14.MƯỜI HAI BÀI TOÁN TRÒ HỎI - KHÁ HAY

Câu 1: cho hàm số y = -x 3 – 3x 2 + 4 (1) Với giá trị nào của m thì đường thẳng nối 2 cực trị đồ thị của hàm số (1) tiếp xúc với đường tròn (C): (x – m) 2 + (y – m -1) 2 =5 Lời Giải : - Viết biểu thức hàm số dưới dạng y = f(x) = f ’(x).q(x) + r(x) Thì y = r(x) là phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cự trị của hàm số (Chia f(x) cho f ’(x) được thương là q(x) , dư là nhị thức bậc nhất r(x) ) - Với hàm số y = f(x) -x 3 – 3x 2 + 4 (1) .Ta có: f ’(x) = -3 - 6x -Viết y = f(x) -x 3 – 3x 2 + 4 dưới dạng: y = (-3x 2 – 6x )( + ) + 2x + 4 .Theo lập luận trên, ta có : Đường thẳng đi qua hai điểm đại, cực tiểu của hàm số có phương trình là : y = 2x + 4 2x – y + 4 = 0 (d) - Đường tròn (C): (x – m) 2 + (y – m -1) 2 =5 Có Tâm I(m ; m+ 1) và bán kính R = . - Đường thẳng (d) tiếp xúc với đường tròn (C) khi và chỉ khi khoảng cách từ tâm I(m ; m + 1) đến đường thẳng (d) bằng bán kính đường tròn R = . Tức là: = = 5 m 1 = 2 và m 2 = - 8 Trả lời : Có hai giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán : m 1 = 2 và m 2 = - 8 Câu 2: 13)1(2 2  xxx = 582522 2  xxx Lời Giải : Điều kiện : - Viết phương trình thành dạng : ( - 5) + 4(x + 1) – 2(x + 1) = 2 – 6 ( + 4x - 5) + 2(x +1) - 2 = 0 (Nhân lượng liên hiệp) (x – 1)(x + 5) - 0 (x – 1)(x + 5) - 0 (x – 1) 0 Câu 3: (2cos 2 x + cosx – 2) + sinx(3 - 2cosx) = 0 (cos2x + cosx – 1)+ 3sinx – sin2x = 0 cos2x - sin2x = - ( sinx + cosx ) + (Chia hai vế cho 2) - cos2x + sin2x = ( sinx + cosx ) - sin(2x - ) = sin(x + ) - sin(2x - ) + = . sin(2x - ) + sin = . 2sinx cos( – x) - . = 0 2sinx - . = 0 ( Vì : cos( – x) = ,Hai góc phụ nhau ) = 0 (Là các phương trình cơ bản) Câu 4 : Tính giới hạn : Lời giải : Áp dụng tính chất của hàm số liên tục : = ln Ta có : I = = ln (*) - Đặt : x - = t , x = t + .Khi thì , cos2x = cos2(t + ) = cos(2t + ) = - sin2t Và cos6x = cos3.2x = 4cos 3 2x – 3cos2x = -4sin 3 2t + 3sin2t (Công thức góc nhân ba : cos3a = 4cos 3 a – 3cosa) - Do đó: I = ln = ln . ( Đặt : - sin2t = u .Khi thì ) = ln = ln = Câu 6: cho x, y  R và x, y > 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của P =        11 2233   yx yxyx Lời giải : - Đặt: x – 1 = a ; y -1 = b thì x = a + 1 và y = b +1 . Do đó: P = = = = + + 8 (Theo Côsy) dấu bằng xẩy ra –Tức là P đạt gtnn, khi và chỉ khi a = b = 1 x = y = 2 thì P đạt gtnn , MinP = 8 Câu 7: trong mặt phẳng với hệ tọa dộ Oxy, cho hình thang cân ABCD có diện tích là 2 15 có đáy lớn AB gấp 2 lần đáy nhỏ CD. Biết rằng điểm A(2;0), B(0;4) và điểm C có tọa độ dương.Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh CD Lời giải : - Ta có A(2;0), B(0;4) nên AB = = 2 , AB dài gấp đôi CD nên CD = - Gọi độ dài đường cao hình thang là h .Diện tích của hình thang S = = (AB + CD)h 15 = 3 h Vậy HK = h = (khoảng cách giữa hai đường thẳng AB ,CD bằng ) - Đường thẳng AB có phương trình theo các đoạn chắn là : + = 1 2x + y – 4 = 0 (AB) - Gọi khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng AB là OH = a Thì a là đường cao (Thuộc cạnh huyền) của tam giác vuông AOB .Có OA = 2 , OB = 4 là hai cạnh góc vuông nên : = + Tức là = + = vậy OH = a = Do đó suy ra khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng CD là OK = OH + HK = + = (1) - Đường thẳng CD song song với đường thẳng AB nên CD có phương trình :2x + y + m = 0 (CD) ta tìm m Phương trình của đường thẳng CD viết dạng: theo các đoạn chắn : + = 1.Theo giả thiết đỉnh C có tọa độ dương nên suy ra –m > 0 tức là m < 0 .Đường thẳng CD cắt trục Ox tại điểm M ( ; 0) và cắt trục Oy tại điểm N(0 ; -m). vuông tai ,có OM = , ON = -m ,đường cao (Thuộc cạnh huyền) là OK do đó : = + Tức là : = + = vậy OK = (Chú ý: m <0 đã nói trên) (2) - Từ (1) và (2) ta có m = - 9 Thay vào phương trình đường thẳng CD được: 2x + y - 9 = 0 Trả lời : Phương trình của đường thẳng CD : 2x + y - 9 = 0 Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d và d’ lần lượt có phương trình: y x K H N M B A O d: z y x     1 2 và d’: 1 5 3 2 2     z y x . Viết phương trình mặt phẳng    đi qua d và tạo với d’ một góc 30 0 Lời giải : -Viết phương trình của đường thẳng (d) dưới dạng tổng quát : - Mặt phẳng chứa đường thẳng (d) ,có phương trình x + y – 2 + hay là : (1 + )x + y – z – 2 = 0 ( ).Vtpt của mp( ) là (1 + ) ; 1 ; - ) .Vtcp của (d’) là (1 ; -1 ; 1) - Đường thẳng (d’) và mp( ) tạo với nhau một góc 30 0 nên góc giữa vtcp của (d’) và vtpt của mp( ) là 60 0 hoặc 120 0 .Suy ra = = Đây là phương trình ẩn .Giải phương trình , tìm được thay vào phương trình của mp( ) ở trên . Câu 10: Trong mặt phẳng với hệ tọa đô Oxy, hãy viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết trực tâm H(1;0),chân đường cao hạ từ đỉnh B là K(0;2), trung điểm cạnh AB là M(3;1) Lời giải : - Đường thẳng chứa cạnh BC đi qua K(0 ;2) và vuông góc với HK ,tức là có vtpt (1; -2) .Do đó có phương trình : 1(x – 0) – 2(y-2) = 0 Hay là : x – 2y + 4 = 0 (AC) - Ta có K(0 ;2) , M(3 ; 1) .Gọi K’ là điểm đối xứng với K qua điểm M thì K’(6 ; 0) .Đường thẳng (d) đi qua điểm K’ và song song với đường thẳng AC chính là hình đối xứng tâm của đường thẳng AC qua tâm M . Đường thẳng (d) có phương trình : 1(x – 6) – 2(y – 0) = 0 Hay là x- 2y – 6 = 0 (d) - Giao điểm của (d) va đường thẳng HK chính là đỉnh B .Đường thẳng HK đi qua điểm H(1 ; 0) có vtcp (1; -2) nên có phương trình dạng tham số : - Tọa độ đỉnh B là nghiệm của hệ phương trình : Vậy tọa độ đỉnh B(2 ; -2) - Đỉnh A(x ; y) đối xứng với đỉnh B(2 ; -2) qua điểm M(3 ; 1) nên A(4 ; 4) .