Ôn Tập Lượng Giác Công Thức Bổ Sung Và Bài Tập

ÔN TẬP LƯỢNG GIÁC 1... PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC I.

§ 1 ÔN TẬP LƯỢNG GIÁC

1 Công thức cộng

sin( ) sin cos sin cos cos( ) cos cos sin sin

tan tan tan( )

1 tan tan

a b

a b







2 Công thức nhân



sin 2 2 sin cos cos 2 cos sin 1 2 sin 2 cos 1

3 Công thức hạ bậc

2

2

1 cos 2 sin

2

1 cos 2 cos

2

a a

a a









4 Công thức nhân 3

2 2

sin 3 3 sin 4 sin cos 3 4 cos 3 cos

5 Biến đổi tích thành tổng

1

2 1

2 1

2 1

2

      

6 Biến đổi tổng thành tích

cos cos 2 cos cos

sin sin 2 sin cos

sin sin 2 cos sin

sin( ) tan tan

cos cos

a b a b

a b a b

a b a b

a b

a b a b

a b

a b

a b



       

7 Mở rộng

1

1

     

     

     

8 Một số phép biển đổi cơ bản

2 2

1 sin 2 cos sin

1 cos 2 2 cos

1 cos 2 2 sin

1 sin cos 1 sin (2 )

2 1

1 tan tan

2 cos

a a

a

9 Bài tập

1) sin 3x 3 cos 3x 2 sin 2x

HD: PT sin 3 sin 2

3

   



2)

2 sin 1 sin 2

4

1 tan cos

x x



 

   

HD: PT (cosxsin )(cosx xsin )x 2  cosx sinx

2 cos 1 3 cos

 

HD: PT

 Đẳng thức lượng giác trong tam giác

Trong ABC ta có:

sin( ) sin









1) CM: sin sin sin 4 cos cos cos

A B C 

  2) CM: sin 2Asin 2Bsin 2C  4 sin sin sinA B C

3) CM: cos cos cos 1 4 sin sin sin

A B C

A B C  

C

4) CM: cos2Acos2Bcos2C  1 2 cos cos cosA B C

HD: Dùng công thức hạ bậc

Trong ABC không vuông ta có:

cot cot cot cot cot cot 1

 Nhận dạng tam giác

1) CMR nếu sin2Asin2Bsin2c  thì ABC2  vuông

HD:

GT

2 cos cos cos 0

A B C

2) CMR nếu : sinAsinBsinC  1 cosAcosBcosC thì ABC

vuông

HD:

)sin sin sin 4 cos cos cos

)1 cos cos cos 4 sin cos cos

A B C

A B C

3) Nếu sin sin 1tan tan 

HD:

2

2 cos cos

2 cos cos

cos cos sin

2

A B A B

A B GT

C

A B

A B



§ 2 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

I Định nghĩa: Là một trong các phương trình sau:

(1) (2) (3) (4)

sin cos tan cot

x m

x m

x m

x m









x là ẩn, m là số thực cho trước

II Công thức nghiệm của PT sin x m (1)

+ Nếu m  1 thì (1) vô nghiệm

+ Nếu m  thì (1) có nghiệm 1

2 sin

2

x m

 

  

  



     

Trong đó  là một số thực sao cho sin  m

Ví dụ:

2

2

3

 









  





Lưu ý:

sin sin

2

x

 



  

  



sin ( ) sin ( )

f x g x k

f x g x

f x g x k







 Nếu đo bằng đơn vị độ thì

.360 sin

x a k

x m

  





 Với m  trên 1 ;

2 2

 

 

 thì sin x mcó duy nhất một nghiệm Nghiệm này gọi là

arcsin m

 Khi m 0; m  1; m  thì ta có công thức nghiệm đặc biệt 1

2

2



 

 

  

     

LUYỆN TẬP

 Giải các phương trình sau

1 1.1) sin 2

2 1.2) sin 2 sin

1.3) cos 2 sin 2

1.5) cos 3 sin 3 1

x







     

   

     

1.7) sin sin 3 cos cos 3

1 1.9) 3 sin cos

cos 1.10) sin 3 cos 2 1 2 sin 2 cos 2 1.11) sin 2 cos 3 1

2 1.12) sin(2 15 ) ( 120 120 )

2

x

x

x



III Công thức nghiệm của PT cos x m (2)

