Tìm tập hợp điểm- Quỹ tích chuẩn

Tìm tập hợp điểm- Quỹ tích chuẩn

Tìm tập hợp điểm trong chơng trình THCS Đinh Văn Tớc TrờngTHCS Gia Phong - Gia Viễn - Ninh Bình 1 Tìm tập hợp điểm trong chơng trình THCS Mục lục Mục lục A. Lời nói đầu . B. Nội dung . Phần I. Những vấn đề cơ bản về bài toán tập hợp điểm . 1. Định nghĩa tập hợp điểm (quỹ tích) . 2. Phơng pháp chủ yếu giải bài toán tập hợp điểm . 3. Phơng pháp giới hạn tập hợp điểm 4. Một vài phơng pháp khác giải bài toán quỹ tích . Phần II. Các tập hợp điểm cơ bản I. Tập hợp điểm là đờng thẳng hoặc một phần đờng thẳng 1.Tập hợp điểm là đờng trung trực hoặc một phần đờng trung trực . 2. Tập hợp điểm là tia phân giác 3. Tập hợp điểm là hai đờng thẳng song song . 4. Tập hợp điểm là một đờng thẳng song song với đờng thẳng cho trớc 5. Tập hợp điểm là đờng thẳng hợp với đờng thẳng cố định một góc không đổi II. Tập hợp điểm là đờng tròn hoặc một phần của đờng tròn . 1. Tập hợp điểm là đờng tròn . 2. Tập hợp điểm là cung tròn . Phần III. ứng dụng quỹ tích vào thực tế và giải toán . Phần iv. Một số bài toán chọn lọc về tập hợp điểm . I. Các bài toán tập hợp điểm là đờng thẳng hoặc một phần của đoạn thẳng Ii. Các bài toán tập hợp điểm là đờng tròn hoặc một phần của đờng tròn. C. Thực nghiệm . Phần IV. Kết luận . Phần V. Phụ lục . trang 2 trang 3 trang 5 trang 5 trang 5 trang 5 trang 6 trang 6 trang 8 trang 8 trang 8 trang 11 trang 15 trang 17 trang 20 trang 22 trang 22 trang 27 trang 32 trang 34 trang 34 trang 38 trang 42 trang 60 trang 61 Đinh Văn Tớc TrờngTHCS Gia Phong - Gia Viễn - Ninh Bình 2 Tìm tập hợp điểm trong chơng trình THCS A. Lời nói đầu Môn toán là môn học có tính thực tế rất cao. Nó ảnh hởng lớn đến đời sống con ngời, ảnh hởng đến các môn khoa học khác. Một nhà t tởng Anh đã nói: Ai không hiểu biết Toán học thì không thể hiểu biết bất cứ khoa học nào khác và cũng không thể phát hiện ra sự dốt nát của bản thân mình. Vì thế dạy học môn toán luôn đợc mọi ngành giáo dục và mọi quốc gia coi trọng. Nhất là trong thời đại ngày nay. Trong dạy và học toán ở cấp học THCS có lẽ dạy và học môn hình học là khó hơn cả. Đa phần học sinh khi đợc hỏi: Em có thích học môn hình học không? Vì sao? , đều trả lời: em không thích, vì môn này khó hiểu, khó học . Đặc biệt khi đứng trớc yêu cầu giải bài toán về tìm tập hợp điểm (quỹ tích) thì nhiều học sinh có tâm trạng lo sợ, ngại vì khó. Khái niệm quỹ tích của hình học phẳng là cơ sở quan trọng của toán cao cấp nhng đối với học sinh THCS khái niệm này trừu tợng, số lợng sách nói về quỹ tích không nhiều, không đủ cho học sinh hiểu, nếu có cũng chỉ là giới thiệu vì cho rằng đây là vấn đề dành cho học sinh khá và giỏi. Hơn nữa, nếu nh ở bài toán chứng minh hình học thông thờng