TRNG THPT HNG VNG THI TH I HC, CAO NG NM 2010 TT LUYN THI HC Mụn thi : TON Thi gian lm bi : 180 phỳt, khụng k thi gian phỏt A. PHN CHUNG CHO TT C CC TH SINH: ( 7 im) CõuI: ( 2im) Cho hàm số y = x 3 + 3x 2 + mx + 4m - 4 (1) 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 0. 2. Tìm các giá trị m để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng (-1, 1). Cõu II: (2im) 1. Tìm m để hệ phơng trình sau đây có nghiệm : ( ) 2 2 ( 2)( 2) 5 6 , 2( ) 2 xy x y m x y R x y x y m + + = + + + = 2. Giải phơng trình : 7 3 5 sin cos sin cos sin 2 cos7 0 2 2 2 2 x x x x x x+ + = Cõu III: (1im) Tính tích phân: = + 3 2 0 4sin x I dx 1 cosx Cõu IV: (1im) Cho hình chóp SABC mà mỗi mặt bên là một tam giác vuông SA= SB = SC = a. Gọi M, N, E lần lợt là trung điểm của các cạnh AB, AC, BC. D là điểm đối xứng của S qua E, I là giao điểm của đờng thẳng AD với mặt phẳng (SMN). Chứng minh rằng AD SI và tính theo a thể tích của khối tứ diện MBSI. Cõu V: (1im) Cho a,b,c là ba cạnh của một tam giác Chng minh rng : 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 3 0a a b c b b c a c c b a abc + + + B. PHN T CHN: Thí sinh chọn một trong hai phần I. Theo chng trỡnh chun: ( 3 im) Cõu VIa: (2im) 1. Trong mặt phẳng toạ độ cho đờng tròn (C): 2 2 12 4 36 0x y x y+ + = . Viết phơng trình đờng tròn tiếp xúc với hai trục toạ độ và tiếp xúc ngoài với (C). 2. Trong hệ trục tọa độ Oxyz cho tam giác ABC với A(1; 2; 5), B(1; 4; 3), C(5; 2; 1) và mặt phẳng (P): x - y - z - 3 = 0. Gọi M là một điểm thay đổi trên mặt phẳng (P). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 222 MCMBMA ++ Cõu VIIa: (1im) Tìm số phức z, nếu 2 0z z+ = . II. Theo chng trỡnh nõng cao: ( 3 im) Cõu VIb: (2im) 1. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho đờng thẳng (D) : x- 3y - 4=0 và đờng tròn (C): x 2 + y 2 4y = 0. Tìm M thuộc (D) và N thuộc (C) sao cho chúng đối xứng nhau qua A(3;1). 2. Trong khụng gian vi h trc ta Oxyz, cho hai đờng thẳng 1 1 3 4 : , : 3 2 1 3 3 x t x y z d y t z t = + = = = = và mp(P) : 3 2 0x y z + + = . Viết phơng trình hình chiếu của lên mp(P) theo phơng d. Cõu VIIb: (1im) Giải phơng trình: 3 2 1 3 2 2 8 2 2 log (4 4 4) x x x x + + = + Hết Hớng dẫn môn toán - Điểm toàn bài không làm tròn. - Học sinh làm các khác nếu đúng vẫn đợc điểm tối đa. - Nếu học sinh làm cả hai phần trong phàn tự chọn thì không tính điểm phần tự chọn. Câu Nội dung Điểm I.1 Khảo sát hàm số 1,00 1. Tập xác định: R 2. Sự biến thiên: 1. Khi m = 0 hàm số trở thành: y = x 3 + 3x 2 - 4 - TX: D = R - Gii hn: lim , lim x x y y + = + = 0,25 - y = 3x 2 + 6x ; y = 0 x = 0 hoc x = -2 - Bng bin thiờn x - -2 0 + y + 0 - 0 + y 0 + - -4 - th: x y 1 0.25 0.25 