BÀI GIẢI HÌNH KHONG GIAN 2011

CÁC DẠNG TOÁN ÔN THI TỐT NGHIỆP NĂM 2010 – 2011 Vấn đề 1: Phương trình mặt phẳng. 2. Các dạng toán. Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng(P) qua một điểm 0 0 0 M(x ;y ;z ) và vuông góc với đường thẳng d. 0 0 0 HD P d Ñieåm ñi qua M(x ;y ;z ) VTPT n a   →  =   uur uur Cần nhớ: MP vuông góc đường thẳng nhận VTCP của đt làm VTPT. Bài 1: Viết phương trình mp(P) qua điểm A(2;2;-1) và vuông góc với đt d: x 1 2t y 3t z 2 = +   = −   =  Bài giải HD P d Ñieåm ñi qua A(2;2-1) VTPT n a   →  =   uur uur - Mặt phẳng (P) qua điểm A(2;2;-1). - Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là ( ) P d n a 2; 3;0= = − uur uur . - ( ) ( ) ( ) 0 0 0 Pt mp(P): A x x B y y C z z 0− + − + − = ( ) ( ) ( ) 2 x 2 3 y 2 0 z 1 0 2x 4 3y 6 0 2x 3y 2 0 ⇔ − − − + + = ⇔ − − + = ⇔ − + = Cần nhớ: Mp(P) vuông góc đường thẳng d nhận vectơ d a uur làm vectơ pháp tuyến. Bài 2: Viết phương trình mp(P) qua điểm A(2;2;-1) và vuông góc với đường thẳng d: x 1 y 2 z 1 2 2 − + = = − Bài giải HD P d Ñieåm ñi qua A(2;2-1) VTPT n a   →  =   uur uur - Mặt phẳng (P) qua điểm A(2;2;-1). 1 1. Kiến thức cần nhớ: - Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng: Vectơ n 0≠ r được gọi là vectơ pháp tuyến của mp(P) nếu giá của n r vuông góc với (P), viết tắt là n (P)⊥ r . - Nếu hai vectơ a, b r r không cùng phương có giá song song hoặc nằm trên mp(P) thì mp(P) có một vectơ pháp tuyến là: P n a,b   =   uur r r . - Phương trình tổng quát của mp có dạng: Ax+By+Cz+D=0 với 2 2 2 A B C 0+ + ≠ - Phương trình mặt phẳng (P) qua điểm 0 0 0 M(x ;y ;z ) có vectơ pháp tuyến ( ) P n A;B;C= uur có dạng: ( ) ( ) ( ) 0 0 0 A x x B y y C z z 0− + − + − = . Cần nhớ: - Để viết phương trình mặt phẳng ta cần tìm: ( ) 0 0 0 moät ñieåm M(x ;y ;z ) thuoäc mp moät VTPT n A;B;C    =   r - Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là ( ) P d n a 1;2; 2= = − uur uur . - ( ) ( ) ( ) 0 0 0 Pt mp(P): A x x B y y C z z 0− + − + − = ( ) ( ) ( ) x 2 2 y 2 2 z 1 0 x 2 2y 4 2z 2 0 x 2y 2z 8 0 ⇔1 − + − − + = ⇔ − + − − − = ⇔ + − − = Cần nhớ: Mp(P) vuông góc đường thẳng d nhận vectơ d a uur làm vectơ pháp tuyến. Bài 3: Cho ba điểm A(2;0;0), B(0;2;0), C(0;0;2). 1. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua B vuông góc với AC. Bài giải HD P Ñieåm ñi qua B(0;2;0) VTPT n AC   →  =   uur uuur - Mặt phẳng (P) qua điểm B(0;2;0). - Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là ( ) P n AC 2;0;2= = − uur uuur . - ( ) ( ) ( ) 0 0 0 Pt mp(P): A x x B y y C z z 0− + − + − = ( ) ( ) ( ) x 0 0 y 2 2 z 0 0 x +2z = 0 x+z=0 ⇔ −2 − + − + − = ⇔ −2 ⇔ − Cần nhớ: Mp(P) vuông góc đường thẳng AC nhận vectơ AC uuur làm vectơ pháp tuyến. 