Đề số 1 Năm 2004 Câu I. (2đ) Cho hàm số: y= 1 22 2 + x xx (C) 1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 2) Gọi I là giao điểm của hai đờng tiệm cận của ( C). Hãy viết phơng trình hai đờng thẳng đi qua I sao cho chúng có hệ số góc nguyên và cắt (C ) tại 4 điểm phân biệt là các đỉnh của một hình chữ nhật. Câu II. (2đ) 1) Bằng định nghĩa, hãy tính đạo hàm của hàm số: f(x)= x ex + 3 tại điểm x=0 2) Biện luận theo m, miền xác định của hàm số: y= 1 3)3( 2 + +++ x xmmx 3) Các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện: x 2 + y 2 + z 2 - 4x+ 2z 0 Hãy tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: F= 2x+3y- 2z. Câu III. (2đ) 1) Các góc của tam giác ABC thỏa mãn điều kiện: sin2A+ sin2B +sin2C= sinA+ sinB +sinC+4sin 2 sin 2 sin 2 ACCBBA . Chứng minh rằng tam giác ABC đều. 2) Giải hệ phơng trình: += =+ )sin(6sin2 2 )sin(2sin6 2 3 xyx y tg xyx y tg Câu IV. (2đ) 1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxy cho Hypebol y= x a (a )0 . (H). Trên (H) lấy 6 điểm phân biệt A i (i=1,,6) sao cho: A 1 A 2 //A 4 A 5 ; A 2 A 3 //A 5 A 6 . Chứng minh rằng:A 3 A 4 //A 1 A 6. 2) Cho tứ diện ABCD có bán kính mặt cầu nội tiếp là r. Chứng minh rằng: V ABCD 2 3 32 r Câu V. (2đ) 1) Tìm x>0 sao cho: 1 )2( . 0 2 2 = + x t dt t et 2) Có bao nhiêu số tự nhiên có đúng 2004 chữ số mà tổng các chữ số bằng 4 Đề số 2 Năm 2004 Câu I. (2,25đ) 1) Khảo sát hàm số y= x x 1 2 ++ (C ) 2) Tìm m để phơng trình )(loglog 1 2 2 12 m x x =++ có đúng 3 nghiệm phân biệt Câu II. (2,25đ) 1) Giải phơng trình: cos3x.sin2x- cos4x.sinx= xx cos13sin 2 1 ++ 2) Giải bất phơng trình: 52428 31331 >++ ++ xxx Câu III. (1đ) Cho hình vuông ABCD cạnh bằng 1. Hai điểm M,N lân lợt di chuyển trên cạnh AD và DC sao cho AM=x, CN= y và góc MBN= 4 . Tìm x, y để diện tích tam giác MBN đạt giá trị lớn nhất? Nhỏ nhất? Câu IV. (3,5đ) 1) Trong không gian với hệ tọa độ Đề các vuông góc Oxyz cho mặt cầu (1,R) có phơng trình: x2+y 2 + z 2 - 2x+ 4y- 6z- 11=0 và mặt phẳng ( ) có phơng trình: 2x+ 2y- z+17=0. Lập phơng trình mặt phẳng ( ) song song với mặt phẳng ( ) à cắt mặt cầu theo giao tuyến là đờng tròn có bán kính bằng 3. 2) Cho hình lăng trụ đứng ABC.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A; BC=2a. Gọi M là một điểm trên cạnh AA. Đặt góc BMC= , góc giữa mặt phẳng (MBC) và mặt phẳng (ABC) là . a) Chứng minh rằng : 2 2 1 cos 1 tg = b) Tính thể tích hình lăng trụ theo a, biết rằng M là trung điểm của AA. Câu V. (1đ) Trong khai triển ( 21 3 3 ) a b b a + tìm số hạng của a, b có số mũ bằng nhau. Đề số 3 Năm 2004 ( Thời gian làm bài : 180 phút ) Câu I . (2.5 điểm ) Cho hàm số : y = x 3 - ( 14 +m ) x 2 + ( xm )17 + 13 m a) khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với 1=m b) tìm m để hàm số có cực trị đồng thời các giá trị cực đại , cực tiểu của hàm số trái dấu nhau . c) tìm m để đồ thị của hàm số tiếp xúc với truc hoành . Câu II . ( 2 điểm ) . a) giải hệ phơng trình : =++ = 02log3log 2 1 2 2 yx eeyx yx b) Tìm m để hệ phơng trình sau có nghiệm =+ =+ myxyx yxyx 22 22 23 1 Câu III. (2đ) a) Biết rằng tam giác ABC có cả ba góc cùng là nghiệm của phơng trình 2sin2x+tgx=2 3 . Chứng mình rằng tam giác ABC đều. b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Q= sin 2 A+ sin 2 B+ 2sin 2 C, trong đó A, B, C là ba góc của một tam giác bất kì. Câu IV. (2đ) a) Cho Hypebol