øng øng øng øng dông ®¹o hµm ®Ó gi¶i PT, BPT, HPT chøa dông ®¹o hµm ®Ó gi¶i PT, BPT, HPT chøa dông ®¹o hµm ®Ó gi¶i PT, BPT, HPT chøa dông ®¹o hµm ®Ó gi¶i PT, BPT, HPT chøa tham sè tham sè tham sè 1 I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ Cho hàm số ( ) y f x= liên tục trên tập D 1. Phương trình ( ) f x m = có nghiệm x D ∈ ( ) ( ) min max x D x D f x m f x ∈ ∈ ⇔ ≤ ≤ 2. Bất phương trình ( ) f x m ≤ có nghiệm x D ∈ ( ) min x D f x m ∈ ⇔ ≤ 3. Bất phương trình ( ) f x m ≤ có nghiệm ñúng với x D ∈ ( ) max x D f x m ∈ ⇔ ≤ 4. Bất phương trình ( ) f x m ≥ có nghiệm x D ∈ ( ) max x D f x m ∈ ⇔ ≥ 5. Bất phương trình ( ) f x m ≥ có nghiệm ñúng với x D ∈ ( ) min x D f x m ∈ ⇔ ≥ II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI ðể giải bài toán tìm giá trị của tham số m sao cho phương trình, bất phương trình, hệ phương trình có nghiệm ta làm như sau: 1. Biến ñổi phương trình, bất phương trình về dạng: ( ) ( ) f x g m = ( hoặc ( ) ( ) ( ) ( ) ; f x g m f x g m ≥ ≤ ) 2. Tìm TXð D của hàm số ( ) y f x= 3. Lập bảng biến thiên của hàm số ( ) y f x= ở trên D 4. Tìm ( ) ( ) min ;max x D x D f x f x ∈ ∈ 5. Vận dụng các kiến thức cần nhớ bên trên suy ra giá trị m cần tìm Lưu ý: Trong trường hợp PT, BPT, HPT chứa các biểu thức phức tạp ta có thể ñặt ẩn phụ: + ðặt ( ) t x ϕ = ( ( ) x ϕ là hàm số thích hợp có mặt trong ( ) f x ) + Từ ñiều kiện ràng buộc của x D ∈ ta tìm ñiều kiện t K ∈ + Ta ñưa PT, BPT về dạng ( ) ( ) f t h m = ( hoặc ( ) ( ) ( ) ( ) ; f t h m f t h m ≥ ≤ ) + Lập bảng biến thiên của hàm số ( ) y f t = ở trên K + Từ bảng biến thiên ta suy ra kết luận của bài toán III. MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1.(B-06). Tìm m ñể phương trình sau có 2 nghiệm thực phân biệt 2 2 2 1 x mx x + + = + Giải: 2 2 2 1 x mx x + + = + ( ) ( ) 2 2 2 1 2 1 0 2 2 2 1 3 4 1 * x x x mx x mx x x + ≥ ≥ − ⇔ ⇔ + + = + = + − Xét phương trình ( ) * + 0 0. 1 x x= ⇒ = − , phương trình này vô nghiệm. Nghĩa là không có giá trị nào của m ñể phương trình có nghiệm 0 x = + 1 0 3 4 x x m x ≠ ⇒ + − = . Ta xét hàm số ( ) 1 3 4f x x x = + − trên tập { } 1 ; \ 0 2 − +∞ Ta có ( ) 2 1 ' 3 0 f x x = + > với { } 1 ; \ 0 2 x ∀ ∈ − +∞ , suy ra hàm số ( ) 1 3 4f x x x = + − ñồng biến trên { } 1 ; \ 0 2 − +∞ ( ) 0 0 1 lim lim 3 4 x x f x x x ± ± → → = + − = ∞ m ; ( ) 1 lim lim 3 4 x x f x x x →+∞ →+∞ = + − = +∞ Ta có bảng biến thiên của hàm số ( ) f x Số nghiệm của phương trình (1) bằng số giao ñiểm của ñồ thị hàm số ( ) 1 3 4f x x x = + − và ñường thẳng y m= trên miền { } 1 ; \ 0 2 − +∞ Dựa vào bảng biến thiên ta ñược giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán