Ôn tập lượng giác ( Công thức )

CÁC CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC 2 2 2 2 1 1 tan ( ) cos 2 1 1 cot ( ) sin k k π α α π α α α π α + + = ≠ + + + = ≠ 2 2 2 tan sin ( ) 1 tan 2 k α π α α π α + = ≠ + + 1. Cơng thức cơ bản: 2 2 cos sin 1 tan .cot 1( ) 2 k α α π α α α + + = + = ≠ 2.Giá trò lượng giác của các cung liên quan đặc biệt :( sin bù -cos đối - phụ chéo – tan hơn π ) a. Hai cung đối nhau ( α ,- α ) * cos(- α ) = cos α * sin(- α ) = -sin α * tan(- α ) = -tan α * cot(- α ) = -cot α b. Hai cung bù nhau ( α , π - α ) * sin( π - α ) = sin α * cos( π - α ) = -cos α * tan( π - α ) =-tan α * cot( π - α ) = -cot α c. Hai cung hơn kém nhau π : * sin( π + α ) = - sin α * cos( π + α ) = -cos α * tan( π + α ) = tan α * cot( π + α ) = cot α d. Hai cung phụ nhau:( α , 2 π - α ) * sin( 2 π - α ) = cos α * cos( 2 π - α ) = sin α * tan( 2 π - α ) = cot α * cot( 2 π - α ) = tan α e. Hai cung hơn kém nhau 2 π ( α , 2 π + α ) * sin( 2 π + α ) = cos α * cos( 2 π + α ) = -sin α * tan( 2 π + α ) = -cot α *cot( 2 π + α ) = -tan α 3. Cơng thức cộng – nhân a. Cơng thức cộng góc tan tan tan( ) 1 tan tan tan tan tan( ) 1 tan tan a b a b a b a b a b a b + + + = − − + − = + ( , )a b k π ≠ cot cot 1 cot( ) cot cot cot cot 1 cot( ) cot cot a b a b a b a b a b a b − + + = + + + − = − sin( ) sin cos cos sin sin( ) cos sin sin cos a b a b a b a b a b a b + + = + + − = − cos( ) cos cos sin sin cos( ) cos cos sin sin a b a b a b a b a b a b + + = − + − = + ( , ) 2 a b k π π ≠ + b. Công thức hạ bậc ( ) ( ) 3 3 3 5 5 3cos cos 3 cos 4 3sin sin 3 sin 4 3sin sin 3 tan 3cos cos 3 1 +sin a sin5a – 3sin3a 10sina 16 1 +cos a cos5a 5cos3a 10cosa 16 a a a a a a a a a a a + + = − + = − + = + = + = + + ( ) ( ) 2 2 2 2 4 4 1 cos 2 cos 2 1 cos 2 sin 2 1 cos 2 tan ( ) 1 cos 2 2 1 cos 2 cot a 1 cos 2 1 +sin a cos4a 4cos2a 3 8 1 +cos a cos4a 4cos2a 3 8 a a a a a a a k a a a π π + + = − + = − + = ≠ + + + + = − = − + = + + c. Công thức nhân đôi 2 2 2 2 sin 2 2 sin .cos cos 2 cos sin 2cos 1 1 2sin a a a a a a a a + = + = − = − = − d. Công thức nhân ba 3 3 sin 3 3sin 4 sin cos 3 4cos 3cos a a a a a a + = − + = − 2 2 2 tan tan 2 ( ) 1 tan 4 2 cot 1 cot 2 ( ) 2 cot 2 a k a a a a k a a a π π π + = ≠ + − − + = ≠ 3 3 2 2 3 tan tan tan 3 ( ) 1 3tan 6 3 cot 3cot + cot3a 3cot 1 a a k a a a a a a π π − + = ≠ + − − = − e. Công thức chia đôi: Đặt t = tan 2 a (a ≠ π +k2 π ) 2 1 2 sin t t a + =+ 2 2 1 1 cos t t a + − =+ 2 1 2 tan t t a − =+ 4. Công thức biến đổi a) Biến đổi tích thành tổng b) Biến đổi tổng thành tích )]sin()[sin( 2 1 sincos )]sin()[sin( 2 1 cossin )]cos()[cos( 2 1 sinsin )]cos()[cos( 2 1 coscos bababa bababa bababa bababa −−+=+ −++=+ −−+−=+ −++=+ 2 sin 2 cos2sinsin 2 cos 2 sin2sinsin 2 sin 2 sin2coscos 2 cos 2 cos2coscos baba ba baba ba baba ba baba ba −+ =−+ −+ =++ −+ −=−+ −+ =++ Đặc biệt: sina + cosa = 2 sin       π + 4 a = 2 cos       − π