Bài tiểu luận môn phương pháp tính nhóm 08

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TP. HCM KHOA TOÁN – TIN TIỂU LUẬN PHƢƠNG PHÁP TÍNH THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH THÁNG 01 NĂM 2015 GIẢNG VIÊN : TS. TRỊNH CÔNG DIỆU THỰC HIỆN : NHÓM 8 – VB2 TOÁN – KHÓA 2 01 : HUỲNH VĂN AN 02 : ĐOÀN NHẬT MINH 03 : NGUYỄN VĂN THI 04 : PHẠM THỊ HỒNG THƢ MÔN HỌC: PHƢƠNG PHÁP TÍNH GV: TS. TRỊNH CÔNG DIỆU SVTH: NHÓM 8 – LỚP VB2 TOÁN – KHÓA 2 Trang i MỤC LỤC MỤC LỤC i I. ĐẶT VẤN ĐỀ 1 II. VẤN ĐỀ KHẢO SÁT 1 II.1. CƠ SỞ TOÁN HỌC 1 II.1.1. Định nghĩa (Định nghĩa về hàm co từ   ,ab vào   ,ab ) 1 II.1.2. Định lý 1 1 II.1.3. Định lý 2 (Định lý Banach về điểm bất động của hàm co từ   ,ab vào   ,ab ) 2 II.1.4. Định lý 3 (Định lý giá trị trung gian của hàm số liên tục) 3 II.1.5. Phƣơng pháp tính 4 II.2. THUẬT TOÁN TƢƠNG ỨNG 7 II.3. VÍ DỤ MINH HỌA 8 III. KIẾN THỨC MỞ RỘNG 18 IV. TÀI LIỆU THAM KHẢO 20 MÔN HỌC: PHƢƠNG PHÁP TÍNH GV: TS. TRỊNH CÔNG DIỆU SVTH: NHÓM 8 – LỚP VB2 TOÁN – KHÓA 2 Trang 1 Trong bài trình bày này chúng tôi chỉ khảo sát các phƣơng trình đại số và siêu việt một biến số thực. I. ĐẶT VẤN ĐỀ Xét phƣơng trình   0fx , có rất nhiều cách để chuyển phƣơng trình này thành phƣơng trình   xx   , một cách khá đơn giản đó là đặt     x f x x   , nhƣ vậy *x là một nghiệm của phƣơng trình   0fx nếu và chỉ nếu *x là nghiệm của phƣơng trình   xx   hay *x là một điểm bất động của hàm  . Điều này nói lên rằng việc tìm nghiệm một phƣơng trình có thể đƣa về việc tìm điểm bất động của một hàm số. Các định lý điểm bất động đóng một vai trò quan trọng trong việc chứng minh sự tồn tại nghiệm của các phƣơng trình đại số, siêu việt và phƣơng trình vi phân…. Trong số các định lý điểm bất động thì định lý điểm bất động của Banach là một định lý không những giúp ta chứng tỏ đƣợc sự tồn tại nghiệm của một phƣơng trình, tính duy nhất của nghiệm đó mà còn chỉ ra một phƣơng pháp để sau một số bƣớc tính hữu hạn ta có thể tìm đƣợc nghiệm gần đúng của phƣơng trình với sai số không quá  cho trƣớc. Sau đây chúng ta sẽ tìm hiểu về cách xác định giá trị gần đúng cho nghiệm của phƣơng trình sử dụng định lý điểm bất động Banach. II. VẤN ĐỀ KHẢO SÁT II.1. CƠ SỞ TOÁN HỌC II.1.1. Định nghĩa (Định nghĩa về hàm co từ   ,ab vào   ,ab ) Nếu hàm số     : , ,a b a b  và tồn tại 01c sao cho:       , , ,x y c x y x y a b      Thì  đƣợc gọi là hàm co từ   ,ab vào   ,ab và c đƣợc gọi là hệ số co. Nhận xét: Trong nhiều trƣờng hợp, việc dùng định nghĩa để chứng tỏ một hàm có tính chất co là không đơn giản, định lý sau đây giúp ta kiểm tra