BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HCM KHOA TOÁN – TIN HỌC 1 GVHD: TS TRỊNH CÔNG DIỆU LỚP: VB2 K2 Nhóm 22 gồm: Hồ Thị Thu Sương Lê Thị Mỹ Tiên Chung Thị Bích Ngọc Nguyễn Văn Minh TP.Hồ Chí Minh năm 2014 Bài thuyết trình môn: Vấn đề: Thuật toán xác định biểu diễn thập phân căn bậc n của một số thực không âm (n là số nguyên dương); Kết quả ghi ở dạng biểu diễn thập phân. Từ đó xây dựng thuật toán xác định dạng thập phân căn bậc n của một số thực. ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP NỘI SUY LAGRANGE Mục lục PHƯƠNG PHÁP NỘI SUY LAGRANGE 3 I.Đặt vấn đề: 3 II.Đa thức nội suy Lagrange : 3 III.ĐÁNH GIÁ SAI SỐ CỦA NỘI SUY LAGRANGE 5 IV. ỨNG DỤNG VÀ VÍ DỤ : 7 V.Thuật toán tính gần đúng f(c) dựa trên đa thức nội suy lagrange: 9 VI. Hạn chế của đa thức nội suy lagrange: 9 2 PHƯƠNG PHÁP NỘI SUY LAGRANGE I. Đặt vấn đề: Trong toán học ta thường gặp các bài toán liên quan đến khảo sát và tính giá trị các hàm ( )y f x= nào đó. Tuy nhiên trong thực tế có trường hợp ta không xác định được biểu thức của hàm ( )f x mà chỉ nhận được các giá trị rời rạc: 0 y , 1 y , , n y tại các điểm tương ứng 0 1 , , , n x x x . Vấn đề đặt ra là làm sao để tính ( )y f c= Cho nên ta dùng phương pháp nội suy LAGRANGE II. Đa thức nội suy Lagrange : 1. Định nghĩa : cho n số 0 1 2 ( , , , , ) n x x x x phân biệt và n số 0 1 2 ( , , , , ) n y y y y tùy ý thì tồn tại một đa thức ( )p x với bậc không quá 1n − thỏa mãn: ( ) ; 1,2,3, , (1) i i p x y i n= ∀ = Công thức nội suy: ( ) ( ) 0 ( ) n i i j j i j i x x p x x x = ≠ − = − ∏ , 1,2,3, , i n= (2) Khi đó: ( ) ( ) 0 0 0 ( ) ( ) . (3) n n n i i i i i i j j i j i x x L x y p x y x x = = = ≠ − = = − ∑ ∑ ∏ • 0 1 2 , , , , n x x x x được gọi là các nút nội suy • Với 2n = đa thức là: ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 0 1 0 1 1 0 ( ) . (4) x xx x L x y y x x x x −− = + − − • Với 3n = đa thức là: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 2 0 1 1 2 0 1 2 0 1 0 2 1 0 1 2 2 0 2 0 ( ) . . (5) x x x x x x x xx x x x L x y y y x x x x x x x x x x x x − − − −− − = + + − − − − − − • Với n thì đa thức với bậc không quá 1n − có dạng: 3 ( ) ( ) 0 0 0 ( ) ( ) . n n n i i i i i i j j i j i x x L x y p x y x x = = = ≠ − = = − ∑ ∑ ∏ Ý nghĩa hình học: • Với deg ( ) 2, ( )P x y P x= = là parabol đi qua 3 điểm. • Với deg ( ) 1, ( )P x y P x= = là đường thẳng đi qua 3 điểm không cùng phương với trục hoành. • Với deg ( ) 0, ( )P x y P x= = là đường thẳng đi qua 3 điểm cùng phương với trục hoành. 