đề bài đã cho biết kết luận rồi, chẳng hạn nh bài toán yêu cầu chứng minh : tứ giác nội tiếp, hai đờng thẳng song song, hai góc bằng nhau vì thế học sinh đã biết đợc cái đích cần đạt đợc, chỉ cần tìm con đờng đi tới đích là đợc. Trái lại, ở bài toán tìm tập hợp điểm học sinh nh ngời đi trong bóng tối, mù mịt, băn khoăn, cha biết tập hợp điểm cần tìm là gì, nên hớng về đâu, đi theo con đờng nào và đi đến kết luận nào mới đúng. Tuy nhiên, bài toán về tập hợp điểm (quỹ tích) góp phần không nhỏ vào việc phát triển t duy logic, rèn óc sáng tạo, hình thành và phát triển nhân cách cho học sinh, rèn luyện cho học sinh khả năng phán đoán chính xác, khả năng phân tích, tổng hợp . góp phần tích cực vào việc thực hiện mục tiêu mà ngành giáo dục đặt ra cho môn toán và mục tiêu chung của giáo dục. Vì thế tập hợp điểm là vấn đề thờng gặp trong các đề thi chọn học sinh giỏi toán lớp 9 ở cấp huyện, thành phố và quốc gia, thi tuyển vào lớp 10 ở các trờng chuyên, trờng năng khiếu. Đinh Văn Tớc TrờngTHCS Gia Phong - Gia Viễn - Ninh Bình 3 Tìm tập hợp điểm trong chơng trình THCS Chính vì những lẽ đó mà tôi chọn chủ đề: Tìm tập hợp điểm trong ch - ơng trình THCS . Đề tài gồm các nội dung chính sau: Phần I. Những vấn đề cơ bản về bài toán tập hợp điểm Phần II. Các tập hợp điểm cơ bản Phần III. ứng dụng quỹ tích vào thực tế và giải toán Phần iv. Một số bài toán chọn lọc về tập hợp điểm Phần IV. Kết luận Đề tài đợc viết dựa trên những kết quả học tập, những kinh nghiệm thực tế dạy học của bản thân có sự đóng góp, bổ sung của các đồng nghiệp trong và ngoài trờng, tuy nhiên không tránh khỏi sai sót của ngời viết. Dẫu vậy, tôi hy vọng các quan điểm đợc nêu ra trong đề tài góp phần thuận lợi cho việc dạy và học toán đồng thời đáp ứng phần nào nguyện vọng của một số thày cô và học sinh, phụ huynh yêu thích môn toán và nhằm góp phần nhỏ bé giúp thày và trò hoàn thành mục tiêu mà ngành giáo dục đề ra. Đinh Văn Tớc TrờngTHCS Gia Phong - Gia Viễn - Ninh Bình 4 Tìm tập hợp điểm trong chơng trình THCS B. Nội dung Phần I. Những vấn đề cơ bản về bài toán tập hợp điểm 1. Định nghĩa tập hợp điểm (quỹ tích) Một hình H đợc gọi là tập hợp điểm của những điểm M thoả mãn tính chất T khi nó chứa và chỉ chứa tính chất T 2. Phơng pháp chủ yếu giải bài toán tập hợp điểm Để tìm tập hợp các điểm M thoả mãn tính chất T, ta làm nh sau: B ớc 1: Tìm cách giải. - Xác định các yếu tố cố định và không đổi - Xác định các điều kiện của điểm M - Dự đoán tập hợp điểm B ớc 2: Trình bày lời giải a. Phần thuận Chứng minh điểm M có tính chất T thuộc hình H b. Giới hạn: Căn cứ vào các vị trí đặc biệt của điểm M, chứng tỏ điểm M chỉ thuộc vào hình H, hoặc một phần B của hình H (nếu đợc) Vẽ B và H c. Phần đảo: Chứng