Chuyên đề SỐ PHỨC−ĐẠI SỐ TỔ HỢP I. SỐ PHỨC A. LÝ THUYẾT I. Dạng đại số ( vẫn còn nhớ ) II. Dạng lượng giác của số phức ( ) cos sinz r i ϕ ϕ = + (r > 0) là dạng lương giác của z = a + bi (a, b ∈ R, z ≠ 0) * 2 2 r a b= + là môđun của z. * ϕ là một acgumen của z thỏa cos sin a r b r ϕ ϕ = = 1. Nhân chia số phức dưới dạng lượng giác. Nếu ( ) cos sinz r i ϕ ϕ = + , ( ) ' ' cos ' sin 'z r i ϕ ϕ = + thì: * ( ) ( ) . ' . ' cos ' sin 'z z r r i ϕ ϕ ϕ ϕ = + + + * ( ) ( ) cos ' sin ' ' ' z r i z r ϕ ϕ ϕ ϕ = − + − 2. Công thức Moivre: *n N∈ thì ( ) ( ) cos sin cos sin n n r i r n i n ϕ ϕ ϕ ϕ + = + 3. Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác Căn bậc hai của số phức ( ) cos sinz r i ϕ ϕ = + (r > 0) là cos sin 2 2 r i ϕ ϕ + ÷ và cos sin 2 2 r i ϕ ϕ − + ÷ B. BÀI TẬP 1. (ĐH_Khối A 2009) Gọi z 1 , z 2 là hai nghiệm của phương trình z 2 +2z+10=0. Tính giá trị biểu thức 2 2 2 1 zzA += . ĐS: A=20 2. Cho z 1 , z 2 là các nghiệm phức của phương trình 2 2 4 11 0z z− + = . Tính giá trị của biểu thức ( ) 2 2 1 2 2 1 2 z z A z z + = + . ĐS: A=11/4 3. (CĐ_Khối A 2009) a. Số phức z thỏa mãn (1+i) 2 (2−i)z=8+i+(1+2i)z. Tìm phần thực, phần ảo của z. b. Giải phương trình sau trên tập số phức: iz iz iz 2 734 −= − −− . ĐS: a. a=2, b=−3 b. z=1+2i, z=3+i 4. Tìm số phức z thoả mãn: 2 2z i− + = . Biết phần ảo nhỏ hơn phần thực 3 đơn vị. ĐS: ( ) ( ) 2 2 1 2 , 2 2 1 2z i z i= − − + = + − − . 5. (ĐH_Khối B 2009) Tìm số phức z thỏa mãn ( ) 102 =+− iz và 25. =zz . ĐS: z=3+4i hoặc z=5 6. Tìm số phức z thỏa mãn: ( ) ( ) 1 1 1 3 1 2 z z i z i z i − = − − = + . HD: Gọi z=x+yi; (1)⇒x=y, (2)⇒y=1. ĐS: z=1+i. Chuyên đề: ĐẠI SỐ TỔ HỢP_SỐ PHỨC 1 7. Giải phương trình: 4 1 z i z i + = ÷ − . ĐS: z∈{0;1;−1} 8. Giải phương trình: 2 0z z+ = . HD: Gọi z=x+yi thay vào phương trình ⇒ x, y ⇒ z. ĐS: z∈{0;i;−i} 9. Giải phương trình: 2 0z z+ = . HD: Gọi z=x+yi thay vào phương trình ⇒ x, y ⇒ z. ĐS: z=0, z=−1, 1 3 2 2 z i= ± 10. Giải phương trình: 2 4 3 1 0 2 z z z z− + + + = . HD: Chia hai vế phương trình cho z 2 . ĐS: z=1±i, 1 1 2 2 z i= − ± . 11. Giải phương trình: z 5 + z 4 + z 3 + z 2 + z + 1 =0. HD: Đặt thừa số chung ĐS: 1 3 1 3 1, , 2 2 2 2 z z i z i= − = ± = − ± . 