2. Viết phương trình mặt phẳng (P) vuông góc với BC tại B. Bài giải HD P Ñieåm ñi qua B(0;2;0) VTPT n BC   →  =   uur uuur - Mặt phẳng (P) qua điểm B(0;2;0). - Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là ( ) P n BC 0; 2;2= = − uur uuur . - ( ) ( ) ( ) 0 0 0 Pt mp(P): A x x B y y C z z 0− + − + − = ( ) ( ) ( ) x 0 2 y 2 2 z 0 0 y+4+2z=0 y+2z+4=0 ⇔ 0 − − − + − = ⇔ −2 ⇔ −2 Cần nhớ: Mp(P) vuông góc đường thẳng BC nhận vectơ BC uuur làm vectơ pháp tuyến. Bài 4: Cho hai điểm A(1;1;1), B(3;3;3). Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB. Bài giải HD P Ñieåm ñi qua laø trung ñieåm I(2;2;2) VTPT n AB   →  =   uur uuur - Gọi (P) là mp trung trực của đoạn thẳng AB. - Gọi I là trung điểm của AB ( ) I 2;2;2⇒ - Mặt phẳng (P) qua điểm I(2;2;2). - Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là ( ) P n AB 2;2;2= = uur uuur . - ( ) ( ) ( ) 0 0 0 Pt mp(P): A x x B y y C z z 0− + − + − = ( ) ( ) ( ) x 2 2 y 2 2 z 2 0 y+2y+2z-12=0⇔ 2 − + − + − = ⇔ 2 Cần nhớ: Mp trung trực của đoạn thẳng AB là mp vuông góc với đoạn thẳng AB tại trung điểm I của đoạn thẳng AB. 2 Kiến thức không được quên - Trục Ox có VTCP là ( ) i 1;0;0= r . - Trục Oy có VTCP là ( ) j 0;1;0= r . - Trục Oz có VTCP là ( ) k 0;0;1= r . - Mp (Oxy) có VTPT: ( ) n i,j k 0;0;1   = = =   r r r r . - Mp (Oxz) có VTPT: ( ) n i,k j 0;1;0   = = =   r r r r . - Mp (Oyz) có VTPT: ( ) n j,k i 1;0;0   = = =   r r r r Bài 5: Cho điểm M(1;2;3). 1. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với trục Ox. Bài giải ( ) HD P Ñieåm ñi qua M(1;2;3) VTPT n i 1;0;0   →  = =   uur r - Mặt phẳng (P) qua điểm M(1;2;3). - Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là ( ) P n i 1;0;0= = uur r . - ( ) ( ) ( ) 0 0 0 Pt mp(P): A x x B y y C z z 0− + − + − = ( ) ( ) ( ) x 1 0 y 2 0 z 3 0 x-1=0 ⇔1 − + − + − = ⇔ Cần nhớ: Mp(P) vuông góc trục Ox nhận vectơ i r làm vectơ pháp tuyến. 2. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với trục Oy. Bài giải ( ) HD P Ñieåm ñi qua M(1;2;3) VTPT n j 0;1;0   →  = =   uur r - Mặt phẳng (P) qua điểm M(1;2;3). - Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là ( ) P n j 0;1;0= = uur r . - ( ) ( ) ( ) 0 0 0 Pt mp(P): A x x B y y C z z 0− + − + − = ( ) ( ) ( ) x 1 1 y 2 0 z 3 0 y-2=0 ⇔ 0 − + − + − = ⇔ Cần nhớ: Mp(P) vuông góc trục Oy nhận vectơ j r làm vectơ pháp tuyến. 3. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với trục Oz. Bài giải ( ) HD P Ñieåm ñi qua M(1;2;3) VTPT n k 0;0;1   →  = =   uur r - Mặt phẳng (P) qua điểm M(1;2;3). - Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là ( ) P n k 0;0;1= = uur r . - ( ) ( ) ( ) 0 0 0 Pt mp(P): A x x B y y C z z 0− + − + − = ( ) ( ) ( ) x 1 0 y 2 1 z 3 0 z =0 ⇔ 0 − + − + − = ⇔ − 3 . Cần nhớ: Mp(P) vuông góc trục Oz nhận vectơ k r làm vectơ pháp tuyến. Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng(P) qua ba điểm A, B, C 0 0 0 HD P Ñieåm ñi qua A(x ;y ;z ) VTPT n AB,AC   →    =     uur uuur uuur 3 Bài 1: Viết phương trình mp(P) qua ba điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1). Bài giải - Mặt phẳng (P) qua điểm A(1;0;0). - Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là P n AB,AC   =   uur uuur uuur Với ( ) ( ) AB 1;1;0 AC 1;0;1 = − = − uuur uuur ( ) P n AB,AC 1;1;1   ⇒ = =   uur uuur uuur - ( ) ( ) ( ) 0 0 0 Pt mp(P): A x x B y y C z z 0− + − + − = ( ) ( ) ( ) x 1 1 y 0 1 z 0 0 x 1 y z 0 x y z 1 0 ⇔1 − + − + − = ⇔ − + + = ⇔ + + − = Bài 2: Cho hai điểm M(1;1;1), N(1;-1;1). Viết phương trình mp(OMN). Bài giải HD P Ñieåm ñi qua O, VTPT n OM,ON   → =   uur uuuur uuur - Mặt phẳng (P) qua điểm O(0;0;0). - Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là P n OM,ON   =   uur uuuur uuur Với ( ) ( ) OM 1;1;1 ON 1; 1;1 = = − uuuur uuur ( ) P n OM,ON 2;0; 2   ⇒ = = −   uur uuuur uuur - ( ) ( ) ( ) 0 0 0 Pt mp(P): A x x B y y C z z 0− + − + − = ( ) ( ) ( ) x 0 0 y 0 2 z 0 0 x 2z 0 ⇔ 2 − + − − − = ⇔ 2 − = Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng(P) qua một điểm 0 0 0 M(x ;y ;z ) và song song với mp(Q) 0 0 0 HD P Q Ñieåm ñi qua M(x ;y ;z ) VTPT n n   →  =   uur uur Bài 1: Viết phương trình mp(P) qua điểm A(1;2;3) và song song với mp(Q): 2x+2y+z=0. Bài giải HD P Q Ñieåm ñi qua A(1;2;3) VTPT n n   →  =   uur uur - Mặt phẳng (P) qua điểm A(1;2;3). - Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là ( ) P Q n n 2;2;1= = uur uur . - ( ) ( ) ( ) 0 0 0 Pt mp(P): A x x B y y C z z 0− + − + − = ( ) ( ) ( ) x 1 2 y 2 1 z 3 0 x 2 2y 4 z 3 0 x 2y z 9 0 ⇔ 2 − + − + − = ⇔ 2 − + − + − = ⇔ 2 + + − = Cần nhớ: Hai mp song song cùng VTPT. 4 Bài 2: Cho ba điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1). Viết phương trình mp(P) qua điểm M(1;2;3) và song song với mp(ABC) Bài giải HD P ABC Ñieåm ñi qua M VTPT n n AB,AC   →    = =     uur uuuur uuur uuur - Mặt phẳng (P) qua điểm M(1;2;3). - Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là P ABC n n AB,AC   = =   uur uuuur uuur uuur Với ( ) ( ) AB 1;1;0 AC 1;0;1 = − = − uuur uuur ( ) P n AB,AC 1;1;1   ⇒ = =   uur uuur uuur - ( ) ( ) ( ) 0 0 0 Pt mp(P): A x x B y y C z z 0− + − + − = ( ) ( ) ( ) x 1 1 y 2 1 z 3 0 x 1 y 2 z 3 0 x y z 6 0 ⇔1 − + − + − = ⇔ − + − + − = ⇔ + + − = Bài 3: Viết pt mp(P) qua điểm M(1;2;3) và song song mp(Oxy). Bài giải ( ) HD P Ñieåm ñi qua M(1;2;3) VTPT n