LÝ THUYẾT XÁC SUẤT

TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐÀ LẠT KHOA TOÁN - TIN HỌC Y  Z LÝ THUYẾT XÁC SUẤT (Bài giảng tóm tắt) Người Biên Soạn NGUYỄN VINH QUANG Y Đà Lạt 2009 Z - 0 - TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Đào Hữu Hồ: Xác suất và thống kê toán – Nhà xuất bản Giáo Dục, 1999 2. Đặng Hùng Thắng: Xác Suất và Ứng Dụng - Nhà xuất bản Giáo Dục, 1997 3. K.T Chung. Acourse in probabillty theory Harcourt, Brace and Word INC, 1968. 4. Phạm Xuân Quang: Giáo Trình Lý Thuyết Xác Suất – ĐH Tổng Hợp Tp. HCM, 1974 5. Nguyễn Duy Tiến – Nguyễn Viết Phú: Cơ sở lý thuyết xác suất – Nhà xuất bản ĐH và THCN. Hà Nôi, 1983 - 1 - CHƯƠNG I BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT 1. Đối Tượng Môn Học Như ta đã biết mọi hiện tượng trong cuộc sống đều chịu những sự tác động nào đó được gọi là nguyên nhân gây ra. Để tiện trong việc nghiên cứu người ta chia hiện tượng làm 2 loại: 1.1: Hiện Tượng Không Ngẫu Nhiên: Gồm tất cả những hiện tượng ta có thể đoán chắc được kết cục khi ta tác động vào đó bằng những đi ều kiện giống nhau. Ví dụ: + Nước sôi ở nhiệt độ: 100 0 C, dưới áp suất thông thường: 76cm/Hg + Vật rơi trong chân không: nhanh dần đều. 1.2 Hiện Tượng Ngẫu Nhiên: Gồm tất cả những hiện tượng ta không thể đoán chắc được kết cục dù ta tác động vào đó bằng những điều kiện giống hệt nhau. Ví dụ: + Tung con xúc xắc 6 mặt cân đối và đồng chất: Sự xuất hiện số nút xảy ra ở mặt trên. + Sự xu ất hiện sản phẩm đạt hay không đạt chất lượng trong quá kiểm tra chất lượng hàng hoá. Ta có thể nói xác xuất và thống kê toán là ngành toán chuyên nghiên cứu về tất cả những hiện tượng ngẫu nhiên nói trên. 2. Những khái niệm: 2.1. Phép thử: Khi một số điều kiện nào đó được thực hiện ta nói phép thử được thực hiện. Nó có thể là: một thí nghiệm, một quan sát, một thống kê, một phép chọ n, một phép đo đạt, … 2.1.1. Phép thử tất định: Là phép thử chỉ có duy nhất một kết cục xảy ra. 2.1. 2 Phép thử ngẫu nhiên: Gồm tất cả những phép thử ta không thể đoán chắc được kết cục dù ta thực hiện trong những điều kiện giống hệt nhau. - 2 - 2.2. Biến cố: Khi một phép thử được thực hiện có nhiều kết cục khác nhau có thể xảy ra và mỗi một kết cục xảy ra ta gọi là một biến cố xảy ra. Kết cục của một phép thử ngẫu nhiên là biến cố ngẫu nhiên. Kí hiệu: A, B, C, A i , B i , C i … Tập tất cả những biến cố là không gian các biến cố Kí hiệu: Ω. 2.2. 