1x x x x x x− + − = − + − ≥ − + − = Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (x – 2)(3 – x) ≥ 0 hay 2 3x ≤ ≤ Vậy Min M = 3 + 1 = 4 khi 2 3x ≤ ≤ . b) ( ) 22 2 1 3 2 1 2 2 1 3 2 1 2N x x x x= − − − + = − − − + Đặt 2 1t x= − thì t ≥ 0 Do đó N = t 2 – 3t + 2 = 2 3 2 1 ( ) 4 t − − 1 4 N⇒ ≥ − . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 3 3 0 2 2 t t− = ⇔ = Do đó 1 4 N = − khi 3 5 2 1 3 3 2 4 2 1 3 1 2 2 2 1 2 4 x x t x x x − = = = ⇒ − = ⇒ ⇒ − = − = − 2 Vậy min 1 5 4 4 N x= − ⇔ = hay 1 4 x = − . Bài toán 4: Cho x + y = 1. Tìm GTNN của biểu thức M = x 3 + y 3 . Giải: M = x 3 + y 3 = (x + y)(x 2 – xy + y 2 ) = x 2 - xy + y 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ( ) 2 2 2 2 2 2 2 x y x y x y xy x y = + + − + = + + − ÷ 2 2 1 ( ) 2 M x y⇒ ≥ + Ngoài ra: x + y = 1 ⇒ x 2 + y 2 + 2xy = 1 ⇒ 2(x 2 + y 2 ) – (x – y) 2 = 1 => 2(x 2 + y 2 ) ≥ 1 Do đó 2 2 1 2 x y+ ≥ và 2 2 1 1 2 2 x y x y+ = ⇔ = = Ta có: 2 2 1 ( ) 2 M x y≥ + và 2 2 1 1 1 1 ( ) . 2 2 2 4 x y M+ ≥ ⇒ ≥ = Do đó 1 4 M ≥ và dấu “=” xảy ra 1 2 x y⇔ = = Vậy GTNN của 1 1 4 2 M x y= ⇔ = = Bài toán 5: Cho hai số x, y thỏa mãn điều kiện: (x 2 – y 2 + 1) 2 + 4x 2 y 2 – x 2 – y 2 = 0. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức x 2 + y 2 . Giải: (x 2 – y 2 + 1) 2 + 4x 2 y 2 – x 2 – y 2 = 0 ⇔ [(x 2 + 1) – y 2 ] 2 + 4x 2 y 2 – x 2 – y 2 = 0 ⇔ x 4 + 2x 2 + 1 + y 4 – 2y 2 (x 2 + 1) + 4x 2 y 2 – x 2 – y 2 = 0 ⇔ x 4 + y 4 + 2x 2 y 2 + x 2 – 3y 2 + 1 = 0 ⇔ x 4 + y 4 + 2x 2 y 2 - 3x 2 – 3y 2 + 1 = -4x 2 ⇔ (x 2 +y 2 ) 2 -3(x 2 +y 2 )+1=-4x 2 Đặt t = x 2 + y 2 . Ta có: t 2 – 3t + 1 = -4x 2 Suy ra: t 2 – 3t + 1 ≤ 0 3 2 2 3 9 5 2. . 0 2 4 4 3 5 3 5 2 4 2 2 5 3 5 2 2 2 3 5 3 5 2 2 t t t t t t ⇔ − + − ≤ ⇔ − ≤ ⇔ − ≤ ÷ ⇔ − ≤ − ≤ − + ⇔ ≤ ≤ Vì t = x 2 + y 2 nên : GTLN của x 2 + y 2 = 3 5 2 + GTNN của x 2 + y 2 = 3 5 2 − Bài toán 6: Cho 0 ≤ a, b, c ≤ 1. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: P = a + b + c – ab – bc – ca. Giải: Ta có: P = a + b + c – ab – bc – ca = (a – ab) + (b - bc) + (c – ca) = a(1 – b) + b(1 – c) + c(1 – a) 0 (vì 0 , , 1a b c≤ ≤ ) Dấu “=” có thể xảy ra chẳng hạn: a = b = c = 0 Vậy GTNN của P = 0 Theo giả thiết ta có: 1 – a ≥ 0; 1 – b ≥ 0; 1 – c ≥ 0; ⇒ (1-a)(1-b)(1-c) = 1 + ab + bc + ca – a – b – c – abc ≥ 0 ⇒ P = a + b + c – ab – bc – ac 1 1abc ≤ − ≤ Dấu “=” có thể xảy ra chẳng hạn: a = 1; b = 0; c tùy ý [ ] 0;1∈ Vậy GTLN của P = 1. Bài toán 7: Cho