Sở Giáo dục và Đào tạo Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh Thừa Thiên Huế Giải toán trên máy tính cầm tay Đề thi chính thức Khối 9 THCS - Năm học 2010-2011 Thời gian lm bi: 150 phút - Ngày thi: 11/11/2010. Chú ý: - Đề thi gồm 5 trang - Thí sinh làm bài trực tiếp vào bản đề thi này. - Nếu không nói gì thêm, hãy tính chính xác đến 4 chữ số l thp phõn. Điểm toàn bài thi Các giám khảo (Họ, tên và chữ ký) Số phách (Do Chủ tịch Hội đồng thi ghi) Bằng số Bằng chữ GK1 GK2 Bài 1: (5 im) Tớnh giỏ tr ca biu thc: a) 11223344 5566789A = ì (Ly kt qu chớnh xỏc) b) 3 13 4 10 10 2 21 4042110 2 2010 2011B = + + + + c) 3 2 3 3 2 3 sin cos sin cos cos sin cos sin x x y y C x x y y + = + bit cos 0,6534; sin 0,5685.x y= = Bài 2: (5 im) Cho a thc 5 4 3 2 ( ) 141P x x ax bx cx dx= + + + + cú giỏ tr l: 18; 11; 0 khi x ln lt nhn giỏ tr l 1; 2; 3 v khi chia P(x) cho ( 5x ) thỡ c s d l 34. a) Xỏc nh cỏc h s , , ,a b c d ca a thc ( )P x . b) Tớnh giỏ tr chớnh xỏc ca P(17), P(25), P(59), P(157). b) x 17 25 59 157 P(x) Bài 3: (5 im) a) Gii phng trỡnh sau vi kt qu nghim cú giỏ tr chớnh xỏc dng phõn s hoc hn s: MTCT9 - Trang 1 A = C a) a = ; b = ; c = ; d = B 1 1 2 1 4 1 3 2 6 1 5 3 8 1 7 4 10 1 9 5 11 6 x x = + − + + + + + + + + b) Tìm các số tự nhiên x, y biết: 12448 1 1 1 10785 6 1 2 1 16 1 2 1 1 1 x y = + + + + + + + Bµi 4: (5 điểm) Tìm các bộ 3 số nguyên dương (x ; y ; z) nghiệm đúng cả hai phương trình sau: 2 2 3 2 2 714 754 z x y y x x y = + + + = Bµi 5: (5 điểm) a) Tính giá trị chính xác dạng phân số tối giản của tổng: 25075943 7427357317 71777741 94569859 A = + b) Tính tổng: 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 1 3 5 29 1 2 2 3 3 4 15 16 B = + + + + + + + + . Nêu quy trình bấm phím để giải. MTCT9 - Trang 2 Sơ lược cách giải: a) A = b) B ≈ Quy trình bấm phím: x = x = y = Bµi 6: (5 điểm) a) Tìm các chữ số hàng đơn vị, hàng chục, hàng trăm và hàng nghìn của số tự nhiên: 2010 2011A = b) Tìm số dư trong phép chia 1111201020112012 cho 2013 Bài 7: (5 điểm) Cho dãy số n u xác định bởi: 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 2 3 4 5 1; 2; 2 3; 2 3 4 ; 2 3 4 5 ; u u u u u= = = + = + + = + + + Tính giá trị của 6 7 11 15 20 2010 ; ; ; ; ;u u u u u u . Kết quả lấy đủ 10 chữ số. Nêu quy trình bấm phím liên tục để tính ( 7) n u n > . Bài 8: (5 điểm) Cho hình “quả trứng” được tạo bởi 4 cung vẽ chắp nối trơn: nửa đường tròn ACB có đường kính AB = 12,24cm; CD là đường kính của đường tròn chứa nửa đường tròn ACB và vuông góc với AB; cung BE có tâm A; cung EF có tâm D; cung FA có tâm B (tâm của cung là tâm của đường tròn chứa cung đó). Tính gần đúng chu vi và diện tích của hình “quả trứng” đó. MTCT9 - Trang 3 a) 6 7 11 15 ; ; ;u u u u≈ ≈ ≈ ≈ 20 2010 ;u u≈ ≈ Quy trình bấm phím: a) Bốn chữ số cuối của A là: Sơ lược cách giải: b) Số dư trong phép chia là: Bài 9: (5 điểm) Theo kết quả điều tra, dân số trung bình nước Việt Nam năm 1980 là 53,722 triệu người, tỉ lệ % tăng dân số trung bình mỗi năm trong các giai đoạn 1980-1990, 1990-2000 và 2000-2010 theo thứ tự là: 2,0822%; 1,6344% và 1,3109%. a) Hỏi dân số trung bình nước Việt Nam ở các năm 1990; 2000; 2010 là bao nhiêu ? Kết quả làm tròn đến chữ số thứ tư sau dấu phẩy. Năm 1980 1990 2000 2010 Dân số TB (Triệu người) 53,722 b) Nếu cứ đà tăng dân số như giai đoạn 2000-2010 thì đến năm 2020 dân số trung bình của nước ta là bao nhiêu ? c) Để kìm hãm đà tăng dân số, người ta đề ra phương án: Kể từ năm 2010, mỗi năm phấn đấu giảm bớt 0,1085% so với tỉ lệ % tăng dân số năm trước (nghĩa là nếu năm nay tỉ lệ tăng dân số là a% thì năm sau là (a − 0,1085)%). Khi đó đến năm 2020 dân số trung bình của nước ta là bao nhiêu ? Nêu sơ lược quy trình bấm phím trên máy tính để giải. Bài 10: (5 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn tâm I biết: ( 4; 1), ( 1; 3), (1; 4)A B D− − − và cạnh CD đi qua điểm (2; 0)E . a) Tính gần đúng số đo (độ, phút, giây) của góc ADC. b) Tính hệ số góc của đường thẳng BC và tọa độ của điểm C. c) Tính diện tích tứ giác ABCD. Cho biết: Công thức tính khoảng cách giữa hai điểm ( ) ( ) ; , ; A A B B A x y B x y là: ( ) ( ) 2 2 B A B A AB x x y y= − + − và công thức tính diện tích của tam giác biết 3 cạnh a, b, c là: MTCT9 - Trang 4 a) Chu vi của hình “quả trứng”: CV cm≈ b) Diện tích của hình “quả trứng”: 2 DT cm≈ + Nếu duy trì tỉ lệ tăng dân số như giai đoạn 2000-2010, thì đến năm 2020, dân số trung bình của nước ta là: + Thực hiện phương án đề ra ở trên, đến năm 2020 dân số trung bình của nước ta là: triệu người. Quy trình bấm phím: ( )( )( )S p p a p b p c= − − − với p là nửa chu vi của tam giác. Một tứ giác lồi có 4 đỉnh ở trên đường tròn (tứ giác nội tiếp) thì hai góc đối bù nhau. + Hệ số góc của đường thẳng y ax b= + là tana α = hoặc tana α = − tùy theo vị trí của đường thẳng như hình bên ( α là góc nhọn). Hết MTCT9 - Trang 5 a) · 0 ' "ADC ≈ Sơ lược cách giải: b) Hệ số góc BC là: a = + Tọa độ điểm C là: C( ; ) c) Diện tích tứ giác ABCD là: ABCD S = Sở Giáo dục và đào tạo kỳ thi chọn hoc sinh giỏi tỉnh Thừa Thiên Huế lớp 9 thCS năm học 2010 - 2011 Môn : MY TNH CM TAY Đáp án và thang điểm: Bài Cách giải Điểm TP Điểm toàn bài 1 62477987922416A = 5 12,6316B . 