1. Ph ng trỡnh b c I, II, II, b c cao v quy v b c I, II, III, b c cao. 1.1 Phng trỡnh bc I VD1: Gii phng trỡnh 532 1115 ) 34 73 )( 23 61 () 53 32 ( = + + xx ( thi chn HSG TP HCM nm 2004) S: x = 1, 4492. VD2: 1 1 1 4 3 2 1 2 3 1 5 3 1 4 5 1 7 4 2 6 7 8 9 x = + + + + + + + + + + S: 301 16714 x = VD3: Gii phng trỡnh 5 6 7 2 5 3 15 + + + a = 1342 5685 S: a=9 VD4: Tìm giá trị gần đúng của x và y (chính xác đến 9 chữ số thập phân): 1) 8 5 6 4 7 5 3 12 9 5 7 4 5 3 2 28 + + + = + + + x x 2) 5 3 3 3 3 2 1 3 3 2 6 4 2 2 9 7 7 5 3 4 + + + = + + + + + yy S: x 13,86687956 y 0,91335986 VD5: Tỡm x bit : HD: 3 8 3 8 3 8 3 8 3 8 3 8 3 8 3 8 3 8 1 1 x 381978 382007 381978 ữ 382007 = 0.999924085 n liờn tip 1 x ì 3 - 8 v n 9 l n phớm = . Ta n tip: x Ans + = 1 1 ti p tc n Ans 1 x - 1 = KQ : x = - 1.11963298 **************************************************************** Copyright: Nguyn Xuõn Cnh 1 1.2 Phương trình bậc II. VD1: TÝnh gÇn ®óng víi 5 ch÷ sè thËp ph©n cña tæng lËp ph¬ng c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: 1,23785x 2 + 4,35816x – 6,98753 = 0 x 1 3 + x 2 3 ≈ -103,26484 VD2: Giải pt: 032log7)3 7 2 sin( 7 3 3722 3 =−−−+ Π + xx VD3: Giải pt: −≈ ≈ ⇒=−− Π 498,0 626,5 0254log725 5 sin 2 1 8,4 4 73,22 x x xex (Trích đề thi KV BTTHPT 2006) 1.3 Phương trình bậc III. VD: 385x 3 +261x 2 -157x-105=0 ĐS: -5/7; -3/5; 7/11 1.4 Phương trình bâc cao. VD: 72x 4 +84x 3 +-46x 2 -13x+3=0 ĐS: -3/2; -1/3; 1/6; 1/2 1.5 Quy về phương trình bậc I, II, III. VD1: Giải phương trình: Π=− xx 22 cossin 55 VD2: Giải phương trình: 023433323932 7 3 53 =−−++− x VD3: Giải phương trình: 0335)13(log)132()13(log3 2 2 2 =+−++−+ xx 1.6 Phương trình vô tỉ. VD1: Giải phương trình: xx +−+=++ 114030713030711140307130307 (trích đề thi KV THCS 2007) ĐS: -0,99999338 VD2: Giải phương trình: 1133200726612178381643133200726614178408256 =+−+++−+ xxxx (trích đề thi KV THCS 2007) ĐS: x 1 =175744242; x 2 =175717629 VD3: 1) Giải phương trình: xbaxba −−+=−+ 111 theo a, b (trích đề thi KV THCS 2004) ĐS: x= 2 2 4 144 b ab +− 2) Tính với a = 250204; b=260204 ĐS: 0,999996304 2. Giải phương trình dùng SHIFT SOLVE VD1: Tìm 1 nghiệm pt: x 9 -2x 7 +x 4 +5x 3 +x-12=0 HD: Nhập công thức: Shifs Solve; X? nhập 1để dò; Shift Solve ĐS: 1,26857 (45,85566667) VD2: Tìm 1 nghiệm pt: x 60 +x 20 -x 12 +8x 9 +4x-15=0 ĐS: Dò với x = 1: 1,011458; Dò với x = 10: -1.05918 3. Giải phương trình bằng phương pháp lặp GPT: f(x) = 0 đưa về x = g(x) - hội tụ. - Lấy mốc x 0 tính x 1 = g(x 0 ); x 2 = g(x 1 ); …. **************************************************************** Copyright: Nguyễn Xuân Cảnh 2 * Dạng 1: 1) x - 88 11 xxx +=⇒= 2) x – lnx = 0 ⇒ x= e -x . 