[r]
(1)PHÒNG GD&ĐT THÀNH PHỐ HẠ LONG
Đ
Ề CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI DỰ THI CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2010 - 2011
MƠN TỐN LỚP Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề )
Bài 1: (2,0 điểm)
Chứng minh rằng:
| x+2y−√xy | + | x+y
2 +√xy | = |x| + |y| (xy 0)
Bài 2: (5,5 điểm)
Giải phương trình sau: a, 10 (x −2
x+1)
+ (x+2 x −1)
2
- 11 (x2−4 x2−1)=0 b, (√x+5−√x+2)(1+√x2+7x+10)=3
Bài 3:(2,5 điểm)
Tìm số nguyên x,y thỏa mãn đẳng thức:
2y2x+x+y+1=x2+2y2+xy Bài 4: (2,0 điểm)
Cho hệ tọa độ xOy điểm A(2,5) ;B(-1,-1),C(4,9) CMR: điểm A, B, C thẳng hàng
Bài 5: (8,0 điểm)
Cho hình vng ABCD , M điểm thay đổi cạnh BC (M không trùng với B) N điểm thay đổi cạnh CD (N không trùng với D) cho ∠ MAN = ∠ MAB + ∠ NAD
1, BD cắt AN AM tương ứng P Q Chứng minh năm điểm P, Q, M, C, N nằm đường tròn
2, Chứng minh đường thẳng MN ln tiếp xúc với đường trịn cố định M N thay đổi
3, Kí hiệu diện tích tam giác APQ S ❑1 diện tích tứ giác PQMN S ❑2 .Chứng minh tỉ số S1
S2 không đổi M N thay đổi
(2)HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN Năm học 2010-2011 (Vịng 2)
Bài Hướng dẫn chấm Điểm
Bài
Ta có: (| x+2y−√xy | + | x+y
2 +√xy |) ❑2
= ( x+2y−√xy ) ❑2 + ( x+y
2 +√xy ) ❑2 + |
x+y
2 −√xy |.|
x+y
2 +√xy |
= (x+y)2
Ta lại có: (|x| + |y|) ❑2 = x ❑2 + 2xy + y ❑2 = (x+y)2 (Vì xy 0)
NX để suy ĐPCM
2,0đ
1,0đ 0,5đ 0,5đ
Bài a
b
ĐK: x khác 1,-1 Đặt u = x −x
+1 , v=¿
x+2 x −1 p
hương trình có dạng :
10u2+v2−11uv=0 hay (u − v)(10u − v)=0 Nếu v=10u từ x+2
x −1=
10(x −2)
x+1 ta tìm x=3; x=2/3 Nếu v = u từ x −x+21=x −2
x+1 ta tìm x = So với ĐK KL: x∈{0;2
3;3}
Điều kiện thức có nghĩa x ≥ −2
Ta có :
x2
+7x+10=(x+5)(x+2)
Nhân vế phương trình với (√x+5+√x+2)>0 ta : 1+√x2+7x+10=√x+5+√x+2
6,0đ 0,25đ 1,5đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ
(3)
<=>(√x+5−1) (√x+2−1)=0 <=> √x+5=1
¿
√x+2=1
¿
x=−4
¿
x=−1
¿ ¿ ¿
<=>¿
¿ ¿ ¿
x=-4 loại x=-1 giá trị cần tìm Bài
2y ❑2 x + x + y + = x ❑2 + 2y ❑2 + xy
<=> 2y ❑2 (x – 1) – x(x – 1) – y(x – 1) + = (1) Nhận xét x = khơng phải nghiệm (1) chia vế (1) cho x – (1) tương đương với :
2y2− x − y+
x −1=0 (2)
Với x,y nguyên suy x −11 nguyên nên x – = ±
<=>
x=2
¿
x=0
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
Thay x = x = vào (2) ta có y số nguyên y = Vậy phương trình cho có nghiệm ngun (2 ; 1) (0 ; 1)
2,5đ 0,5đ 0,5đ
0,5đ 0,75đ 0,25đ
Bài
Tìm
Phương trình đường thẳng qua BC : y= 2x+1
Chứng minh :
Tọa độ điểm A thỏa mãn phương trình y = 2x + KL
2,0đ 1,0đ 1,0đ Bài
1 Từ giả thiết suy ∠ MAN = 45 ❑0
Tứ giác ABMP có ∠ PBM = ∠ PAM = 45 ❑0 nên tứ giác nội tiếp Suy ∠ MPA = 90 ❑0
Tương tự tứ giác ADNQ nội tiếp có ∠ NQA = 90 ❑0
8,0đ
(4)2
3
Vậy điểm P , Q , M , C , N nằm đường tròn đường kính MN Ta có ∠ AMN = ∠ APB = ∠ AMB
Kẻ AH MM.Dễ thấy :
Δ AHM = Δ ABM => AH = AB
Vậy MM ln tiếp xúc với đường trịn tâm A bán kính AB cố định Do Δ AQN Δ APM vuông cân Q P nên :
1
AM AP AN
AQ => SAPQ
SAMN
=AQ QP
AN AM=
1
√2
√2= 2=>
S1 S2
=1
1,0đ
2,5đ
2,5đ
Trên hướng dẫn chấm lời giải sơ lược, học sinh trình bày lời giải tiết, chặt chẽ đạt điểm tối đa
Học sinh làm theo cách khác - số điểm tương đương