KỲ THI TUYỂN CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC: 2009 - 2010 Môn: Toán Phần thi: Tự luận Ngày thi: 11/01/2010 Thời gian: 60 phút ( không kể thời gian giao đề) ĐỀ: Câu 1(1.5 điểm) : Tính 8 2 15 8 2 15− − + Câu 2(2 .5 điểm) : Cho 2 9 2 1 3 ( 0, 4, 9) 5 6 3 2 x x x A x x x x x x x − + + = + + ≥ ≠ ≠ − + − − a) Chứng tỏ 1 3 x A x + = − b) Tìm các giá trị của x nguyên để A là số nguyên. Câu 3(1.5 điểm ) : Biết a + b + c = 0.Chứng minh 3 3 3 3a b c abc+ + = Câu 4(1.5 điểm) :Chứng minh 1 2 3 4 96 97 98 99 1 3 3 3 3 3 3 3 3S = + + + + + + + + + chia hết cho 40. Câu 5(3.0 điểm) :Cho hai đường tròn (O,R) và (I,r)có R> r tiếp xúc ngoài với nhau tại A .Một cát tuyến bất kì BAD qua A cắt (O) tại B và (I) tại D. a)Chứng minh rằng OB và ID song song. b)Gọi C là điêm đối xứng với B qua tâm O.Chứng minh rằng CD đi qua điểm cố định S khi cát tuyến BADquay quanh A. c)Tính SO và SI Hết ĐỀ CHÍNH THỨC HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 9 Câu Đáp án Điểm Câu 1 1.5đ 2 2 5 2 15 3 5 2 15 3 ( 5 3) ( 5 3) 5 3 5 3 2 3 = − + − + + = − − + = − − − = − 0.5 0.5 0.5 Câu 2 a 1.5đ 2 9 2 1 3 ( 3)( 2) 3 2 2 9 (2 1)( 2) ( 3)( 3) ( 3)( 2) 2 9 2 4 2 9 ( 3)( 2) 2 ( 3)( 2) 2 2 ( 3)( 2) ( 2)( 1) ( 3)( 2) 1 3 x x x A x x x x x x x x x A x x x x x x x A x x x x A x x x x x A x x x x A x x x A x − + + = + − − − − − − + + − − + − = − − − + − + − − + = − − − − = − − − + − = − − − + = − − + = − 0.5 0.5 0.5 b 1.0đ 1 3 4 4 1 3 3 3 x x A x x x + − + = = = + − − − A là số nguyên khi 3x − là ước của 4,do vậy: 3 1 16 3 1 4 3 2 25 3 2 1 3 4 49 x x x x x x x x x x − = ⇔ = − = − ⇔ = − = ⇔ = − = − ⇔ = − = ⇔ = 3x − =- 4 vô nghiệm Vậy x { } 1;4;16;25;49∈ thì A là số nguyên. (tìm đúng mỗi giá trị x được 0.2) Câu 3 1.5đ a+b+c= 0 suy ra a=-b-c = -(b+c) 0.5 0.5 3 3 2 2 3 3 2 2 3 3 3 3 3 3 3 ( 3 3 ) 3 3 3 ( ) 3 a b b c bc c b b c bc c a b c bc b c a b c abc = − + + + = − − − − + + = − − + + = 0.5 Câu 4 1.5đ 1 2 3 4 5 6 7 96 97 98 99 1 2 3 4 1 2 3 96 1 2 3 1 2 3 4 8 96 4 8 96 (1 3 3 3 ) (3 3 3 3 ) (3 3 3 3 ) (1 3 3 3 ) 3 (1 3 3 3 ) 3 (1 3 3 3 ) (1 3 3 3 )(1 3 3 3 ) 40.(1 3 3 3 ) S S S S = + + + + + + + + + + + + = + + + + + + + + + + + + = + + + + + + + = + + + + S chia hết cho 40. 0.5 0.5 0.5 Câu5 3đ 2 1 O A I S C B D 0.5 a OAB cân tại O ⇒ µ µ 1 A B= ,tương tự ¶ ¶ 2 A ADI= Nhưng µ ¶ 1 2 A A= (đối đỉnh) suy ra · · OBA IDA= nên OB//ID 0.5 b Vì C là điểm đối xứng với B qua tâm O nên ta có : OC//ID.Vì R>r suy ra CD cắt đường thẳng OI tại một điểm S.Ta có : SI ID r SO OC R = = .Do đó S cố định khi cát tuyến BAD quay quanh A. 1.0 c ( ) ( ) ; SI r SO SI R r R r R r SO R SO R SO R R R r r R r SO SI R r R r − − + − = ⇒ = ⇒ = + + ⇒ = = − − 1.0 • Học sinh làm cách khác mà đúng vẫn cho điểm tối đa ứng với từng nội dung .Đối với câu 5 học sinh chưa hoàn chỉnhđối với từng ý thì không cho điểm . . abc = − + + + = − − − − + + = − − + + = 0.5 Câu 4 1.5đ 1 2 3 4 5 6 7 96 97 98 99 1 2 3 4 1 2 3 96 1 2 3 1 2 3 4 8 96 4 8 96 (1 3 3 3 ) (3 3 3 3 ) (3 3 3 3 ) (1 3 3 3 ) 3 (1 3 3 3 ) 3 (1 3 3 3. KỲ THI TUYỂN CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC: 20 09 - 2010 Môn: Toán Phần thi: Tự luận Ngày thi: 11/01/2010 Thời gian: 60 phút ( không kể thời gian giao đề) ĐỀ: Câu 1(1.5 điểm). Biết a + b + c = 0.Chứng minh 3 3 3 3a b c abc+ + = Câu 4(1.5 điểm) :Chứng minh 1 2 3 4 96 97 98 99 1 3 3 3 3 3 3 3 3S = + + + + + + + + + chia hết cho 40. Câu 5(3.0 điểm) :Cho hai đường tròn