i,j k 0;0;1   →    = = =     uur r r r - Mặt phẳng (P) qua điểm M(1;2;3). - Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là ( ) P n i,j k 0;0;1   = = =   uur r r r . - ( ) ( ) ( ) 0 0 0 Pt mp(P): A x x B y y C z z 0− + − + − = ( ) ( ) ( ) x 1 0 y 2 1 z 3 0 z-3=0 ⇔ 0 − + − + − = ⇔ Bài 4: Viết pt mp(P) qua điểm M(1;2;3) và song song mp(Oxz). Bài giải ( ) HD P Ñieåm ñi qua M(1;2;3) VTPT n i,k j 0;1;0   →    = = =     uur r r r - Mặt phẳng (P) qua điểm M(1;2;3). - Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là ( ) P n i,k j 0;1;0   = = =   uur r r r . - ( ) ( ) ( ) 0 0 0 Pt mp(P): A x x B y y C z z 0− + − + − = ( ) ( ) ( ) x 1 1 y 2 0 z 3 0 y-2=0 ⇔ 0 − + − + − = ⇔ Bài 5: Viết pt mp(P) qua điểm M(1;2;3) và song song mp(Oyz). Bài giải ( ) HD P Ñieåm ñi qua M(1;2;3) VTPT n j,k i 1;0;0   →    = = =     uur r r r - Mặt phẳng (P) qua điểm M(1;2;3). 5 - Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là ( ) P n j,k i 1;0;0   = = =   uur r r r . - ( ) ( ) ( ) 0 0 0 Pt mp(P): A x x B y y C z z 0− + − + − = ( ) ( ) ( ) x 1 0 y 2 0 z 3 0 x-1=0 ⇔1 − + − + − = ⇔ Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng(P) qua hai điểm A, B và vuông góc với mp(Q) HD P Q Ñieåm ñi qua A VTPT n AB,n   →    =     uur uuur uur Bài 1: Viết pt mp(P) qua 2 điểm A(3;1;-1), B(2;-1;4) và vuông góc với mp (Q): 2x-y+3z-1=0 Bài giải HD P Q Ñieåm ñi qua A VTPT n AB,n   →    =     uur uuur uur - Mặt phẳng (P) qua điểm A(3;1;-1). - Hai vectơ không cùng phương có giá song song hoặc nằm trên (P) là: ( ) ( ) Q AB 1; 2;5 n 2; 1;3 = − − = − uuur uur - Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là ( ) P Q : n AB,n 1;13;5   = = −   uur uuur uur - ( ) ( ) ( ) 0 0 0 Pt mp(P): A x x B y y C z z 0− + − + − = ( ) ( ) ( ) x 3 13 y 1 5 z 1 0 x-13y-5z+5=0 ⇔ −1 − + − + + = ⇔ Bài 2: Viết pt mp(P) qua 2 điểm A(3;1;-1), B(2;-1;4) và vuông góc với mp(Oxy) Bài giải HD P Ñieåm ñi qua A VTPT n AB,k   →    =     uur uuur r - Mặt phẳng (P) qua điểm A(3;1;-1). - Hai vectơ không cùng phương có giá song song hoặc nằm trên (P) là: ( ) ( ) AB 1; 2;5 k 0;0;1 = − − = uuur r - Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là P n AB,k   =   uur uuur r =(-2;1;0) - ( ) ( ) ( ) 0 0 0 Pt mp(P): A x x B y y C z z 0− + − + − = ( ) ( ) ( ) x 3 1 y 1 0 z 1 0 x+y+5=0 ⇔ −2 − + − + + = ⇔ −2 Bài 3: Viết pt mp(P) qua gốc tọa độ, điểm A(1;1;1) và vuông góc với mp(Oyz) Bài giải HD P Ñieåm ñi qua O VTPT n OA,i   →    =     uur uuur r - Mặt phẳng (P) qua điểm O(0;0;0). 