+ Nếu m  1 thì (1) vô nghiệm

+ Nếu m  thì (1) có nghiệm 1

cosx m    x  k2 Trong đó  là một số thực sao cho cos  m

Ví dụ:

Lưu ý:

 cosx cos    x  k2

 cos ( )f x  cos ( )g x  f x( ) g x( )k2

 Nếu x đo bằng độ thì : cosx m    x a0 k3600

 Với m  trên 0;1  

  thì cos x mcó duy nhất một nghiệm Nghiệm này gọi là

arccos m

 Khi m 0; m  1; m  thì ta có công thức nghiệm đặc biệt 1

2



      

+ TXĐ:

2

x    k

+ PT tan x m có nghiệm    m

tan x m     x  k

+ TXĐ: x  k

+ PT cot x m có nghiệm m  

cotx m     x  k

LUYỆN TẬP

1 Giải các phương trình sau

 



2

1.1) 2 sin 2 2 sin 0

1.2) sin sin tan 3

1.3) cos sin sin 0

1.4) 1 sin 2 cos 3 sin 3

1.5) cos 2 3 cos 4 0

7

2 1.7) cos cos 2 cos 3 cos 4 2

2 Giải các pt sau

2

2.1) 4(sin cos ) 2(sin cos ) 8 4 cos 2.2) 3 4 cos sin (1 2 sin )

2.3) sin cos 1 cos 2

2.4) cos 5 sin 4 cos 3 sin 2

2.5) cos 5 sin 4 cos 3 sin 2

2.6) tan tan 2 tan 3

17 2.7) sin 2 cos 8 sin 10

2





 





2.9) cos cos 3 sin sin 3 3





   

   

     

§ 3 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐƠN GIẢN

I) Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác

Dạng:

 

a x b a

a x b a

a x b

Cách giải: chuyển vế đưa về phương trình lượng giác cơ bản

II) Phương trình bậc hai với một hàm số lượng giác

Dạng:

2 2

a x b x c a

Cách giải: đặt ẩn phụ ( đk ẩn phụ nếu có)

LUYỆN TẬP

 Giải các phương trình sau

2

4 2

1) 3 sin 2 7 cos 2 3 0

2) cos 2 5 sin 3 0

3) cos 2 cos 2 0

4) cos 4 2 sin 2 0

1

4

3

7) cos sin cos 4

   

2(cos sin ) sin cos

2 2 sin

x



III) Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x

Dạng:

2 2

a xb x c a b 

Cách giải: Chia hai vế pt cho a2 b2 :

Vì

      nên ta đặt cos 2a 2 ; sin 2b 2

sin cos cos sin sin( )

c

a b c

x

a b







LUYỆN TẬP

 Giải các phương trình sau

2

4

1) 3 cos 2 sin 2 2

2) 3 sin 2 4 cos 2 1

3) 4 sin 5 cos 4 cos sin cos 1

cos sin 4) 4 cot2

cos sin

5)

cos sin 2 sin 4

sin (sin cos ) 1

1 7) 2 tan cot2 2 sin 2

sin 2 sin

8)

x

x x









4

2

cot2

9) 2 sin sin 3 3 cos 2 2 0

10) sin cos 2 cos 3

x

x

 Dùng Phương trình bậc nhất đối với sin xvà cos x để tìm min , max

PT a x b x c x

a b





a b



Áp dụng: Tìm min, max của các hàm sau

1) cos sin

cos 2)

x y



k x y

x





 a) Tìm min, max khi k 1

b) Tìm k để min y   1

c) Tìm k để max của y là nhỏ nhất

k x k y

 



a) Tìm min, max khi k 1

b) Tìm để k min của hàm số   2

c) Tìm để k max của hàm số là lớn nhất

IV) Phương trình đẳng cấp bậc 2 đối với sin xvà cos x

Dạng:

a x b x x c x  a b c 

Cách giải:

+ Xét cosx  0

+ Với cosx 0 , (4)atan2xbtanx  c 0

Lưu ý:

1) Nếu thay: 2 1 cos 2 2 1 cos 2 1

(4) trở thành bậc nhất đối với sin 2x và cos 2x

2) Xét pt asin2xbsin cosx xccos2x d (a2 b2 c2  0;d 0) (4 ) a Thay d d(sin2x cos )2x thì (4 )a (4)

