Lý thuyết xác suất và thống kê toán

Lớp HP 1226AMAT0111 Nhóm 06 Page | 1 Trƣờng Đại học Thƣơng Mại Báo cáo thảo luận Lý thuyết xác suất và thống kê toán Nhóm 06 Lớp HP 1226AMAT0111 Nhóm 06 Page | 2 LỜI NÓI ĐẦU Trong đời sống thực tế có rất nhiều biến cố xảy ra, và con người không thể nào lường trước hết được. Vì vậy thường có những giả thuyết ước lượng hay những kiểm định mang tính định tính kết quả đúng sai về các trường hợp xảy ra của các biến cố. Chính vì lí do đó, việc nghiên cứu ước lượng các tham số của đại lương ngẫu nhiên và kiểm định giả thuyết thông kê là rất cần thiết. Lí thuyết ước lượng, lí thuyết kiểm định các giả thuyết thống kê là những bộ phận quan trọng của thống kê toán. Đây là phương tiện giúp ta giải quyết các bài toán nhìn từ góc độ khác liên quan đến dấu hiệu cần nghiên cứu trong tổng thể.  Để ước lượng kì vọng toán của “đại lƣợng ngẫu nhiên” (ĐLNN) X, người ta giả sử trên một đám đông có E(X) =  và Var(X) = 2  .  Trong đó  chưa biết, cần ước lượng. Từ đám đông ta lấy ra kích thƣớc mẫu n: W = ( X 1,……, X n ).  Từ mẫu này ta tìm được trung bình mẫu X và phƣơng sai mẫu điều chỉnh 'S 2 .  Dựa vào những đặc trưng mẫu này, ta xây dựng thống kê G thích hợp. Với vấn đề 1 của đề tài thảo luận, đó là: “Ước lượng mức chi tiêu trung bình hàng tháng của sinh viên ngoại tỉnh trường ĐH Thương Mại”, nhóm chúng tôi đã xác định dùng phương pháp ước lượng  khi chưa biết quy luật phân phối của ĐLNN, kích thước mẫu n đủ lớn. Kiểm định giả thuyết thống kê về tỷ lệ của đám đông,thông thường ta thường giả sử dấu hiệu X cần nghiên cứu trên đám đông có: E(X)=  , Var(X) = 2  , trong đó  chưa biết. Từ một cơ sở nào đó ta tìm được p= p o nhưng nghi ngờ về điều này. Với mức ý nghĩa  cho trước ta cần kiểm định giả thuyết H o : p = p o . Từ đám đông lấy ra mẫu và tính được các đặc trưng mẫu: X = n 1  n i Xi , 'S 2 = 1 1 n   n i XXi )( . Lấy một mẫu cụ thể w=(x 1 … x n ), từ mẫu này ta tính được u tn với w  để bác bỏ hay không bác bỏ H o , chấp nhận hay không chấp nhận H 1 . Lớp HP 1226AMAT0111 Nhóm 06 Page | 3 Đó là phương pháp làm trong vấn đề 2 của nhóm chúng tôi : “Hiện nay tỷ lệ sinh viên ngoại tỉnh của ĐH Thương Mại có mức chi tiêu là 1.4 triệu đồng khoảng 60%. Hãy kiểm tra khẳng định trên với mức ý nghĩa là 5%”. Chúng tôi nghiên cứu đề tài này để có thể hiểu rõ hơn mức chi tiêu của các sinh viên ngoại tỉnh hiện nay. Hiện nay, giá cả leo thang nên chi tiêu hàng tháng của các bạn cũng đã thay đổi so với trước đây. Việc nghiên cứu đề tài này cũng giúp cho các bạn thấy được mức chi tiêu của mình cao hay thấp hơn so với mức chi tiêu trung bình, từ đó giúp các bạn có thể thay đổi thói quen chi tiêu để có một mức chi tiêu hợp lý nhất. Bài thảo luận được xây dựng dựa trên giáo trình “Lý thuyết xác suất và thống kê toán” của Trƣờng ĐH Thƣơng Mại, “Giáo trình lý thuyết xác suất và thống kê toán” của Trƣờng ĐH Kinh tế quốc dân, cùng kiến thức đã tiếp thu từ bài giảng của giảng viên bộ môn. Lớp HP 1226AMAT0111 Nhóm 06 Page | 4 PHẦN I: CƠ SỞ LÝ THUYẾT Chương 5: Ước lượng tham số của ĐLNN I. Các khái niệm về ƣớc lƣợng tham số: 1. Khái niệm ƣớc lƣợng: Xét một ĐLNN X thể hiện trên một đám đông nào đó. Các tham số đặc trưng của X, kí hiệu là .  