1. Cho d là một số nguyên dương b ất kì không bằng 2, 5, ho ặc 13. Hãy chỉ ra ta có th ể tìm được hai số khác nhau a, b trong tập {2, 5, 13, d} sao cho ab - 1 không là bình phương đúng. 2. Cho đ iểm P 0 trong mặ t phẳng củ a tam giác A 1 A 2 A 3 . Ta đị nh nghĩa A s = A s-3 vớ i mọi s 4. Dựng mộ t tập các đ iểm P 1 , P 2 , P 3 , sao cho P k+1 là ảnh củ a P k qua phép quay tâm A k+1 m ột góc 120 o theo chi ều kim đồ ng hồ, vớ i k = 0, 1, 2, Chứng minh rằ ng: nếu P 1986 = P 0 thì tam giác A 1 A 2 A 3 là tam giác đều. 3. Mỗi đỉnh của một ngũ giác đều được qui cho một số nguyên mà tổng của tất cả 5 số là dương. Nếu ba đỉnh liên tiếp tương ứng với ba số là x, y, z, với y < 0, thì phép toán sau cũng đượ c chấp nh ận: x, y, z được thay th ế tươ ng ứng bở i x + y, -y, z + y. Các phép toán này được thực hiện lặp đi lặp lại nhiều lần cho đến khi năm số có ít nhất một số là âm. Xác định có tồn tại hay không một qui trình sau hữu hạn bước kết thúc công việc trên. 4. Cho A, B là hai đỉ nh k ề nhau c ủ a m ộ t đ a giác đề u n c ạ nh (n 5) có tâm O. Tam giác XYZ đồ ng d ạ ng và ban đầ u trùng kh ớ p v ớ i tam giác OAB di chuy ể n trong m ặ t ph ẳ ng sao cho Y, Z chạy trên toàn bộ biên của đa giác, với X luôn nằm bên trong đa giác. Tìm quỹ tích các diểm X. 5. Tìm tất cả các hàm f được định nghĩa trên tập các số thực không âm và nhận giá trị thực không âm sao cho: f(2) = 0 f(x) 0, với 0 x < 2 f(xf(y))f(y) = f(x+y), với mọi x,y. 6. Cho một tập hữu hạn các điểm có toạ độ nguyên trong mặt phẳng. Có thể luôn luôn tô màu được các điểm này được hay không với màu đỏ hoặc trắng để cho hiệu số (lấy giá trị tuyệt đối) giữa các số điểm có màu trắng và đỏ trên đường thẳng kì L không lớn hơn 1 (với L là một đường thẳng bất kì song song với một trục toạ độ)? . giác đều. 3. Mỗi đỉnh của một ngũ giác đều được qui cho một số nguyên mà tổng của tất cả 5 số là dương. Nếu ba đỉnh liên tiếp tương ứng với ba số là x, y, z, với y < 0, thì phép toán. toán sau cũng đượ c chấp nh ận: x, y, z được thay th ế tươ ng ứng bở i x + y, -y, z + y. Các phép toán này được thực hiện lặp đi lặp lại nhiều lần cho đến khi năm số có ít nhất một số là âm. Xác. bước kết thúc công việc trên. 4. Cho A, B là hai đỉ nh k ề nhau c ủ a m ộ t đ a giác đề u n c ạ nh (n 5) có tâm O. Tam giác XYZ đồ ng d ạ ng và ban đầ u trùng kh ớ p v ớ i tam giác