Toán quỹ tích STT Nội dung TLTK Tìm tập hợp điểm (quỹ tích) I-Các tập hợp điểm đã học : -Tập hợp các điểm cách điểm O cố định một khoảng r không đổi là đ/tròn (o,r) -Tập hợp các điểm thuộc miền trong của góc cố định và cách đều 2 cạnh của góc là tia phân gics của góc đó -Tập hợp các điểm cách đều 2 đầu 1 đoạn thẳng cố định là đ- ờng trung trực của đoạn thẳng ấy -Tập hợp các điểm cách đờng thẳng xy cố định một khoảng h không đổi là 2 đ/thẳng song song với xy và có khoảng cách đến xy bằng h -Tâp hợp các điểm nhìn đoạn thẳng AB cố định dới 1 góc không đổi là 2 cung chứa góc dựng trên đoạn AB II- Các bớc giải bài toán tìm tập hợp điểm: 1) Phần thuận:điểm M có t/c a điẻm M có t/c b * ( t/c b là t/c dẫn đến 1 tập hợp điểm đã học) Điểm M có t/c b điểm M hình H Giới hạn (néu có) :Điểm M hình H là 1 bộ phận của hình H( H H) 2) Phần đảo:Điểm M hình H thì điểm M có t/chất a 3) Kết luận :tập hợp điểm M có t/c a là hình H III- Phơng pháp: *Đoán nhận hình dạng tập hợp điểm : 1) Phơng pháp thực nghiệm : -Hình dạng: Dựa vào đk của btoán ,tìm 1 số phần tử cần thiết (ít nhất là 3)thuộc tập hợp các diểm có t/c và căn cứ vào đó mà đoán nhận hình dạng của tập hợp thuộc loại đthẳng hay đtròn -Lấy ít nhất 3 điểm ,chú ý điểm đặc biệt và điểm bất kì để biết sơ bộ về hình dạng VD: Cho nửa đtròn AOB I M chuyển động trên nửa đtròn H là hình chiếu của M trên AB. Trên đoạn thẳng OM lấy N M Sao cho ON= MH N Tìm tập hợp điểm N A O H B +Dự đoán : Khi M A hoặc B thì N O Khi M là trung điểm ằ AB thì N Ivà lấy thêm 1 điểm bất kì thuộc nửa đtròn thì có điểm N Ta thấy O,N,I không thẳng hàng ,vậy có thể dự đoán tập hợp 1 phải tìm thuộc loại đtròn đi qua N, I,O 2) Phơng pháp xác định số giao điểm của tập hợp những điểm có t/chất đặc trng với hình cố định nào đó Trên 1đờng thẳng cố định có 2 điểm của tập hợp và nếu đthẳng đó không thuộc tập hợp những điểm trên thì nói chung nó thuộc loại đtròn .Đặc biệt nó có thể là 2 đthẳng đi qua 2 điểm ấy : VD:Cho 3 điểm A,B,C cố định không thẳng hàng .Tìm tập hợp 3) Phơng pháp chú ý đến tính đối xứng (trục,tâm )của tập hợp những điểm đặc trng -Thuộc loại thẳng mà có trục đối xứng thì nó vuông góc với trục đối xứng -Thuộc loại tròn mà có trục đối xứng thì tâm của nó nằm trên trục đối xứng 4) Chú ý đến các phần tử vô tận -Có 1 điểm vô tận thì tập hợp có thể là đờng thẳng hay nửa đ- ờng thẳng VD:Tìm tập hợp trung điểm của đoạn thẳng AM trong đó A cố định ,M di động trên một đờng thẳng cho trớc d ( d không đi qua A) +Dự đoán: Gọi I là trung điểm AM ,do tập hợp có chung với đờng thẳng cố định 1 điểm vô tận nên tập hợp I có thể là đ- ờng thẳng song song với(d) A I M * Chú ý: d -Khi làm bài toán tìm tập hợp điểm , nếu có những phần tính toán chung cho cả 2 phần (thuận và đảo ) thì tiến hành trớc đi ,sau đó mới tách riêng 2 phần để tránh sự lặp lại 4) III- Một số ví dụ 1) VD1: Cho nủa đtròn tâm O,đkính AB. Điểm C di chuyển trên nửa đtròn .Trên tia đối của tia CA lấy điểm M sao cho CM=CB.Tìm tập hợp các điển M khi C di chuyển trên nửa đtròn *Phân tích: -Yếu tố cố định: Đoạn thẳng AB,điểm O, nửa đtròn có đkính AB -Quan hệ không đổi :CM=CB -Yếu tố chuyển động: Điểm C, điểm M 2 -Điểm phải tìm tập hợp: điểm M Lu ý: Xét quan hệ giữa điểm ch/động M với điểm cố định Avà B ta thấy V BCM cân ở C nên ả 0 45M = . Điểm M nhìn đoạn thẳng AB cố định dới 1 góc không đổi 45 0 nên M nằm trên cung chứa góc 45 0 dựng trên AB Chú ý rằng điểm M không ch/động trên toàn bộ cung chứa góc nói trên .Khi M tiến đến vị trí A thì AM tiến đến vị trí AK (AK AB), điểm M tiến đến điểm K.Vậy điểm M không nằm trên cung AK. Do đó cần giới hạn tập hợp điểm cần tìm. Giới hạn: Khi C B thì M B Khi C A thì M K Trong đó AK là tiếp tuyến với đtròn O tại A Vậy M chỉ chuyển động trên cung BK( trừ 2 điểm B&K) K I M C C A O B *Chú ý :Trong 1 số bài toán ,ngời ta không đòi hỏi Tìm điểm M có t/c a mà cho dứoi dạng điểm M có t/chất a di chuyển trên đờng nào?.Khi đó ,nội dung bài toán tơng ứng với phần thuận (có giới hạn ) 2)VD2: Cho đờng tròn ( O) cố định tiếp xúc với đờng thẳng xy tại điểm A cố định trên đờng tròn .B là điểm di động trên đờng thẳng xy .Kẻ tiếp tuyến BC với đtròn (C A).Gọi M là tâm đtròn ngoại tiếp tam giác ABC .Khi điểm B di chuyển trên đờng thẳng xy thì điểm M di chuyển trên đờng nào? *Phân tích : 3 45 C O M x B A y Yếu tố cố định: Đờng tròn (O),điểm A -Quan hệ không đổi : OA -Yếu tố chuyển động: Điểm B, điểm M -Điểm phải tìm tập hợp: điểm M Lu ý: Xét quan hệ giữa điểm ch/động M với điểm cố định Avà O ta thấy ã ã 0 0 90 ; 90OAB OCB= = (t/c của tiếp tuyến). Tứ giác OABC có ã ã 0 180OAB OCB+ = nên là tứ giác nội tiếp MO=MA. y Tâm M của đtròn ngoại tiép ABC cách đều 2 điểm cố định O và A nên M nằm trên trung trực d của OA -Khi B di chuyển trên xy thì M di chuyển trên đờng trung trực d của OA(trừ giao điểm của d với OA) 4