1 Biến cố chắc chắn: là biến cố phải xảy ra khi phép thử được thực hiện. Kí hiệu: Ω. Ví dụ: Tung 1 đồng xu: Ω = {S,N} Tung 2 đồng xu: Ω = {(S,S), (N,N), (S,N), (N,S)} 2.2. 2. Biến cố không thể có: Là biến cố luôn luôn không xảy ra khi thực hiện phép thử. Kí hiệu: φ 2.2. 3. Biến cố sơ cấp: Mỗi biến cố có thể chia nhỏ thành nhiều biến cố khác nhau. Biến cố không thể chia nhỏ được nữa ta gọi là biến cố sơ cấp (phần tử của Ω ). Kí hiệu: , i ω ω , Ví dụ: Tung 1 đồng xu có hai biến cố sơ cấp 1 2 {S}, { }N ω ω = = . Tung 2 đồng xu: có 4 biến cố sơ cấp 1 234 (S,S), ( ,N), ( , ), ( , )NSNNS ω ωωω = === Chọn cùng lúc 10 người từ một lớp gồm 100 người có 10 100 C biến cố sơ cấp, mỗi biến cố sơ cấp là một tập gồm 10 người. Tập tất cả những biến cố sơ cấp được gọi là không gian các biến cố sơ cấp. Kí hiệu: Ω. 3. Quan hệ giữa các biến cố. Cho A, B, C, A i {} 1 i i A ∞ = là những biến cố trong Ω 3.1. Kéo theo: Ta nói biến cố A kéo theo biến cố B được kí hiệu và định nghĩa: A ⊂ B ⇔ A xảy ra thì B xảy ra. 3.2. Bằng nhau: 2 biến cố A, B được gọi là bằng nhau. - 3 - Định nghĩa: A = B ⇔ { A ⊂ B và B ⊂ A } 3.3. Hợp(Tổng). C = A ∪ B ⇔ { C xảy ra ⇔ A hoặc B xảy ra} C = 1 i i A ∞ = <=> ∪ {C xảy ra ⇔ ∃i = 1, ∞ : A i xảy ra} 3.4. Giao(tích). C = A ∩ B ⇔ {C xảy ra ⇔ A và B xảy ra }, 1 i i CA ∞ = = <=> ∩ {C xảy ra ⇔ A i xảy ra ∀i = 1, ∞ } 3.5. Hiệu. C = A\B ⇔ {C xảy ra ⇔ A xảy ra và B không xảy ra} 3.6. Hiệu đối xứng: C = A Δ B ⇔ { C xảy ra ⇔ A\B xảy ra hay A\B xảy ra} 3.7. Rời (xung khắc). 2 biến cố A và B được gọi là rời nhau nếu A ∩ B = ∅. Chú ý: khi A ∩ B = ∅. Ta Viết A ∪ B = A + B 3.7. Đối Lập(Bù) trên Ω . Ta nói A,B là 2 biến cố đối lập trên Ω kí hiệu A = Ω \B ⇔ {A xảy ra ⇔ B không xảy ra} Biến cố đối lập với biến cố A. được kí hiệu: A ( A = Ω \ A) 3.8. Phân hoạch: Ta nói A 1 , A 2 , A n là 1 phân hoạch của Ω: .,,1, ij iA A i jij n φ ∩=∀≠ = 1 . n i i ii A = =Ω ∑ Và khi đó A 1 , A 2 ,…, A n được gọi là 1 hệ đầy đủ các biên cố đối với không gian Ω 4. Đại số và σ - Đại số: 4.1. Đại số: Cho không gian Ω. F 0 là lớp các tập con của Ω. Ta nói F 0 là đại số trên Ω, nếu nó thoả: - 4 - i). Ω ∈ F 0 ii). ∀ A ∈ F 0 => A ∈ F 0 iii). ∀ A,B ∈ F 0 => A ∪ B ∈ F 0 4.2 σ - Đại số: Cho không gian Ω, F là lớp các tập con của Ω. Ta nói F là σ - đại số trên Ω nếu nó thoả: 1. Ω ∈ F 2. ∀ A ∈ F => A F∈ 3. ∀ {A n } n ⊂ F => 1 n n A F ∞ = ∈ ∪ và khi đó (Ω, F) được gọi là không gian đo được. A ∈ F ta nói A đo được( A tính xác suất được) 5 Các khái niệm về xác suất: 5.1 Định nghĩa(xác