6 - Hai vect khụng cựng phng cú giỏ song song hoc nm trờn (P) l: ( ) ( ) OA 1;1;1 i 1;0;0 = = uuur r - Mt phng (P) cú vect phỏp tuyn l P n OA,i = uur uuur r =(0;1;-1) - ( ) ( ) ( ) 0 0 0 Pt mp(P): A x x B y y C z z 0 + + = ( ) ( ) ( ) x 0 1 y 0 1 z 0 0 y-z=0 0 + = Vn 2: Phng trỡnh ng thng. 2. Cỏc dng toỏn. Dng 1: Vit phng trỡnh ng thng qua hai im A, B. HD AB ẹieồm ủi qua A VTCP a AB = uuur uuur Cn nh: ng thng AB cú vect ch phng l vect AB uuur . Bi 1: Vit phng trỡnh ng thng qua hai im A(1;2;3), B(2;1;4). Bi gii HD AB ẹieồm ủi qua A VTCP a AB = uuur uuur - ng thng AB qua im A(1;2;3). - ng thng AB cú vect ch phng l: AB a AB= uuur uuur =(1;-1;1). - Pt tham s ca AB l: 0 0 0 x x at x 1 t y y bt y 2 t z 3 t z z ct = + = + = + = = + = + . Bi 2: Cho ba im A(1;1;1), B(2;2;2), C(3;6;9). Gi G l trng tõm tam giỏc ABC. Vit phng trỡnh ng thng OG. Bi gii HD OG ẹieồm ủi qua O VTCP a OG = uuur uuur 7 1. Kin thc cn nh: - Vect ch phng ca ng thng l vect cú giỏ song song vi t hoc trựng vi t. - ng thng d qua im 0 0 0 M(x ;y ;z ) cú vect ch phng ( ) d a a;b;c= uur : Cú pt tham s: 0 0 0 x x at y y bt z z ct = + = + = + . Cú phng trỡnh chớnh tc: 0 0 0 x x y y z z , a.b.c 0 a b c = = Cn nh: vit pt ng thng ta tỡm: ( ) 0 0 0 d moọt ủieồm M(x ;y ;z ) thuoọc ủửụứng thaỳng moọt VTCP a a;b;c = uur - Ta có G(2;3;4) - Đường thẳng OG qua điểm O(0;0;0). - Đường thẳng OG có vectơ chỉ phương là: OG a OG= uuur uuur =(2;3;4). - Pt tham số của OG là: 0 0 0 x x at x 0 2t y y bt y 0 3t z 0 4t z z ct = + = +     = + ⇔ = +     = + = +   . Cần nhớ: Đường thẳng OG có vectơ chỉ phương là OG uuur Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M và vuông góc với mp(P). HD d P Ñieåm ñi qua M VTCPa n   →  =   uur uur Bài 1: Viết pt đường thẳng d qua điểm M(1;2;3) và vuông góc với mp(P): x-2y-z-1=0. Bài giải HD d P Ñieåm ñi qua M VTCP a n   →  =   uur uur - Đường thẳng d qua điểm M(1;2;3). - Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là: d P a n= uur uur =(1;-2;-1). - Pt tham số của d là: 0 0 0 x x at x 1 t y y bt y 2 2t z 3 t z z ct = + = +     = + ⇔ = −     = − = +   . Cần nhớ: Đường thẳng vuông góc mp nhận VTPT của mp làm VTCP. Bài 2: Cho ba điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1). Viết pt đường thẳng d qua gốc tọa độ và vuông góc mp(ABC). Bài giải HD d ABC Ñieåm ñi qua O VTCP a n AB,AC   →    = =     uur uuuur uuur uuur - Đường thẳng d qua điểm O(0;0;0). - Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là: d ABC a n AB,AC   = =   uur uuuur uuur uuur =(1;1;1). - Pt tham số của d là: 0 0 0 x x at x t y y bt y t z t z z ct = + =     = + ⇔ =     = = +   . Bài 3: Viết phương trình đường thẳng d qua M(1;2;3) và vuông góc mp(Oxy). Bài giải HD d Ñieåm ñi qua M VTCP a i, j k   →    = =     uur r r r - Đường thẳng d qua điểm M(1;2;3). - Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là: d a k= uur r =(0;0;1). - Pt tham số của d là: 0 0 0 x x at x 1 y y bt y 2 z 3 t z z ct = + =     = + ⇔ =     = + = +   . 