tính co dễ dàng hơn đối với các hàm khả vi. II.1.2. Định lý 1 Cho  là hàm số liên tục trên   ,ab và khả vi trên   ,ab thỏa:       , , ,x a b x a b    và tồn tại c sao cho     ' 1, ,x c x a b     Khi đó  là hàm co từ   ,ab vào   ,ab với hệ số co c. MÔN HỌC: PHƢƠNG PHÁP TÍNH GV: TS. TRỊNH CÔNG DIỆU SVTH: NHÓM 8 – LỚP VB2 TOÁN – KHÓA 2 Trang 2 Chứng minh: Theo định lý Lagrange với   ,,x y a b luôn tồn tại   ,k a b :         '.x y k x y      Suy ra         ' , , ,x y k x y c x y x y a b          Mà       , , ,x a b x a b    và   0,1c nên  là hàm co từ   ,ab vào   ,ab với hệ số co c.▐ II.1.3. Định lý 2 (Định lý Banach về điểm bất động của hàm co từ   ,ab vào   ,ab ) Cho  là hàm co từ   ,ab vào   ,ab với hệ số co   0,1c , khi đó tồn tại duy nhất   ,x a b sao cho   xx  . Chứng minh: Lấy tùy ý   0 ,x a b , lập dãy   n x với   1nn xx    , * n . Từ giả thiết     : , ,a b a b  và cách thiết lập dãy   n x ta suy ra     , n x a b Ta sẽ chứng minh   n x là dãy Cauchy. Thật vậy, n , ta có:     2 1 1 1 1 2 1 0 n n n n n n n n n x x x x c x x c x x c x x                   1 Áp dụng bất đẳng thức tam giác, ,*np    ta có:           1 1 2 1 12 1 0 1 0 1 0 1 10 10 10 do 1 1 1 1 do 0,1 1 n p n n p n p n p n p n n n p n p n np p n n x x x x x x x x c x x c x x c x x c x x c c c c x x c xx cc c                                         Suy ra 10 0, 1 ,* n n p n xx nx x c c p          Mà     10 0 do 0,1 1 n n xx cc c      Do đó theo định lý giới hạn kẹp ta suy ra: 0, * n n p n pxx        . Vậy   n x là dãy Cauchy trong tập đóng   ,ab , suy ra dãy   n x hội tụ trong   ,ab , nghĩa là tồn tại   , : lim n n x a b x x   . Mặt khác với mọi dãy     , n y a b thỏa n n yy   . Ta có   ,y a b vì   ,ab đóng. Do  MÔN HỌC: PHƢƠNG PHÁP TÍNH GV: TS. TRỊNH CÔNG DIỆU SVTH: NHÓM 8 – LỚP VB2 TOÁN – KHÓA 2 Trang 3 là hàm co nên     nn y y c y y    với mọi n , mà 0 n n c y y    nên theo định lý giới hạn kẹp ta suy ra     0 n n yy     hay     n n yy    . Vì vậy  là hàm liên tục trên   ,ab . Từ đó ta có       1 lim lim lim n n n n n n x x x x x            , nghĩa là x là điểm bất động của  . Ta chứng minh điểm bất động này là duy nhất: Giả sử có hai điểm   , , ,x y a b x y sao cho:     ,x x y y  thì:     x y x y c x y      (do  là hàm co)   do , 0 1x y x y c     (Vô lý) Vậy  có một điểm bất động duy nhất trên   ,ab .