hai số thực x, y thỏa mãn điều kiện: x 2 + y 2 = 1. Tìm GTLN và GTNN của x + y. Giải: Ta có: (x + y) 2 + (x – y) 2 ≥ (x + y) 2 ⇔ 2(x 2 + y 2 ) ≥ (x + y) 2 Mà x 2 + y 2 = 1 ⇒ (x + y) 2 ≤ 2 4 2 2 2x y x y⇔ + ≤ ⇔ − ≤ + ≤ - Xét 2x y+ ≤ Dấu “=” xảy ra 2 2 2 x y x y x y = ⇔ ⇔ = = + = - Xét 2x y+ ≥ − Dấu “=” xảy ra 2 2 2 x y x y x y = − ⇔ ⇔ = = + = − Vậy x + y đạt GTNN là 2− 2 2 x y − ⇔ = = . Bài toán 8: Cho các số thực dương thỏa mãn điều kiện: x 2 + y 2 + z 2 ≤ 27. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: x + y + z + xy + yz + zx. Giải: Ta có: (x – y) 2 + (x – z) 2 + (y – z) 2 ≥ 0 ⇔ 2x 2 + 2y 2 + 2z 2 - 2xy - 2yz - 2zx ≥ 0 ⇒ (x + y + z) 2 = x 2 + y 2 + z 2 +2(xy + yz + zx) ≤ 3(x 2 + y 2 + z 2 ) ≤ 81 ⇒ x + y + z ≤ 9 (1) Mà xy + yz + zx ≤ x 2 + y 2 + z 2 ≤ 27 (2) Từ (1) và (2) => x + y + z + xy + yz + zx ≤ 36. Vậy max P = 36 khi x = y = z = 3. Đặt A = x + y + z và B = x 2 + y 2 + z 2 2 2 ( 1) 1 1 2 2 2 2 A B A B B P A − + + + ⇒ = + = − ≥ − Vì B ≤ 27 ⇒ 1 2 B + − ≥ -14 ⇒ P ≥ -14 Vậy min P = -14 khi 2 2 2 1 27 x y z x y z + + = − + + = Hay 13; 13; 1x y z= − = = − . Bài toán 9: Giả sử x, y là các số dương thỏa mãn đẳng thức: x + y = 10 . Tìm giá trị của x và y để biểu thức: P = (x 4 + 1)(y 4 + 1) đạt GTNN. Tìm GTNN ấy. Giải: Ta có: P = (x 4 + 1)(y 4 + 1) = (x 4 + y 4 ) + (xy) 4 + 1 Đặt t = xy thì: 5 x 2 + y 2 = (x + y) 2 – 2xy = 10 – 2t x 4 + y 4 = (x 2 + y 2 ) 2 – 2x 2 y 2 = (10 – 2t) 2 – 2t 2 = 2t 2 – 40t + 100 Do đó: P = 2t 2 – 40t + 100 + t 4 + 1 = t 4 + 2t 2 – 40t + 101 = (t 4 – 8t 2 + 16) + 10(t 2 – 4t + 4) + 45 = (t 2 – 4) 2 + 10(t – 2) 2 + 45 45P⇒ ≥ và dấu “=” xảy ra ⇔ x + y = 10 và xy = 2. Vậy GTNN của P = 45 ⇔ x + y = 10 và xy = 2. Bài toán 10: Cho x + y = 2. Tìm GTNN của biểu thức: A = x 2 + y 2 . Giải: Ta có: x + y = 2 ⇒ y = 2 – x Do đó: A = x 2 + y 2 = x 2 + (2 – x) 2 = x 2 + 4 – 4x + x 2 = 2x 2 – 4x + 4 = 2( x 2 – 2x) + 4 = 2(x – 1) 2 + 2 ≥ 2 Vậy GTNN của A là 2 tại x = y = 1. • Dạng 2 : CÁC BÀI TOÁN MÀ BIỂU THỨC CHO LÀ MỘT PHÂN THỨC Bài toán 1: Tìm GTLN và GTNN của: 2 4 3 1 x y x + = + . Giải: * Cách 1: 2 2 2 4 3 ax 4 3 1 1 x x a y a x x + − + + − = = + + + Ta cần tìm a để 2 ax 4 3x a− + + − là bình phương của nhị thức. Ta phải có: 1 ' 4 (3 ) 0 4 a a a a = − ∆ = + − = ⇔ = - Với a = -1 ta có: 2 2 2 2 4 3 x 4 4 ( 2) 1 1 1 1 1 x x x y x x x + + + + = = − + = − + + + + 6 1.y⇒ ≥ − Dấu “=” xảy ra khi x = -2. Vậy GTNN của y = -1 