HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu về hệ phương trình Trang 1 HỆ PHƯƠNG TRÌNH (Phần I) 1.    22 2 2 2 2 xy y x xy xy           2.     22 ln 1 ln 1 12 20 0 x y x y x xy y              3. 3 3 2 22 22 2 2 6 3 9 2 0 11 log log 2 0 45 2 4 3 x y y x y xx yy yy                      4. 21 21 2 2 3 1 2 2 3 1 y x x x x y y y                  5.     22 2 2 32 1 1 3log 2 6 2log 2 1 yx x e y x y x y                6. 2 8 16 yx xy xy x y x y             7. 3 22 15 4 4 12 x y x y x xy y xy                 8.     2 3 4 6 2 22 2 1 1 x y y x x x y x             9. 2 3 2 3 1 6 1 1 6 1 x y y y x x                10. 42 22 698 81 3 4 4 0 xy x y xy x y             11.     3 3 2 3 1 23 xy xy        12.     2 1 2 2 1 32 1 4 .5 1 2 4 1 ln 2 0 x y x y x y y x y x                   13. 7 2 5 22 x y x y x y x y              14. 22 3 2 16 2 4 33 xy x y x y x y           15.       22 22 2 5 4 6 2 0 1 23 2 x y x y x y xy xy                16. 22 22 3 4 1 3 2 9 8 3 x y x y x y x y              17. 8 5 x x x y y y xy          18. 22 5 52 2 2 x xy y yx x y xy             19.     22 22 23 10 y x y x x x y y        20. 65 62 9 x x y x y x x y xy            21. 33 42 55 1 x y y x xy          22. 2 4 4 32 3 32 6 24 x x y x x y               23.    22 2 1 1 3 4 1 1 x y x y x x xy x x               24. 22 2 2 2 6 15 y xy x x y x        Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu về hệ phương trình Trang 2 25.    2 22 5 4 4 5 4 16 8 16 0 y x x y x xy x y               26.       2 2 14 12 x y x y y x x y y              27.    33 22 2 9 2 3 3 x y x y xy x xy y             28.     22 2 3 4 4 7 1 23 xy y x xy x xy               29. 5 2 3 4 42 5 32 42 y yx x yx                   30. 2 3 2 2 2 3 2 29 2 29 xy x x y xx xy y y x yy                31. 3 3 34 2 6 2 y x x x y y             32. 2 21 2 log 3log 2 xy x y e e xy            33.     32 32 12 12 x x x y y y y x              34.     22 2 1 1 1 35 0 12 1 x x y y y y x                 35.   2 42 39 4 2 3 48 48 155 0 xy y x y y x             36. 22 53 1 125 125 6 15 0 xy yy          37. 32 32 2000 0 500 0 x xy y y yx x            38. 2 2 2 23 20 2 4 3 0 x y x y x x y             39.     22 1 1 2 12 1 2 1 2 2 1 2 1 2 9 xy xy x x y y               40.     3 3 2 2 2 1 0 2 2 2 1 1 x x y y xy               41. 33 22 9 2 4 0 xy x y x y           42.   33 22 82 3 3 1 x x y y xy            43. 22 2 2 3 4 9 7 6 2 9 x y xy x y y x x            44. 4 3 2 2 32 1 1 x x y x y x y x xy            45. 4 2 2 22 4 6 9 0 2 22 0 x x y y x y x y               46. 3 3 3 22 8 27 18 46 x y y x y x y        47. 22 22 3 1 1 4 x y xy xy             48.   21 1 x y x y xy e e x e x y              Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu về hệ phương trình Trang 3 49.   12 2 1 4 .5 1 3 1 3 1 2 x y x y x y x y y y x                  50. 2 6 2 2 3 2 x y x y y x x y x y               51. 2 22 1 22 22 xx y y y x y             52. 22 22 12 12 y x y x y x y           53. 2 53 x y x y y xy           54.   22 2 2 14 2 7 2 x y xy y y x y x y              55. 22 33 21 22 yx x y y x          56. 2 2 2 2 x x y y y x        57.     2 22 4 1 3 5 2 0 4 2 3 4 7 x x y y x y x               58. 22 2 2 3 4 9 7 6 2 9 x y xy x y y x x            59. 3 3 2 44 8 4 1 2 8 2 0 x y xy x y x y             60. 