minh mọi điểm thuộc hình H (quỹ tích đã đợc giới hạn) có tính chất T. Th- ờng làm nh sau: + Lấy điểm M thuộc hình H (quỹ tích đã đợc giới hạn), giả sử tính chất T gồm n điều kiện (1; 2; 3; .; n) + Dựng một hình để chứng minh M có tính chất T sao cho M thoả mãn n-1 điều kiện trong tính chất T + Chứng minh M có thoả mãn điều kiện còn lại d. Kết luận: Tập hợp điểm M là hình H Nêu rõ hình dạng và cách xác định hình H. Đinh Văn Tớc TrờngTHCS Gia Phong - Gia Viễn - Ninh Bình 5 Tìm tập hợp điểm trong chơng trình THCS Chú ý: - Việc tìm ra mối liên hệ giữa các yếu tố cố định, không đổi với yếu tố chuyển động là khâu chủ yếu giúp ta giải quyết bài toán tập hợp điểm. - Nếu bài toán chỉ hỏi Điểm M chuyển động trên đờng nào? thì ta chỉ trình bày phần a.; b; d; ( không chứng minh phần đảo) - Giải bài toán tập hợp điểm thờng là tìm cách đa về tập hợp điểm cơ bản đã học - Để khỏi vẽ hình lại khi chứng minh phần đảo tên các điểm trong phần đảo nên giữ nguyên nh phần thuận. 3. Phơng pháp giới hạn tập hợp điểm. Trong trờng hợp tập hợp điểm cần tìm chỉ là một phần B của hình H là tập hợp điểm cơ bản, cần xác định phần B tức là chỉ rõ phần nào của hình H thoả mãn điều kiện của bài toán, quá trình này gọi là tìm giới hạn của quỹ tích (tập hợp điểm). Thờng dùng hai phơng pháp sau để tìm giới hạn của tập hợp điểm: Phơng pháp 1: Phơng pháp phần giao. Sau khi xác định đợc điểm M phải thuộc hình H là tập hợp điểm cơ bản, dựa vào giả thiết của bài toán xét xem M thuộc vào miền nào của mặt phẳng. Phần giao của hình H và miền này cho ta tập hợp điểm M Phơng pháp 2: Phơng pháp vị trí giới hạn Trong bài toán nếu có điểm chuyển động, chẳng hạn nh điểm A chuyển động, kéo theo sự chuyển động của điểm M cần tìm tập hợp điểm. Từ các vị trí giới hạn của điểm A ta tìm ra vị trí tơng ứng của M trên hình H. Sau khi đã xác định đợc, tập hợp điểm M thuộc hình H là tập hợp điểm cơ bản. 4. Một vài phơng pháp khác giải bài toán quỹ tích Một bài toán tập hợp điểm còn có thể tìm đợc lời giải bằng các phơng pháp khác. Chẳng hạn: 1- Phơng pháp chứng minh mệnh đề đảo và mệnh đề phản đảo: + Bớc 1: Đinh Văn Tớc TrờngTHCS Gia Phong - Gia Viễn - Ninh Bình 6 Tìm tập hợp điểm trong chơng trình THCS - Xác định các yếu tố cố định và không đổi - Xác định các điều kiện của điểm M - Dự đoán tập hợp điểm là hình H + Bớc 2: Chứng minh mệnh đề đảo, tức là chứng minh Mọi điểm M thuộc hình H thì có tính chất T + Bớc 3: Chứng minh mệnh đề phản đảo, chứng minh Lấy điểm M bất kỳ không thuộc hình H thì M không có tính chất T + Bớc 4: Kết luận quỹ tích các điểm M là hình H. 2- Bằng phơng pháp đại số: Chọn hệ trục toạ độ vuông góc Oxy. Gọi M (x;y) là điểm thuộc tập hợp điểm cần tìm. Tìm mối liên hệ giữa x và y, hệ thức này