khi x = -2. - Với a = 4 ta có: 2 2 2 2 4 3 -4x 4 1 (2 1) 4 4 4 1 1 1 x x x y x x x + + − − = = + = − ≤ + + + Dấu “=” xảy ra khi x = 1 2 . Vậy GTLN của y = 4 khi x = 1 2 . * Cách 2: Vì x 2 + 1 ≠ 0 nên: 2 2 4 3 yx 4 3 0 1 x y x y x + = ⇔ − + − = + (1) y là một giá trị của hàm số ⇔ (1) có nghiệm - Nếu y = 0 thì (1) 3 4 x⇔ = − - Nếu y ≠ 0 thì (1) có nghiệm ⇔ ' 4 ( 3) 0y y∆ = − − ≥ ( 1)( 4) 0y y⇔ + − ≤ 1 0 4 0 y y + ≥ ⇔ − ≤ hoặc 1 0 4 0 y y + ≤ − ≥ 1 4y⇔ − ≤ ≤ Vậy GTNN của y = -1 khi x = -2. Vậy GTLN của y = 4 khi x = 1 2 . Bài toán 2: Tìm GTLN và GTNN của: 2 2 1 1 x x A x x − + = + + . Giải: Biểu thức A nhận giá trị a khi và chỉ khi phương trình ẩn x sau đây có nghiệm: 2 2 1 1 x x a x x − + = + + (1) Do x 2 + x + 1 = x 2 + 2. 1 2 .x + 2 1 3 1 3 0 4 4 2 4 x + = + + ≠ ÷ Nên (1) ⇔ ax 2 + ax + a = x 2 – x + 1 ⇔ (a – 1)x 2 + (a + 1)x + (a – 1) = 0 (2) • Trường hợp 1: Nếu a = 1 thì (2) có nghiệm x = 0. • Trường hợp 2: Nếu a ≠ 1 thì để (2) có nghiệm, điều kiện cần và đủ là 0∆ ≥ , tức là: 7 2 ( 1) 4( 1)( 1) 0 ( 1 2 2)( 1 2 2) 0 1 (3 1)( 3) 0 3( 1) 3 a a a a a a a a a a a + − − − ≥ ⇔ + + − + − + ≥ ⇔ − − ≤ ⇔ ≤ ≤ ≠ Với 1 3 a = hoặc a = 3 thì nghiệm của (2) là ( 1) 1 2( 1) 2(1 ) a a x a a − + + = = − − Với 1 3 a = thì x = 1 Với a = 3 thì x = -1 Kết luận: gộp cả 2 trường hợp 1 và 2, ta có: GTNN của 1 3 A = khi và chỉ khi x = 1 GTLN của A = 3 khi và chỉ khi x = -1 Bài toán 3: a) Cho a, b là các số dương thỏa mãn ab = 1. Tìm GTNN của biểu thức: 2 2 4 ( 1)( )A a b a b a b = + + + + + . b) Cho m, n là các số nguyên thỏa 1 1 1 2 3m n + = . Tìm GTLN của B = mn. Giải: a) Theo bất đẳng thức Côsi cho hai số dương a 2 và b 2 2 2 2 2 2 2 2a b a b ab+ ≥ = = (vì ab = 1) 2 2 4 4 4 ( 1)( ) 2( 1) 2 ( ) ( )A a b a b a b a b a b a b a b a b ⇒ = + + + + ≥ + + + = + + + + + + + + Cũng theo bất đẳng thức côsi cho hai số dương a + b và 4 a b+ . Ta có: (a + b) + 4 4 2 ( ). 4a b a b a b ≥ + = + + Mặt khác: 2 2a b ab+ ≥ = Suy ra: 4 2 ( ) ( ) 2 4 2 8A a b a b a b ≥ + + + + + ≥ + + = + Với a = b = 1 thì A = 8 Vậy GTNN của A là 8 khi a = b = 1. b) Vì 1 1 1 2 3m n + = nên trong hai số m, n phải có ít nhất một số dương. Nếu có một trong hai số là âm thì B < 0. Vì ta tìm GTLN của B = mn nên ta chỉ xét trường hợp cả hai số m, n cùng dương. 