22 3 3 3 6 1 19 y xy x x y x          61.     3 2 2 1 2 1 2 3 2 4 2 2 4 6 x x y y xy                62. 22 2 1 2 1 x y xy y y xy x              63.   4 3 3 2 2 22 99 7 x x y y y x x y x x y x            64. 33 22 35 2 3 4 9 xy x y x y          65.   22 12 2 1 1 3 3 yx xy x y x x               66. 12 12 3 12 16 3 x yx y yx                  67. 22 22 3 3 3 0 xy x xy yx y xy              68. 4 2 4 33 4 2 5 22 xy x xy xx yx             69.   11 10 22 12 4 4 2 3 6 3 2 2 . 5 2 8 x xy y y y x y x x x              70.   22 2 1 5 57 4 3 3 1 25 xy x x y x              71. 2 4 4 2 2 6 2 2 2 2 6 2 2 8 2 x x y x x y               72. 2 2 2 23 20 2 4 3 0 x y x y x x y             Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu về hệ phương trình Trang 4 73.     44 3 3 2 2 240 2 3 4 4 8 xy x y x y x y            74. 3 3 2 2 3 4 2 1 2 1 y y x x x x y y                75.       32 32 2 2 1 1 4 1 ln 2 0 x x y x y y x y x                76. 3 2 2 23 3 22 2 2 1 14 2 x y x y xy x y y x               77.    22 1 1 1 1 1 2 x y y x xy             78. 4 3 2 2 2 2 2 9 2 6 6 x x y x y x x xy x             79.    22 22 7 2 1 2 1 2 7 6 14 0 xy xy x y xy x y               80. 2 cos cos 3 18 0 x y x y x y y          81. 22 4 2 2 2 4 2 2 2 18 208 x y y xy x xy x y y x y x x y              82. 1 21 xy y y xy y y             83. 32 32 4 3 7 67 x xy y y x y        84. 32 22 3 49 8 8 17 x xy x xy y x y             85. 32 22 2 12 0 8 12 x xy y yx          86. 32 2 3 6 0 3 y y x x y x xy           87. 3 3 2 44 1 44 x y xy x y x y            88. 3 3 3 22 27 125 9 45 75 6 x y y x y x y        89. 44 3 2 2 2 22 xy x x x y          90. 2 4 2 2 2 20 4 3 0 x xy x y x x y x y              91. 2 2 2 2 23 2 5 3 4 5 3 x y x xy y xy x xy x xy x                 92. 22 2 2 1 xy xy xy x y x y             93.   2 5 3 2 4 3 1 5 4 0 xy y xy y y xy x                 94.   2 3 2 42 5 4 5 12 4 x y x y xy xy x y xy x                   95.   2 31 89 y x y x y x y              96.       2 2 3 2 22 5 4 3 2 0 2 x y xy y x y xy x y x y               97.     92 4 2 4 2 41 x y x y x x y y y               98.   2 2 22 4 3 1 3 2 x y x x y y y x y x y                 99.       22 2 2 1 3 1 2 3 0 x x y y y x x y x y               100. 2 2 2 71 10 1 xy x y x y y        Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu về hệ phương trình Trang 5 CÁC BÀI GIẢI Bài 1. Ta có:        22 22 22 2 2 2 2 22 2 xy xy xy y x xy y x xy x y xy                     2 2 2 2 3 3 3 3 22 2 2 2 2 x y x y x y x y y x x y                 Xét hàm số   3 2 t f t t trên . Ta có:   2 ' 2 .ln2 3 0 t f t t t     nên   ft là hàm đồng biến trên . Vậy 33 22 xy x y x y     . Lúc này, hệ trở thành: 22 1 1 2 xy xy xy xy              Vậy hệ có các nghiệm là       ; 1;1 , 1; 1xy   Bài 2: Điều kiện ,1xy . Ta có:            22 2 10 0 ln 1 ln 1 ln 1 ln 1 12 20 0 x y x y x y x y x y x y x xy y                              2 10 ln 1 ln 1 x y x y x x y y             Dễ thấy rằng ,xy cùng dấu. Xét hàm số     ln 1f t t t   trên   1;  . Đạo hàm:   1 '1 11 t ft tt      . Ta có:   ' 0 0f t t   . Vậy hàm số đồng biến trên   1;0 và nghịch biến trên   0; . +) Nếu ,xy cùng âm (tức là cùng thuộc   1;0 ) thì theo tính chất của hàm số   ft , ta có: xy . Thay vào hệ giải được nghiệm 0xy (loại). +) Nếu ,xy cùng dương, tương