chính là phơng trình chứa tập hợp điểm M cần tìm. Nếu hệ thức có dạng y= ax + b hoặc: x = a và y R ( a, b là hằng số) hoặc những hệ thức tơng tự thì M thuộc đờng thẳng. Trái lại, thì M có thể thuộc đờng cong. Tuy nhiên phơng pháp chủ yếu đối với chơng trình THCS thì vẫn là phơng pháp đã trình bày ở trên. Đinh Văn Tớc TrờngTHCS Gia Phong - Gia Viễn - Ninh Bình 7 Tìm tập hợp điểm trong chơng trình THCS Phần II. Các tập hợp điểm cơ bản I/ Tập hợp điểm là đờng thẳng hoặc một phần đờng thẳng 1.Tập hợp điểm là đờng trung trực hoặc một phần đờng trung trực a. Tóm tắt lí thuyết: Định lí: Tập hợp các điểm M cách đều hai điểm phân biệt A, B cố định là đờng trung trực d của đoạn thẳng AB b. Các bài toán: Bài toán 1: Cho hình vuông ABCD, Tìm tập hợp điểm M trong mặt phẳng sao cho : MA +MB = MC +MD Hớng dẫn giải a. Phần thuận: Dựng đờng thẳng d đi qua tâm O của hình vuông và d // AB, DC. Khi đó d là đờng trung trực của AD và của BC . Ta thấy, với mọi điểm M không thuộc đờng thẳng d thì ta có: MA + MB MC + MD: MA +MB > MC +MD khi điểm M nằm khác phía với điểm A so với đờng thẳng d ; MA +MB < MC +MD khi điểm M nằm cùng phía với điểm A so với đờng thẳng d. Vậy M thuộc đờng trung trực d của AD và BC b. Giới hạn: Mọi điểm M thuộc d đều có MA = MD; MB = MC MA +MB = MC +MD. Vậy M thuộc đờng thẳng d. c. Phần đảo: Lấy M bất kỳ thuộc đờng thẳng d thì ta có : MA = MD; MB = MC MA +MB = MC +MD. Đinh Văn Tớc TrờngTHCS Gia Phong - Gia Viễn - Ninh Bình 8 M A B d B A C D O d M Tìm tập hợp điểm trong chơng trình THCS d. Kết luận Tập hợp điểm M cần tìm là đờng trung trực của AD và BC. Bài toán 2: Cho góc xOy = 90 0 . Một điểm B cố định trên tia Oy và một điểm A di động trên tia Ox. Tìm tập hợp trung điểm M của AB. ( Bài tập 6 trang 82 SGKHH7-NXBGD-1996) Hớng dẫn giải: a. Phần thuận: OAB có Ô = 90 0 , OM là trung tuyến nên OM = MA = MB = 2 AB MO = MB, mà O và B cố định. Do đó M thuộc đờng trung trực của đoạn thẳng OB. b. Giới hạn quỹ tích: Khi A O, thì M M ( M là trung điểm của OB ) Khi điểm A chạy trên tia Ox ra xa O vô tận thì M chạy ra xa M vô tận trên tia Mz. Vậy M thuộc tia Mz,với tia Mz thuộc đờng thẳng trung trực của đoạn thẳng OB và thuộc miền trong góc xOy. c. Phần đảo Lấy điểm M bất kì thuộc tia Mz, kẻ BM cắt tia Ox tại A. M thuộc trung trực của đoạn thẳng OB MO = MB MOB = MBO (1). (góc MOB bằng góc MBO) Mặt khác OAB có AOB = 90 0 nên MBO + MAO = 90 0 (2) và BOM + MOA = 90 0 (3) Từ (1), (2), (3) MAO = MOA MO = MA Vậy ta có: MO = MB, MO = MA MA = MB. Do đó M là trung điểm của AB. Đinh Văn Tớc TrờngTHCS Gia Phong - Gia Viễn - Ninh Bình 9 A B M O y M x z Tìm tập hợp điểm trong chơng trình THCS d. Kết luận: Tập hợp các trung điểm của đoạn thẳng AB là tia Mz thuộc đờng thẳng trung