Bài tập toán ôn thi tốt nghiệp và đại học năm học 2013 - 2014

Nguyễn Thanh Triều      BÀI TẬP TOÁN ÔN THI TỐT NGHIỆP VÀ ĐẠI HỌC 2013 - 2014 Tháng 05 - 2013 Để biết thêm về các tài liệu toán học, đọc giả có thể truy cập vào trang web cá nhân của tác giả: http://nttrieu.wordpress.com 2 Mục lục 1 Bài tập về khảo sát hàm số 5 1.1 Bài tập khảo sát hàm số trong các đề thi tốt nghiệp . . . . 5 1.2 Bài tập khảo sát hàm số trong các đề thi đại học . . . . . . 7 2 Bài tập về lũy thừa và logarit 11 2.1 Bài tập lũy thừa và logarit trong các đề thi tốt nghiệp . . . 11 2.2 Bài tập lũy thừa và logarit trong các đề thi đại học . . . . . 11 2.3 Bài tập bổ sung về lũy thừa và logarit . . . . . . . . . . . . 12 3 Bài tập phương trình lượng giác trong các đề thi đại học 15 4 Bài tập về phương trình chứa căn thức 16 4.1 Bài tập phương trình chứa căn thức trong các đề thi đại học 16 4.2 Bài tập bổ sung về phương trình chứa căn thức . . . . . . . 16 5 Bài tập về bất phương trình chứa căn thức 18 5.1 Bài tập bất phương trình chứa căn thức trong các đề thi đại học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 5.2 Bài tập bổ sung về bất phương trình chứa căn thức . . . . . 18 6 Bài tập về tổ hợp - Nhị thức Newton - Xác suất 20 6.1 Bài tập tổ hợp - Nhị thức Newton - Xác suất trong các đề thi đại học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 6.2 Bài tập bổ sung về tổ hợp - Nhị thức Newton - Xác suất . . 22 7 Bài tập về hệ phương trình 25 7.1 Bài tập bổ sung về hệ phương trình . . . . . . . . . . . . . 25 7.2 Bài tập hệ phương trình trong các đề thi đại học . . . . . . 28 8 Bài tập về tích phân 31 8.1 Bài tập tích phân trong các đề thi tốt nghiệp . . . . . . . . 31 8.2 Bài tập tích phân trong các đề thi đại học . . . . . . . . . . 32 8.3 Bài tập bổ sung về tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 9 Bài tập về số phức 38 9.1 Bài tập bổ sung về số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 9.2 Bài tập số phức trong các đề thi tốt nghiệp . . . . . . . . . 39 3 9.3 Bài tập số phức trong các đề thi đại học . . . . . . . . . . . 40 10 Bài tập về hình học 42 10.1 Bài tập hình học trong các đề thi tốt nghiệp . . . . . . . . . 42 10.2 Bài tập hình học trong các đề thi đại học . . . . . . . . . . 46 11 Bài tập về bất đẳng thức 53 11.1 Bài tập bổ sung về bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . 53 11.2 Bài tập bất đẳng thức trong các đề thi đại học . . . . . . . 60 4 KHẢO SÁT HÀM SỐ 1 Bài tập về khảo sát hàm số 1.1 Bài tập khảo sát hàm số trong các đề thi tốt nghiệp 1.1 (TN - 2013) Cho hàm số y = x 3 − 3x − 1 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết hệ số góc của tiếp tuyến đó bằng 9. 1.2 (TN - 2013) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = √ x 2 + 3 − x ln x trên đoạn [1; 2] 1.3 Cho hàm số y = f(x) = 1 4 x 4 − 2x 2 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x 0 , biết f  (x 0 ) = −1. 1.4 Tìm các giá trị của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = x − m 2 + m x + 1 trên đoạn [0; 1] bằng −2. 1.5 Cho hàm số y = 2x + 1 2x − 1 . 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. 2. Xác định tọa độ giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng y = x+2. 1.6 Xác định giá trị của tham số m để hàm số y = x 3 −2x 2 + mx + 1 đạt cực tiểu tại x = 1. 1.7 Cho hàm số y = 1 4 x 3 − 3 2 x 2 + 5 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho. 2. Tìm các giá trị của tham số m để phương trình x 3 − 6x 2 + m = 0 có 3 nghiệm thực phân biệt. 5 1.8 Cho hàm số f(x) = x − 2 √ x 2 + 12. Giải bất phương trình f  (x)  0. 1.9 Cho hàm số y = 2x + 1 x − 2 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng −5. 