tự ta cũng loại nốt. +) 0xy thoả mãn hệ. Vậy nghiệm của hệ là     ; 0;0xy Bài 3: Nhận xét: Chắc chắn không thể sử dụng phép thế hay đánh giá. Nhận thấy phương trình thứ nhất của hệ chứa các hàm riêng biệt với ,xy (chứa 3 ,xx và 32 ,,y y y mà không chứa xy ) nên ta có thể đưa phương trình thứ nhất về cùng một hàm số rồi sử dụng đạo hàm để giải. Điều kiện     1;1 , 1;3xy   . Từ đó suy ra:     1 2;0x    và     3 2;0y    . Khai thác phương trình thứ nhất của hệ:      22 3 3 2 3 3 2 6 3 9 2 0 3 2 6 9 2 1 3x y y x y x x y y y x x y y                         22 1 3 1 3 3 3x x y y                . Xét hàm số     2 3 2 33f t t t t t    trên   2;0 . Đạo hàm:     2 ' 3 6 3 2f t t t t t    . Ta có:   ' 0 0 2f t t t      . Vậy trên đoạn   2;0 , hàm số   ft đơn điệu. Vậy, phương trình thứ nhất của hệ tương đương với 1 3 2x y y x      . Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu về hệ phương trình Trang 6 Thay vào phương trình thứ hai, ta có: 22 22 2 2 11 log log 2 0 45 2 4 3 xx yy yy               22 2 22 11 log 2 4 5 2 4 3 xx y y y y                    22 2 22 11 log 2 2 4 2 5 2 4 2 2 3 xx x x x x                                 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 log 2 * 4 1 2 1 1 2 1 x x x x x x x x                Đặt     2 1 0;1x t t   . Lúc này   * trở thành:           2 3 2 3 2 3 2 2 11 1 4 1 2 2 4 3 2 2 0 4 22 tt t t t t t t t t t tt                    2 17 3 2 2 0 0 3 t t t t t          (do điều kiện nên đã loại nghiệm 17 3 t   ) +) 2 13 0 1 0 11 xy tx xy                +) 2 1 7 1 2 7 39 tx       1 2 7 1 2 7 2 33 1 2 7 1 2 7 2 33 xy xy                    Nghiệm:       1 2 7 1 2 7 1 2 7 1 2 7 , 1;3 , 1;1 , ; 2 , ;2 3 3 3 3 xy                          Bài 4: Phân tích: Hệ chứa ẩn là hàm hữu tỉ và hàm số mũ, chúng có tính chất khác nhau nên chắc chắn sẽ phải sử dụng đạo hàm. Và cũng lưu ý luôn, những hệ chứa hàm có tính chất khác nhau thì gần như 90% sử dụng đạo hàm hoặc phương pháp đánh giá. Cộng chéo vế theo vế và giữ một phương trình của hệ ta được hệ tương đương:           22 11 21 3 1 1 1 3 1 1 1 * 2 2 3 1 xy y x x y y x x x                        Xét hàm số   2 31 t f t t t    trên . Hàm số có đạo hàm:   2 22 1 ' 3.ln3 1 3 .ln3 11 tt t t t ft tt        . Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu về hệ phương trình Trang 7 Ta có: 2 2 2 1 1 0t t t t t t t         . Từ đây suy ra   '0f t t   . Vậy,   ft đồng biến trên . Ta thấy phương trình   * có dạng     11f x f y   . Từ đó suy ra 11x y x y     . Lúc này hệ sẽ tương đương với:           2 2 1 ln 1 1 1 1 .ln3 1 1 3 1 x xy xy x x x xx                          Lại tiếp tục xét hàm số     2 ln 1 ln3g t t t t    trên . Hàm số này có đạo hàm   2 22 1 1 1 ' ln3 ln3 11 t t gt t t t          . Dễ thấy 2 1 ln3 1 1t   nên   '0g t t   . Như vậy hàm số   gt nghịch biến trên . Mặt khác ta lại có   00g  nên phương trình   có nghiệm duy nhất là 1 0 1xx    . Vậy nghiệm của hệ là     ; 1;1xy Bài 5: Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với:     22 22 11 xy x e y e   Xét hàm số     1 t f t t e trên   0; . Hàm số có đạo hàm       ' 1 0 0; tt f t e e t t        . Từ đó suy ra   ft đồng biến trên   0; . Vậy phương trình thứ nhất của hệ đã cho tương đương với: 22 x y x y    . +) Nếu xy . Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được:     1 3 2 3 3log 6 1 2log 2 3 log 6 1 6 3 3 3y y y y x               . +) Nếu xy . Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được:         3 2 3 2 3log 3 6 2log 2 2 1 3 1 log 2 2 1 log 1 1y y y y                             3 2 3 2 3log 2 2log 1 3log 2 2log 1 0 *y y y y         . Xét hàm số       32 3log 2 2log 1g t t t    trên   1;  . Hàm số này có đạo hàm:       32 ' 2 ln3 1 ln2 gt tt   . Ta có:     3 2 3 2 ln3 ln2 2 ln3 2 ln2tt     mà     22 2 ln2 1 ln2tt   nên ta có:     32 2 ln3 1 ln2tt   , tức là   '0gt . Như vậy nên hàm số nghịch biến trên   1;  . Ta lại có   70g  . Vậy   * có nghiệm 77yx   . Vậy nghiệm của hệ phương trình là       ; 7;7 , 3; 3xy Cách khác: Trong trường hợp xy , ta đặt     32 3log 2 2log 1 6x x u    thì hệ trở thành: Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu về hệ phương trình Trang 8 2 32 3 23 18 1 2 3 1 99 12 uu u uu u x x                          Ta lại thấy hàm số   18 99 uu hu              là hàm nghịch biến mà   11h  nên 1u  là nghiệm duy nhất của hệ 7xy   . Bài 6: Điều kiện: 0; 0x x y   . Đi từ phương trình thứ hai của hệ:   x y x y x y x y x x         (1) Xét hàm số   2 f t t t trên   0; . Đạohàm:   ' 2 1 0f t t   nên   ft đồng biến. Mặt khác (1) có dạng     f x y f x nên (1) x y x y x x      . Đặt   0t x t thì 2 y t t . Thay vào phương trình thứ nhất của hệ ta có:     2 2 2 2 4 3 2 2 8 16 2 2 8 24 0 t t t t t t t t t t t                  33 2 2 12 0 2 do 2 12 12t t t t t t          . Với 2 4,tx   2y  . Vậy nghiệm của hệ là     ; 4;2xy Cách giải khác: Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với: Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với:        2 24 8 16 2 0 4 4 0 xy x y xy x y xy x y x y x y x y                          22 2 4 4 0 4 4 4 0 xy x y x y x y x y x y xy                   Bài 7: Điều kiện: 10xy   . Khai thác phương trình thứ nhất:   3 1 5 1x y x y     Ta đặt 3 t x y (điều kiện: 1t  ) thì   1 trở thành: 3 15tt   . Dễ thấy rằng hàm số   3 1f t t t   đồng biến trên   1;  (vì khi t tăng thì   ft tăng). Như vậy phương trình với ẩn t trên sẽ có nhiều nhất một nghiệm. Nhận thấy t = 2 là một nghiệm của phương trình. Vậy, ta có: 28t x y    . Phương trình thứ hai của hệ tương đương với:     4 4 12 8 4 8 4 12x x y y x y x y           . Hệ đã cho sẽ tương đương với hệ sau:    8 8 2 2 2 2 2 1 2 1 36 2 1 2 1 6 xy xy x y x y xy                           8 8 8 4 4 2 1 81 16 2 1 2 1 9 xy xy xy xy xy x y xy xy                             Vậy nghiệm của hệ là     ; 4;4xy  Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu về hệ phương trình Trang 9 Bài 8: Điều kiện 1y  . Hệ đã cho:         2 3 4 6 2 2 2 1 2 1 1 2 x y y x x x y x             Nếu 0x  thì từ (1) suy ra 0y  , thay vào (2) không thỏa mãn 0x . Chia hai vế của (1) cho 3 0x  ta có: 3 3 3 2 2 yy xx xx    (3). Xét hàm số   3 2f t t t trên có đạo hàm   2 ' 3 2 0f t t   nên hàm số đồng biến trên . Mặt khác (3) có dạng   2 yy f f x x y x xx         . Thay vào (2), điều kiện 2x  :           2 2 4 2 2 2 2 1 1 2 1 1 3 3 3x x x x x x x x y                Vậy nghiệm của hệ là     ; 3;3xy Bài 9: Điều kiện ,1xy . Hệ đã cho tương đương với:     2 2 3 3 22 2 3 3 3 1 6 1 1 6 1 I 6 1 6 1 1 1 6 1 x y y x y y x x x y y y y x x                                  Xét hàm số   2 3 61f t t t t     trên   1; . Hàm số có đạo hàm:       2 3 2 3 1 1 1 1 ' 2 6 2 3 2 1 2 1 3. 