▐ Lưu ý: Các định lý và định nghĩa trên vẫn đúng nếu thay   ,ab bởi hoặc   ,a  hoặc   ,a . II.1.4. Định lý 3 (Định lý giá trị trung gian của hàm số liên tục) Nếu hàm f liên tục trên   ,ab và     .0f a f b  thì tồn tại ít nhất một điểm   ,p a b sao cho   0fp . Ghi chú: Định lý này giúp ta xác định đƣợc khoảng chứa nghiệm của một phƣơng trình cho trƣớc. Do đây là một định lý quen thuộc trong giải tích cổ điển nên chúng tôi không trình bày phần chứng minh. MÔN HỌC: PHƢƠNG PHÁP TÍNH GV: TS. TRỊNH CÔNG DIỆU SVTH: NHÓM 8 – LỚP VB2 TOÁN – KHÓA 2 Trang 4 II.1.5. Phƣơng pháp tính Quá trình chứng minh Định lý 2 đã cho ta một phƣơng pháp đƣợc gọi là phƣơng pháp xấp xỉ liên tiếp của Banach để tìm nghiệm của phƣơng trình   xx  khi  là hàm co. Nhƣng trong thực tế tính toán, khi thực hiện theo phƣơng pháp trên sẽ có vấn đề nảy sinh đó là nếu các số n x là các số thập phân có nhiều chữ số sau dấu phẩy (hữu hạn hoặc vô hạn), ta và máy tính thƣờng làm tròn các số này tới hàng thứ l nào đó. Việc làm tròn này có thể dẫn đến sai số trong mỗi bƣớc tính, dãy số ta nhận đƣợc không còn là dãy {} n x nhƣ trong lý thuyết mà là dãy {} n x trong đó n x là giá trị đã đƣợc làm tròn của   1n x   tới hàng thứ l , với *n . Sơ đồ so sánh giữa lý thuyết và thực tế : Do việc làm tròn nhƣ vậy, trong dãy số {} n x có thể có một số i x nào đó bị lọt ra khỏi đoạn   ,ab , điều này có thể sẽ khiến quá trình tính toán gặp thất bại. Vì vậy mục này chúng ta sẽ dành để giải quyết các câu hỏi sau: - Câu hỏi 1: Làm sao để không có giá trị nào của dãy {} n x bị lọt ra khỏi đoạn   ,ab ? - Câu hỏi 2: Nên chọn l bằng bao nhiêu để sau một số hữu hạn bƣớc tính ta nhận đƣợc giá trị gần đúng của nghiệm phƣơng trình với sai số không quá  cho trƣớc và ứng với mỗi số l tìm đƣợc, số bƣớc tính tối thiểu là bao nhiêu để chắc chắn ta nhận đƣợc giá trị gần đúng của nghiệm phƣơng trình với sai số không quá  cho trƣớc ? GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ: - Giải quyết câu hỏi 1: Nếu ta chọn ,ab là các số thập phân có tối đa l chữ số sau dấu phẩy (thông thƣờng ta chọn ,ab là các số nguyên) thì giải quyết đƣợc câu hỏi 1. Thật vậy giả sử tồn tại i  sao cho   , i x a b và   1 , i x a b   , vì 1i x  là giá trị làm tròn của   0 0 1 2 11 2 x x x x xx x               MÔN HỌC: PHƢƠNG PHÁP TÍNH GV: TS. TRỊNH CÔNG DIỆU SVTH: NHÓM 8 – LỚP VB2 TOÁN – KHÓA 2 Trang 5 () i x tới hàng thứ l nên   1 1 .10 2 l ii xx      Không mất tính tổng quát ta giả sử thêm 1 () ii x a x     suy ra:   11 10 l i i i x x a x        (mâu thuẫn). ▐ - Giải quyết câu hỏi 2: Gọi *x là nghiệm của phƣơng trình   xx trong đoạn   ,ab . Giả sử sau n bƣớc tính   *n ta tìm đƣợc n x là giá trị gần đúng của *x với sai số không quá  cho trƣớc nghĩa là * n xx   . Nhận xét : ** n n n n x x x x x x      Đánh giá * n xx : Trong Định lý 2 ta đã chứng minh đƣợc: 10 , , * 1 n n p n c x x x x n p c          Cho p  đối với biểu thức trên ta nhận đƣợc: 10 * 1 n n c x x x x c     1 1 1 0 11 nn cc x x x x cc      (Áp dụng bất đẳng thức tam giác) Nhƣng do 1 x là giá trị làm tròn của   10 xx   tới hàng thứ l nên từ bất đẳng thức trên ta suy ra: 10 10 *. 