1 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HCM KHOA TOÁN – TIN Lớp: Toán-VB2 khóa 2 Môn: PHƯƠNG PHÁP TÍNH Đề tài: BIỂU DIỄN CĂN BẬC N CỦA MỘT SỐ THỰC KHÔNG ÂM BẰNG PHƯƠNG PHÁP CHIA ĐÔI ĐOẠN NGHIỆM Giảng viên hướng dẫn: TS Trịnh Công Diệu Người thực hiện: 1. Lưu Thị Hảo 2. Đặng Lê Xuân Ánh Nguyệt 3. Nguyễn Thị Hồng Tiên 2 BIỂU DIỄN CĂN BẬC N CỦA MỘT SỐ THỰC KHÔNG ÂM BẰNG PHƢƠNG PHÁP CHIA ĐÔI ĐOẠN NGHIỆM A. Đặt vấn đề: Phương pháp tính là một trong những môn học bắt buộc của ngành toán học và công nghệ thông tin. Trong môn học này, tính gần đúng nghiệm thực của một phương trình là một trong những nội dung chính và bài toán xác định biểu diễn thập phân của căn bậc n của một số thực ta có thể đưa về dạng bài toán tìm nghiệm thực gần đúng của phương trình. Bài viết sau đây sẽ trình bày thuật toán xác định biểu diễn thập phân của căn bậc n của một số thực hay đúng hơn là thuật toán giải tìm nghiệm thực gần đúng của phương trình bằng phương pháp phân đôi đoạn nghiệm. B. Cơ sở lý luận: 1. Nghiệm thực của phương trình một ẩn: Xét phương trình một ẩn: f(x) = 0 (*) trong đó f(x) là một hàm số cho trước của đối số x. Giá trị x 0 được gọi là nghiệm của (*) nếu f(x 0 ) = 0. 2. Sự tồn tại nghiệm của phương trình: Định lý: Nếu có 2 số thực a và b (a<b) sao cho f(a) và f(b) trái dấu, tức là f(a)f(b) < 0, đồng thời f(x) liên tục trên đoạn [a, b] thì ở trong đoạn [a,b], phương trình (*) có ít nhất một nghiệm. Chứng minh: Có thể minh họa trên đồ thị hình 2.1. Đồ thị của hàm số y = f(x) tại a< x<b là một đường liền nối 2 điểm A và B, A ở dưới, B ở trên trục hoành, nên phải cắt trục hoành tại ít nhất 1 điểm ở trong khoảng từ a đến b. Vậy phương trình (*) có ít nhất một nghiệm ở trong khoảng (a,b). Hình 2.1 3. Khoảng phân ly nghiệm: Định nghĩa: Khoảng [a, b] được gọi là khoảng phân ly nghiệm của phương trình (*) nếu nó chứa một và chỉ một nghiệm của phương trình đó. 3 Định lý: Nếu [a,b] là một khoảng trong đó hàm số f(x) liên tục, đơn điệu trên đoạn [a, b] và đồng thời f(a) và f(b) trái dấu, tức là f(a)f(b) < 0 thì đoạn [a,b] là một khoảng phân ly nghiệm của phương trình (*). Chứng minh: f(x) = x n -a 0 là hàm đơn điệu trên [a,b]. Vì: x 1 ,x 2 [a,b]; x 1 ≠x 2 , x 1 > x 2 thì 12 12 f(x ) f(x ) 0 xx f(x) liên tục trên [a,b] vì: 0 00 xx lim f(x) f(x ), x [a,b] f(x) có nghiệm duy nhất có thể minh họa bằng đồ thị hình 3.1. Đồ thị hàm số y=f(x) cắt trục hoành tại một và chỉ một điểm ở trong [a,b]. Vậy [a,b] chứa một và chỉ một nghiệm của phương trình (*) Hình 3.1 Ví dụ: Xét phương trình: f(x)= x 2 – 2 = 0 Ta thấy hàm số f(x) liên tục với mọi xR Ta xét đoạn [1, 2]. Ta có f(1) = -1; f(2) = 2. Hàm số f(x) liên tục và đơn điệu vì ' f (x) 2x 0 trên đoạn [1, 2]. Vậy đoạn [1, 2] là khoảng phân ly nghiệm của phương trình trên. Tuy nhiên ví dụ sau đây chứng tỏ rằng điều kiện liên tục, đơn điệu chỉ là điều kiện đủ. Hàm số không đơn điệu trong một khoảng nào đó vẫn có thể chỉ có một nghiệm duy nhất. Ví dụ: Xét phương trình f(x) = x 3 – x -1 = 0 (3.1) Ta sẽ chứng tỏ rằng phương trình này có nghiệm thực và xác định khoảng phân ly nghiệm. Ta thấy hàm số f(x) liên tục, và f‟(x) = 3x 2 – 1 = 0 tại 1 x 3 . Ta có bảng biến thiên sau: 4 X 1 3 1 3 f‟(x) + 0 - 0 + f(x) M m Trong đó 1 1 1 2 f(M) f( ) 1 1 0 3 3 3 3 3 3 Vậy đồ thị chỉ cắt trục hoành tại một điểm duy nhất và do đó phương trình (3.1) chỉ có một nghiệm duy nhất (mặc dù trên đoạn 1 ,2 3 hàm số không đơn điệu). Ngoài ra theo bảng biến thiên ta có: hàm số f(x) liên tục, đơn điệu trên đoạn 1,2 và 3 f(1) 1 1 1 1 0 3 f(1) 2 2 1 5 0 Tức là f(1)*f(2) 0 Vậy khoảng 1,2 chính là khoảng phân ly nghiệm. C. Thuật toán biểu diễn thập phân của: * n 00 a (a 0,n N ,n 2) 1. Phân tích: Gọi x là giá trị của n 0 a , ta có nn n 0 0 0 x a x a x a 0 (4.1) Đặt n 0 f(x) x a thì phương trình (4.1) tương đương vơi phương trình f(x)=0 Ta cần tìm biểu diễn giá trị gần đúng của n 0 a , tức là tìm giá trị gần đúng của nghiệm phương trình (4.1). Nếu 0 a1 : Cho i chạy từ 1 cho tới khi n 0 i a 0 thì b= i và a = i-1 Do đó phương trình f(x)=0 có nghiệm x [i-1,i] Nếu 0 a1 : n 0 f(1) 1 a 0 n 0 0 0 f(a ) a a 0 Do đó pt f(x)=0 có nghiệm 0 x [a ,1] Nếu 0 a1 thì n 0 a1 2. Thuật toán sử dụng phương pháp chia đôi: Dùng bảng: Biểu diễn n 0 a 5 Xét phương trình n o f(x) x a Nếu 0 a1 thì gán b=1, 0 aa Nếu 0 a1 thì cho i chạy từ 1 cho tới khi n 0 i a 0 thì b = i và a = i - 1 Nếu 0 a1 thì gán x1 và dừng i x i f(x i ) Đoạn chứa nghiệm Độ dài đoạn chứa nghiệm 0 a b <0 >0 [a,b] b-a >10 -k 1 x 1 =(a+b)/2 <0 >0 [a 1 ,b 1 ] (a 1 =x 1 nếu f(x 1 )<0 ngược lại b 1 =x 1 ) b 1 -a 1 >10 -k 2 x 2 =(a 1 +b 1 )/2 <0 >0 [a 2 ,b 2 ] (a 2 =x 2 nếu f(x 2 )<0 ngược lại b 2 =x 2 ) b 2 -a 2 >10 -k … … … … … n x n =(a n-1 +b n-1 )/2 <0 >0 [a n ,b n ] (a n =x n nếu f(x n )<0 ngược lại b n =x n ) b n -a n <10 -k Kết luận: vậy n 0 ax với x là làm tròn của x n đến hàng thứ k. (x n là dạng biểu diễn thập phân) Dùng mã giả Input: a 0 , n, k {cần tính giá trị gần đúng của n 0 a với sai số không quá k 10 , kết quả ghi ở dạng