Khai thác một BĐT

khai thác bài toán từ một bất đẳng thức đơn giản Bất đẳng thức gốc: *Hớng thứ nhất: Bài toán 1.1: Cho a + b 0. CMR: 3 3 ( )a b ab a b+ + *Hớng thứ hai: 3 3 3 3 2 2 2 2 (1) ) ( ) ( a a a ab b ab b b ab a b b b a a + + + Tơng tự với a, b, c > 0 thì: 3 3 2 2 2 2 ; b c bc c ca a c a b c + + Từ đó ta có bài toán: Bài toán 1.2: Cho a, b,c > 0. CMR: 3 3 3 a b c ab bc ca b c a + + + + *Hớng thứ ba: Từ (1) 3 3 a b a b ab + + . Tơng tự với a, b, c > 0 thì: 3 3 3 3 ; b c c a b c c a bc ca + + + + Do đó ta có bài toán: Bài toán 1.3: Cho a, b, c > 0. CMR: 3 3 3 3 3 3 2 2 2 a b b c c a a b c ab bc ca + + + + + + + *Hớng thứ t: Từ (1) 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 ( ) 4 4 3 ( ) 4( ) ( )a b ab a b a b a b ab a b a b a b + + + + + + + + Tơng tự với a, b, c > 0 thì: 3 3 3 3 3 3 4( ) ( ) ; 4( ) ( )b c b c c a c a+ + + + Ta đề xuất đợc bài toán: Bài toán 1.4: Cho a, b > 0. CMR: 3 3 3 3 3 3 3 8( ) ( ) ( ) ( )a b c a b b c c a+ + + + + + + *Hớng thứ năm: Cũng từ (1) ta có: 3 3 ( )a b abc ab a b abc+ + + + 3 3 ( )a b abc ab a b c + + + + 3 3 1 1 ( )a b abc ab a b c + + + + Tơng tự với a, b, c > 0 thì: 3 3 3 3 1 1 1 1 ; ( ) ( )b c abc bc a b c c a abc ca a b c + + + + + + + + Ta đề xuất đợc bài toán: Bài toán 1.5: Cho a, b > 0. CMR: 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 a b abc b c abc c a abc abc + + + + + + + + *Hớng thứ sáu: Nếu ta bổ sung điều kiện abc = 1 thì ta có bài toán sau: Bài toán 1.6: Cho a, b,c > 0 và abc = 1. CMR: 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1a b b c c a + + + + + + + + *Hớng thứ bảy: Mặt khác từ (1) 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 3 3 2 2 2 2 3 2 ( ) 3 2 ( ) 3 ( ) 3 ( )( ) ( ) 3 3 ( )(2 ) 2 a b a ab a b a a b ab a b a a b a ab a b a a b a ab b a a ab b a a a ab b a b a b a ab b + + + + + + + + + + + + + + + + + 1 3 3 ( ) (1)a b ab a b+ + với a, b > 0 Tơng tự với a, b, c > 0 thì: 3 3 2 2 2 2 3 3 2 ; 2 b c b c c a b bc c c ca a + + + + Ta đề xuất đợc bài toán: Bài toán 1.7: Cho a, b, c > 0. CMR: 3 3 3 2 2 2 2 2 2 3 a b c a b c a ab b b bc c c ca a + + + + + + + + + + *Hớng thứ tám: Từ (1) ta biến đổi: 3 3 3 3 3 3 2 2 3 3 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 2 3 3 2 20 19 ( ) 20 ( ) 19 (20 ) 19 (20 5 4 ) 19 [5 (4 ) (4 )] 19 (4 )( 5 ) 19 19 (4 )( 5 ) 19 4 5 a b b ab a b b ab a b b a b b ab a b a b b ab ab a b a b b b a a b a b a b b a a b b a b a b a ab b b a b a ab b + + + + + + + + + Tơng tự với a, b, c > 0 thì: 3 3 3 3 2 2 19 19 4 ; 4 5 5 c b a c c b a c cb c ac a + + Ta đề xuất đợc bài toán: Bài toán 1.8: Cho a, b, c > 0. CMR: 3 3 3 3 3 3 2 2 2 19 19 19 3( ) 5 5 5 b a c b a c a b c ab b cb c ac a + + + + + + + *Hớng thứ chín: Mặt khác từ (1) 2 2 3 3 2 2 2 2 5 2 3 3 2 5 4 3 2 2 3 4 5 5 4 4 5 5 4 4 5 5 3 3 5 5 3 3 ( )( ) ( )( ) 1 ( 1) 1 a b a b a b a b ab a a b a b b a b a b a b ab a b a b ab a b ab a b ab ab ab a b ab ab a b a b ab a b + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + Tơng tự với a, b, c > 0 thì: 5 5 3 3 5 5 3 3 1 1 ; 1 1 bc ca b c bc b c c a ca c a + + + + + + + + Ta có bài toán: Bài toán 1.9: Cho a, b, c > 0, abc = 1. CMR: 5 5 5 5 5 5 1 ab bc ca a b ab b c bc c a ca + + + + + + + + (IMO 1996) *Hớng thứ mời: Mặt khác từ (1) 3 3 2 2 4 4 a b a b ab+ + Tơng tự với a, b, c > 0 thì: 3 3 2 2 3 3 2 2 ; 4 4 4 4 b c b c bc c a c a ca+ + + + 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 4 a b c a b ab b c bc c a ca+ + + + + + + 3 3 3 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 2 4 a b c a b c b c a c a b+ + + + + + + Mặt : áp dụng bất đẳng thức: 2a b ab+ cho hai số không âm, ta có: 2 4 2 4 2 3 ( ) ( ) 2 . 