0.25 I.2 . Tỡm m hm s nghch bin trờn (-1, 1) 1,00 2. TX: D = R - y = 3x 2 + 6x + m 0,25 hm s nghch bin trờn (-1, 1) ( ) ( ) 2 ' 0, 1,1 3 6 ; 1,1 y x m x x x 0.25 Xột hm s: g(x) = 2 3 6x x vi x (-1, 1). Ta cú bng bin thiờn: x -1 1 0,5 g(x) 0 - g(x) 3 -9 T bng bin thiờn suy ra giỏ tr Cn tỡm m -9 II.1 Giải hệ phơng trình đại số 1,00 1. t 2 2 2 1, 2 1u x x v y y= + = + a h v : 5 6 2 uv m u v m = + = 0,25 u, v l cỏc nghim ca phng trỡnh : 2 2 5 6 0t mt m + = 0,25 H ó cho cú nghim khi v ch khi tn ti 1 2 ; 1t t 3 5 2 7 m m 0,50 II.2 2. Giải phơng trình lơng giác 7 3 5 sin cos sin cos sin 2 cos7 0 2 2 2 2 x x x x x x+ + = 1,00 Phơng trình đã cho tơng đơng với Sin9x + sin3x = 0 0,50 2 sin6xcos3x = 0 sin 6 0 cos3 0 x x = = 0,25 6 6 6 3 k x k x x k = = = + , (k )Z . 0,25 III Tính tích phân = + 3 2 0 4sin x I dx 1 cosx 1,00 = = = + + + 3 2 2 4sin x 4sin xsinx 4(1 cos x)sinx 4sinx 2sin2x 1 cosx 1 cosx 1 cosx 0,25 2 2 0 0 4 sin 2 sin 2xdxI xdx = 0,25 2 2 0 0 4cos cos 2I x x = + 0,25 Vậy 2I = 0,25 IV 1,00 Trong (ABC) AE ∩ MN = J ⇒ SJ = (SMN) ∩ (ASD) Trong (ASD) SJ ∩ AD = I ⇒ I = AD ∩ (SMN) Ba tam giác SAB,SAC,SBC là các tam giác vuông cân bằng nhau ⇒ SA,SB,SC đôi một vuông góc và ∆ ABC là tam giác đều cạnh 2a BSCD là hình vuông cạnh a 0.25 ( ) BD SB BD SAB BD SM BD SA ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ ⊥ Lại có SM ⊥ AD nên SM ⊥ (ABD) ⇒ SM ⊥ AD (1) ( ) BC SD BC SAD BC AD BC SA ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ ⊥ 0,25 Mà MN// BC ⇒ MN ⊥ AD (2) Từ (1) và (2) ⇒ AD ⊥ (SMN) ⇒ AD ⊥ SI (đpcm) 0,25 Trong (SBD) kẻ IH // BD (H ∈ AB) ⇒ IH ⊥ (SAB) 2 2 2 2 2 2 . 1 3 3 IH AI AI AD SA a BD AD AD SA SD a = = = = = + ⇒ IH = a/3 S SMB = 1/2 . S SAB = 2 4 a , 0,25 V MBSI = 2 3 1 1 . . . 3 3 3 4 36 SMB a a a IH S = = 0,25 V Cho a,b,c lµ ba c¹nh cña mét tam gi¸c Chứng minh rằng : 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 3 0a a b c b b c a c c b a abc− − + − − + − − + ≥ 1,00 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 3 cos cos cos 2 a b c b c a c a b ab bc ca A B C + − + − + − ⇔ + + ≤ ⇔ + + ≤ 0,50 2 2 2 2 cos cos cos (cos cos ).1 (cos cos sin sin ) 1 1 3 [(cos cos ) 1 ]+ [sin A+sin B]-cos cos 2 2 2 A B C A B A B A B A B A sB + + = + − − ≤ + + = 0,50 J H I D E N M S C B A 3 cos cos cos 2 A B C+ + ≤ VIa.1 . Trong mặt phẳng tọa độ cho đường tròn (C): 2 2 12 4 36 0x y x y+ − − + = . Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với hai trục tọa độ và tiếp xúc ngoài với (C). 