3) cos x – tg x = 0 ⇒ x = arctg(cosx) 4) 2 x + 3 x + 5 x = 7 x ⇒ x = 7lg )532lg( xxx ++ 5) 1 3 1 − =+ x x ⇒ 1 1 3 + + = x x ĐS: x ≈ 2,584543981 * Dạng 2: Tìm giới hạn. 1) x = sin(a- sin(a -…… sin a)), (n - lần) VD: a = 2, 1/3, 5/5, …. 2) )1(; 1 1 > += = + n u c buu au n nn VD: Cho ≥ + − + = = + )1(; 1 3 5 2 3 ;2 1 1 n U U U U n n n T×m gÇn ®óng ®Õn 9 ch÷ sè thËp ph©n giíi h¹n cña d·y sè. ĐS: * Dạng 3: a x = bx + c sin x Có 2 nghiệm + = + = − c bya y a xcbx x y sin ln )sinln( VD: 2 x =x+2sinx * Dạng 4: a x = bx + c cos x Có 2 nghiệm + = + = − c bya y a xcbx x y cos ln )cosln( VD: 3 x =x+2cosx * Dạng 5: a x = bx + c VD: 1) 3 x = 4x +5 ĐS: ⇒ − = + = 4 53 3ln )54ln( x x x x ≈ ≈ 81750117,1 453653788,2 x x 2) 3 x –x – 5 = 0 **************************************************************** Copyright: Nguyễn Xuân Cảnh 3 * Dạng 6: x x =a ⇒ x = )0(; ln ln >a x a 4. Phương trình lượng giác VD1: Tất cả các nghiệm gần đúng với 5 chữ số thập phân( tính bằng radian) của phương trình : xxx sin52cos42sin3 =+ là: x 1 ≈ -0,92730 + k π 2 x 2 ≈ 0,73810+k 3 2 π VD2: Tìm các nghiệm gần đúng (bằng radian) của pt: 4,3sin 2 x –sin2x -3,5cos 2 x=1,2; x ∈ (0; Π ) (trích thi chọn HSG TPHCM 2006) ĐS: 1,0109; 2,3817 VD3: Tìm nghiệm gần đúng theo (độ, phút, giây) của pt: Sinx cosx + 3(sinx-cosx)m=2 (Trích đề thi KV THPT 2007) ĐS: 00 2 00 1 360"27'5202;360"33'5467 kxkx +≈+≈ VD4: Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình: sin ))2(sin( 22 xxx +Π=Π (Trích đề thi KV THPT 2004) ĐS: x=1; x= 2 13 − ; x ≈ 0,3660 VD5: Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình: cos )12(cos 22 ++Π=Π xxx (Trích đề thi KV THPT 2006) ĐS: x=0,5; x ≈ 0,3660 VD6: Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình: sin ))2(cos( 233 xxx +Π=Π (Trích đề thi HSG 12 Thừa Thiên Huế 2006) ĐS: x ≈ 0,4196433776 5. Phương trình, hệ phương trình mũ và logarit. 5.1 Phương trình, hệ phương trình mũ. VD1: Giải phương trình: 14)487()487( =−++ xx VD2: Giải phương trình: xxx 2)32()32( =−++ VD3: Giải hệ phương trình: =+ =+ 19169 543 yx yx (Trích đề thi KV THPT 2007) ĐS: ≈ −≈ −≈ ≈ 0526,1 3283,0 ; 2602,0 3283,1 1 2 1 1 y x y x VD4: Giải phương trình: )1(2212 33.6133 +++ +−+= xxxx HD: Đặt 3 x = t 2 336 log 3 + =⇒ x 5.2 Phương trình, hệ phương trình logarit. VD1: Giải phương trình: x x x lg5 3 5lg 10 + + = HD: Logarit hóa, đưa về phương trình bậc 2. **************************************************************** Copyright: Nguyễn Xuân Cảnh 4 VD2: Giải hệ: ≈ ≈ ⇒ +=+ +=+ 8188,4 4094,2 loglog12log loglog3log 232 222 y x yyxx xyyx VD3: Giải hệ: ≈ ≈ ⇒ +=+ +=+ 