biểu diễn thập phân, có k chữ số lẻ sau dấu phẩy} Output: x { x là giá trị gần đúng của n 0 a thỏa điều kiện trên} Giải thuật: B1: Nếu 0 a1 thì gán b=1, 0 aa Nếu 0 a1 thì cho i chạy từ 1 cho đến khi n 0 i a 0 thì b=i và a = i - 1 Nếu 0 a1 thì gán x1 và dừng B2: Nếu n 0 a a 0 thì xa và dừng Nếu n 0 b a 0 thì xb và dừng B3: Đặt ab x 2 . Nếu n 0 c a 0 thì gán xc , qua B6 B4: Tính e = b - a Nếu k e 10 thì gán xc và sang B6 B5: Nếu nn 00 (c a )(a a ) 0 thì gán bc , ngược lại gán ac và trở lại B2 B6: Đặt x là làm tròn của x đến chữ số hàng thứ (k). Dừng 6 D. Ví dụ: Tính 3 2 sai số không quá 10 -3 . 0 a2 , n=3, k=3 Dùng bảng: Xét hàm số f(x)= x 3 -2 có khoảng phân li nghiệm [1,2] Dùng mã giả: B1: 0 a 1, b 2,a 1 Đặt: 13 (1 2) 22 c B2: f(a) < 0, f(b) > 0 B3: f(c) 0 B4: 3 e 2 1 1 10 B5: f(c).f(1) 0 Gán 3 bc 2 Xét khoảng phân ly 3 1; 2 Lặp lần 1 1 1 3 5 1 2 2 4 c B2: f(a) < 0, f(b) > 0 B3: 1 f(c ) 0 B4: 3 1 3 e 1 0,5 10 2 B5: 1 f(c ).f(1) 0 Gán 1 5 ac 4 Xét khoảng phân ly 53 ; 42 Lặp lần 2 2 1 5 3 11 2 4 2 8 c B2: f(a) < 0, f(b) > 0 B3: 2 f(c ) 0 B4: 3 2 3 5 1 e 10 2 4 4 B5: 2 f(c ).f(a) 0 Gán 2 11 bc 8 Xét khoảng phân ly 5 11 ; 48 Lặp lần 3 3 1 5 11 21 2 4 8 16 c B2: f(a) = < 0, f(b) > 0 B3: 3 f(c ) 0 B4: 3 3 11 5 1 e 10 8 4 8 B5: 3 f(c ).f(a) 0 Gán 3 21 bc 16 Xét khoảng phân ly 5 21 ; 4 16 Lặp lần 4 4 1 5 21 41 2 4 16 32 c B2: f(a) < 0, f(b) > 0 B3: 4 f(c ) 0 B4: 3 4 21 5 1 e 10 16 4 16 B5: 4 f(c ).f(a) 0 Lặp lần 5 5 1 5 41 81 2 4 32 64 c B2: f(a) < 0, f(b) > 0 B3 : 5 f(c ) 0 B4: 3 5 41 5 1 e 10 32 4 4 B5: 5 f(c ).f(a) 0 1 2 3 4 5 0 7 Gán 4 41 bc 32 Xét khoảng phân ly 5 41 ; 4 32 Gán 5 81 bc 64 Xét khoảng phân ly 5 81 ; 4 64 Lặp lần 6 6 1 5 81 161 2 4 64 128 c B2: f(a) < 0, f(b) > 0 B3 : 6 f(c ) 0 B4: 3 6 81 5 1 e 10 64 4 64 B5: 6 f(c ).f(a) 0 Gán 6 161 ac 128 Xét khoảng phân ly 161 81 ; 128 64 Lặp lần 7 7 1 161 81 323 2 128 64 256 c B2: f(a) < 0, f(b) > 0 B3 : 7 f(c ) 0 B4: 3 7 81 161 1 e 10 64 128 128 B5: 7 f(c ).f(a) 0 Gán 7 323 bc 256 Xét khoảng phân ly 161 323 ; 128 256 Lặp lần 8 8 1 161 323 645 2 128 256 512 c B2: f(a) < 0, f(b) > 0 B3: 8 f(c ) 0 B4: 3 8 323 161 1 e 10 256 128 256 B5: 8 f(c ).f(a) 0 Gán 8 645 ac 512 Xét khoảng phân ly 645 323 ; 512 256 Lặp lần 9 9 1 645 323 1291 2 512 256 1024 c B2: f(a) < 0, f(b) > 0 B3: 9 f(c ) 0 B4: 3 9 323 645 1 e 10 256 512 512 B5: 9 f(c ).f(a) 0 Gán 9 1291 bc 1024 Xét khoảng phân ly 645 1291 ; 512 1024 Lặp lần 10 10 1 645 1291 2581 2 512 1024 2048 c B2: B3: 10 f(c ) 0 B4: 3 10 1291 645 1 e 0,0009766 