a 4 sina – cosa = 2 sin       π − 4 a = - 2 cos       π + 4 a c) Cơng thức liên quan đến tan và cot ba ba ba a aa ba ab ba ba ba ba sincos )cos( cottan 2sin 2 cottan coscos )sin( cotcot coscos )sin( tantan − =++ =++ ± =±+ ± =±+ ba ba ba aaa ba ba ba ba ba ba sincos )cos( cottan 2cot2cottan coscos )cos( tantan1 coscos )cos( tantan1 +− =−+ −=−+ +− =−+ − =++ HỆ THỨC LƯNG Tam giác thường ( các đònh lý) : Hàm số Cosin bcCosAcba 2 222 −+= bc acb CosA 2 222 −+ = Hàm số Sin R SinC c SinB b SinA a 2 === R a SinARSinAa 2 ,2 == Hàm số Tan ba ba BA Tan BA Tan + − = + − 2 2 Các chiếu cCosBbCosCa += Trung tuyến 4 )(2 222 2 acb m a −+ = H B C A Phân giác 2 . 2 a A bc Cos l b c = + Diện tích • cba chbhahS 2 1 2 1 2 1 === • abSinCacSinBbcSinAS 2 1 2 1 2 1 === • prS = • R abc S 4 = • ))()(( cpbpappS −−−= Chú ý: • 2 )( 2 )( 2 )( C Tancp B Tanbp A Tanap p S r −=−=−== • SinC c SinB b SinA a S abc R 2224 ==== • a, b, c : cạnh tam giác • A, B, C: góc tam giác • h a : Đường cao tương ứng với cạnh a • m a : Đường trung tuyến vẽ từ A • R, r : Bán kính đường tròn ngoại, nội tiếp tam giác. • 2 cba p ++ = Nữa chu vi tam giác. Hệ thức lượng tam giác vuông: 2 .AH BH CH = . .AH BC AB AC = 2 2 2 1 1 1 AH AB AC = + • BCBHAB . 2 = • CBCHAC . 2 = • • 222 ACABBC += • MỘT SỐ BÀI TÓAN CẦN NHỚ • Cho tam giác ABC : • 1/. 222 4 C Cos B Cos A CosSinCSinBSinA =++ • 2/. 222 41 C Sin B Sin A SinCosCCosBCosA +=++ • 3/. TanCTanBTanATanCTanBTanA =++ ( tam giác ABC không vuông) • 4/. 2 . 2 . 2222 C Cot B Cot A Cot C Cot B Cot A Cot =++ • 5/. 1 2 . 22 . 22 . 2 =++ A Tan C Tan C Tan B Tan B Tan A Tan • 6/. CosCCosBCosACSinBSinASin 22 222 +=++ • 7/. CosCCosBCosACCosBCosACos 21 222 −=++ • 8/. SinCBASin =+ )( • CosCBACos −=+ )( ; 22 C Cos BA Sin = + • 22 C Sin BA Cos = + ; 22 C Cot BA Tan = + • 9/. 8 33 ≤SinCSinBSinA • 10/. 8 1 ≤CosCCosBCosA • 11/. 8 33 2 . 2 . 2 ≤ C Cos B Cos A Cos • 12/. 8 1 2 . 2 . 2 ≤ C Sin B Sin A Sin • 13/. 4 3 222 ≥++ CCosBCosACos • 14/. 9 4 222 ≤++ CSinBSinASin • 15/. 9 222 ≥++ CTanBTanATan • 16/. 1 2224 3 222 <++≤ C Sin B Sin A Sin • 17/. 4 9 222 2 222 ≤++< C Cos B Cos A Cos • 18/. 1 222 222 ≥++ C Tan B Tan A Tan • 19/. 9 222 222 ≥++ C Cot B Cot A Cot • 20/. 2 33 222 ≤++ CSinBSinASin • 21/. 2 3 222 −≥++ CCosBCosACos . đổi a) Biến đổi tích thành tổng b) Biến đổi tổng thành tích )] sin () [ sin( 2 1 sincos )] sin () [ sin( 2 1 cossin )] cos () [ cos( 2 1 sinsin )] cos () [ cos( 2 1 coscos bababa bababa bababa bababa −−+=+ −++=+ −−+−=+ −++=+ . nhau π : * sin( π + α ) = - sin α * cos( π + α ) = -cos α * tan( π + α ) = tan α * cot( π + α ) = cot α d. Hai cung phụ nhau :( α , 2 π - α ) * sin( 2 π - α ) = cos α * cos( 2 π - α ) = sin α * tan( 2 π - α ). cos α * sin(- α ) = -sin α * tan(- α ) = -tan α * cot(- α ) = -cot α b. Hai cung bù nhau ( α , π - α ) * sin( π - α ) = sin α * cos( π - α ) = -cos α * tan( π - α ) =-tan α * cot( π - α ) = -cot α c.