Tham số  nói chung chưa biết  Để ước lượng , từ đám đông chọn ra một mẫu W= (X 1 , X 2 ,…, X n ), từ đó xây dựng được các tham số, kí hiệu  * = f (X 1, X 2 ,…, X n ).  Có hai loại ước lượng, đó là: ước lượng điểm và ước lượng khoảng. 2. Ƣớc lƣợng điểm: Trong trường hợp kích thước mẫu n khá lớn, thì ta nói  * là ước lượng điểm của . Kí hiệu : = * . 3. Tính chất của ƣớc lƣợng điểm: a. Ước lượng điểm không chệch:  * được gọi là ước lượng không chệch của , nếu E( * )=. Ngược lại, nếu E( * ), thì ta nói  * là ước lượng chênh lệch của  b. Ước lượng vững:  * được gọi là ước lượng vững của  nếu  * hội tụ xác suất đến . Tức là, với mọi  > 0 thì             . c. Ước lượng hiểu quả - Ước lượng không chệch tốt nhất:  * được gọi là ước lượng hiệu quả của  nếu  * là ước lượng không chệch của  và Var( * ) là nhỏ nhất trong các ước lượng không chệch của  4. Ƣớc lƣợng khoảng: a. Khái niệm: Với độ tin cậy   (0;1) khá lớn. Khoảng (       được gọi là ước lượng khoảng (khoảng tin cậy) của  với độ tin cậy , nếu: Lớp HP 1226AMAT0111 Nhóm 06 Page | 5 P (   <<    =  Và  = 1- được gọi là mức ý nghĩa của ước lượng.  Chú ý:  Nếu    = -, thì (-;   ) được gọi là khoảng tin cậy trái của  và    gọi là ước lượng tối đa của .  Nếu    = +, thì (   ; +) được gọi là khoảng tin cậy phải của  và    gọi là ước lượng tối thiểu của . b. Phương pháp xây dựng khoảng tin cậy:  Từ đám đông, chọn mẫu W = (X 1 , X 2 ,…, X n ).  Xây dựng thống kê G = f (X 1 , X 2 ,…, X n , ) sao cho quy luật phân phối xác xuất của G hoàn toàn xác định, không phụ thuộc và tham số .  Với mức ý nghĩa  = 1-  (0; 1) khá bé, xác định các phân vị    ,    , với  1 ,  2  0, sao cho  1 +  2 = , khi đó: P (   < G <    ) = 1 -  = . Bằng biến đổi tương đương, ta được: P (   <  <    ) = 1-  = . II. Ƣớc lƣợng kì vọng toán  = E(X): 1. Trƣờng hợp X ~ N(;   ), với   đã biết: Do X ~ N(;   ) =>   ~ N       => U =        ~ N(0; 1). a. Khoảng tin cậy đối xứng của : Với   (0; 1), tìm được    thỏa mãn: P (-   < U <    ) = 1 - . Thay U, ta được: P (  -       <  <   +       ) = 1 - . Như vậy, khoảng tin cậy của  là (  – ;   + ), với sai số  =       . Lớp HP 1226AMAT0111 Nhóm 06 Page | 6  Chú ý 1: Ta thường gặp các bài toán sau:  Biết n và  = 1 - , tìm  hoặc sai số  =       .  Biết n và , tìm  = 1 - , với    =     .  Biết  và  = 1 - , tìm được n =            Chú ý 2: Trong trường hợp  đã biết, cần ước lượng   , thì ta có: P ( –  <   <  + ) = 1 -  Như vậy, khoảng tin cậy của   là ( – ;  + ). b. Khoảng tin cậy phải (ước lượng giá trị tối thiểu): Với   (0;1), ta tìm được   thỏa mãn: P (U <   ) = 1 -   P ( >   -      ) = 1 - . Như vậy, khoảng tin cậy phải của  là (  -      ; +) và giá trị tối thiểu của  là   -      .  