có phơng trình 1 45 22 = yx (H) Giả sử (d) là một tiếp tuến thay đổi va F là một tiêu điểm của (H). Kẻ FM vuông góc với (d). Chứng minh rằng điểm M luôn nằm trên một đờng tròn cố định. b) Cho hình chóp SABC có SA=2BC, góc BAC=60 o , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy ABC. Kẻ AM, AN lần lợt vuông góc với SB,SC. Tình góc phẳng nhị diện tạo bởi hai mặt phẳng (AMN) và (ABC). Câu V. (1,5đ) a) trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc Oxy cho hình tròn (x-2) 2 + y 2 1 . Tính thể tích của khối tròn xoay đợc tạo thành khi quay hình tròn đó một vòng quanh trục Oy, b) Tính số nghiệm dơng của phơng trình: x+y+z=100 Đế số 4 Năm 2004 Câu I. (2,5đ) Cho hàm số y= mx mxx + 8 2 (Cm) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ứng với m=6 2) Với giá trị nào của m thì hàm số có cực đại, cực tiểu. Khi đó viết phơng trình đờng thẳng đI qua hai điểm cực đại, cực tiểu đó. 3) Tìm tất cả các giá trị cảu m để đồ thị hàm số (Cm) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt. Chứng tỏ rằng: Hệ số góc của tiếp tuyến tại các giao điểm đó đ- ợc tính theo công thức: k= mx mx +2 Câu II. (2đ) 1) Tìm tất cả các giá trị của tham số mđể phơng trình mm xxxx 2)22)(1(44 2211 ++=+ ++ có nghiệm thuộc[0;1] 2) Giải phơng trình: 2 231 31 2 xx xx ++= ++ Câu III. (2đ) 1) Giải phơng trình: 0.2cos1.2sin 0 =+ x dttt 2) Tính độ lớn các góc của tam giác ABC nếu có: 2sinA.sinB(1- cosC)=1 Câu IV. (2đ) 1) Parabol y 2 = 2x chia diện tích hình tròn x 2 + y 2 = 8 theo tỉ số nào? 2) Tính tổng: S= CCCC 2002 2003 4 2003 2 2003 0 2003 2003 1 5 1 3 1 ++++ Câu V. (1,5đ) 1) Cho họ đờng tròn có phơng trình: x 2 +y 2 - 2(m+1)x- 4my- 5=0 a) Tìm điểm cố định thuộc họ đờng tròn khi m thay đổi. b) Tìm tập hợp các điểm có cùng phơng tích đối với mọi đờng tròn trong họ đờng tròn đã cho. 2) Cho hình chóp tứ giác SABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc ABC bằng 60 o . Chiều cao SO của hình chóp bằng 2 3a , trong đó O là giao điểm của hai đờng chéo đáy. Gọi M là trung điểm cạnh AD, ( ) là mặt phẳng đI qua BM, song song với SA, cắt SC tại K. Tính thể tích hình chóp K.BCDM. Đề số 5 Năm 2004 Câu I. (2đ) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y= 1 22 2 + x xx 2) Giả sử A và B là hai điểm trên đồ thị của hàm số có hoành độ tơng ứng là x 1 , x 2 thỏa mãn hệ thức x 1 + x 2 =2. Chứng minh rằng các tiếp tuyến với đồ thị tại các điểm A và B song song với nhau. Câu II. (2đ) 1) Giải phơng trình: 3x 2 - 2x 3 = log 2 (x 2 +1)- log 2 x 2) Giải và biện luận phơng trình: 4=++ xaxa (a là tham số ) Câu III. (2đ) 1) Giải phơng trình: 4cosx.cos2x.cos3x=cos6x 2) Tam giac sABC có các góc thỏa mãn: 2sinA+ 3sinB+ 4sinC=5cos 2 cos 2 cos3 2 CBA ++ Chứng minh rằng tam giác ABC đều Câu IV. (2đ) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho elip (E) có phơng trình x 2 +4y 2 =4. Giả sử (t) là một tiếp tuyến bất kì của (E) mà không song song với Oy. Gọi M, N là các giao điểm của (t) với các tiếp tuyến của (E) tơng ứng tại các đỉnh A 1 (-2;0); A 2 (2;0). 1) Chứng minh rằng 1. 21 =NAMA 2) Chứng minh rằng khi tiếp tuyến (t) thay đổi thì đờng tròn đờng kính MN luôn đi qua hai điểm cố định. Câu V. (2đ) 1) Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x)= 13 1 24 2 + + xx x 2) Chứng minh rằng với mọi n nguyên dơng ta luôn có: 22 2 2 1 2 2)1( 2.1 +=+++ n n nnn nnn CCC