6 f t t t t tt t           . Ta sẽ chứng minh rằng   2 3 1 2 3. 6 t t   . Thật vậy:     2 3 2 3 1 2 6 . 6 1 3. 6 t t t t      . Điều này hiển nhiên đúng do t thuộc đoạn   1; . Như vậy,     ' 0 1;f t t       ft đồng biến trên   1; . Vì đó:   11xy       2 3 I 1 6 1 2 xy x x x             Nhẩm được nghiệm của (2) là 2x  nên ta dùng phương pháp nhân liên hợp:         2 3 2 4 1 1 6 2 0x x x              2 3 3 22 2 2 0 11 6 2. 6 4 xx xx x xx                 2 3 3 11 2 2 0 11 6 2. 6 4 xx x xx                    2 3 3 2 11 2 0 3 11 6 2. 6 4 x x x xx                 2x Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu về hệ phương trình Trang 10 (Dễ thấy phương trình   3 vô nghiệm do 1 1 11x    và   2 3 3 11 4 6 2. 6 4xx       ) Vậy nghiệm của hệ phương trình là     ; 2;2xy Bài 10: Xem phương trình thứ hai của hệ là phương trình bậc hai ẩn x, tham số y :   22 3 4 4 0x y x y y      Phương trình này có nghiệm     2 22 0 3 4 4 4 0 3 10 7 0 x y y y y y              2 7 49 11 39 yy      (1) Lại xem phương trình thứ hai là phương trình bậc hai ẩn y, tham số x :   22 4 3 4 0y x y x x      Phương trình này có nghiệm     2 22 0 4 4 3 4 0 3 4 0 y x x x x x             4 4 256 00 3 81 xx      (2) Từ (1) và (2) suy ra 42 49 256 697 698 9 81 81 81 xy     , mâu thuẫn với phương trình thứ nhất. Từ đó suy ra hệ đã cho vô nghiệm Bài 11: Nhìn hệ số có 2 và 2 nên ta chia hai vế rồi cộng lại:     3 3 3 3 3 1 1 2 3 1 23 3 13 2 32 y y x x y yy x xx                      Xét hàm số   3 3f t t t trên . Đạo hàm:   2 ' 3 3 0f t t t     . Từ đó suy ra hàm số   ft đồng biến trên . Điều này cũng có nghĩa là   1 2 y x  . Thay vào phương trình   1 ta được: 33 2 3 3 2 0y y y y          2 1 2 0 1 2y y y y         . +) Với 1 1 1 1yx x      . +) Với 11 22 2 yx x         . Vậy nghiệm của hệ là     1 ; 1;1 , ; 2 2 xy      Bài 12: Đặt 2t x y thì phương trình thứ nhất trở thành:   1 4 5 5. 1 2 0 * 5 t tt        Xét hàm số   1 4 5 5. 1 2 5 t tt ft         trên . Hàm số có đạo hàm:   11 44 ' 5 .ln5 5.ln . 2 .ln2 55 t tt ft         . Do 4 ln2 0,ln5 0,ln 0 5    nên   '0f t t   . Mặt khác ta lại có   10f  nên   * 1 2 1t x y     . [...]... 0 thì phương trình thứ nhất của hệ tương đương với: Thế y  x vào phương trình thứ hai của hệ ta được: x 2  3x x     2 y  6 y 2  x  y x  2 y  ( x  2 y)  y x  2 y  6 y 2  0 Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu về hệ phương trình Trang 28 Xem đây là phương trình bậc hai với ẩn là x  2 y Ta có:   y 2  24 y 2  25 y 2 nên phương x  2 y  3 y và x  2 y  2 y (đây là phương trình. ..  y  5   x  2    y  3   Vậy nghiệm của hệ là  x y    2 ;5 ,  2;3  Cách giải khác: Từ phương trình thứ hai rút x 2 theo y rồi thế vào phương trình thứ nhất được phương trình bậc 4 có nghiệm đẹp Bài 46: Nhận thấy y  0 không thoả mãn hệ  y  0 Lúc này hệ đã cho tương đương với: Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu về hệ phương trình Trang 26  3 27  3 27 8 x  3  18   8 x ... x  Từ  1  ,  2   VT = VP  12  x  16, y  3 2      Vậy nghiệm của hệ là  x ; y    16;3  Bài 23: Thay x  0 vào hệ thấy không thoả mãn  x  0 Từ phương trình thứ hai của hệ ta x2  1 rút: y  1  * x Thế vào phương trình thứ nhất của hệ ta