13,66505C 2 a) Ta cú h phng trỡnh: 4 3 2 5 4 3 2 5 4 3 2 5 (1) 18 141 1 18 (2) 11 2 2 2 2 141 2 11 (3) 0 3 3 3 3 141 3 (5) 34 5 5 5 5 141 5 34 P a b c d P a b c d P a b c d P a b c d = + + + = = + + + = = + + + = = + + + = + Bm mỏy gii h , ta c : 15; 85; 223; 275a b c d= = = = Hay : 5 4 3 2 ( ) 15 85 223 275 141P x x x x x x= + + b) P(17) = 524734; P(25) = 5101734; P(59) = 549860920; P(157) 8,659888175ì10 10 P(157) = 86598881754 5 3 a) Tớnh 2 9818 4 18131 3 6 5 8 7 10 9 11 = + + + + v 1 972 2 1 421 3 1 4 1 5 6 + = + + + Lu kt qu ln lt vo bin A v bin B. Phng trỡnh tr thnh: ( ) ( ) 1 1 1 1 ; 1 1 B A B x A x B x x x A x A B x B B = = = + + + 972 8313 972 8313 8080236 421 18131 1393 18131 1393 25256483 421 x ì ì = = = ì 5 7; 2x y= = MTCT9 - Trang 6 4 Ta có: 2 2 2 2 2 754 754 754x y y x y x+ = ⇔ = − ⇔ = − ( ) 0 ; 27x y< ≤ 0 SHIFT STO A ALPHA A ALPHA = ALPHA A + 1 ALPHA : 3 ( 754 − ALPHA A x 2 ) = = = cho đến khi A = 27, tìm được các cặp số (x ; y) = (5 ; 27), (27 ; 5), (15 ; 23) và (23 ; 15). Tử vào biểu thức 2 2 3 714z x y y x= + + ta được: 24z = khi (x ; y) = (15 ; 23) hoặc (x ; y) = (23 ; 15) . Vậy: (x ; y ; z) = (15 ; 23 ; 24) hoặc (x ; y ; z) = (23 ; 15 ; 24) 1,5 1,5 2,0 5 6 a) 2010 2011A = có bốn chữ số cuối là: 4601 Ta có: ( ) ( ) 2 4 2 2011 4121 mod 10000 ; 2011 4121 2641 mod 10000≡ ≡ ≡ ( ) ( ) 8 2 10 2011 2641 4881 mod 10000 ;2011 4121 4881 4601 mod 10000≡ ≡ ≡ × ≡ ( ) ( ) 20 2 40 2011 4601 9201 mod 10000 ; 2011 8401 mod 10000≡ ≡ ≡ ( ) ( ) 80 100 2011 6801 mod 10000 ; 2011 6001 mod10000 ;≡ ≡ ( ) ( ) 200 1000 2011 2001 mod10000 ; ; 2011 1 mod10000 ;≡ ≡ ( ) ( ) ( ) 2 2010 10 1000 2011 2011 2011 4601 1 mod 10000 4601 mod10000= × ≡ × ≡ Vậy: 2010 2011A = có bốn chứ số cuối là: 4601 b) Số dư trong phép chia 1111201020112012 cho 2013: Ta có: 8 1111201020112012 11112010 10 20112012= × + 8 8 11112010 250 (mod 2013) 11112010 10 250 10 (mod 2013)≡ ⇒ × ≡ × 20112012 129 (mod 2013);≡ nên: 8 4 1111201020112012 250 10 129 2500000 10 129 (mod 2013);≡ × + = × + 4 4 2500000 1876 (mod 2013) 2500000 10 1876 10 (mod 2013);≡ ⇒ × ≡ × Suy ra: 1111201020112012 18670129 (mod2013) 1567(mod 2013)≡ ≡ ≡ Vậy: 1111201020112012 1567(mod 2013)≡ 3,0 2,0 5 MTCT9 - Trang 7 7 Ta có thể tính trực tiếp 3 4 6 ; ; ;u u u : Để tính 7 u ta bấm máy: SHIFT 3 ( 2 + SHIFT 3 ( 3 + SHIFT 3 ( 4 + SHIFT 3 ( 5 + SHIFT 3 ( 6 ) ) ) ) = Cho kết quả: 6 1,544955503u ≈ Tính 7 u : Bấm máy theo quy trình: SHIFT 3 7 8 SHIFT STO A ALPHA D ALPHA = ALPHA D − 1 ALPHA : ALPHA A ALPHA = SHIFT 3 ( ALPHAD − 1 + ALPHA A ) Bấm = liên tục cho đến khi D = 3 bấm tiếp = Cho kết quả là: 7 1,544982421u ≈ Tương tự ta có: 11 15 20 1,544984701u u u= = ≈ . Suy ra: 2010 1,1,544984701u ≈ 2,0 2,0 1,0 5 8 Gọi R = 6,12cm là bán kính của nửa đường tròn ACB. Độ dài nửa đường tròn ACB là: 1 1 2 2 l R R π π = × = Độ dài cung tròn BE là: 0 2 0 2 2 45 360 2 R R l π π × × = = Độ dài cung tròn EF là: ( ) ( ) 0 3 0 2 2 2 90 2 2 360 2 R R R l π π − × − = = Chu vi của hình “quả trứng” là: ( ) ( ) 1 2 3 2 2 6 2 2 44,08442 2 2 R R CV l l l R R cm π π π π − − = + + = + + = ≈ + Diện tích nửa hình tròn ACB: 2 1 1 2 