suất theo quan niêm cổ điển) Cho biến cố A ta nói xác suất của A được định nghĩa bởi biểu thức: P(A) = Chú ý: 1. Mỗi trường hợp là 1 biến cố sơ cấp: 2 . Định nghĩa trên đúng khi bài toán thoả: mỗi trường hợp xảy ra ph ải cùng khả năng, số trường hợp xảy ra phải hữu hạn. + Ví dụ: Tung 2 đồng xu cân đối và đồng chất tính xác suất sao cho: a) Có đúng 1 mặt sấp b) Có 2 mặt giống nhau c) Có ít nhất 1 mặt sấp a) Gọi A là biến cố có đúng 1 mặt sấp. ⇒A = {(S,N), (N,S) } ⇒ A xảy ra có 2 trường hợp Số trường hợp có thể: 4(Th) Vậy: P(A) = 2 4 b) Gọi B là biến cố có 2 mặt giống nhau ⇒B ={(S,S),(N,N) }⇒ B xảy ra có 2 (Th) Vậy 2 () 4 PB = Số trường hợp A xảy ra Số trường hợp có thể xảy ra - 5 - c) Gọi C là biến cố ít nhất 1 mặt sấp ⇒C ={(S,N), (N,S), (S,S)} ⇒ C xảy ra có 3 (Th) Vậy 3 () 4 PC = Ví dụ 2: Một lô hàng gồm 10 sản phẩm loại 1 và 4 sản phẩm loại 2. Chọn ngẫu nhiên cùng lúc 3 sản phẩm. Tính xác suất sao cho. a) Có đúng sản phẩm loại 1 b) Có ít nhất 1 sản phẩm loại 1 a) Gọi A i , B j là biến cố chọn i sản phẩm loại 1, j sản phẩm loại 2 A 1 xảy ra có 1 10 ()CTh B 2 xảy ra có: 2 4 ()CTh => A 1 ∩ B 2 xảy ra có 12 10 4 .()CCTh số trường hợp có thể 3 14 ()CTh vậy 12 10 4 12 3 14 . () CC PA B C ∩= b) Phải tính P(A 1 ∩ B 2 + A 2 ∩ B 1 +A 3 )? A 1 ∩ B 2 xảy ra có: 12 10 4 .()CCTh A 1 ∩B 1 xảy ra có( 12 21 3 10 4 10 4 10 )()CC CC C Th++ Vậy: 12 21 3 10 4 10 4 10 12213 3 14 () CC CC C PA B A B A C ++ ∩+∩+ = Ví dụ 3: Xếp ngẫu nhiên n số: 1, n trên n vị trí theo hàng ngang tính xác suất: a) 3 số đầu luôn đứng trên những vị trí liên tiếp nhau. b) 2 số đầu luôn đứng cách nhau k vị trí (1 ≤ k ≤ n – 2) a) Gọi A 1 là biến cố xếp 3 số đầu trên 3 vị trí liên tiếp (trên n vị trí) A 2 là biến cố xếp(n – 3) số còn lại trên(n – 3) vị trí còn lại tương ứng. A 1 xảy ra có 3!(n – 2) (Th) A 2 xảy ra có (n -3)! (Th) A 1 .A 2 xảy ra có: 3!(n -2).(n -3)! = 3!(n -2)! (Th) số trường hợp có thể n! (Th) Vậy P(A 1 . A 2 ) = 3!( 2)! ! n n − b) Gọi A là biến cố xếp 2 số đầu luôn cách nhau k vị trí B là biến cố xếp n -2 số còn lại - 6 - Ta có: A xảy ra có 2!(n –k-1) (Th) B xảy ra có (n-2)! (Th) A∩B xảy ra có: 2!