9217,0 4608,0 log2log72log log3loglog 222 222 y x yyxx xyyx (Trích đề thi KV THPT 2007) 5.2 Phương trình, hệ phương trình mũ và logarit. VD1: Gi¶i hÖ = =+ 14.Log5y 2 71 -5.4x 513Log5y4x ĐS: x ≈ 1,78483; y ≈ 2166,10066 VD2: Giải hệ: ++=+ += )2(633 )1()(239 22 3log)(log 22 yxyx xy xy HD: (1) 230323.233 2 )(log)(log2 22 =⇔=⇔=−−⇔+= xyttt xyxy = ± = ⇔ 2 175 2 175 y x 6. Hệ phương trình bậc nhất 2, 3 ẩn. VD1: Giải hệ =−+−+ =−−−+ 0485 0662 22 22 yxyx yxyx (4,33085; 0,78518) (-1,13085; -0,38518) VD2: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh. =−− =+− =−+ 253,3log.13,23.32,321.3 5 2 3log. 3 2 3. 3 1 5 2 3 2 log.53.23 5 2 5 2 5 2 zx zx zx y y y ⇒ ≈ ≈ ±≈ 7736364,145 280169373,0 115296646,2 z y x 7. Tích phân, đạo hàm. VD1: Cho 2cos333lg52 2 52)( −+−+ += xxxx xf 1) Tính giá trị của hàm số tại điểm có hoành độ 7 Π =x 2) Gọi y = ax 2 +bx+c đi qua điểm A(1; -2) và tiếp xúc với )(xf tại điểm có hoành độ 7 Π =x . Tìm giá trị a, b, c. ≈ Π ) 7 (f 8,267035509 a ≈ -67,68964813 b ≈ 79,44202941 c ≈ -13,75238128 VD2: Cho 125lg3 23 23)( −+−+ += Cosxxxx xf . **************************************************************** Copyright: Nguyễn Xuân Cảnh 5 1) Tính giá trị của hàm số tại điểm có hoành độ x= 5 Π chính xác đến 5 chữ số thập phân. ĐS: 51701,1) 5 ( ≈ ∏ f 2) Gọi y=Ax 2 +Bx+C đi qua điểm M(1;2) và tiếp xúc với )(xf tại điểm có hoành độ x= 5 Π . Hãy tìm các giá trị của A, B, C chính xác đến 5 chữ số thập phân. ≈+ ∏ + ∏ ≈+ ∏ =++ ⇔ ∏ =+ ∏ + ∏ ∏ =+ ∏ =++ 51701,1 525 03091,2 5 2 2 ) 5 ( 525 ) 5 (' 5 2 2 22 CBA BA CBA fCBA fBA CBA −≈ ≈ −≈ 53595,0 50386,4 96791,1 C B A 8. Hàm số. 8.1 Hàm số: Một số dạng thường gặp: Cho nmx cbxax dcxbxaxxf + ++ =+++= 2 23 )( =… 1) Đi qua 3 điểm A, B, C. Tìm các hệ số của f(x). 2) Tìm tọa độ cực trị của f(x). 3) Viết phương trình đường thẳng đi qua cực trị của f(x). 4) Tính khoảng cách giữa cực đại và cực tiểu. 5) Cho y = Q(x) =kx+p = kx 2 +px+q =…. tiếp xúc với f(x) tại x = x 0 . Tìm các hệ số của Q(x). 6) Viết phương trình tiếp tuyến của f(x) tại x=x 0 . 7) Tìm các hệ số của Q(x) tiếp xúc với đồ thị và đi qua điểm A, B. 8) Tìm tọa độ giao điểm của f(x) và g(x). **************************************************************** Copyright: Nguyễn Xuân Cảnh 6 VD1: Tính gần đúng giá trị của a, b nếu y =ax + b là tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = 124 1 2 ++ + xx x tại tiếp điểm có hoành độ x = 1 + 2 (trích đề thi KV THPT 2004) ĐS: 743600694,0;046037833,0 ≈−≈ ba VD2: Tính khoảng cách gần đúng giữa các điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số y = 23 15 2 − ++ x xx (trích đề thi KV THPT 2004) ĐS: d ≈ 5,254040186 VD3: Cho y = 1cos cossin + + xc xbxa đi qua A(1; 3/2); B(-1; 0); C(-2; -2). Tính gần đúng a, b, c. (Trích đề thi KV THPT 2004) ĐS: 386709636,0;678144016,1;077523881,1 ≈≈≈ cbx VD4: Tìm gần đúng giá trị CĐ, CT của hs: 54 172 )( 2 2 ++ +− = xx xx xf (Trích đề thi KV THPT 2007) ĐS: 4035,25;4035,0 =−≈ CTCĐ ff VD5: Cho hs: = . 