được: Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu về hệ phương trình Trang 15 2 2 2 x 2  1  x2  1  2 2 x  1 2x  1 x   3x 2  4 x  1... về hệ phương trình Trang 32  xy  x  6 y  x  2 y   0   x  6 y  x  2 y   0  x  6 y  x  2 y 1 6 x 3 +) Nếu x  6 y , thay vào phương trình thứ nhất của hệ: 200 y 3  1  y  3 200 200 1 +) Nếu x  2 y , thay vào phương trình thứ nhất của hệ: 8 y 3  1  y   x  1 2 1   1  6 ;3 Vậy nghiệm của hệ là  x ; y   1 ;  ,  3   2   200 200  Bài 60: Nếu x  0 , thay vào phương. .. Tài liệu về hệ phương trình Trang 14 a 1 5 1   2a 2  5a  2  a  2  a  (thoả mãn) a 2 2 6x  2  x  2 y Thay vào phương trình thứ hai, ta có: x y +) a  2  3 y  2 y 2  9  2 y 2  3 y  9  0 , vô nghiệm do    63  0 +) a  1  2 6x 1   y  23x Thay vào phương trình thứ hai ta có: x y 2 24 x  23x 2  9  23x 2  24 x  9  0 , vô nghiệm do  '   63  0 Vậy hệ phương trình đã cho... phương trình trên trở thành: y   2  1 1 35 1 1 35 35   0    0   sin t  cos t   sin t cos t  0 cos t cos t sin t 12 12 1  cos2 t 12 Đến đây có thể đặt t  sin t  cos t để giải tiếp Bài 35: Nhận thấy rằng phương trình thứ hai của hệ đã cố ý “nhóm” hệ số của y 2 nên ta có ý Với điều kiện y < –1, ta có thể đặt tưởng đưa phương trình thứ hai của hệ thành bậc hai với ẩn là y 2 Từ phương trình. .. hệ: 5y 4 5 4  5 y  3  y   x   1 4 5 4 5  4 Vậy nghiệm của hệ là  x ; y    1;   5 Bài 54: Thay y  0 vào phương trình thứ nhất của hệ ta được x 2  1  0 , vô lí y  0 Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu về hệ phương trình Trang 30  x2 1   x y  4  y y Chia các vế của hệ cho y  0 ta được:  (1) 2 x2 2 2  x y  7   y y  x2  1 Đến đây ta đặt a  , b  x  y thì hệ. ..  y trở lại hệ ta được: x  1 Vậy nghiệm của hệ là  x ; y    1;1  ,  1; 1  Bài 56: Cộng chéo vế theo vế hai phương trình của hệ: x 2  x  2 x  y 2  y  2 y (1) 1  2  0 nên f  t  Xét hàm số f  t   t 2  t  2t trên  0 ;   Đạo hàm f '  t   2t  2 t đồng biến trên  0;   Phương trình (1) có dạng f  x   f  y   x  y Thay x  y trở lại hệ ta được phương trình x 2 ... 9   48 y  16 x 2  144 Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu về hệ phương trình Trang 20 Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được: y 4  4  2 x  3  y 2  16 x 2  48 x  11  0 Xem như đây là một phương trình bậc hai với ẩn là y 2 và tham số là x , ta có:  ' y2  4  2 x  3   16 x 2  48 x  11  25  0 nên phương trình có hai nghiệm là: 2 y 2  2  2 x  3   5 hay chính là y 2 ... 2 Vậy nghiệm của hệ là  x ; y    2;2  Bài 32: Từ phương trình thứ hai ta đặt điều kiện x , y  0   Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với: e x  x  e y  y 1 Xét hàm số f  t   et  t trên  0;   Đạo hàm: f '  t   et  1  e0  1  0 nên hàm số đồng biến trên  0;   Ta lại có  1  có dạng f  x   f  y   x  y Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được:  log .   0; . +) Nếu ,xy cùng âm (tức là cùng thuộc   1;0 ) thì theo tính chất của hàm số   ft , ta có: xy . Thay vào hệ giải được nghiệm 0xy (loại). +) Nếu ,xy cùng dương, tương.  . +) Nếu xy . Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được:     1 3 2 3 3log 6 1 2log 2 3 log 6 1 6 3 3 3y y y y x               . +) Nếu xy . Thay vào phương trình. y y x x x y x             Nếu 0x  thì từ (1) suy ra 0y  , thay vào (2) không thỏa mãn 0x . Chia hai vế của (1) cho 3 0x  ta có: 3 3 3 2 2 yy xx xx    (3). Xét hàm