Đề học sinh giỏi toán 12-số 27

1. Cho tứ giác lồi ABCD có hai đường chéo AC v à BD vuông góc với nhau, và hai cạnh đối diện AB và CD không song song với nhau. P là giao điểm của hai đường trung trực của AB và CD là điểm nằm ở trong tứ giác. Chứng minh rằng tứ giác ABCD là nội tiếp đường tròn nếu và chỉ nếu hai tam giác ABP và CDP có diện tích bằng nhau. 2. Trong một cuộc thi có a người dự thi và có b giám khảo, trong đó b 3 là một số lẻ. Mỗi một giám khảo đánh giá cho thí sinh của mình hoặc là "đỗ" hoặc là "trượt". Giả sử k là số mà bấ t kì 2 giám khảo nào đề u có chung sự đ ánh giá với nhi ều nhất là k thí sinh. Ch ứng minh ră ng: . 3. Với bất kì số nguyên dương n gọi d(n) là số ước số dương của n (kể cả 1 và n). Xác định tất cả các số nguyên dương k sao cho: d(n 2 ) = kd(n), với n nào đó. 4. Xác định tất cả các cặp (a, b) của các số nguyên dương sao cho a 2 b + a + b chia hết cho ab 2 + b + 7. 5. Cho I là tâm c ủa đườ ng tròn nội ti ếp tam giác ABC. Đường tròn nộ i tiếp tam giác ABC l ần lượt tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB tại K, L, M. Đường thẳng đi qua B song song với MK cắt các đường thẳng LM, LK tương ứng tại R và S. Chứng minh rằng tam giác RIS là nhọn (tam giác nhọn là tam giác có cả ba góc đều nhọn). 6. Xét tất cả các hàm f : Z + Z + tho ả mãn: f(t 2 f(s)) = s f(t) 2 v ới mọ i s và t. Trong đó: Z + là t ập tấ t cả các s ố nguyên d ương. Xác định giá trị nhỏ nhất có thể của f(1998). . đánh giá cho thí sinh của mình hoặc là "đỗ" hoặc là "trượt". Giả sử k là số mà bấ t kì 2 giám khảo nào đề u có chung sự đ ánh giá với nhi ều nhất là k thí sinh. Ch ứng minh. tương ứng tại R và S. Chứng minh rằng tam giác RIS là nhọn (tam giác nhọn là tam giác có cả ba góc đều nhọn). 6. Xét tất cả các hàm f : Z + Z + tho ả mãn: f(t 2 f(s)) = s f(t) 2 v ới mọ i