8 Bài 4: Viết phương trình đường thẳng d qua M(1;2;3) và vuông góc mp(Oxz). Bài giải ( ) HD d Ñieåm ñi qua M VTCP a i,k j 0;1;0   →    = = =     uur r r r - Đường thẳng d qua điểm M(1;2;3). - Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là: d a j= uur r =(0;1;0). - Pt tham số của d là: 0 0 0 x x at x 1 y y bt y 2 t z 3 z z ct = + =     = + ⇔ = +     = = +   . Bài 5: Viết phương trình đường thẳng d qua M(1;2;3) và vuông góc mp(Oyz). Bài giải ( ) HD d Ñieåm ñi qua M VTPCP a j,k i 1;0;0   →    = = =     uur r r r - Đường thẳng d qua điểm M(1;2;3). - Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là: d a i= uur r =(1;0;0). - Pt tham số của d là: 0 0 0 x x at x 1 t y y bt y 2 z 3 z z ct = + = +     = + ⇔ =     = = +   . Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M và song song đường thẳng d’. Bài 1: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M(1;2;3) và song song với đường thẳng d’: x 1 t y 2 3t z 3 4t = +   = −   = +  Bài giải HD d d' Ñieåm ñi qua M VTCP a a   →  =   uur uur - Đường thẳng d qua điểm M(1;2;3). - Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là: d d' a a= uur uur =(1;-3;4). - Pt tham số của d là: 0 0 0 x x at x 1 t y y bt y 2 3t z 3 4t z z ct = + = +     = + ⇔ = −     = + = +   . Bài 2: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M(1;2;3) và song song với đường thẳng d’: x 12 y 23 z 1 3 4 − + = = − Bài giải HD d d' Ñieåm ñi qua M VTCP a a   →  =   uur uur - Đường thẳng d qua điểm M(1;2;3). - Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là: d d' a a= uur uur =(1;-3;4). 9 - Pt tham số của d là: 0 0 0 x x at x 1 t y y bt y 2 3t z 3 4t z z ct = + = +     = + ⇔ = −     = + = +   . Bài 3: Cho ba điểm A(1;2;3), B(2;1;-3), C(3;-2;1). Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A và song song với đường thẳng BC. Bài giải HD d Ñieåm ñi qua A VTCP a BC   →  =   uur uuur - Đường thẳng d qua điểm A(1;2;3). - Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là: d a BC= uur uuur =(1;-3;4). - Pt tham số của d là: 0 0 0 x x at x 1 t y y bt y 2 3t z 3 4t z z ct = + = +     = + ⇔ = −     = + = +   . Bài 4: Viết pt đường thẳng d qua điểm A(1;2;3) và song song trục Ox. Bài giải HD d Ñieåm ñi qua A VTCP a i   →  =   uur r - Đường thẳng d qua điểm A(1;2;3). - Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là: d a i= uur r =(1;0;0). - Pt tham số của d là: 0 0 0 x x at x 1 t y y bt y 2 z 3 z z ct = + = +     = + ⇔ =     = = +   . Bài 5: Viết pt đường thẳng d qua điểm A(1;2;3) và