(n-k-1)(n-2)! Vậy P(A∩B)= ( ) ( ) 2!nk1n2! !n −− − 5.2 Định nghĩa(Thống kê) Cho biến cố A. Xem một phép thử ε có liên quan đến A. Ta thực hiện ε n lân liên tiếp: Đặt f n = f n Gọi là tần suất để A xảy ra f n : Phản ảnh “độ thường xảy ra” của biến cố A. Bằng thực nghiệm ta thấy rằng khi n khá lớn f n ổn định quanh một số cố định nào đó và người ta lấy con số đó đặt là:P(A) Vậy: P(A) = khi n khá lớn Ví dụ: 1) Theo thống kế tỉ lệ người mắc bệnh lao ở vùng A là 5% gọi B là biến cố chỉ người mắc bệnh lao ở vùng A ta có: = 5 () 100 PB 2) Trung bình cứ quan sát 100 người ở vùng A thì có 5 người mắc bệnh Lao. Khi đó = 5 () 100 PB 5.3 Định nghĩa(Tiên đề) Cho không gian đo được (Ω, F), Ta nói P là độ đo xác suất trên (Ω, F) nếu: P: F → [0,1] thoả 3 tiên đề sau: 1) P(Ω) = 1 2) P(A) ≥ 0 ∀ A ∈ F 3) ∀ {A n } n ⊂ F: A i . A j = ∅ i ≠ j , = ∞,1,ij ta có: ∞∞ == = ∑∑ 11 () () nn nn P APA Số trường hợp A xảy ra trong n lần thử n Số trường hợp A xảy ra trong n lần thử n - 7 - Và khi đó(Ω, F, P) được gọi là không gian xác suất. 5.3.1 Các tính chất. P là độ đo xác suất trên (Ω, F) khi đó ta có: 1) P(∅) = 0 2) ∀ φ =∞ ⊂=≠=∞ 1, {A } : , , . 1, iij i FAA i jij ta có: == = ∑∑ 11 () () nn ii ii P APA 3) ∀A,B ∈ F: A ⊂ B ta có P(A) ≤ P(B) 4) ∀A ∈ F ta có 0 ≤ P(A) ≤ 1 5) ∀A, B ∈ F, A ⊂ B thì P(B\A) = P(B) – P(A) 6) ∀A ∈ F Ta có =−() 1 () P APA 7) ∀A, B ∈ F Ta có P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A.B) 8) Bất đẳng thức Boole: ∀ ⊂{A } nn F ta có: ∞ ∞ = − ≤ ∑∪ 1 1 (() nn n n P APA Chứng minh: 1) Ta có: Ω = Ω + ∅ + ∅ + ⇒ P(Ω) = P(Ω + ∅ + ∅ + ) = φ ∞ = Ω +=∀=∞ ∑ 1 () (), , 1, ii i PPAAi(Tiên đề 3) ⇒ φ ∞ = ==∀=∞ ∑ 1 ()0, , 1, ii i PA A i (Tiên đề 1) ⇒P(A i ) = 0 A i = φ ∀ = ∞1,i (Tiên đề 2) Vậy: P(∅) = 0 2) đặt A i = ∅ ∀= + ∞1,in => ∞ == = ∑∑ 11 n ii ii AA => ∞∞ === == ∑∑∑ 111 ()() () n iii iii PAPA PA = 1 () n i P A ∑ (P(∅) = 0) (Tiên đề 3) 3) Từ A ⊂ B => B = B\A + A => P(B) = P(B\A +A) = P(B\A) + P(A) (Tính Chất 2) => P(A) ≤ P(B) (Tiêu đề 2) 4) ∀A ∈ F Ta có: A ⊂ Ω => P(A) ≤P(Ω) (Tính chất 3) => 0 ≤ P(A) ≤ 1 (tiên đề 1+ 2) - 8 - 5) A ⊂ B => B = B\A + A => P(B) = P(B\A + A) = P(B\A) + P(A) (Tính Chất 2) => P(B\A) = P(B) – P(A) (Tính Chất 4) 6) ∀A ∈ F ta có: Ω= +AA => Ω= +() () ()PPAPA (Tính Chất 2) => P(A) = 1 − ()PA (Tiên đề 1 + Tính chất 4) 7) ∀A ,B ∈ F Ta có: ⎧ =∪ ⎨ =+ ⎩ \ (\.) .(\.) AABBAB B AB B AB ⎧ =∪− => ⎨ =+ ⎩ () ( ) ( \ .),( 5) () (.) ( \ .),( 2) P A P A B P B A B Tinhchat P B P A B P B A B Tinhchat =>+=∪+ =>() () ( ) (.)PA PB PA B PAB kết quả 8) Chứng minh: ∞ ∞ = = ≤ ∑∪ 1 1 () () ii i i PA PA Đặt B 1 = A 1 B 2 = A 2 \ A 1 .A 2 B 3 = A 3 \ (A 3 ∩ (A 1 ∪ A 2 )) . . . B k = − = ∩ ∪ 1 1 \ (()) k kk i i AA A . . . [...]