2. CÁCH XÁC ĐỊNH : Cho 1n + mốc nội suy 0 0 ( , ), ,( , ) n n x y x y đa thức nội suy ( ) k f x x= theo LAGRANGE được xác định như sau: Bước 1: chọn mốc nội suy 0 0 ( , ), ,( , ) n n x y x y sao cho thỏa điều kiện 0 0 1 k n x n≤ < + và cho giá trị sai số tốt nhất. Bước 2: xác định các đa thức lagrange dưới dạng cơ bản ( ) i p x có dạng: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 2 3 0 0 1 2 3 ( ) n j n i j j i i i i i i n i j x x x x x x x x x x x x p x x x x x x x x x x x x x = ≠ − − − − − − = = − − − − − − ∏ 4 0,1, ,i n= { 1 0 ( ) k i i k k i p x = ≠ = Bước 3 : đa thức nội suy lagrange được xác định bởi: ( ) ( ) 0 0 0 ( ) ( ) . n n n j i i i i i j j i i j x x L x y p x y x x = = = ≠ − = = − ∑ ∑ ∏ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 0 0 1 2 0 3 0 0 2 3 1 1 0 1 2 1 3 1 0 1 3 1 0 2 3 1 . . n o n n n n n n n n n n x x x x x x x x y x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x − − − − − − = − − − − − − − − + − − − − + + − − − − + − − − − III. ĐÁNH GIÁ SAI SỐ CỦA NỘI SUY LAGRANGE a. Định lý rolle Nếu ( )f x liên tục trên đoạn [ ] ,a b khả vi tại mọi ( ) ,x a b∈ với ( ) ( )f a f b= thì tồn tại ( , )a b ε ∈ sao cho ( ) 0f ε ′ = Áp dụng đánh giá sai số khi tính ( ) ( ) n f c L c≈ Giả xử ( )f x có đạo hàm liên tục đến cấp 1n + trên đoạn 0 [ , ] n x x Tìm các phần dư có dạng: 5 ( ) 1 0 ( ) n n i i R x k x x + = = − ∏ Đặt 0 ( ) ( ) ( ) ( ) n n i i F x f x L x k x x = = − − − ∏ Tính k sao cho F(x) có ít nhất 2n + nghiệm 0 1 ( , , , và c) n x x x • F(x) có 2n + nghiệm ⇒ ( ) ó 1F x c n ′ + nghiệm (định lý Rolle) • F(x) có 1n + nghiệm ⇒ ( ) ó F x c n ′′ nghiệm (định lý Rolle) • … • Tương tự : 1 ( ) n F x + có 1 nghiệm, ta gọi nghiệm nội suy ξ 1 1 1 1 0 ( ) =0 ( ) ( ) ( ( )) 0 n n n n n n i i F f L k x x ξ ξ ξ + + + + = ⇔ + + − = ∏ Mà : 1 ( ) 0( ) n n L x x + = ∀ 1 0 ( ( )) ( 1)! n n i i k x x k n + = − = + ∏ vậy sai số có dạng cần tìm: 1 1 1 0 ( ) ( ) = ( ) ( ) ( )) ( 1)! n n n n n i i f R x f x L x x x n ξ + + + = − = − + ∏ nếu 1 0 ( ) ( ( , ) n n f x M x x x + ≤ ∀ ∈ thì sai số của lagrange có thể viết 1 0 ( ) = ( ) ( ) ( ) ( 1)! n n n i i M R x f x p x x x n + = − = − + ∏ b/ Chọn mốc nội suy tối ưu. Với công thức đánh giá sai số 1 1 0 | | | ( ) ( ) | | ( ) | | ( ) | ( 1)! ( 1) n n n i n i M M R f x L x x x x n n π + + = = − ∂ ≤ − = + + ∏ 6 Cần chọn các [ ] ; i x a b∈ để [ ;b] max ( ) x a f x ∈ là nhỏ nhất IV. ỨNG DỤNG VÀ VÍ DỤ : Với n giá trị phân biệt 0 1 2 , , , , n x x x x áp dụng công thức nội suy cho đa thức 1 1 ( ) , 1 k y f x x n k = = ≤ − ( deg ( ) 1f x n= − ) ( ) 1 1 1, 1 1 ( ) ( ) . ( ) ( ) ( ) n k j j n n k i j i i i i j j j i x x x x p x f x y x x p x f x = ≠ = = − = = ′ ′ − ∏ ∑ ∑ Vậy biểu thức của đa thức có hệ số 1n x − là 1 1 ( ) . ( ) k n j i j i x f x y f x = = ′ ∑ so sánh với 1 ( ) k y f x x= = ta được đẳng thức sau: 1 1 0 ( ) k n j j i x f x = = ′ ∑ (1,2,3, , -2)k n∀ = 1 1 1 ( ) . ( ) k n j i j i i x f x y f x y = = = ′ ∑ ( 1 1n k ≤ − ) Ví d ụ 1 : Tìm đa thức nội suy đối với hàm ( )y f x x= = được cho trong bảng. 0 4x≤ ≤ i x 0 1 4 i y 0 1 2 Giải: Các Đa Thức Lagrange Cơ Bản ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 1 4 5 4 ( ) 0 1 0 4 4 x x x x p x − − − + = = − − 7 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 0 4 4 ( ) = 1 0 1 4 3 x x x x p x − − − = − − − ( ) ( ) ( ) ( ) 2 4 0 1 ( ) 4 0 4 1 12 x x x x p x − − − = = − − Đa thức nội suy lagrange: 3 3 3 2 0 0 1 1 2 3 0 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 7 6 6 n n i i i L x y p x y p x y p x y p x x x = = = + + − = + ∑ Tính (2)f =? 