1.10 Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số f(x) = x 2 − ln(1 − 2x) trên đoạn [−2; 0]. 1.11 Cho hàm số y = x 3 − 3x 2 . 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho. 2. Tìm các giá trị của tham số m để phương trình x 3 − 3x 2 − m = 0 có ba nghiệm phân biệt. 1.12 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = 2x − 1 x − 3 trên đoạn [0; 2]. 1.13 Cho hàm số y = x 4 − 2x 2 . 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho. 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x = −2. 1.14 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = x + 9 x trên đoạn [2; 4]. 1.15 Cho hàm số y = −x 3 + 3x 2 − 2, gọi đồ thị của hàm số là (C). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. 2. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm uốn của (C). 1.16 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = −x + 1 − 4 x + 2 trên đoạn [−1; 2]. 1.17 Cho hàm số y = 2x + 1 x + 1 , gọi đồ thị của hàm số là (C). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. 6 2. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(−1; 3). 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục tung, trục hoành và đồ thị (C). 1.18 Xác định tham số m để hàm số y = x 3 −3mx 2 + (m 2 −1)x + 2 đạt cực đại tại điểm x = 2. 1.2 Bài tập khảo sát hàm số trong các đề thi đại học 1.19 Cho hàm số y = x 4 − 2(m + 1)x 2 + m 2 (1) với m là tham số thực. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 0. 2. Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông. 1.20 Cho hàm số y = x 3 − 3mx 2 + 3m 3 (1) với m là tham số thực. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1. 2. Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có hai điểm cực trị A và B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 48. 1.21 Cho hàm số y = 2 3 x 3 − mx 2 − 2(3m 2 − 1)x + 2 3 (1) với m là tham số thực. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1. 2. Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có hai điểm cực trị x 1 và x 2 sao cho x 1 x 2 + 2(x 1 + x 2 ) = 1. 1.22 Cho hàm số y = −x + 1 2x − 1 . 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. 2. Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng y = x + m luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A và B. Gọi k 1 , k 2 lần lượt là hệ số góc của các tiếp tuyến với (C) tại A và B. Tìm m để tổng k 1 + k 2 đạt giá trị lớn nhất. 7 1.23 Cho hàm số y = x 4 − 2(m + 1)x 2 + m (1) với m là tham số thực. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1. 2. Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có ba điểm cực trị A, B, C sao cho OA = BC; trong đó O là gốc tọa độ, A là điểm cực trị thuộc trục tung, B và C là hai điểm cực trị còn lại. 1.24 Cho hàm số y = 2x + 1 x + 1 . 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. 2. Tìm k để đường thẳng y = kx + 2k + 1 cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho khoảng cách từ A và B đến trục hoành bằng nhau. 1.25 Cho hàm số y = x 3 − 2x 2 + (1 − m)x + m (1) với m là tham số thực. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1. 2. Tìm m để đồ thị của hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x 1 , x 2 , x 3 thoả mãn điều kiện x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 < 4. 1.26 Cho hàm số y = 2x + 1 x + 1 . 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. 2. Tìm m để đường thẳng y = −2x + m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng √ 3 (O là gốc tọa độ). 1.27 Cho hàm số y = −x 4 − x 2 + 6. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = 1 6 x − 1. 1.28 Cho hàm số y = x + 2 2x + 3 (1). 