8 Ta có: 1 1 1 3(2 ) 2 (2 3)( 3) 9 2 3 m n mn m n m n + = ⇔ + = ⇔ − − = Vì m, n ∈ N * nên n – 3 ≥ -2 và 2m – 3 ≥ -1. Ta có: 9 =1.9 = 3.3 = 9.1; Do đó xảy ra: + 2 3 1 2 3 9 12 m m n n − = = ⇔ − = = và B = mn = 2.12 = 24 + 2 3 1 3 3 3 6 m m n n − = = ⇔ − = = và B = mn = 3.6 = 18 + 2 3 9 6 3 1 4 m m n n − = = ⇔ − = = và B = mn = 6.4 = 24 Vậy GTLN của B = 24 khi 2 12 m n = = hay 6 4 m n = = Bài toán 4: Giả sử x và y là hai số thỏa mãn x > y và xy = 1. Tìm GTNN của biểu thức: 2 2 x y A x y + = − . Giải: Ta có thể viết: 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 2x y x xy y xy x y xy A x y x y x y + − + + − + = = = − − − Do x > y và xy = 1 nên: 2 ( ) 2 2 2 2 2 x y xy x y x y A x y x y x y x y − + − − = = − + = + + − − − Vì x > y ⇒ x – y > 0 nên áp dụng bất đẳng thức côsi với 2 số không âm, ta có: 2 2. . 2 2 x y x y A x y − − ≥ + − Dấu “=” xảy ra 2 2 ( ) 4 ( ) 2 2 x y x y x y x y − ⇔ = ⇔ − = ⇔ − = − (Do x – y > 0) Từ đó: 2 2 3 2 A ≥ + = Vậy GTNN của A là 3 2 1 x y xy − = ⇔ = 1 2 1 2 x y = + ⇔ = − + hay 1 2 1 2 x y = − = − − Thỏa điều kiện xy = 1 Bài toán 5: Tìm GTLN của hàm số: 2 1 1 y x x = + + . Giải: Ta có thể viết: 2 2 1 1 1 1 3 2 4 y x x x = = + + + + ÷ 9 Vì 2 1 3 3 2 4 4 x + + ≥ ÷ . Do đó ta có: 4 3 y ≤ . Dấu “=” xảy ra 1 2 x⇔ = − . Vậy: GTLN của 4 3 y = tại 1 2 x − = Bài toán 6: Cho t > 0. Tìm GTNN của biểu thức: 1 ( ) 4 f t t t = + . Giải: Ta có thể viết: 2 2 2 1 4 1 (2 1) 4 (2 1) ( ) 1 4 4 4 4 t t t t f t t t t t t + − + − = + = = = + Vì t > 0 nên ta có: ( ) 1f t ≥ Dấu “=” xảy ra 1 2 1 0 2 t t⇔ − = ⇔ = Vậy f(t) đạt GTNN là 1 tại 1 2 t = . Bài toán 7: Tìm GTNN của biểu thức: 2 2 1 ( ) 1 t g t t − = + . Giải: Ta có thể viết: 2 2 2 1 2 ( ) 1 1 1 t g t t t − = = − + + g(t) đạt GTNN khi biểu thức 2 2 1t + đạt GTLN. Nghĩa là t 2 + 1 đạt GTNN Ta có: t 2 + 1 ≥ 1 ⇒ min (t 2 + 1) = 1 tại t = 0 ⇔ min g(t) = 1 – 2 = -1 Vậy GTNN của g(x) là -1 tại t = 0. Bài toán 8: Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn điều kiện: xyz = 1. Tìm GTNN của biểu thức: 3 3 3 1 1 1 ( ) ( ) ( ) E x y z y z x z x y = + + + + + . Giải: Đặt 1 1 1 1 ; ; 1a b c abc x y z xyz = = = ⇒ = = Do đó: 1 1 ( ). ( )a b x y a b xy x y c a b x y + = + ⇒ + = + ⇒ + = + Tương tự: y + z = a(b + c) z + x = b(c + a) 10 [...]... 