trực của đoạn thẳng OB và thuộc miền trong góc xOy. Bài toán 3: Cho góc vuông xOy và một điểm A cố định nằm trong góc đó. Gọi B là điểm di động trên tia Ox, C là điểm di động trên tia Oy, sao cho ABC vuông tại A. Gọi M là trung điểm của cạnh huyền BC, tìm tập hợp điểm M. ( Dựa theo bài tập 48 Tr118- Bài tập nâng cao và một số chuyên đề Toán 8- NXBGD- Bùi Văn Tuyên) Hớng dẫn giải a. Phần thuận: OBC có Ô = 90 0 , OM là trung tuyến Nên OM = 2 1 BC ABC có Â = 90 0 , AM là trung tuyến nên AM = 2 1 BC OM = AM Mà hai điểm O và A cố định, nên M thuộc trung trực của đoạn thẳng AO b. Giới hạn : Khi B O thì M M 1 ( M 1 là giao điểm của đờng trung trực OA với tia Oy) Khi C O thì M M 2 ( M 2 là giao điểm của đờng trung trực OA với tia Ox) Vậy M thuộc đoạn thẳng M 1 M 2 của đờng trung trực của đoạn thẳng OA, phần nằm trong góc xOy. c. Phần đảo: Lấy điểm M bất kỳ thuộc đoạn thẳng M 1 M 2 , khi đó ta có: MO = MA ( vì đ- ờng thẳng M 1 M 2 là trung trực của OA ). Đinh Văn Tớc TrờngTHCS Gia Phong - Gia Viễn - Ninh Bình 10 x y A M O B C M 1 M 2 [...]... TrờngTHCS Gia Phong - Gia Viễn - Ninh Bình 21 Tìm tập hợp điểm trong chơng trình THCS Tập hợp các điểm C là tia Dz của đờng thẳng vuông góc với AD II/ Tập hợp điểm là đờng tròn hoặc một phần của đờng tròn 1 Tập hợp điểm là đờng tròn a Tóm tắt lý thuyết: + Tập hợp các điểm M cách điểm O cho trớc một khoảng không đổi r ( r >0) là đờng tròn tâm O bán kính r + Tập hợp các điểm nhìn đoạn thẳng cố định AB dới... Diện tích MOA: S MOA = 1 2 MJ OA Diện tích MOB: S MOB = 1 2 MI OB Suy ra: S MOA Đinh Văn Tớc = 1 2 MJ OA = MJ OA TrờngTHCS Gia Phong - Gia Viễn - Ninh Bình 14 Tìm tập hợp điểm trong chơng trình THCS S MOB 1 2 MI OB MI OB Mà MI = MJ ( M thuộc tia phân giác của góc xOy) , OB = 2 OA, 1 nên S MOA / S MOB = 2 d Kết luận Tập hợp điểm M cần tìm là tia phân giác Oz của góc xOy, loại trừ điểm 3 Tập hợp điểm... mà BC là dây cung của (O; R) và ON BC N là trung điểm của BC d kết luận: Tập hợp các điểm N cần tìm là đờng tròn đờng kính BO Bài tập 3: Đinh Văn Tớc TrờngTHCS Gia Phong - Gia Viễn - Ninh Bình 25 Tìm tập hợp điểm trong chơng trình THCS Cho điểm A cố định nằm trong đờng tròn tâm O bán kính R (A không trùng với O) Tìm tập hợp các trung điểm M của đoạn thẳng AB khi B di chuyển trên đờng tròn đó Hớng... luận: Tập hợp điểm N là nửa đờng tròn đờng kính AB ( với B là giao của đờng tròn đờng kính AB = AB và tia Ax AB tại A) Phần III ứng dụng quỹ tích vào Thực tế và giải toán Khi nghiên cứu về quỹ tích các điểm, ta có thể thấy rất nhiều các ứng dụng của giải toán quỹ tích vào việc giải các bài toán khác, cũng nh các ứng dụng của nó trong khoa học kỹ thuật Chẳng hạn, trong khoa học ứng dụng quỹ tích để... của quỹ tích điểm di động trên