2 23 2 − ++ x xx Tìm tích khoảng cách từ một điểm tùy ý trên đồ thị đến 2 đường tiệm cận với độ chính xác cao nhất. (Trích đề thi HSG Phú Thọ 2004) ĐS: 3639961031,6 2 9 21 ==dd VD6: Cho y= 13 352 2 2 +− +− xx xx (Trích đề thi chọn HSG 12 Thừa Thiên Huế 2006) 1. Xác định CĐ, CT và khoẳng cách giữa các điểm CĐ và CT hàm số. ĐS: 41943026,3; 120046189,3 1277118491,0 ; 90291370977,0 204634926,1 2 2 1 1 = = −= −= = d y x y x 2. Xác định tọa độ điểm uốn của đồ thị ; 728237897,2 4623555914,0 ; 854213065,1 2772043294,0 ; 10539121449,0 800535877,1 3 3 2 2 1 1 = −= = = = = y x y x y x 8.2 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số lượng giác. Dạng 1: 1) f(x) = a cos2x + bcosx + c 2) f(x) = a cos2x + bsinx + c 3) f(x) = a sin2x + b(sinx+cosx) + c 4) f(x) = m(sin 3 x + cos 3 x) +nsin2x + p 5) f(x) = m(sin 3 x ± cos 3 x) +nsinxcosx + p Dạng 2: 1) f(x) = ax + bsinx + c; )2;0( Π∈ x **************************************************************** Copyright: Nguyễn Xuân Cảnh 7 2) f(x) = ax + bcosx + c; )2;0( Π∈ x Dạng 3: pxnxm cxbxa xf ++ ++ = cossin cossin )( VD: 1) f(x) = sin 3 x + cos 3 x - sin2x 2) f(x) = sinxcosx + sinx – cosx + 1 3) f(x) = 4cos2x + 5cosx + 3 4) f(x) = 2x + 3cosx; )2;0( Π∈ x 5) f(x) = 2cos 1cos3sin2 + −+ x xx (trích đề thi KV THPT 2004) ĐS: -4,270083225; 0,936749892 Dạng 4: Tính f’(x) VD: Tìm Max, Min: f(x) = 2332 2 +−++ xxx ĐS: Max 8769,1;6098,10 ≈≈ Min 8.3 Tìm độ dài cung, diện tích, thể tích. **************************************************************** Copyright: Nguyễn Xuân Cảnh 8 **************************************************************** Copyright: Nguyễn Xuân Cảnh 9 9. Phương trình hàm. VD1: Cho f(x) = 3x-1; g(x) = x 2 (x ≠ 0) (trích đề thi KV THPT 2005) a) Tính f(g(x)), g(f(x)) tại x = 3 . f(g(x)) ≈ 2,4641 g(f(x)) ≈ 0,4766 b) Tìm x thoả mãn f(g(x)) = g(f(x)). x ≈ 0,3782; 5,2885 VD2: Cho = −=−+−+− 32)2( )(4)()()()( 22 f yxxyyxfyxyxfyx 1) Lập công thức tính )(xf 2) Tính )10(f 1) Đặt − = + = ⇔ =− =+ 2 2 vu y vu x vyx uyx 3 33 33 22 )( )()( ])([])([ )()(.)(. xkxxf k v vvf u uuf vvfuuufv uvvuvfuufv −=⇒ = − = − ⇔ −=−⇔ −=−⇔ Thay 4332)2( −=⇒= kf 679492,1022)10()2 )43()( 3 −=⇒ −−=⇒ f xxxf **************************************************************** Copyright: Nguyễn Xuân Cảnh 10