1. Cho R + là tập các số thực dương, hàm f : R + R + thoả mãn: f(x(f(y)) = yf(x) v ới mọi x, y và . Tìm tấ t cả các hàm f như vậy. 2. A là một trong hai giao điểm khác nhau của hai đường tròn C 1 và C 2 đồng phẳng và không bằng nhau có tâm tương ứng là O 1 , O 2 . M ột trong các tiế p tuyến chung củ a hai đường tròn ti ế p xúc v ớ i C 1 tại P 1 và C 2 tại P 2 . Tiếp tuyến khác tiếp xúc với C 1 tại Q 1 và C 2 tại Q 2 . Gọi M 1 , M 2 lần lượt là trung điểm của P 1 Q 1 , P 2 Q 2 . Chứng minh rằng: . 3. Cho a, b, c là các số nguyên dương, không có hai s ố nào có ước s ố chung lớ n hơn 1. Hãy chỉ ra rằng 2abc - ab - bc - ac là s ố nguyên lớn nh ất không thể biểu diễ n thành xbc + yca + zab, trong đ ó x, y, z là các s ố nguyên không âm. 4. Cho tam giác đều ABC. E là tập hợp tất cả các điểm trên ba cạnh AB, BC, và CA (kể cả A, B, C). Phân chia E ra thành hai tập con rời nhau. Hãy kiểm chứng khẳng định rằng luôn tồn tại một tập con (trong hai tập con đó) có chứa các đỉnh để tạo nên một tam giác vuông. 5. Có thể chọn được hay không 1983 số nguyên dương khác nhau mà tất cả các số đều nhỏ hơ n hoặ c bằng 10 5 và không có ba s ố nào trong đ ó là các số hạng liên ti ếp củ a mộ t cấp s ố c ộng. 6. Cho a, b, c là độ dài c ủa các cạ nh của m ột tam giác. Ch ứng minh rằ ng: a 2 b(a - b) + b 2 c(b - c) + c 2 a(c - a) 0. D ấu đẳ ng thứ c xảy ra khi nào? . diễ n thành xbc + yca + zab, trong đ ó x, y, z là các s ố nguyên không âm. 4. Cho tam giác đều ABC. E là tập hợp tất cả các điểm trên ba cạnh AB, BC, và CA (kể cả A, B, C). Phân chia E ra. giác vuông. 5. Có thể chọn được hay không 1983 số nguyên dương khác nhau mà tất cả các số đều nhỏ hơ n hoặ c bằng 10 5 và không có ba s ố nào trong đ ó là các số hạng liên ti ếp củ a