Chứng minh rằng năm điểm P, Q, M, C, N cùng nằm trên một đường tròn.. 2, Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định khi M và N thay đổi... Học sinh làm bài t
Trang 1PHÒNG GD&ĐT
THÀNH PHỐ HẠ LONG
Đ
Ề CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI
DỰ THI CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2010 - 2011
MÔN TOÁN LỚP 9 Thời gian làm bài: 150 phút
(Không kể thời gian giao đề )
Bài 1: (2,0 điểm)
Chứng minh rằng:
|xy xy
2 | + |xy xy
2 | = |x| + |y| (xy0)
Bài 2: (5,5 điểm)
Giải các phương trình sau:
a, 10 122
x
x
+ 122
x
x
1
4
2
2
x x
b, 5 2 1 2 7 10 3
x
Bài 3:(2,5 điểm)
Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn đẳng thức:
xy y x y x x
y2 1 2 2 2 2
Bài 4: (2,0 điểm)
Cho hệ tọa độ xOy và 3 điểm A(2,5) ;B(-1,-1),C(4,9)
CMR: 3 điểm A, B, C thẳng hàng
Bài 5: (8,0 điểm)
Cho hình vuông ABCD , M là điểm thay đổi trên cạnh BC (M không trùng với B) và N là điểm thay đổi trên cạnh CD (N không trùng với D) sao cho MAN = MAB + NAD
1, BD cắt AN và AM tương ứng tại P và Q Chứng minh rằng năm điểm P, Q, M, C, N cùng nằm trên một đường tròn
2, Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định khi M và N thay đổi
3, Kí hiệu diện tích của tam giác APQ là S1 và diện tích tứ giác PQMN là S2 Chứng minh rằng tỉ số
2
1
S
S
không đổi khi M và N thay đổi
Hết _
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 9
Năm học 2010-2011 (Vòng 2)
Bài 1
Ta có: (|xy xy
2 | + |xy xy
= (xy xy
2 )2 + (xy xy
2 )2 + 2 |xy xy
2 |.|xy xy
= x y2
Ta lại có: (|x| + |y|)2 = x2+ 2xy + y2 = 2
y
x (Vì xy0)
NX để suy ra ĐPCM
2,0đ
1,0đ
0,5đ 0,5đ Bài 2
a
b
ĐK: x khác 1,-1
Đặt u =
v x
x
, 1
2
1
2
x
x
p hương trình có dạng :
0 11
10u2 v2 uv hay u v10u v 0
Nếu v=10u thì từ 12 10( 12)
x
x x
x
ta tìm được x=3; x=2/3 Nếu v = u thì từ 12 12
x
x x
x
ta tìm được x = 0
So với ĐK và KL:
3
2
; 0
x
Điều kiện căn thức có nghĩa là x 2
Ta có :
2 7 10 5 2
x
Nhân cả 2 vế phương trình với x 5 x 2 0 ta được :
1 2 7 10 5 2
1
4 1
2
1 5 0
1 2 1
5
x
x x
x x
x
x=-4 loại do vậy x=-1 là giá trị cần tìm
6,0đ
0,25đ 1,5đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ
1,5đ 0,25đ
Bài 3
2y2x + x + y + 1 = x2 + 2y2 + xy
<=> 2y2(x – 1) – x(x – 1) – y(x – 1) + 1 = 0 (1)
Nhận xét rằng x = 1 không phải là nghiệm của (1) khi đó chia cả 2
vế của (1) cho x – 1 thì (1) tương đương với :
0
1
1
x y x
y (2)
2,5đ
0,5đ 0,5đ
Trang 3Với x,y nguyên suy ra 11
x nguyên nên x – 1 =1
0
2
x x
Thay x = 2 và x = 0 vào (2) và ta có y là số nguyên khi y = 1
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm nguyên là (2 ; 1) và (0 ; 1) 0,5đ0,75đ
0,25đ Bài 4
Tìm được
Phương trình đường thẳng đi qua BC là :
y= 2x+1
Chứng minh được :
Tọa độ điểm A thỏa mãn phương trình y = 2x + 1
KL
2,0đ
1,0đ
1,0đ Bài 5
1
2
3
Từ giả thiết suy ra MAN = 450
Tứ giác ABMP có PBM = PAM = 450 nên tứ giác nội
tiếp Suy ra MPA = 900
Tương tự tứ giác ADNQ nội tiếp và có NQA = 900
Vậy 5 điểm P , Q , M , C , N nằm trên đường tròn đường kính MN
Ta có AMN = APB = AMB
Kẻ AH MM.Dễ thấy :
AHM = ABM => AH = AB
Vậy MM luôn tiếp xúc với đường tròn tâm A bán kính AB cố định
Do AQN và APM vuông cân tại Q và P nên :
2
1
AM
AP AN AQ
=> 1
2
1 2
1 2
1
.
2
1
S
S AM
AN
QP AQ S
S
AMN APQ
8,0đ
2,0đ 1,0đ
2,5đ
2,5đ
Trên đây chỉ là hướng dẫn chấm hoặc lời giải sơ lược, học sinh trình
bày lời giải phải chi tiết, chặt chẽ mới đạt điểm tối đa
Học sinh làm bài theo cách khác - nếu đúng được số điểm tương
đương
Tổ chấm thảo luận chia điểm thành phần ở mỗi câu ( Nếu cần thiết) và
ghi biên bản thống nhất trước khi chấm