Chú ý: Từ trên, ta cũng có P             = 1 - . Như vậy, nếu  đã biết thì ước lượng giá trị tối đa của   là       . c. Khoảng tin cậy trái (ước lượng giá trị tối đa): Với   (0;1), ta tìm được   thỏa mãn: P (U > -  ) = 1 -   P ( <   +      ) = 1 - . Lớp HP 1226AMAT0111 Nhóm 06 Page | 7 Như vậy, khoảng tin cậy trái của  là (;   +      ) và giá trị tối đa của  là   +      .  Chú ý: Từ trên, ta cũng có P             = 1 - . Như vậy, nếu  đã biết thì ước lượng giá trị tối đa của   là       . 2. Chƣa biết quy luật phân phối xác suất của X, nhƣng n > 30: Do n > 30, nên    N       => U =        N(0; 1). Với các bài toán 1, 2, các khoảng tin cậy đối xứng, khoảng tin cậy trái, khoảng tin cậy phải làm tương tự như mục 1.  Chú ý:  Nếu  chưa biết, nhưng do n > 30 nên ta chọn   s’.  Riêng với bài toán 3 xác định kích thước mẫu, ta phải giả sử   có quy luật phân phối chuẩn, rồi làm tương tự mục 1a. 3. Trƣờng hợp X ~ N(;   ), với   chƣa biết: Do X ~ N(;   ) =>   ~ N       => T =        ~ T (n – 1) . a. Khoảng tin cậy đối xứng của : Với   (0;1), tìm được     thỏa mãn: P           = 1 - . Thay T, ta được: P                       = 1 - . Khoảng tin cậy của  là (      ), với sai số  =        . Lớp HP 1226AMAT0111 Nhóm 06 Page | 8  Chú ý: Với bài toán 3 (tìm n), chúng ta dùng phương pháp lặp kép như sau:  Bước 1: Điều tra 1 mẫu sơ bộ kích thước k2 là W 1 = (X 1 , X 2 ,…, X k ). Từ mẫu này ta tìm được S’ 2 và   .  Bước 2: Giả sử mẫu cần tìm có kích thước n là W 2 = (X 1 , X 2 ,…, X n ). Ta có: T =             ~ T (k-1) . Ta tìm được      sao cho P           = 1 - , hay P                      = 1 - . Do đó, sai số  =         => n =           . b. Khoảng tin cậy phải (ước lượng giá trị tối thiểu): Với   (0;1), tìm được    thỏa mãn: P (T <    ) = 1 - .  P            = 1 - . Như vậy, khoảng tin cậy phải của  là             . c. Khoảng tin cậy trái (ước lượng giá trị tối đa): Với   (0;1), tìm được    thỏa mãn: P (T >    ) = 1 - .  P            = 1 - . Như vậy, khoảng tin cậy phải của  là            .  Chú ý: Lớp HP 1226AMAT0111 Nhóm 06 Page | 9 Nếu X ~ N(  ),   chưa biết và      III. Ƣớc lƣợng tỉ lệ:  Xét 1 đám dông kích thước N, trong đó có M phần tử mang dấu hiệu A. Kí hiệu tỉ lệ các phần tử mang dấu hiệu A trên đám đông là p =   .  Để ước lượng p, từ đám đông ta lấy ra một mẫu kích thước n. Kí hiệu n A là số phần tử mang dấu hiệu A trong mẫu. Khi đó f =    là tỉ lệ phần tử mang dấu hiệu A trong mẫu.  Ta dùng f để đi ước lượng cho p. 1. Khoảng tin cậy đối xứng: Khi n khá lớn, thì f  N      => U =          Với   (0; 1) cho trước, tìm được    sao cho: P          1 - .  P (f – ; f + ). Do p chưa biết, n khá lớn, để tính , ta lấy p  f, q 1 – f.  