song song trục Oy. Bài giải HD d Ñieåm ñi qua A VTCP a j   →  =   uur r - Đường thẳng d qua điểm A(1;2;3). - Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là: ( ) d a j 0;1;0= = uur r . - Pt tham số của d là: 0 0 0 x x at x 1 y y bt y 2 t z 3 z z ct = + =     = + ⇔ = +     = = +   . Bài 6: Viết pt đường thẳng d qua điểm A(1;2;3) và song song trục Oz. Bài giải HD d Ñieåm ñi qua A VTCP a k   →  =   uur r - Đường thẳng d qua điểm A(1;2;3) có VTCP là ( ) d a k 0;0;1= = uur r x 1 Pt : y 2 z 3 t =   ⇒ =   = +  10 [...]... giác ABC là tam giác vng Bài 1: Chứng minh tam giác ABC vng tại A với A(1;-3;0), B(1;-6;4), C(13;-3;0) Bài giải uu ur AB = ( 0; −3;4 ) ur - Ta có: u u AC = ( 12;0;0 ) uu uu ur ur uu uu ur ur - Do AB.AC = 0.12 − 3.0 + 4.0 = 0 ⇒ AB ⊥ AC ⇒ AB ⊥ AC nên ∆ ABC vng tại A Dạng 4: Chứng minh tam giác ABC cân Bài 1: Chứng minh tam giác ABC cân tại A với A(1;1;1), B(-1;1;0), C(3;2;1) Bài giải uu ur uu ur AB = (... = 2  Vậy điểm đối xứng với A qua mặt phẳng (P) là A’(0;5;-4) Vấn đề 6: Hình chiếu vng góc của điểm lên đt và điểm đối xứng với điểm qua đt 17 x = 1 + 2t  Bài 1: Cho điểm A(1;1;8) và đường thẳng d: y = −1 + t z = − t  (d) 1 Xác định hình chiếu vng góc của A lên d 2 Tìm điểm A’ đối xứng với A qua d A P) Bài giải 1 Xác định hình chiếu vng góc của A lên d - Gọi (P) là đường thẳng qua A(-2;1;0) vàr... mp(P):x+y-2z-4=0 z = −2t  Bài giải - Gọi H(x;y;z) là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P) - Xét pt: -1+t-1+t-2(-2t)-4=0 ⇔ −2 + 2t+4-4=0 ⇔ -2+2t=0 ⇔ 2t=2 ⇔ t=1 x=-1+1=0  ⇒ y=-1+1=0 ⇒ H(0;0; −2) z=-2.1=-2  Cần nhớ: Nếu đường thẳng cho ở dạng chính tắc thì ta chuyển pt chính tắc về dạng tham số x +1 y +1 z = = Bài 2: Tìm giao điểm của đường thẳng d: và mp(P):x+y-2z-4=0 1 1 −2 Bài giải • Viết phương... giác ABC là tam giác đều 16 Bài 1: Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều với A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1) Bài giải uu ur AB = ( −1;1;0 ) ⇒ uu ur AC = ( −1;0;1) ⇒ - Ta có: uu ur BC = ( 0; −1;1) ⇒ uu uu uu ur ur ur AB = AC = AC = - Do uu ur AB = 2 uu ur AC = 2 uu ur BC = 2 2 nên ∆ ABC là tam giác đều Vấn đề 5: Hình chiếu vng góc của điểm lên mp và điểm đối xứng với điểm qua mp Bài 1: Cho điểm A(-2;1;0)... một tam giác Bài giải uu ur AB = ( −1;1;0 ) ur - Ta có: u u AC = ( −1;0;1) uu uu ur ur r uu uu ur ur  AB,AC  = ( 1;1;1) ≠ 0 nên AB,AC khơng cùng phương nên A, B, C là ba - Nhận xét:   đỉnh một tam giác Dạng 2: Chứng minh ur điểm A, B, C thẳng hàng u u uba ur u Ta chứng minh: AB,AC cùng phương Bài 1: Cho ba điểm A(1;1;1), B(2;2;2), C(9;9;9) Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng Bài giải uu ur AB... 