Hoặc chia 2 vế của (4 )a cho cos2x  và dùng công thức 0  2 

cos

d

x   3) Một cách tổng quát: với pt đẳng cấp bậc n đối với sin xvà cos xta thường chia 2 vế

cho cosn x

Ta thường gặp pt đẳng cấp bậc 3 dạng sau:

a xb x xc x xd x 

LUYỆN TẬP:

 1 Giải các phương trình sau

2

1.1) sin 2 sin cos 3 cos 3 0

1.2) sin 3 sin cos 1 0

5 1.3) 4 3 sin cos 4 cos 2 sin

2

1.5) cos 3 sin cos 2 sin

x x

       

           

2

3

3

1 0 1.6) sin 2 sin cos 3 cos

1.7) sin sin 2 3 cos 0

1.8) cos 2 sin 2 1 0

1.9) sin 6 sin 2 3 cos 2 66 0

1.10) 7 sin 2 sin 2 3 cos 3 15 0

 

 2 Giải các phương trình sau

2.1) 4 sin x 3 cos x3 sinxsin xcosx  0

3 3

2

2.3) cos sin 3 sin cos 0

2.4) cos sin sin cos

2.5) 4 cos 2 sin 3 sin 0

2.6) sin sin 2 sin 3 6 cos

2.7) sin cos 4 sin 0

2.8) 1 3 sin 2 2 tan

2.9) sin (tan 1) 3 sin (cos sin ) 3

2.10) 2

sin 2 3 cos

cos sin

V) Phương trình đối xứng với sin x và cos x

Dạng:

4

t  x x  x t 



  Khi đó

sin cos

2

t



2

t

PT a tb    c

LUYỆN TẬP

 Giải các phương trình sau

1) 2(sin cos ) sin cos 1

2 2) (1 sin cos )(sin cos )

2

2 4) sin cos

2 3 5) 1 sin cos sin 2

2 6) 2 sin 2 2(sin cos ) 1 0

7) sin cos 2 sin 2 cos 2

8) 1 tan 2 2 sin

9) sin cos 7 sin 2 1

4

 

   



 

VI) Phương trình đối xứng với tan x và cot x

Dạng:

Cách giải:

+ TXĐ:

2

x k 

tan cot

t

 





BÀI TẬP TỔNG HỢP

 1 Giải các phương trình sau

1) sin 42 xcos 62 x sin(10, 5 10 )x

(ĐH Dược HN năm 1999)

x x x   x

       

(ĐH GTVT năm 1999)

3) 8 cos3 cos 3

3

 

  

 

(ĐH QGHN-Khối A, năm 1999)

4) cos 22 x 2(sinx cos )x 33 sin 2x   3 0

(ĐH QGTP.HCM-Khối A,1999)

3 sin 2 cos 3(1 tan )

cos

x

6) 4(sin 3xcos 2 )x  5(sinx 1)

(ĐH Luật Hà Nội, năm 1999)

7) 5cos 2x  2(2cos )(sinx x cos )x

(ĐH Hàng Hải Tp.HCM năm 1999)

8) sinx 4 sin3x cosx  0

(ĐH Y Dược Hà Nội năm 1999)

1 cot2

sin 2

x x

x



(ĐH Sư Phạm Vinh năm 1999)

10)cos 2 2 sin cos

3

2 cos sin 1

(ĐH Nông nghiệp I – Khối B 1998)

11)

cot tan

16(1 cos 4 ) cos 2

x x



(ĐH GTVT năm 1998)

12) sin cot 5

1 cos 9

x x

x 

(ĐH Huế - Khối A năm 1999)

sin 2

x

(ĐH Ngoại Thương nưm 1997)

14) sinx cosx  sinx cosx  2

(ĐH QGHN-Khối D, năm 1999)

15) 2 cosx sinx  1

(ĐH Dân Lập Hồng Bàng năm 1999)

16) cos 2x  1sin 2x 2 sinx cosx

(ĐH DL Phương Đông năm 1999)

 2 Tìm m để pt sau có nghiệm

2

(ĐH Đà Lạt năm 1998)

 3 Cho phương trình: sin4x cos 2x mcos6x  0

a) Giải pt khi m 2

b) Tìm các giá trị m để pt có nghiệm trên khoảng 0;

4

 

 

 4 Cho phương trình: (cosx1)(cos 2xmcos )x msin2x

a) Giải pt khi m  2

b) Tìm các giá trị m để pt có nghiệm thuộc đoạn 2

0;

3

 