là 9 2 m ≥ Ví dụ 2. Tìm m ñể phương trình ( ) ( ) 2 2 2 1 2 0m x x x x− + + + − ≤ có nghiệm thuộc 0;1 3 + Giải: ðặt 2 2 2t x x= − + ( ) 2 2 2x x t⇒ − − = − . x f’(x) f(x) 1 / 2− 0 −∞ + + +∞ +∞ +∞ 9 2 øng øng øng øng dông ®¹o hµm ®Ó gi¶i PT, BPT, HPT chøa dông ®¹o hµm ®Ó gi¶i PT, BPT, HPT chøa dông ®¹o hµm ®Ó gi¶i PT, BPT, HPT chøa dông ®¹o hµm ®Ó gi¶i PT, BPT, HPT chøa tham sè tham sè tham sè 2 Khi ñó bất phương trình trở thành: ( ) 2 1 2m t t+ ≤ − (*) Ta có 2 1 ' , ' 0 1 2 2 x t t x x x − = = ⇔ = − + Ta có bảng biến thiên : Từ ñó ta có 1 2t ≤ ≤ , từ (*) suy ra 2 2 1 t m t − ≤ + (1) Xét hàm số ( ) 2 2 1 t f t t − = + trên tập [ ] 1;2 Ta có ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 ' 0 1 t f t t + + = > + với [ ] 1;2t∀ ∈ Ta có bảng biến thiên của hàm số ( ) f t Bất phương trình ñã cho có nghiệm 0;1 3x ∈ + ⇔ bất phương trình ( ) 1 có nghiệm [ ] 1;2t ∈ [ ] ( ) ( ) 1;2 2 max 2 3 m f t f⇔ ≤ = = Ví dụ 3.(A-08). Tìm m ñể phương trình sau có 2 nghiệm thực phân biệt ( ) 4 4 2 2 2 6 2 6x x x x m m+ + − + − = ∈¡ Giải ðiều kiện: 0 6 x≤ ≤ Xét hàm số ( ) 4 4 2 2 2 6 2 6 f x x x x x = + + − + − trên tập [ ] 0;6 Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 4 2 4 2 2 2 2 6 2 6 f x x x x x = + + − + − ( ) ( ) ( ) 3 1 4 2 1 1 ' 2 .2 2 .2 4 2 f x x x − − = + + ( ) ( ) ( ) ( ) 3 1 4 2 1 1 2. 6 . 1 2. 6 . 1 4 2 x x − − − − + − − ( ) ( ) 3 3 4 4 1 1 1 1 1 1 . . 2 2 2 6 2 6 x x x x = + − − − − ( ) ( ) 3 3 4 4 1 1 1 1 1 . 2 2 6 2 6 x x x x = − + − − − ( ) ( ) ( ) 4 4 2 2 4 4 4 1 1 1 1 1 1 . 2 2 6 2 6 2 6 x x x x x x = − + + − − − 4 4 4 4 1 1 1 1 2 6 2 6 x x x x + − + − − ( ) ( ) ( ) 4 4 4 4 2 2 4 4 4 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 6 2 6 2 6 2 6 x x x x x x x x = − + + + + − − − − ta có ( ) ( ) ( ) 4 4 2 2 4 4 4 1 1 1 1 1 1 0 2 2 6 2 6 2 6 x x x x x x + + + + > − − − với ( ) 0;6x∀ ∈ ( ) 4 4 ' 0 2 6 2 6 2f x x x x x x= ⇔ = − ⇔ = − ⇔ = Ta có bảng biến thiên Số nghiệm của phương trình ñã cho bằng số giao ñiểm của ñồ thị hàm số ( ) y f x= và ñường thẳng y m = trên miền [ ] 0;6 Dựa vào bảng biến thiên ta ñược giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán là 4 2 6 2 6 3 2 6m + ≤ < + Ví dụ 4.(B-07) Chứng minh rằng với mọi giá trị dương của tham số m, phương trình sau có 2 nghiệm thực phân biệt: ( ) 2 2 8 2x x m x + − = − Giải: ðiều kiện: do 0 2m x > ⇒ ≥ . Ta có: ( ) 2 2 8 2x x m x + − = − ( )( ) ( ) 2 4 2x x m x ⇔ − + = − ( )( ) ( ) 2 2 2 4 * x x x m = ⇔ − + = x t’ t 0 + - 1 3 + 1 0 2 1 2 t f’(t) f(t) 1 + 2 2 3 1 2 x f’(x) f(x) 0 - + 6 2 0 4 2 6 2 6 + 3 2 6 + 4 12 2 3 + øng øng øng øng dông ®¹o