... phân phối xác suất là độ đo xác suất, ngược lại cho 1 độ đo xác suất Q thì Q là phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X nào đó Tuy nhiên 2 phân phối xác suất bằng nhau không dẫn đến 2 biến ngẫu nhiên bằng nhau Ví dụ: Ω = { ω 1, ω 2} : P( ω 1) = P( ω 2) = 1 2 X( ω 1) = Y( ω 2) = 1 X( ω 2) = Y( ω 1) = 0 => PX-1 = PY-1 = Q với q(0) = q(1) = 1 2 Nhưng X ≠ Y 3.5 Định lý: Nếu F là hàm phân phối xác suất của... phối xác suất chính là độ đo L – S ứng với hàm phân phối 3.3 Định nghĩa: (hàm phân phối xác suất) : Cho X : là vectơ ngẫu nhiên FX là hàm phân phối của X nếu: Fx : Rn→[0,1] - 16 - ∀ x ∈ Rn: Fx( x ) = P( X < x ) = P(X1 PX-1(R) = dμ ∫ R fxd μ = +∞ ∫ f x ( x)dx −∞ x iii)... dãy {(xi , yj)} và f(xi , yj) thoả i) và ii) khi đó iii) xác định hàm phân phối xác suất của X và do đó ∃ X = (X,Y) xác định trên (Ω, F, P) nhận F(X,Y) làm hàm phân phối xác suất Hàm mật độ lề: ∑ fX,Y(x,y) ∑ fX,Y(x,y) fx (x) = y fy(y) = x 8 Phân phối liên tục hai chiều 8.1 Định nghĩa : Ta nói X = (X,Y) có phân phối liên tục nếu phân phối xác suất Qx của nó tuyệt đối liên tục đối với độ đo Lebesgue... => P( B ) = 36 = A 5 5 36 Chú ý rằng: Nếu ta kí hiệu: P(•/A) ≡ PA + F ∩ A là σ - đại số trên A -9- + (A, F ∩ A,PA) là không gian xác suất mới + Trong ví dụ trên: A xảy ra có 5(Th) B A xảy ra có 2(Th) => PA(B) = 2 5 - 10 - 5.4.1 Công thức nhân xác suất: n −1 Định lý (nhân xác suất) : Cho A1,A2, An trên(Ω, F, P) thoả: P(∩ Ai ) > 0 i =1 n Khi đó ta có: P(∩ Ai ) = P( A1 ).P( A2 A1 ).P( A3 A1 A2 ) P( An i... chương này ta luôn xem không gian(F, Ω, P) là không gian có độ đo đủ Như chúng ta đã biết phân phối xác suất cho ta thông tin khá đủ về biến ngẫu nhiên X Nhưng việc biết phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên là điều kiện lý tưởng Trong thực tế thường ta không biết hoặc không biết đầy đủ về phân phối xác suất của nó Vì vậy ta cần biết một vài đặc trưng của nó, việc biết một vài đặc trưng của X giúp ta . = Q. Vậy phân phối xác suất là độ đo xác suất, ngược lại cho 1 độ đo xác suất Q thì Q là phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X nào đó. Tuy nhiên 2 phân phối xác suất bằng nhau không dẫn. nhiên m chiều (biến) 3. Phân phối xác suất: 3.1 Đinh nghĩa: Cho Q là độ đo xác suất trên (R, B). Ta nói Q là phân phối xác suất của X (Luật phân phối xác suất của X) Nếu ∀ B∈ B Q(B)=P(X∈B)=PX -1 (B). được. A ∈ F ta nói A đo được( A tính xác suất được) 5 Các khái niệm về xác suất: 5.1 Định nghĩa (xác suất theo quan niêm cổ điển) Cho biến cố A ta nói xác suất của A được định nghĩa bởi biểu