1,00 Viết lại đường tròn (C): 2 2 ( 6) ( 2) 4.x y− + − = Vậy (C) là đường tròn tâm I(6 ; 2) và bán kính R = 2. Gọi đường tròn cần tìm có tâm I 1 (a ; b) và bán kính R 1 : 2 2 2 1 ( ) ( )x a x b R − + − = Do đường tròn cần tìm tiếp xúc với hai trục tọa độ nên ta có: 1 .a b R= = 0,25 Trường hợp 1: a = b, 1 R a= .Vì đường tròn cần tìm tiếp xúc ngoài với (C) nên ta có: 2 2 2 2 1 1 2 ( 6) ( 2) 2 2 16 40 4 4 16 36 4 (1) II R R a a a a a a a a a a = + ⇔ − + − = + ⇔ − + = + + ⇔ − + = * Nếu a > 0 thì (1) 2 2 20 36 0 18 a a a a = ⇔ − + = ⇔ = Trường hợp này có hai đường tròn là: (C 1 ): 2 2 ( 2) ( 2) 4x y− + − = và (C 2 ): 2 2 ( 18) ( 18) 324.x y− + − = * Nếu a < 0 thì (1) 2 12 36 0 6.a a a⇔ − + = ⇔ = Kết hợp điều kiện a > 0 thì không có giá trị nào của a thỏa mãn. 0,25 Trường hợp 2: a = - b, 1 R a= . Lúc này làm tương tự như trên ta có 2 2 2 2 1 1 2 ( 6) ( 2) 2 2 8 40 4 4 8 36 4 (2) II R R a a a a a a a a a a = + ⇔ − + − − = + ⇔ − + = + + ⇔ − + = 0,25 Giải phương trình (2) ta tìm được a = 6. Vậy đường tròn thứ ba phải tìm là: (C 3 ): 2 2 ( 6) ( 6) 36.x y− + − = 0,25 VIa.2 Tìm giá trị nhỏ nhất 1,00 Tacó ( ) ( ) ( ) 222 222 GCMGGBMGGAMGMCMBMAF +++++=++= 22222222 GCGBGAMG3)GCGBGA(MG2GCGBGAMG3 +++=++++++= 0,25 F nhỏ nhất MG 2 nhỏ nhất M là hình chiếu của G lên (P) 0,25 33 19 111 333/83/7 ))P(,G(dMG = ++ == 0,25 3 64 9 104 9 32 9 56 GCGBGA 222 =++=++ Vậy F nhỏ nhất bằng 9 553 3 64 33 19 .3 2 =+ khi M là hình chiếu của G lên (P) 0,25 VII.a Đặt z = x + yi, khi đó ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 ( ) 0 2 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 (1 ) 0 1 0 (1 ) 0 z x yi x y x y x y xyi x y y x y x y y xy x x x x y y y y y x x z + = + + + = + + + = = + = + + = = = + = = = = = = = + = 0 (do 1 0) 0 0, 0 0, 1 0, 1 0, 0 x x y x y x y x y y x = + > = = = = = = = = = 1,00 Câu 6b Ta có1.M (D) M(3b+4;b) N(2 3b;2 b) 0,25 N (C) (2 3b) 2 + (2 b) 2 4(2 b) = 0 b = 0;b = 6/5 0,5 Vy cú hai cp im: M(4;0) v N(2;2) , M(38/5;6/5) v N(-8/5; 4/5) 0,25 VIb.1 Viết phơng trình đờng tròn 1,00 Ta có 4x 2 4x+4 = (2x-1) 2 + 3 3 log 3 (4x 2 -4x+4) 1, VP 8 0,25 MÆt kh¸c theo B§T C«-si, ta cã: VT ≥ 8 0,25 ⇒ (19) ⇔ 3 2 1 3 2 2 2 2 8 8 8 log (4 4 4) x x x x + − + = = − + 0,25 gi¶i hÖ ta cã nghiÖm cña PT lµ x = 1 2 0,25 VIb.2 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt 1,00 0,25 0,25 0,25 0,25 . TRNG THPT HNG VNG THI TH I HC, CAO NG NM 2010 TT LUYN THI HC Mụn thi : TON Thi gian lm bi : 180 phỳt, khụng k thi gian phỏt A. PHN CHUNG CHO TT C CC TH SINH:. R 2. Sự biến thi n: 1. Khi m = 0 hàm số trở thành: y = x 3 + 3x 2 - 4 - TX: D = R - Gii hn: lim , lim x x y y + = + = 0,25 - y = 3x 2 + 6x ; y = 0 x = 0 hoc x = -2 - Bng bin thi n x. 0.25 Xột hm s: g(x) = 2 3 6x x vi x (-1, 1). Ta cú bng bin thi n: x -1 1 0,5 g(x) 0 - g(x) 3 -9 T bng bin thi n suy ra giỏ tr Cn tỡm m -9 II.1 Giải hệ phơng trình đại số 1,00 1.