1 2 1 n l n n cc x x x x cc       (1)  Đánh giá nn xx : Ta có:       1 1 1 1 1 10 2 l n n n n n n n n x x x x x x c x x                  Suy ra :     11 10 10 2 1 2 1 ll n n n n x x c x x cc             Sử dụng quy nạp toán học ta chứng minh đƣợc:       1 11 1 10 10 2 1 2 1 10 10 2 2 1 ll n nn ll n x x c x x cc c c                     MÔN HỌC: PHƢƠNG PHÁP TÍNH GV: TS. TRỊNH CÔNG DIỆU SVTH: NHÓM 8 – LỚP VB2 TOÁN – KHÓA 2 Trang 6 Suy ra :     1 10 10 10 1 10 . 2 1 2 2 1 1 l l l n nl nn c x x c c c c                  (2) Từ (1) và (2) và nhận xét ở trên ta suy ra:   10 10 * 2 1 1 ln n c x x x x cc       Ta sẽ chọn l và n sao cho   10 10 2 1 1 ln c xx cc       Để thuận tiện ta chọn l và n thỏa   10 2 1 2 l c     và 10 12 n c xx c    (3) Suy ra     ln 1 ln10 c l   Ta luôn chọn đƣợc số tự nhiên l thỏa bất đẳng thức trên. Tuy nhiên vế phải của bất đẳng thức trên có thể âm nếu  đủ lớn, mà l  nên ta có một cách chọn nhƣ sau:     ln 1 max 0; 1 ln10 c l               trong đó ký hiệu   x là phần nguyên của số x . Khi đã chọn đƣợc l , ta tính đƣợc 1 x , xét các trƣờng hợp sau: TH1: 10 xx , khi đó 0 x chính là nghiệm gần đúng cần tìm TH2: 0c  , khi đó hàm  co lại thành một điểm thuộc   ,ab , vì vậy chỉ cần sau một bƣớc tính ta sẽ nhận đƣợc nghiệm gần đúng cần tìm, đó chính là 1 x . TH3: 10 xx và 0c  từ (3) ta nhận đƣợc:   10 1 ln 2 ln c xx n c        Từ đây ta cũng chọn đƣợc số nguyên dƣơng n ứng với mỗi số l đã chọn , cụ thể nhƣ sau:       10 ln 1 ln 2 max 1; 1 ln c x x n c               Nhƣ vậy ta luôn chọn đƣợc l và n để n x là giá trị gần đúng của *x với sai số không quá  cho trƣớc. ▐ Nhận xét: Công thức tìm l và n quả là phức tạp, chúng tôi vẫn chƣa có cách thức nào để làm đơn giản nó. Nếu có cơ hội quay trở lại, có lẽ chúng tôi sẽ có thêm những góc nhìn mới để cải thiện vấn đề này đƣợc tốt hơn. MÔN HỌC: PHƢƠNG PHÁP TÍNH GV: TS. TRỊNH CÔNG DIỆU SVTH: NHÓM 8 – LỚP VB2 TOÁN – KHÓA 2 Trang 7 II.2. THUẬT TOÁN TƢƠNG ỨNG Tên thuật toán: <Xác định giá trị gần đúng cho nghiệm của phƣơng trình bằng cách sử dụng định lý điểm bất động> 1. Thuật toán : - Bƣớc 1: Tìm khoảng chứa nghiệm   , , ,a b a b bằng cách tính giá trị của f tại một số điểm, đến khi có 2 giá trị trái dấu (     .0f a f b  ) và f liên tục trên   ,ab (thỏa điều kiện của Định lý 3). - Bƣớc 2: Biến đổi phƣơng trình   0fx thành phƣơng trình   xx   , chọn hàm  (nếu có) sao cho thỏa điều kiện Định lý 1 hoặc Định lý 2, xác định hệ số co c. - Bƣớc 3: Chọn l thỏa     ln 1 max 0; 1 ln10 c l               - Bƣớc 4: Trong đoạn   ,ab lấy tùy ý 0 x là số có tối đa l chữ số sau dấu phẩy khi biểu diễn dƣới dạng thập phân, tính 1 x là giá trị đã đƣợc làm tròn của   0 x  tới hàng thứ l + Nếu 10 xx : Kết luận 0 x là nghiệm gần đúng của phƣơng trình với sai số không quá  . + Nếu 0c  : Kết luận 1 x là nghiệm gần đúng của phƣơng trình với sai số không quá  . + Nếu 10 ,0x x c : Ta tiến hành các bƣớc tiếp theo - Bƣớc 5: Chọn n thỏa       10 ln 1 ln 2 max 1; 1 ln c x x n c               - Bƣớc 6: Đặt 1k x  là giá trị đã đƣợc làm tròn của   k x tới hàng thứ l ,   *k  - Bƣớc 7: Lập bảng tính k x : k k x 1 1 x 2 2 x … … n-1 1n x  n n x - Bƣớc 8: Kết luận n x là nghiệm gần đúng của phƣơng trình với sai số không quá  . MÔN HỌC: PHƢƠNG PHÁP TÍNH GV: TS. TRỊNH CÔNG DIỆU SVTH: NHÓM 8 – LỚP VB2 TOÁN – KHÓA 2 Trang 8 Lƣu ý: - Việc thực hiện Bƣớc 1 và Bƣớc 2 đòi hỏi phải có sự khéo léo, ta viết ra làm hai bƣớc nhƣ vậy nhƣng thực ra hai bƣớc này không thực sự phân định rõ ràng mà cần thực hiện đồng thời để chọn ra đƣợc đoạn chứa nghiệm và hàm co tƣơng ứng với đoạn đó. Ví dụ khi chọn đƣợc đoạn chứa nghiệm   ,ab rồi, nhƣng hàm  không co từ   ,ab vào   ,ab mà lại co từ   11 ,ab vào   11 ,ab , trong đó     11 ,,a b a b , trƣờng hợp này cần phải điều chỉnh lại đoạn chứa nghiệm. - Không phải lúc nào cũng tìm đƣợc đoạn chứa nghiệm   ,ab mà ,ab , ví dụ ta tìm đƣợc đoạn chứa nghiệm là   1,2 , nhƣng hàm  chỉ co từ 2, 3   vào 2, 3   . Vấn đề này vẫn đƣa đƣợc giải quyết triệt để. Vì một số lý do nhƣ trên nên chúng tôi vẫn chƣa đề cập đƣợc cách thức để thực hiện bƣớc 1 và bƣớc 2 bằng chƣơng trình máy tính. Hai bƣớc này đòi hỏi phải tính bằng tay, sau đó sử dụng dữ liệu vừa tìm đƣợc để viết chƣơng trình cho máy tính. Cụ thể đoạn mã giả sẽ có dạng: - Dữ liệu đầu vào :  {hàm co}, c {hệ số co},  {sai số tối đa} , a, b {hai đầu đoạn nghiệm, ab } - Giải thuật: Tƣơng tự phần trƣớc từ bƣớc 3 đến bƣớc 8 II.3. VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Tìm nghiệm gần đúng của phƣơng trình 3 10xx   với sai số không quá 4 10    . Giải: - Bƣớc 1: Tìm khoảng chứa nghiệm: Đặt   3 1f x x x   , ta có:   01f  ,   25f  ,     0 . 