10 1024 512 1024 6 7 8 9 10 8 B6: * 10 2581 1,260253906 2048 xc Vậy biểu diễn 3 2 là: 3 1,260 10 x E. Cài đặt chƣơng trình cho thuật toán trên: program bieu_dien_can_bac_n_so_khong_am; uses crt; var a,b,c,x1,y,fc,e: real; i,n,k:longint; begin clrscr; writeln(„bieu dien can bac n cua so thuc khong am y voi sai so cho phep khong qua 10^-k‟); writeln(„nhap vao gia tri y can tinh can‟); readln(y); {nhap y} writeln(„nhap vao bac n can can tinh‟); readln(n); {nhap n} if y = 1 then writeln(„ can bac „, n,‟ cua 1 la 1‟) else begin writeln(„nhap vao he so cua sai so k‟); readln(k) { nhap k} if y > 1 then begin i:=1; while exp(n*ln(i))-y <=0 do i:= 1+i; a:= i - 1; b:= i; end else begin a:=y; b:=1 ; end; writeln(„Khoang phan ly ban dau la: [„,a:4:k,‟,‟,b:4:k,‟,]‟); if (exp(n*ln(a))-y = 0) then writeln(„Can bac „,n,‟ cua‟,y,‟ la: „, a:5:k) else if exp(n*ln(b))-y = 0) then writeln(„Can bac „,n,‟ cua‟,y,‟ la: „, b:5:k) else begin e:=b-a; c:=(a+b)/2; fc:= exp(n*ln(c)) – y; if fc = 0 then x1:=c else begin 9 while e>exp(-k*ln(10)) do begin if fc*(exp(n*ln(a))-y) < 0 then b:=c else a:=c e:=b-a; c:=(a+b)/2; fc:=exp(n*ln(c))-y; end; x1:=c end; end; writeln(„bieu dien can bac „, n,‟ cua „, y, „ la: „, x1:8:k); writeln(„voi sai so cho phep la 10^-„,k); end; readln end. F. Nhận xét về thuật toán chia đôi: Ưu điểm: đơn giản Nhược điểm: tốc độ hội tụ chậm, không tận dụng được tính chất của hàm số f(x). dù hàm số có dạng gì thì chúng ta cũng chỉ chia đôi, xét giá trị của hàm tại các điểm rồi chia rồi quyết định chọn đoạn nào để chia tiếp. Nếu khoảng [a,b] ban đầu lớn thì phải mất khá nhiều bước mới đạt được độ chính xác cần thiết. G. Tài liệu tham khảo: “Phương pháp tính” của Tạ Văn Đĩnh Tài liệu tham khảo trên Internet 10 Mục lục A. Đặt vấn đề: 2 B. Cơ sở lý luận: 2 C. Thuật toán 4 D. Ví dụ 6 E. Cài đặt chương trình cho thuật toán trên: 8 F. Nhận xét về thuật toán chia đôi: 9 G. Tài liệu tham khảo: 9 . ÂM BẰNG PHƢƠNG PHÁP CHIA ĐÔI ĐOẠN NGHIỆM A. Đặt vấn đề: Phương pháp tính là một trong những môn học bắt buộc của ngành toán học và công nghệ thông tin. Trong môn học này, tính gần đúng nghiệm. PHẠM TP.HCM KHOA TOÁN – TIN Lớp: Toán-VB2 khóa 2 Môn: PHƯƠNG PHÁP TÍNH Đề tài: BIỂU DIỄN CĂN BẬC N CỦA MỘT SỐ THỰC KHÔNG ÂM BẰNG PHƯƠNG PHÁP CHIA ĐÔI ĐOẠN NGHIỆM Giảng viên hướng dẫn:. của một phương trình là một trong những nội dung chính và bài toán xác định biểu diễn thập phân của căn bậc n của một số thực ta có thể đưa về dạng bài toán tìm nghiệm thực gần đúng của phương