4 4 a a b c a a b c a b c b c + + + = + + Tơng tự với a, b, c > 0 thì: 4 2 4 2 4 2 4 2 3 3 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 . ; 2 . 4 4 4 4 b b c a b b c a c c a b c c a b b c c a c a a b a b + + + + + = + = + + + + Ta có bài toán: Bài toán 1.10: Cho a, b, c > 0. CMR: 4 4 4 3 3 3 2 a b c a b c b c c a a b + + + + + + + *Hớng thứ mời một: Mặt khác: Với a, b, c > 0 tơng tự (1) ta có: 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 3 3 3 2 2 2 ( ); ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b c bc b c c a ca c a a b c ab a b bc b c ca c a a b c a b ab b c bc c a ca a b c a b c b c a c a b + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + áp dụng bất đẳng thức: 2a b ab+ cho hai số không âm, ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ; 2 ( ) 2 ; ( ) 2 ; ( ) 2 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 2 b c bc c a ca a b c a bc b c a b ca c a b c ab a b c b c a c a b a bc b ca c ab a b c b c a c a b a bc b ca c ab + + + + + + + + + + + + + + + + + + + Ta có bài toán: Bài toán 1.11: Cho a, b > 0. CMR: 3 3 3 2 2 2 a b c a bc b ca c ab+ + + + *Hớng thứ mời hai: 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 ; a a b b b c b c c a c a ữ ữ + + + + 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 8 2 1 4 a b c a b c b c c a c a b c c a a b a b c a b c b c c a c a b c c a a b + + + + ữ ữ ữ ữ + + + + + + + + + + ữ ữ ữ ữ + + + + + + Ta có bài toán: Bài toán 12: Cho a, b, c > 0. CMR: 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 4 a b c a b c b c c a c a b c c a a b + + + + ữ ữ ữ ữ + + + + + + Bài tập đề nghị: p dụng bất đẳng thức (1) để tiếp tục chứng minh các bài toán sau: Bài tập 1: Cho a, b, c > 0. CMR: 2 2 2 2 2 2 2( ) a b c b c a a b c b c a a b c + + + + + + + 3 Bài tập 2: Cho a, b, c > 0. CMR: 3 3 3 3 3 3 2 2 2 41 41 41 5( ) 7 7 7 a b b c c a a b c ab a bc b ca c + + + + + + + Bài tập 3: Cho a, b, c > 0. CMR: 3 3 3 3 3 3 2 2 2 29 29 29 4( ) 6 6 6 a b b c c a a b c a ab b bc c ca + + + + + + + Bài tập 4: Cho a, b, c > 0. CMR: 3 3 3 3 3 3 2 2 2 3 7 3 7 3 7 3( ) 2 3 2 3 2 3 a b b c c a a b c a b b c c a + + + + + + + + + + Bài tập 5: Cho a, b, c > 0. CMR: 3 3 3 3 8 a b c b c c a c a + + ữ ữ ữ + + + Có thể sử dụng gợi ý sau: Bài tập 1: Chứng minh: 3 3 3 3 3 3 2 2 2 a b b c c a a b c ab bc ca + + + + + + + Bài tập 2: Chứng minh: 3 3 2 41 6 7 a b a b ab a + Bài tập 3: Chứng minh: 3 3 2 29 5 6 a b a b a ab + Bài tập 4:Chứng minh: 3 3 2 2 3 7 2 2 3 a b a b ab a b + + + Bài tập 5: Ta có: ( ) 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 3 2 2 a b c a b c b c c a a b b c c a a b a b c b c c a a b a b b c a b c a b c c a b c a b c a a b c a b c + + + = + + + + + ữ ữ ữ + + + + + + = + + + + ữ + + + + + + + + + = + + + + + + ữ + + + + + + Sau đó áp dụng Cauchy cho từng cặp trong ngoặc, ra đợc BĐT của bài 1.12 suy ra đpcm. Hết 4 . khai thác bài toán từ một bất đẳng thức đơn giản Bất đẳng thức gốc: *Hớng thứ nhất: Bài toán 1.1: Cho a +. 1.10: Cho a, b, c > 0. CMR: 4 4 4 3 3 3 2 a b c a b c b c c a a b + + + + + + + *Hớng thứ mời một: Mặt khác: Với a, b, c > 0 tơng tự (1) ta có: 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 3 3 3 2 2. + + + + + = + + + + + + ữ + + + + + + Sau đó áp dụng Cauchy cho từng cặp trong ngoặc, ra đợc BĐT của bài 1.12 suy ra đpcm. Hết 4