8 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1). 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc toạ độ. 1.29 Cho hàm số y = 2x 4 − 4x 2 (1). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1). 2. Với các giá trị nào của m thì phương trình x 2 |x 2 − 2| = m có đúng 6 nghiệm thực phân biệt ? 1.30 Cho hàm số y = x 4 −(3m + 2)x 2 + 3m có đồ thị là (C m ), m là tham số. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m = 0. 2. Tìm m để đường thẳng y = −1 cắt đồ thị (C m ) tại 4 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 2. 1.31 Cho hàm số y = 4x 3 − 6x 2 + 1 (1). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1). 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm M(−1; −9). 1.32 Cho hàm số y = x 3 − 3x 2 + 4 (1). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1). 2. Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua điểm I(1; 2) với hệ số góc k (k > −3) đều cắt đồ thị của hàm số (1) tại ba điểm phân biệt I, A, B đồng thời I là trung điểm của đoạn thẳng AB. 1.33 Cho hàm số y = −x 3 + 3x 2 + 3(m 2 −1)x −3m 2 −1 (1), m là tham số. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1. 2. Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) cách đều gốc tọa độ O. 9 1.34 Cho hàm số y = 2x x + 1 . 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. 2. Tìm tọa độ điểm M thuộc (C), biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai trục Ox, Oy tại A, B và tam giác OAB có diện tích bằng 1 4 . 1.35 Cho hàm số y = 2x 3 − 9x 2 + 12x − 4. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. 2. Tìm m để phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt: 2|x| 3 − 9x 2 + 12|x| = m. 1.36 Cho hàm số y = x 3 − 3x + 2. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. 2. Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(3; 20) và có hệ số góc là m. Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt. 1.37 Cho hàm số y = −x 3 + 3mx 2 + 3(1 − m 2 )x + m 3 − m 2 (1), m là tham số. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1. 2. Tìm k để phương trình −x 3 + 3x 2 + k 3 −3k 2 = 0 có ba nghiệm phân biệt. 3. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1). 1.38 Cho hàm số y = 1 3 x 3 − 2x 2 + 3x (1) có đồ thị (C). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1). 2. Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của (C) tại điểm uốn và chứng minh rằng ∆ là tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất. 1.39 Cho hàm số y = x 3 − 3x 2 + m (1), m là tham số. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 2. 10 [...]... thỏa với mọi x ∈ [−2; 4]: 2x − 4 (4 − x)(2 + x) 19 x2 + m − 18 TỔ HỢP - NHỊ THỨC NEWTON - XÁC SUẤT 6 6.1 Bài tập về tổ hợp - Nhị thức Newton - Xác suất Bài tập tổ hợp - Nhị thức Newton - Xác suất trong các đề thi đại học n−1 3 6.1 Cho n là số nguyên dương thỏa mãn 5Cn = Cn Tìm số hạng chứa n nx2 1 x5 trong khai triển nhị thức Niu-tơn của − , x = 0 14 x 6.2 Tìm hệ số của số hạng chứa x26 trong khai... Từ 5 bông hồng vàng, 3 bông hồng trắng và 4 bông hồng đỏ (các bông hoa này xem như đôi một khác nhau), người ta muốn chọn ra 1 bó hoa gồm 7 bông a) Có mấy cách chọn bó hoa trong đó có đúng 1 bông hoa màu đỏ ? b) Có mấy cách chọn bó hoa trong đó có ít nhất 3 bông vàng và ít nhất 3 bông đỏ ? Đáp số: a) 112 b) 150 6.27 Có 12 cây giống gồm 3 loại: xoài, mít và ổi trong đó có 6 cây xoài, 4 cây mít và 2 cây... sát sự biến thi n và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1 2 Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có ba cực trị 1.41 Cho hàm số y = x3 − 3mx2 + 9x + 1 (1), m là tham số 1 Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 2 2 Tìm