Chú ý 1: Với bài toán 3, tìm kích thước mẫu n khi biết  và  = 1 - , ta phải giả sử f có quy luật phân phối chuẩn. Khi đó, ta cũng được n =       . Có các khả năng sau có thể xảy ra:  Nếu biết p (hoặc f thì lấy p  f), ta tìm được n.  Chưa biết p và f ta tính n qua công thức n =       .  Chú ý 2:  Nếu biết p, cần ước lượng f thì ta có: Lớp HP 1226AMAT0111 Nhóm 06 Page | 10 P (p – < f < p + ) 1 - . Từ đó, khoảng tin cậy của f là (p – ; p + ).  Từ p =   , f =    , với M, n A số phần tử mang dấu hiệu A trên đám đông và mẫu tương ứng. Khi đó ta cũng có các ước lượng cho N, M, n A . 2. Khoảng tin cậy phải (UL cho giá trị tối thiểu) Với   (0; 1), tìm được   sao cho: P (U <   )  1 -   P           1 -  Vì p chưa biết, n khá lớn, nên p  f, q  1 – f. Ta có, khoảng tin cậy phải của p là:            Ước lượng tối thiểu của p là       3. Khoảng tin cậy tría (UL cho giá trị tối đa) Với   (0; 1), tìm được   sao cho: P (U >   )  1 -   P           1 -  Vì p chưa biết, n khá lớn, nên p  f, q  1 – f. Ta có, khoảng tin cậy phải của p là:          Ước lượng tối đa của p là        Chú ý:  UL p –max  M –max  N –min  f –min    - min. [...]... điều chỉnh chi tiêu và quản lý tài chính cá nhân để có mức sinh hoạt phí tốt, phù hợp với hoàn cảnh gia đình Vì vậy việc vận dụng kiến thức về ước lượng tham số vào việc nghiên cứu mức chi tiêu trung bình hàng tháng của sinh viên là rất hợp lý 2 KIỂM ĐỊNH THỐNG KÊ: Ứng dụng kiểm định giả thuyết thống kê: Lý thuyết kiểm định các giả thuyết thống kê là một bộ phận quan trọng của thống kê toán Từ đó mà nó... khoảng tin cậy phải của là ( ( ) ( ) * Chương 6: Kiểm định giả thuyết thống kê I Các khái niệm cơ bản: 1 Giả thuyết thống kê:  Giả thuyết về quy luật phân phối xác suất, về các tham số đặc trưng, về tính độc lập của ĐLNN được gọi là giả thuyết thống kê, kí hiệu là H0  Một giả thuyết trái với H0 được gọi là đối thuyết, kí hiệu là H1  Các giả thuyết H0, H1 có thể đúng, có thể sai nên ta cần kiểm định... đúng, có thể sai nên ta cần kiểm định tính đúng sai của chúng Việc kiểm định này được gọi là điểm định giả thuyết thống kê 2 Tiêu chuẩn kiểm định: Từ mẫu W = (X1, X2,…, Xn), ta xây dựng thống kê G = f (X1, X2,…, Xn, ) Thống kê G chứa và khi H0 đúng, thống kê G có quy luật phân phối xác suất hoàn toàn xác định Khi đó, G được gọi là tiêu chuẩn kiểm định Page | 12 Lớp HP 1226AMAT0111 Nhóm 06 3 Miền bác bỏ:... hơn về môn học xác suất thống kê, những vận dụng thực tế của môn học đặc biệt mỗi sinh viên có thể tự xây dựng kế hoạch dự trù chi tiêu hàng tháng hợp lý cho mình với mức giá cả đắt đỏ như hiện nay tại Hà Nội Qua đó có thể thấy rằng xác suất và thống kê toán có những ứng dụng rất hữu ích trong cuộc sống và đặc biệt trong nền kinh tế Việt Nam đang phát triển mạnh mẽ đều cần những ước lượng và kiểm định... cơ sở bác bỏ sao cho: và chấp nhận H1 4 Các bƣớc kiểm định: Để kiểm định một cặp giả thuyết thống kê ta tiến hành như sau:  Xác định bài toán kiểm định , H1  Xây dựng tiêu chuẩn kiểm định G  Tìm miền bác bỏ  Tính giá trị và nêu kết luận 5 Các loại sai lầm: Có 2 loại như sau:  Loại 1: là sai lầm bác bỏ khi mắc sai lầm loại 1 bằng  Loại 2: là sai lầm chấp nhận đúng Xác suất trong khi sai ( ):... định kì vọng toán Bài toán: Từ một cơ sở nào đó, ta thu được giả thuyết : Nghi ngờ tính đúng đắn của , ta đưa ra đối thuyết H1 và kiểm định chúng 1 Trƣờng hợp Do ( ( ), với ) => ̅ ≃ ( đã biết: ) Xây dựng tiêu chuẩn kiểm định: Page | 13 Lớp HP 1226AMAT0111 Nhóm 06 ̅ ⁄√ Nếu H0 đúng thì U ~ N(0; 1) Bài toán 1: { Với ( ), tìm được | { Ta có, miền bác bỏ Trong đó (| | sao cho | ) } ̅ √ Bài toán 2: { Với... Từ cơ sở này mà đề ra các giải pháp, phương hướng nhằm nâng cao và phát triển tình hình văn hóa xã hội PHẦN IV KẾT LUẬN Từ những con số biết nói, được thu thập một cách chân thực và vận dụng những kiến thức về môn xác suất - thống kê bài thảo luận của nhóm 6 đã đưa ra được ước lượng về chi tiêu của các sinh viên trường Đại học Thương Mại và so sánh với mức chi tiêu của các sinh viên học tập tại các trường... Miền bác bỏ ( ) ) ( * ) ) | { ( | ( { ) ) ) ( { } } ) } Chú ý: Nếu ( ), chưa biết và { III Kiểm định tỉ lệ: TCKĐ Đối thuyết Xác suất H1 : (| | H1 : ( √ nếu H0 đúng thì ≃ ( ) H1 : ( Miền bác bỏ )≃ )≃ )≃ { * | | } + * + Page | 15 Lớp HP 1226AMAT0111 Nhóm 06 IV.Kiểm định phƣơng sai của ĐLNN phân phối chuẩn: TCKĐ Đối thuyết Xác suất ( ) H1 : ( [( ) * { ) ( *] ) ) ( ( ( nếu H0 đúng thì ( Miền bác bỏ ) } H1... sinh hoạt phí một tháng bao gồm bao gồm: SHP = tiền ăn + tiền thuê nhà + tiền học NN, VT + tiền đi lại + tiền chi cá nhân Dưới đây là Bảng thống kê sinh hoạt phí trung bình của sinh viên ở Cơ sở Chính (TP Mỹ Tho) và ở Cơ sở 1 (huyện Châu Thành) của trường: Bảng thống kê sinh hoạt phí trung bình trong 1 tháng của sinh viên ở Cơ sở Chính (Đơn vị tính: Đồng) Nội dung chi Mức chi thấp nhất Tiền ăn 400.000... có, miền bác bỏ ) + Bài toán 3: { Với ( sao cho ( ), tìm được Ta có, miền bác bỏ * ) + 2 Trƣờng hợp chƣa biết quy luật phân phối của X nhƣng n>30: Do n>30, nên ̅ ≃ ( ) Xây dựng tiêu chuẩn kiểm định: ̅ ⁄√ Nếu đúng thì ≃ ( ) Page | 14 Lớp HP 1226AMAT0111 Nhóm 06 Các bài toán 1, 2, 3 tiến hành như mục 2.1 Nếu chưa biết, do n>30 nên ( 3 Trƣờng hợp TCKĐ ), s’ chƣa biết Đối thuyết Xác suất ̅ H1 : H1 : ( H1 . chi tiêu hợp lý nhất. Bài thảo luận được xây dựng dựa trên giáo trình Lý thuyết xác suất và thống kê toán của Trƣờng ĐH Thƣơng Mại, “Giáo trình lý thuyết xác suất và thống kê toán của Trƣờng. lương ngẫu nhiên và kiểm định giả thuyết thông kê là rất cần thiết. Lí thuyết ước lượng, lí thuyết kiểm định các giả thuyết thống kê là những bộ phận quan trọng của thống kê toán. Đây là phương. giả thuyết thống kê I. Các khái niệm cơ bản: 1. Giả thuyết thống kê:  Giả thuyết về quy luật phân phối xác suất, về các tham số đặc trưng, về tính độc lập của ĐLNN được gọi là giả thuyết thống