4 ≥ 4 = 2 2 GTNN của x1 − x2 là 2 khi m = m∈ R 1 2 Bài 21: Tìm giá trị nhỏ nhất của: y = x − 1 + x − 2 + + x − 1998 Gợi ý: Ta có: y = ( 1x − 1 + x − 1998 ) + ( x − 2 + x − 1997 ) + …+ ( x − 998 + x − 999 ) x − 1 + x − 1998 nhỏ nhất bằng 1997 khi x ∈ [ 1;1998] x − 2 + x − 1997 nhỏ nhất bằng 1995 khi x ∈ [ 2;1997 ] x − 998 + x − 1999 nhỏ nhất bằng 1 khi x ∈ [ 999;1000] Vậy y đạt GTNN bằng 1 + 3 + …+... Chú ý: Mặc dù A = (2x – 3)2 – 7 ≥ −7 Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi x = 3 nhưng 2 giá trị không thỏa mãn x ≤ −1 , không thỏa mãn x ≥ 3 Do đó không thể kết luận được GTNN của A bằng – 7 Bài 2: Gọi x1; x2 là các nghiệm của phương trình: x2 – (2m – 1) x + (m – 2) = 0 2 Tìm các giá trị của m để x12 + x2 có giá trị nhỏ nhất Gợi ý: ∆ = 4(m - 1 )2 + 5 > 0 Phương trình đã cho có nghiệm với mọi m theo hệ... + 3 + … + 1997 là (1997 – 1) : 2 + 1 = 999 Vậy Min y = 9992 khi 999 ≤ x ≤ 1000 25 Theo Bài 22: Cho biểu thức: M = x2 + y2 + 2z2 + t2 Với x, y, z, t là các số nguyên không âm , tìm gia strị nhỏ nhất của M và các giá trị tương ứng của x, y, z, t Biết rằng: x 2 − y 2 + t 2 = 21 2 2 2 x + 3 y + 4 z = 101 (1) (2) Gợi ý: Theo giả thiết: x2 – y2 + t2 = 21 x2 + 3y2 + 4z2 = 101 => 2x2 + 2y2 + 4z2... => y 2 ≤ 33 => 0 ≤ y ≤ 5 Ta chọn x = 5 ; y = 2 => z = 4 Vậy Min M = 61 tại x = 5 ; y = 2 ; z = 4; t = 0 Bài 23: Cho phương trình: x4 + 2x2 +2ax – (a – 1)2 = 0 Tìm giá trị của a để nghiệm của phương trình đó: a) Đạt GTNN b) Đạt gía trị lớn nhất Gợi ý: Gọi m là nghiệm của phương trình (1) thì: m4 + 2m2 + 2am + a2 + 2a + 1 = 0 (2) Viết (2) dưới dạng phương trình bậc hai ẩn a a2 + 2 (m + 1) a + (m4 + 2m2... − ⇒ ( x; y ) = ; ÷ 10 5 10 5 Vậy GTLN của a là 1 khi x = 0; y = 1 GTNN của a là -5 khi x = − 3 4 ;y=− 10 5 Bài toán 10: Giả sử x, y là hai số dương thỏa mãn điều kiện: x + y = 1 Hãy tìm gái trị nhỏ nhất cảu biểu thức: 2 2 1 1 M = x+ ÷ + y+ ÷ x y Giải: 2 2 1 1 Ta có: M = x + ÷ + y + ÷ x y 1 1 2 2 = x + x2 + 2 + y + y 2 + 2 x2 + y 2 1 2 2 2 2 = 4 + x + y + 2... ( ) ( 2 x −1 + ) 2 5 − x = 100 y 2 ≤ 100 => y ≤ 10 Dấu “=” xảy ra x = * b) Gía trị nhỏ nhất: Ta có: y = 3 x − 1 + 4 5 − x = 3 x − 1 + 3 5 − x + 5 − x = 3( x −1 + 5 − x ) + 5 − x Đặt: A = x − 1 + 5 − x thì t2 = 4 + 2 ( x − 1) ( 5 − x ) => A ≥ 2 và dấu “=” xảy ra khi x = 1 hoặc x = 5 Vậy... nghịêm của phương trình đạt GTLN là 1 với a = -2 x2 + 2 x + 2 Bài 24: Tìm GTNN, GTLN của t = x2 + 1 Gợi ý: Vì x2 + 1 > 0 với mọi x x2 + 2 x + 2 Đặt a = => (a – 1) x2 – 2 x +a – 2 = 0 (1) 2 x +1 a là một giá trị của hàm số (1) có nghiệm - Nếu a = 1 thì (1) x = −1 2 - Nếu a ≠ 1 thì (1) có nghiệm ∆ ' ≥ 0 Min A = 3− 5 −1 − 5 3+ 5 với x = ; Max A = với x = 2 2 2 Bài 25: x 2 − xy + y 2 Tìm GTNN, GTLN