Đề học sinh giỏi toán 12-số 23

1. Cho f(x) = x n + 5x n-1 + 3, trong đó n là một số nguyên > 1. Chứng minh rằng f(x) không thể biểu diễn thành tích của hai đa thức (khác hằng số) với các hệ số nguyên. 2. Cho D là một đ iểm bên trong tam giác nh ọn ABC sao cho và AC.BD = AD.BC. (a) Tính t ỉ số : (b) Chứng minh rằng các tiếp tuyến kẻ từ C với đường tròn ngoại tiếp các tam giác ACD và BCD vuông góc với nhau. 3. Trò ch ơi trên mộ t bàn cờ ô vuông vô hạ n theo quy luật sau: Đầu tiên có n 2 quân c ờ đượ c sắp xếp trong một khối hình vuông n x n của các ô vuông liên tiếp, mỗi quân trên một ô vuông. Nước đi trong trò chơi này là một quân cờ có thể nhảy qua một quân ở ô liền kề đến m ộ t ô tr ố ng ti ế p theo chi ề u ngang ho ặ c chi ề u d ọ c. Quân c ờ sau khi đ ã nh ả y thì b ị lo ạ i. Tìm giá trị của n để trò chơi có thể kết thúc chỉ với một quân cờ còn lại trên bàn cờ. 4. Cho ba điểm P, Q, R trong một mặt phẳng, gọi m(PQR) là độ dài của đường cao nhỏ nhất c ủa tam giác PQR (ho ặc là bằ ng 0 nếu ba điể m P, Q, R thẳ ng hàng). Chứng minh r ằng: vớ i bấ t kì các đi ểm A, B, C, X ta luôn có: m(ABC) m(ABX) + m(AXC) + m(XBC). 5. H ỏi có t ồn tạ i hay không một hàm f t ừ t ập số nguyên dương vào t ập số nguyên dươ ng sao cho: f(1) = 2, f(f(n)) = f(n) + n vớ i mọi n và f(n) < f(n + 1) v ới mọ i n. 6. Có n > 1 cái đèn được kí hiệu là L 0 , L 1 , , L n-1 trong m ột đườ ng tròn. Chúng ta có thể s ử dụng L n+k như là L k . Mỗi đèn tại một thời điểm hoặc là được bật hoặc là tắt. Bắt đầu tất cả các đ èn đề u b ậ t. Thự c hi ệ n các bướ c s 0 , s 1 , như sau: tại bước s i nếu đèn L i-1 sáng thì ta chuyển L i từ trạng thái bật thành tắt hoặc ngược lại chuyển từ tắt thành bật, các đèn khác ta không làm gì cả. Hãy chỉ ra rằng: (a) Tồn tại một số nguyên dương M(n) sao cho sau M(n) bước thực hiện tất cả các đèn đều trở lại trạng thái ban đầu. (b) Nếu n = 2 k thì ta có thể lấy M(n) = n 2 - 1. (c) Nếu n = 2 k + 1 thì ta có thể lấy M(n) = n 2 - n + 1. . như là L k . Mỗi đèn tại một thời điểm hoặc là được bật hoặc là tắt. Bắt đầu tất cả các đ èn đề u b ậ t. Thự c hi ệ n các bướ c s 0 , s 1 , như sau: tại bước s i nếu đèn L i-1 sáng thì ta. ra rằng: (a) Tồn tại một số nguyên dương M(n) sao cho sau M(n) bước thực hiện tất cả các đèn đều trở lại trạng thái ban đầu. (b) Nếu n = 2 k thì ta có thể lấy M(n) = n 2 - 1. (c) Nếu