m để điểm uốn của đồ thị của hàm số (1) thuộc đường thẳng y = x + 1 LŨY THỪA VÀ LOGARIT 2 2.1 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.2 Bài tập về lũy thừa và logarit Bài tập lũy thừa và logarit... thừa và logarit Bài tập lũy thừa và logarit trong các đề thi tốt nghiệp (TN - 2013) Giải phương trình: 31−x − 3x + 2 = 0 Giải phương trình: log2 (x − 3) + 2 log4 3 log3 x = 2 Giải phương trình: 72x+1 − 8.7x + 1 = 0 Giải phương trình: 2 log2 x − 14 log4 x + 3 = 0 2 Giải phương trình: 25x − 6.5x + 5 = 0 Bài tập lũy thừa và logarit trong các đề thi đại học log2 (x2 + y 2 ) = 1 + log2 (xy) 2 2 3x −xy+y = 81... 4.3 4.4 4.5 4.2 Bài tập về phương trình chứa căn thức Bài tập phương trình chứa căn thức trong các đề thi đại học Giải Giải Giải Giải Giải phương phương phương phương phương trình: trình: trình: trình: trình: √ √ 3 2√ 3x − 2 + √ 6x − 5 − 8 = 0 3 √ 3 2 + x − 6 2 − x + 4 4 − x2 = 10 − 3x √ √ 2 √3x + 1 − 26 − x + 3x − 14x − 8 = 0 2x − 1 + x √ 3x + 1√ 0 − = 2 x + 2 + 2 x + 1 − x + 1 = 4 Bài tập bổ sung về... biết rằng n+1 n Cn+4 − Cn+3 = 7(n + 3) k (n là số nguyên dương, x > 0, Cn là số tổ hợp chập k của n phần tử) 6.7 Trong một lớp học gồm có 15 học sinh nam và 10 học sinh nữ Giáo viên gọi ngẫu nhiên 4 học sinh lên bảng giải bài tập Tính xác suất để 4 học sinh được gọi có cả nam và nữ 6.8 Chứng minh rằng n+1 n+2 1 k Cn+1 + 20 1 k+1 Cn+1 = 1 k Cn k (n, k là các số nguyên dương, k n, Cn là số tổ hợp chập... hệ số của x5 trong khai triển thành đa thức của x(1 − 2x)5 + x2 (1 + 3x)10 6.17 Đội thanh niên xung kích của một trường phổ thông có 12 học sinh, gồm 5 học sinh lớp A, 4 học sinh lớp B và 3 học sinh lớp C Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ sao cho 4 học sinh này thuộc không quá 2 trong 3 lớp trên Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy ? A4 + 3A3 n+1 2 6.18 Tính giá trị của biểu thức M = n+1 , biết rằng... 5.1 Bài tập về bất phương trình chứa căn thức Bài tập bất phương trình chứa căn thức trong các đề thi đại học 5.1 Giải bất phương trình: 5.2 Giải bất phương trình: 5.3 Giải bất phương trình: 5.4 Giải bất phương trình: 5.5 Giải bất phương trình: 5.2 x− √ x 1 1 − 2(x2 √ x + 1) √ − √ 5x − 1 − x − 1 > 2x − 4 2(x2 − 16) √ 7−x √ + x−3> √ x −√ 3 x−3 √ x + 1 + √2 − 4x + 1 3 x x (x2 − 3x) 2x2 − 3x − 2 0 Bài tập. .. Cho tập hợp A gồm n phần tử (n 4) Biết rằng, số tập con gồm 4 phần tử của A bằng 20 lần số tập con gồm 2 phần tử của A Tìm k ∈ {1, 2, , n} sao cho số tập con gồm k phần tử của A là lớn nhất 6.11 Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người, gồm 12 nam và 3 nữ Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ ? 6.12 Trong một môn... (TN - 2013) Tính tích phân I = (x + 1) cos x dx 0 8.16 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = ex , y = 2 và đường thẳng x = 1 8.17 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = ln x, x = 1, x = e và trục Ox 31 8.18 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x3 và y = 4x 8.19 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x3 + 11x − 6 và y = 6x2 8.2 Bài tập . Nguyễn Thanh Triều      BÀI TẬP TOÁN ÔN THI TỐT NGHIỆP VÀ ĐẠI HỌC 2013 - 2014 Tháng 05 - 2013 Để biết thêm về các tài liệu toán học, đọc giả có thể truy cập vào trang web cá nhân của tác. các đề thi đại học . . . . . . . . . . . 40 10 Bài tập về hình học 42 10.1 Bài tập hình học trong các đề thi tốt nghiệp . . . . . . . . . 42 10.2 Bài tập hình học trong các đề thi đại học . logarit 11 2.1 Bài tập lũy thừa và logarit trong các đề thi tốt nghiệp . . . 11 2.2 Bài tập lũy thừa và logarit trong các đề thi đại học . . . . . 11 2.3 Bài tập bổ sung về lũy thừa và logarit .