Đường thẳng chứa cạnh AB đi qua A(4 ; 4) có vtcp là (-2 ; -6) có vtpt (6 ; - 2) do đó có phương trình là : 6(x – 4) -2(y – 4) = 0 Hay là : 3x -y – 8 = 0 (AB) - Đường thẳng chứa cạnh BC : đi qua điểm B(2 ; -2) và vuông góc với AH ,tức là có vtpt là (3 ; 4) . (Vì H là trực tâm ABC) Do đó có phương trình : 3(x -2) + 4(y +2) = 0 Hay là : 3x +4y + 2 = 0 (BC) Trả lời :Phương trình các cạnh :3x -y – 8 = 0 (AB) ; x – 2y + 4 = 0 (AC) ; 3x +4y + 2 = 0 (BC) Câu 11: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng (d): 22 2 1 zyx    và mặt phẳng (P): x – y + z – 5 = 0. Viết phương trình tham số đường thẳng (  ): đi qua A(3;-1;1) nằm trong (P) và hợp với (d) một góc bằng 45 0 Lời giải : - Theo giả thiết A(3 ; -1 ; 1) (P) . Gọi B(1 ; y 0 ; 4 + y 0 ) là điểm thuộc mp(P) : x – y + z – 5 = 0 mà đường thẳng AB tạo với đường thẳng (d) một góc 45 0 .Ta tìm tọa độ điểm B ,tức là tìm y 0 . - Hai đường thẳng : (d) và AB tạo với nhau một góc 45 0 thì các vtcp của chúng tạo với nhau một góc 45 0 hoặc 135 0 .Nghĩa là : = trong đó : (1 ; 2 ; 2) là vtcp của đường thẳng (d) và (-2 ; y 0 +1 ; y 0 +3) là vtcp của đường thẳng AB - Ta có : = = = (Chú ý = 3) = 16 +48 + 36 = 7 +12 27 = 0 có hai nghiệm : = -3 và = tương ứng ta có hai điểm B 1 (1 ; - 3 ; 1) và B 2 (1 ; ; ) - Như vậy : Trong mặt phẳng (P) có hai đường thẳng AB 1 và AB 2 thỏa mãn :đi qua điểm A(3 ; -1 ; 1) và tạo với đường thẳng (d) : = = một góc 45 0 : - Với A(3 ; -1 ; 1) , B 1 (1 ; - 3 ; 1) thì (-2 ; -2 ; 0) Là vtcp của đường thẳng AB 1 .Đường thẳng AB 1 đi qua điểm A(3 ; -1 ; 1) , có vtcp (-2 ; -2 ; 0) nên có phương trình tham số là: - Với A(3 ; -1 ; 1) , B 2 (1 ; ; ) thì (-2 ; ; ) Là vtcp của đường thẳng AB 2 .Đường thẳng AB 2 đi qua điểm A(3 ; -1 ; 1) , có vtcp (-2 ; ; ) nên có phương trình tham số là: Câu 12:tìm số nguyên dương n thỏa mãn: 1 121 1 2 3 2 2 2 2 2 10     n C n CCC n n n nnn Lời giải : -Ta có : (x + 1) n = + x + x 2 +…+ x k + … + x n-1 + x n (*) - Lấy tích phân hai vế của (*): - Ta có I = = (1) - Lại có : I = = = 2 (2) - Từ (1) và (2) suy ra : 2 = Chia hai vế cho 2 được : = (3) giả thiết : = (4) và (4) ta có : = = 243 = 81 vậy n = 4 . . sinx(3 - 2cosx) = 0 (cos2x + cosx – 1)+ 3sinx – sin2x = 0 cos2x - sin2x = - ( sinx + cosx ) + (Chia hai vế cho 2) - cos2x + sin2x = ( sinx + cosx ) - sin(2x - ) = sin(x + ) - sin(2x - ). -Ta có : (x + 1) n = + x + x 2 +…+ x k + … + x n-1 + x n (*) - Lấy tích phân hai vế của (*): - Ta có I = = (1) - Lại có : I = = = 2 (2) - Từ (1) và (2) suy ra : 2 = Chia hai. AB - Ta có : = = = (Chú ý = 3) = 16 +48 + 36 = 7 +12 27 = 0 có hai nghiệm : = -3 và = tương ứng ta có hai điểm B 1 (1 ; - 3 ; 1) và B 2 (1 ; ; ) - Như vậy : Trong mặt phẳng (P) có hai