2 1 7 5 (2) 4 2 1,6666(6) 6 6 3 L − = + = = Ví dụ 2: cho f(x) bởi bảng sau: tính (3) ?f = với ( )f x x= , 0 49x≤ ≤ i x 0 1 4 9 16 25 36 49 i y 0 1 2 3 4 5 6 7 Đa thức nội suy lagrange: với n=7 7 0 1 ( ) ( ) ( 4)( 9)( 16)( 25)( 36)( 49) 14515200 1 - x(x-1)(x-9)(x-16)(x-25)(x-36)(x-49) 10886400 1 + x(x-1)(x-4)(x-16)(x-25)(x- 14515200 n n i i i L x y p x x x x x x x x = = = − − − − − − ∑ 36)(x-49) 1 - x(x-1)(x-4)(x-9)(x-25)(x-36)(x-49) 29937600 1 + x(x-1)(x-4)(x-9)(x-16)(x-36)(x-49) 95800320 1 - x(x-1)(x-4)(x 518918400 -9)(x-16)(x-25)(x 49) 1 + x(x-1)(x-4)(x-9)(x-16)(x-25)(x-36) 6227020800 − 8 3 7814664 15629328 2604888 253 299 23 11 (3) 14515200 10886400 14515200 6300 40320 25200 218400 =1.828198642 L = + − + − + − Từ ví dụ 2: ta có sai số lagrange như sau: 1 1 1 0 ( ) ( ) = ( ) ( ) ( )) ( 1)! n n n n n i i f R x f x p x x x n ξ + + + = − = − + ∏ Với n=7, 7 (3) 1.828198642L = 8 7 8 0 ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) 8! n n i i f R x f x p x x x ξ = = + = − ∏ Với 8 8 8 4 8 1 1 1 ( ) ( ( ) 2 3 20736 (2 ) f f x x ξ ′ = ≤ = = 8 7 8 0 8 4 ( ) ( ) = ( ) 8! 1 ( 1)( 4)( 9)( 16)( 25)( 36)( 49) 8!2 3 1 .(15629328) 0.01869367973 8!20736 n i i f R x x x x x x x x x x x ξ = = − = − − − − − − − = = ∏ Vậy: (3) 1.828198642 0.01869367973f = ± V. Thuật toán tính gần đúng f(c) dựa trên đa thức nội suy lagrange: • Input: cho mảng {(x 0 ,y 0 ),(x 1 ,y 1 ),…,(x n ,y n )} • L=0 ; • I=0,1,2,…,n { //Tính giá trị đa thức Lagrange cơ bản thứ i P i =1 • J=0,1,2,…,n If i≠j then P i =P i *(c-xj)/(x i -x j ) //Cộng y i *L i vào kết quả o L=L+y i *P i ; } Return L ; // L là giá trị gần đúng của F(c) tìm được VI. Hạn chế của đa thức nội suy lagrange: 9 Mỗi khi thêm mốc nội suy, ta phải tính lại toàn bộ đa thức (các đa thức lagrange cơ bản và đa thức nội suy lagrange). Đa thức newton khắc phục được tình trạng này. TÀI LIỆU THAM KHẢO: http://www.slideshare.net/thanhchuongnl/chuong04 http://d.violet.vn//uploads/resources/558/2050667/preview.swf https://dangcnd.files.wordpress.com/2009/08/pptc3.pdf Các bài giảng Phương pháp tính của TS Trịnh Công Diệu. 10 . HỌC 1 GVHD: TS TRỊNH CÔNG DIỆU LỚP: VB2 K2 Nhóm 22 gồm: Hồ Thị Thu Sương Lê Thị Mỹ Tiên Chung Thị Bích Ngọc Nguyễn Văn Minh TP.Hồ Chí Minh năm 2014 Bài thuyết trình môn: Vấn đề: Thuật toán xác định biểu. dựng thuật toán xác định dạng thập phân căn bậc n của một số thực. ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP NỘI SUY LAGRANGE Mục lục PHƯƠNG PHÁP NỘI SUY LAGRANGE 3 I.Đặt vấn đề: 3 II.Đa thức nội suy Lagrange : 3 III.ĐÁNH. toán tính gần đúng f(c) dựa trên đa thức nội suy lagrange: 9 VI. Hạn chế của đa thức nội suy lagrange: 9 2 PHƯƠNG PHÁP NỘI SUY LAGRANGE I. Đặt vấn đề: Trong toán học ta thường gặp các bài toán