2 5 0ff   và do f liên tục trên   1,2 nên suy ra phƣơng trình   0fx có nghiệm thuộc   1,2 . - Bƣớc 2: Tìm hàm  : Ta có: 3 3 1 0 1x x x x      . Xét   3 1xx  , ta thấy       1,2 , 1,2xx    và     2 3 11 11 33 xx        . Nhƣ vậy hàm  thỏa các điều kiện của Định lý 1 và hệ số co 1 3 c  . - Bƣớc 3: Chọn l : Ta có:     4 1 ln 10 1 ln 1 3 2 4 log 4 ln10 ln10 3 c                                . Chọn 5l  . - Bƣớc 4: Tính 1 x : [...]... ▐ SVTH: NHÓM 8 – LỚP VB2 TOÁN – KHÓA 2 Trang 19 MÔN HỌC: PHƢƠNG PHÁP TÍNH GV: TS TRỊNH CÔNG DIỆU IV TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Trần Tráng, Tôpô đại cương, Trƣờng Đại học Sƣ phạm Thành phố Hồ Chí Minh [2] Walter Rudin, The Principles of Mathematical Analysis, Third Edition, MacGraw-Hill, Inc 1976 [3] Đỗ Thị Tuyết Hoa, Bài giảng môn phương pháp tính, Trƣờng Đại học Bách khoa Đà Nẵng, 2007 SVTH: NHÓM 8 –...   x   3 2 3 2 SVTH: NHÓM 8 – LỚP VB2 TOÁN – KHÓA 2 Trang 14 MÔN HỌC: PHƢƠNG PHÁP TÍNH GV: TS TRỊNH CÔNG DIỆU Nhƣ vậy hàm  thỏa các điều kiện của Định lý 1 và hệ số co c  1 2 - Bƣớc 3: Chọn l :   5  1      ln 10 1       ln   1  c     2    1   Ta có:   5  log     5 Chọn l  6    ln10 ln10  2           - Bƣớc 4: Tính x1 : Chọn x0  0,9... bảng tính : k xk 1 x1  0,905465 2 x2  0,907943 3 x3  0,909069 4 x4  0,909581 5 x5  0,909814 6 x6  0,909920 7 x7  0,909968 8 x8  0,909990 9 x9  0,910000 10 x10  0,910004 11 x11  0,910006 12 x12  0,910007 Vậy nghiệm gần đúng của phƣơng trình với sai số không quá   105 là 0,910007 ▐ Đoạn chƣơng trình tƣơng ứng cho Ví dụ 3: SVTH: NHÓM 8 – LỚP VB2 TOÁN – KHÓA 2 Trang 15 MÔN HỌC: PHƢƠNG PHÁP TÍNH... kiện của Định lý 1 và hệ số co c  1 10 - Bƣớc 3: Chọn l : SVTH: NHÓM 8 – LỚP VB2 TOÁN – KHÓA 2 Trang 11 MÔN HỌC: PHƢƠNG PHÁP TÍNH GV: TS TRỊNH CÔNG DIỆU   5  1    ln 10 1       ln   1  c     10      9   Ta có:   5  log     5 Chọn l  6    ln10 ln10  10            - Bƣớc 4: Tính x1 : Chọn x0  0,5 , suy ra x1  0,187758 - Bƣớc 5: Chọn n :... #include "math.h" double phi_co_cos(double x) { return (1+cos(x))/10; } double round(double soCanLamTron, int chuSo) { int temp,temp1; int i, result = 1,result1 = 1; SVTH: NHÓM 8 – LỚP VB2 TOÁN – KHÓA 2 Trang 12 MÔN HỌC: PHƢƠNG PHÁP TÍNH GV: TS TRỊNH CÔNG DIỆU //Pow for(i = 1; i . MÔN HỌC: PHƢƠNG PHÁP TÍNH GV: TS. TRỊNH CÔNG DIỆU SVTH: NHÓM 8 – LỚP VB2 TOÁN – KHÓA 2 Trang 4 II.1.5. Phƣơng pháp tính Quá trình chứng minh Định lý 2 đã cho ta một phƣơng pháp. Phƣơng pháp tính 4 II.2. THUẬT TOÁN TƢƠNG ỨNG 7 II.3. VÍ DỤ MINH HỌA 8 III. KIẾN THỨC MỞ RỘNG 18 IV. TÀI LIỆU THAM KHẢO 20 MÔN HỌC: PHƢƠNG PHÁP TÍNH. TOÁN – TIN TIỂU LUẬN PHƢƠNG PHÁP TÍNH THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH THÁNG 01 NĂM 2015 GIẢNG VIÊN : TS. TRỊNH CÔNG DIỆU THỰC HIỆN : NHÓM 8 – VB2 TOÁN