S R π = × Diện tích hình quạt ABE là: ( ) 2 0 2 2 0 2 45 360 2 R R S π π × = = Diện tích tam giác cong DFA: 2 2 3 2 2 ABD R S S S R π ∆ = − = − Diện tích hình quạt DEF: ( ) ( ) ( ) 2 2 0 2 2 4 0 2 2 90 2 2 1 3 2 2 360 4 2 R R R R S π π π − × − − = = = Vậy: Diện tích hình “quả trứng” là: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 3 2 2 6 2 2 3 149,13949 2 2 2 R R R S R R cm π π π − − = − + = − ≈ 1,0 1,0 1,0 2,0 5 MTCT9 - Trang 8 9 a) Năm 1990 2000 2010 Dân số TB (triệu người) 66,0165 77,6354 88,4344 b) Nếu duy trì đà tăng dân số như giai đoạn 2000-2010 thì đến năm 2020 dân số TB của nước ta là: 100,7356 triệu người. c) Công thức tính như sau: gọi 0,1085 100 x = 88,4344(1,013109 )(1,013109 2 ) ((1,013109 10 )x x x− − − Quy trình bấm phím: 88.4344 SHIFT STO A; 0.1085 ÷ 100 SHIFT STO B; 0 SHIFT STO D ALPHA D ALPHA = ALPHA D + 1 ALPHA : ALPHA A ALPHA = ALPHA A ( 1.013109 − ALPHA D ALPHA B ) Bấm = liên tục cho đến khi D = 1, bấm tiếp = ta được kết quả: Đến năm 2020 dân số TB của nước ta là: 94,9523 triệu người. 2,0 2,0 1,0 5 10 a) ( ) ( ) ( ) 4;1 , 1;3 ; 1;4 ; (2; 0)A B D E− − · 1 1 0 5 1 tan tan 73 4'21" 3 4 ADC − − = + ≈ ÷ ÷ Lưu kết quả vào biến A Tứ giác ABCD nội tiếp nên : · · 0 0 1 1 5 1 180 180 tan tan 3 4 ABC ADC − − = − = − − ÷ ÷ Lưu kết quả vào biến B b) Góc hợp bởi đường thẳng BC với trục hoành là: · 0 1 1 1 1 4 5 1 4 180 tan tan tan tan 3 3 4 3 ABC − − − − − − = + − ÷ ÷ ÷ ÷ Do đó hệ số góc của BC là : 1 1 1 5 1 4 41 tan tan tan tan 3 4 3 113 a − − − = + − = ÷ ÷ ÷ + Đường thẳng BC là đồ thị của hàm số: y ax b= + , AB đi qua điểm ( 1; 3)B − − nên 298 3 113 b a= − = − . Đường thẳng BC có phương trình: 41 298 113 113 y x= − + Phương trình đường thẳng DC: 4y x b= − + và DC đi qua E(2 ; 0) nên: b = 8, nên DC: 4 8y x= − + + Hoành độ giao điểm C của BC và CD là nghiệm của phương trình: 41 298 493 1202 1202 4 8 113 113 113 113 493 x x x x− = − + ⇔ = ⇔ = ; 864 493 y = − 1202 864 ; 493 493 C − ÷ 1,0 1,0 1,0 5 MTCT9 - Trang 9 c) Diện tích tam giác ABD: 29 2 ABD S = Diện tích tam giác CBD: 10635 986 CBD S = Diện tích của tứ giác ABCD: 29 10635 12466 25,286 2 986 493 ABCD S = + = ≈ (đvdt) 1,0 1,0 MTCT9 - Trang 10 . trình: 41 298 493 1202 1202 4 8 113 113 113 113 493 x x x x− = − + ⇔ = ⇔ = ; 864 493 y = − 1202 864 ; 493 493 C − ÷ 1,0 1,0 1,0 5 MTCT9 - Trang 9 c) Diện tích tam giác ABD: 29 2 ABD S. năm 199 0; 2000; 2010 là bao nhiêu ? Kết quả làm tròn đến chữ số thứ tư sau dấu phẩy. Năm 198 0 199 0 2000 2010 Dân số TB (Triệu người) 53,722 b) Nếu cứ đà tăng dân số như giai đoạn 2000 -2010. P(17) = 524734; P(25) = 5101734; P( 59) = 5 498 6 092 0; P(157) 8,6 598 88175ì10 10 P(157) = 86 598 881754 5 3 a) Tớnh 2 98 18 4 18131 3 6 5 8 7 10 9 11 = + + + + v 1 97 2 2 1 421 3 1 4 1 5 6 + = + + +