đờng thẳng và điểm di động trên đờng tròn Trong toán học ứng dụng quỹ tích để giải nhiều bài toán Đinh Văn Tớc TrờngTHCS Gia Phong - Gia Viễn - Ninh Bình 31 Tìm tập hợp điểm trong chơng trình THCS khác, song có lẽ điển hình nhất là bài toán dựng hình bằng quỹ tích tơng giao Vì lí do khuôn khổ của đề tài có hạn, ở đây tôi xin trình bày hai bài toán dựng hình đã ứng dụng quỹ. .. M là trung điểm của BC d Kết luận : Tập hợp các điểm M là trung điểm của BC là tia ED thuộc đờng thẳng hợp với Ox một góc bằng 600 Bài toán 2: Cho góc xOy = 900 cố định, điểm A cố định trên tia Ox, điểm B chuyển động trên tia Oy, vẽ ABC đều ( C và O khác phía đối với AB) Tìm tập hợp các điểm C Đinh Văn Tớc TrờngTHCS Gia Phong - Gia Viễn - Ninh Bình 20 Tìm tập hợp điểm trong chơng trình THCS Hớng... OB MN 1 = BO 2 R = R, khi A, O, B thẳng hàng Vậy B (O; R) d Kết luận Tập hợp các trung điểm M của đoạn thẳng AB khi B di chuyển trên đờng tròn (O; R) là đờng tròn (N; 1 2 R) 2 Tập hợp điểm là cung tròn: a tóm tắt lý thuyết: Đinh Văn Tớc TrờngTHCS Gia Phong - Gia Viễn - Ninh Bình 26 Tìm tập hợp điểm trong chơng trình THCS Tập hợp các điểm M tạo thành với hai mút của đoạn thẳng AB cho trớc một góc... điểm O Từ đó dựng đợc đờng tròn (O;2cm) Phần iv Một sô bài toán chọn lọc về tập hợp điểm I/ các bài toán tập hợp điểm là đờng thẳng hoặc một phần của đoạn thẳng Bài 1: Cho điểm A nằm ngoài đờng thẳng d và có khoảng cách đến d bằng 2cm Lấy điểm B bất kì thuộc đờng thẳng d Gọi C là điểm đối xứng với điểm A qua điểm B Tìm tập hợp quỹ tích điểm C khi điểm B di chuyển trên đờng thẳng d Hớng dẫn giải a Phần... cạnh góc) CA = CB ABC vuông tại C, có CA = CB ABC vuông cân tại C d Kết luận: Tập hợp các điểm C là tia Cz của tia phân giác Oz của góc xOy Bài toán 2: Cho hai đờng thẳng cắt nhau tại điểm A Tìm tập hợp tâm các đờng tròn tiếp xúc với hai đờng thẳng đó Đinh Văn Tớc TrờngTHCS Gia Phong - Gia Viễn - Ninh Bình 12 Tìm tập hợp điểm trong chơng trình THCS Hớng dẫn giải: a Phần thuận: Gọi xx và yy là hai... Kết luận: Tập hợp hình chiếu tâm O của đờng tròn đi qua điểm A và tiếp xúc với đờng thẳng d cố định là đờng thẳng // d nằm cùng một nửa mặt phẳng với điểm A bờ là đờng thẳng d, cách đờng thẳng a một khoảng bằng nửa khoảng cách từ điểm A đến d 5 Tập hợp điểm là đờng thẳng hợp với đờng thẳng cố định một góc không đổi Bài toán 1: Đinh Văn Tớc TrờngTHCS Gia Phong - Gia Viễn - Ninh Bình 19 Tìm tập hợp điểm . 4 Tìm tập hợp điểm trong chơng trình THCS B. Nội dung Phần I. Những vấn đề cơ bản về bài toán tập hợp điểm 1. Định nghĩa tập hợp điểm (quỹ tích) Một. Bình 7 Tìm tập hợp điểm trong chơng trình THCS Phần II. Các tập hợp điểm cơ bản I/ Tập hợp điểm là đờng thẳng hoặc một phần đờng thẳng 1 .Tập hợp điểm