2x+4y+6z+8=0 z = 4 + 3t  Bài giải r - Đường thẳng d có vectơ chỉ phương: a = ( 1;2;3) r - MP(P) có vectơ pháp tuyến: n = ( 2;4;6 ) - Ta có: a = n - Vậy: ĐT d vng góc mp(P) r 1r 2 r r r r ( hoặc n = 2a ) nên a, n cùng phương với nhau Vấn đề 4: Các bài tốn về tam giác 15 Dạng 1: Chứng minhuba u u r u điểm A, B, C là ba đỉnh một tam giác u ur Ta chứng minh: AB,AC khơng cùng phương Bài 1: Cho ba điểm A(1;0;0),... tọa độ x = t r  Bài 1: Trục Ox qua O(0;0;0) có VTCP là i = ( 1;0;0 ) có pt tham số là: y = 0 z = 0  x = 0 r  Bài 2: Trục Oy qua O(0;0;0) có VTCP là j = ( 0;1;0 ) có pt tham số là: y = t z = 0  x = 0 r  Bài 1: Trục Oz qua O(0;0;0) có VTCP là k = ( 0;0;1) có pt tham số là: y = 0 z = t  Phương trình các mặt phẳng tọa độ r rr r n =  i, j = k = ( 0; 0;1) có pt: z=0 Bài 1: Mp (Oxy) qua... -1+t-1+t-2(-2t)-4=0 ⇔ −2 + 2t+4-4=0 ⇔ -2+2t=0 ⇔ 2t=2 ⇔ t=1 x=-1+1=0  ⇒ y=-1+1=0 ⇒ H(0;0; −2) z=-2.1=-2  Cần nhớ: Nếu trong đề bài chưa có pt tham số thì ta viết pt tham số trước Bài 3: Cho hai điểm A(0;2;1), B(1;-1;3) và mp(P): 2x+y+3z=0 Tìm giao điểm của đường thẳng AB và mp(P) Bài giải • Viết phương trình tham số của đường thẳng AB - Đường thẳng AB qua điểm A(0;2;1) uu uu ur ur - Đường thẳng AB có vectơ... hướng của hai VTCP bằng 0 x = 2t  Bài 2: Cho điểm A(1;-3;2) Chứng minh hai đt OA và d: y = 2 + 2t vng góc với nhau z = 1 + 2t  Bài giải uu ur - Đường thẳng OA có vectơ chỉ phương: OA = ( 1; −3;2 ) r - Đường thẳng d có vectơ chỉ phương: a = ( 2;2;2 ) uu r ur - Ta có: OA.a = 1.2 − 3.2 + 2.2 = 0 - Vậy: Đường thẳng OA và đường thẳng d vng góc với nhau x = 2  Bài 3: Chứng minh đường thẳng d: y... giác đều Vấn đề 5: Hình chiếu vng góc của điểm lên mp và điểm đối xứng với điểm qua mp Bài 1: Cho điểm A(-2;1;0) và mặt phẳng (P): x+2y-2z-9=0 d 1 Xác định hình chiếu vng góc của A lên (P) A 2 Tìm điểm A’ đối xứng với A qua (P) Bài giải 1 Xác định hình chiếu vng góc của A lên (P) H - Gọi d là đường thẳng qua A(-2;1;0) và vngur với (P) P ) góc ur u u - Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là: ad = n P = . nhớ: Nếu trong đề bài chưa có pt tham số thì ta viết pt tham số trước. Bài 3: Cho hai điểm A(0;2;1), B(1;-1;3) và mp(P): 2x+y+3z=0. Tìm giao điểm của đường thẳng AB và mp(P). Bài giải • Viết phương. vectơ d a uur làm vectơ pháp tuyến. Bài 2: Viết phương trình mp(P) qua điểm A(2;2;-1) và vuông góc với đường thẳng d: x 1 y 2 z 1 2 2 − + = = − Bài giải HD P d Ñieåm ñi qua A(2;2-1) VTPT. nhận vectơ d a uur làm vectơ pháp tuyến. Bài 3: Cho ba điểm A(2;0;0), B(0;2;0), C(0;0;2). 1. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua B vuông góc với AC. Bài giải HD P Ñieåm ñi qua B(0;2;0) VTPT n