hµm ®Ó gi¶i PT, BPT, HPT chøa dông ®¹o hµm ®Ó gi¶i PT, BPT, HPT chøa dông ®¹o hµm ®Ó gi¶i PT, BPT, HPT chøa dông ®¹o hµm ®Ó gi¶i PT, BPT, HPT chøa tham sè tham sè tham sè 3 Nhận thấy phương trình ñã cho luôn có 1 nghiệm 2x = , ñể chứng minh khi 0m > phương trình ñã cho có 2 nghiệm thực phân biệt ta cần chỉ ra phương trình ( ) * luôn có một nghiệm thực 2x > khi 0m > Xét hàm số ( ) ( )( ) 2 3 2 2 4 6 32f x x x x x = − + = + − trên tập ( ) 2;+∞ Ta có ( ) 2 ' 3 12 0f x x x= + > với 2x ∀ > ( ) 3 3 6 32 lim lim 1 x x f x x x x →+∞ →+∞ = + − = +∞ Ta có bảng biến thiên của hàm số ( ) f x Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao ñiểm của ñồ thị hàm số ( ) y f x= và ñường thẳng y m= trên miền ( ) 2;+∞ Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra khi 0m > thì phương trình (*) luôn có 1 nghiệm 2x > Vậy với 0m > thì phương trình ñã cho luôn có 2 nghiệm thực phân biệt Ví dụ 5. Tìm m ñể phương trình sau có nghiệm: 2 2 2 4 2 4 x x x x m + + − − + = Giải: Vì ( ) 2 2 2 4 1 3 3 0,x x x x ± + = ± + ≥ > ∀ ∈ ¡ nên TXð: D = ¡ Xét hàm số ( ) 2 2 2 4 2 4 f x x x x x = + + − − + trên ¡ Ta có: ( ) 2 2 1 1 ' 2 4 2 4 x x f x x x x x + − = − + + − + ( ) ' 0f x = ⇔ 2 2 1 1 0 2 4 2 4 x x x x x x + − − = + + − + ( ) ( ) 2 2 1 2 4 1 2 4x x x x x x⇔ + − + = − + + (*) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 4 1 2 4x x x x x x⇒ + − + = − + + 4 3 2 3 2 2 2 4 2 4 8 2 4x x x x x x x x⇔ − + + − + + − + = 4 3 2 3 2 2 2 4 2 4 8 2 4 x x x x x x x x + + − − − + + + 0x⇔ = Thay 0x = vào phương trình (*) ñược: 1 = - 1. Vậy phương trình (*) vô nghiệm. Suy ra ( ) ' f x chỉ mang 1 dấu (không ñổi dấu), có ( ) ' 0 1 0f = > ( ) ' 0,f x x⇐ > ∀ ∈¡ Ta có ( ) ( ) 2 2 lim lim 2 4 2 4 x x f x x x x x →+∞ →+∞ = + + − − + 2 2 4 lim 2 4 2 4 x x x x x x →+∞ = + + + − + 2 2 4 lim 2 4 2 4 1 1 x x x x x →+∞ = + + + − + 2= ( ) ( ) 2 2 lim lim 2 4 2 4 x x f x x x x x →−∞ →−∞ = + + − − + 2 2 4 lim 2 4 2 4 x x x x x x →−∞ = + + + − + 2 2 4 lim 2 4 2 4 1 1 x x x x x →−∞ = − + + − − + 2= − Ta có bảng biến thiên của hàm số ( ) f x Số nghiệm của phương trình ñã cho bằng số giao ñiểm của ñồ thị hàm số ( ) y f x= và ñường thẳng y m= trên ¡ Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra phương trình có nghiệm 2 2m⇔ − < < Ví dụ 6. Tìm m ñể hệ phương trình sau có nghiệm 2 3 2 3 4 0 3 15 0 x x x x x m m − − ≤ − − − ≥ Giải: Ta có: 2 3 4 0 1 4x x x− − ≤ ⇔ − ≤ ≤ . Hệ phương trình ñã cho có nghiệm ⇔ 3 2 3 15 0x x x m m− − − ≥ có nghiệm [ ] 1;4x ∈ − 3 2 3 15 x x x m m ⇔ − ≥ + có nghiệm [ ] 1;4x ∈ − ðặt ( ) 3 2 3 3 2 3 1 0 3 3 0 4 x x khi x f x x x x x x khi x + − ≤ < = − = − ≤ ≤ Ta có x f’(x) f(x) 2 + +∞ 0 +∞ x f’(x) f(x) - ∞ + +∞ -2 2 øng øng øng øng dông ®¹o hµm ®Ó gi¶i PT, BPT, HPT chøa dông ®¹o hµm ®Ó gi¶i PT, BPT, HPT chøa dông ®¹o hµm ®Ó gi¶i PT, BPT, HPT chøa dông ®¹o hµm ®Ó gi¶i PT, BPT, HPT chøa tham sè tham sè tham sè 4 ( ) 2 2 3 6 1 0 ' 3 6 0 4 x x khi x f x x x khi x + − < < = − < < ( ) ' 0 0; 2f x x x= ⇔ = = ± Ta có bảng biến thiên : ( ) 2 15 f x m m ≥ + có nghiệm [ ] 1;4x ∈ − [ ] ( ) 2 1;4 max 15 f x m m − ⇔ ≥ + 2 16 15 m m ⇔ ≥ + 2 15 16 0 16 1 m m m ⇔ + − ≤ ⇔ − ≤ ≤ Vậy hệ phương trình ñã cho có nghiệm 16 1 m ⇔ − ≤ ≤ Ví dụ 7. Tìm m ñể phương trình sau có nghiệm: 3 3 sin cos x x m + = Giải ( ) ( ) 3 3 sin cos sin cos 1 sin .cos x x m x x x x m + = ⇔ + − = ðặt sin cos 2.sin 4 t x x x π = + = + , 2 2t− ≤ ≤ Khi ñó: ( ) 2 2 sin cos sin cos t x x t x x = + ⇒ = + 2 1 sin .cos 2 t x x − ⇒ = Phương trình trở thành: 2 3 1 1 3 1 2 2 2 t t m t t m − − = ⇔ − + = Xét hàm số ( ) 3 1 3 2 2 f t t t = − + trên tập 2; 2 − Ta có: ( ) 2 3 3 ' 2 2 f t t= − + ( ) ' 0f t = ⇔ 2 3 3 0 1 2 2 t t − + = ⇔ = ± Ta có bảng biến thiên: Số nghiệm của phương trình ñã cho bằng số giao ñiểm của ñồ thị hàm số ( ) y f t= và ñường thẳng y m= trên 2; 2 − Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra phương trình có nghiệm 1 1 m ⇔ − ≤ ≤ Ví dụ 8: Tìm m ñể bất phương trình sau có nghiệm: 3 1 mx x m − − ≤ + (1) Giải: ðặt 3 0 t x = − ≥ 2 3 x t ⇒ = + . Khi ñó bất phương trình trở thành: ( ) 2 3 1 m t t m + − ≤ + ( ) 2 2 1 m t t ⇔ + ≤ + 2 1 2 t m t + ⇔ ≥ + (*) Xét hàm số ( ) 2 1 2 t f t t + = + trên ( ) 0;+∞ Ta có: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 ' 2 t t f t t − − + = + ( ) 2 ' 0 2 2 0 1 3f t t t t= ⇔ − − + = ⇔ = − ± ( ) 1 1 lim lim 0 2 x x t f t t t →+∞ →+∞ + = = + Ta có bảng biến thiên của hàm số ( ) f t Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra bất phương trình (1) có nghiệm ⇔ bất phương trình (*) có nghiệm 0 t > ⇔ ( ) ( ) 0; 3 1 max 4 f t m m +∞ + ≥ ⇔ ≤ Ví dụ 9.(A-07) Tìm m ñể phương trình sau có nghiệm : 2 4 3 1 1 2 1x m x x− + + = − Giải: ðiều kiện: 1 x ≥ 2 4 3 1 1 2 1x m x x− + + = − 4 1 1 3 2 1 1 x x m x x − − ⇔ − + = + + (1) ðặt 4 1 1 x t x − = + , khi ñó phương trình (1) trở thành: 2 3 2 t t m − + = (*) x f’(x) f(x) -1 + 4 -4 2 0 2 0 0 - - 16 t f’(t) f(t) - 2 - -1 2 2 − -1 1 0 0 + - 2 1 2 2 t f’(t) f(t) 0 - +∞ 3 1 4 + 1 2 1 3− + 0 + 0 øng øng øng øng dông ®¹o hµm ®Ó gi¶i PT, BPT, HPT chøa dông ®¹o hµm ®Ó gi¶i PT, BPT, HPT chøa dông ®¹o hµm ®Ó gi¶i PT, BPT, HPT chøa dông ®¹o hµm ®Ó gi¶i PT, BPT, HPT chøa tham sè tham sè tham sè 5 Ta có 1 x ≥ 0 t ⇒ ≥ và 4 2 1 1 1 t x = − < + , vậy 0 1 t ≤ < Xét hàm số ( ) 2 3 2 f t t t = − + trên tập [ ) 0;1 Có ( ) ( ) 1 ' 6 2; ' 0 6 2 0 3 f t t f t t t= − + = ⇔ − + = ⇔ = Ta có bảng biến thiên của hàm số ( ) f t Số nghiệm của phương trình ñã cho bằng số giao ñiểm của ñồ thị hàm số ( ) y f t= và ñường thẳng y m= trên miền [ ) 0;1 Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra phương trình có nghiệm 1 1 3 m ⇔ − < ≤ Ví dụ 10. Tìm m ñể phương trình sau có nghiệm ( )( ) 1 8 1 8 x x x x m + + − + + − = ðiều kiện: 1 8 x − ≤ ≤ ðặt 1 8 t x x = + + − Ta có: 1 1 ' 2 1 2 8 t x x = − + − với 1 8 x − < < ' 0 t = ⇔ 1 1 0 2 1 2 8x x − = + − 1 8 x x ⇔ + = − 7 1 8 2 x x x ⇔ + = − ⇔ = Ta có bảng biến thiên: Từ ñó dẫn ñến 3 3 2t≤ ≤ Có ( ) 2 2 1 8 1 8t x x t x x= + + − ⇒ = + + − ( )( ) 2 9 1 8 2 t x x − ⇒ + − = , phương trình ñã cho trở thành: 2 9 2 t t m − + = 2 2 9 2t t m⇔ + − = Xét hàm số ( ) 2 2 9 f t t t = + − trên tập 3;3 2 Ta có: ( ) ' 2 2 0f t t= + > với 3;3 2x ∀ ∈ Ta có bảng biến thiên của hàm số ( ) f x Số nghiệm của phương trình ñã cho bằng số giao ñiểm của ñồ thị hàm số ( ) y f t= và ñường thẳng 2y m= trên 3;3 2 Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra phương trình có nghiệm 9 6 2 6 2 9 6 2 3 2 m m + ⇔ ≤ ≤ + ⇔ ≤ ≤ IV. CÁC BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Tìm m ñể các phương trình, bất phương trình, hệ phương trình sau có nghiệm: 1) 3 3 3 3 1 1 5 1 1 15 10 x y x y x y m x y + + + = + + + = − 2) 4 4 13 1 0x x m x− + + − = có ñúng một nghiệm 3) 6 6 sin cos .sin 2 x x m x + = 4) cos3 - cos2 cos -1 0x x m x+ = có ñúng 7 nghiệm thuộc ;2 2 π π − 5) ( )( ) 2 4 6 2 x x x x m + − ≤ − + nghiệm ñúng với mọi [ ] 4;6x ∈ − 6) 2 9 9 x x x x m + − = − + + 7) 3 2 4 6 4 5 x x x x m − − − + − − + = có ñúng hai nghiệm thực phân biệt 8) 4 4 1 sin cos sin 2 2 x x m x+ = − có ñúng 2 nghiệm ; 12 2 x π π ∈ 9) Tìm m nhỏ nhất ñể bất phương trình sau ñúng với [ ] 0;1x∀ ∈ : ( ) 2 2 1 1m x x x x− + ≤ + + t f’(t) f(t) 0 - -1 0 1 3 1 0 + 1 3 x t’ t -1 - 3 3 7 2 8 0 + 3 2 t f’(t) f(t) 3 6 3 2 + 9 6 2+ . HPT chøa dông ®¹o hµm ®Ó gi¶i PT, BPT, HPT chøa dông ®¹o hµm ®Ó gi¶i PT, BPT, HPT chøa tham sè tham sè tham sè 1 I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ Cho hàm số ( ) y f x= liên tục trên tập D 1. Phương. HPT chøa dông ®¹o hµm ®Ó gi¶i PT, BPT, HPT chøa dông ®¹o hµm ®Ó gi¶i PT, BPT, HPT chøa tham sè tham sè tham sè 2 Khi ñó bất phương trình trở thành: ( ) 2 1 2m t t+ ≤ − (*) Ta có 2 1 '. HPT chøa dông ®¹o hµm ®Ó gi¶i PT, BPT, HPT chøa dông ®¹o hµm ®Ó gi¶i PT, BPT, HPT chøa tham sè tham sè tham sè 3 Nhận thấy phương trình ñã cho luôn có 1 nghiệm 2x = , ñể chứng minh khi 0m >