12. Cho phương trình: (z + i)(z 2 −2mz+m 2 −2m)=0. Hãy xác định điều kiện của tham số m sao cho phương trình: a. Chỉ có đúng 1 nghiệm phức. b. Chỉ có đúng 1 nghiệm thực. c. Có ba nghiệm phức. 13. Tìm đa thức bậc hai hệ số thực nhận α làm nghiệm biết: a. α = 2−5i b. α = −2−i 3 c. α = 3 - 2i 14. Giải phương trình sau biết chúng có một nghiệm thuần ảo: a. z 3 −iz 2 −2iz−2 = 0. b. z 3 +(i−3)z 2 +(4−4i)z−7+4i = 0. 15. (ĐH_Khối D 2009) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thõa mãn điều kiện ( ) 243 =−− iz . ĐS: (x−3) 2 +(y+4) 2 =4 16. Xác định tập hợp các điểm trên mặt phẳng biểu diễn số phức: 2 2z i z z i− = − + . ĐS: 2 4 x y = . 17. Trong các số phức thỏa mãn 3 2 3 2 z i− + = . Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất. HD: *Gọi z=x+yi. 3 2 3 2 z i− + = ⇒ … ⇒ ( ) ( ) 2 2 9 2 3 4 x y− + + = . * Vẽ hình ⇒|z| min ⇒z. ĐS: 26 3 13 78 9 13 13 26 z i − − = + . 18. Tìm phần thực, phần ảo của các số phức sau: a. ( ) 10 9 (1 i) 3 i + + . b. ( ) 7 5 cos sin 1 3 3 3 i i i π π − + ÷ . HD: Sử dụng công thức Moivre. ĐS: a. Phần thực 1 16 − , phần ảo bằng 0, b. Phần thực 0, phần ảo bằng 128. 19. Tìm phần thực và phần ảo của số phức sau: 1+(1+i)+(1+i) 2 +(1+i) 3 + … + (1+i) 20 . Chuyên đề: ĐẠI SỐ TỔ HỢP_SỐ PHỨC 2 HD: Áp dụng công thức tính tổng của CSN. ĐS: phần thực −2 10 , phần ảo: 2 10 +1. II. ĐẠI SỐ TỔ HỢP A. LÝ THUYẾT 1. Giai thừa: n!= n.(n−1)!=n.(n−1).(n−2). … .3.2.1, n≥0. 2. Số chỉnh hợp chập k của n phần tử: ( ) ! ! kn n A k n − = , n≥k>0. 3. Số tổ hợp chập k của n phần tử: ( ) !! ! knk n C k n − = , n≥k≥0. 4. Quy ước n!=0!=1. 5. Nhị thức Newton ( ) nn n nn n nn n n n n n n n n bCabCbaCbaCbaCaCba ++++++=+ −−−−−− 11222222110 . Công thức số hạng tổng quát: kknk nk baCT − + = 1 , 0≤k≤n. B. BÀI TẬP 1. (CĐ_Khối D 2008) Tìm số hạng không chứa x rtrong khai triển nhị thức Newton của 18 5 1 2 + x x , (x>0). ĐS: 6528 2. (ĐH_Khối D 2004) Tìm số hạng không chứa x rtrong khai triển nhị thức Newton của 7 4 3 1 + x x với x>0. ĐS: 35 3. (ĐH_Khối A 2003) Tìm số hạng chứa x 8 trong khai triển nhị thức Newton của n x x + 5 3 1 , biết rằng ( ) 37 3 1 4 +=− + + + nCC n n n n , (n nguyên dương, x>0, ( k n C là số tổ hợp chập k của n phần tử). ĐS: 495 4. (ĐH_Khối D 2005) Tính giá trị biểu thức ( ) !1 3 34 1 + + = + n AA M nn , biết rằng 14922 2 4 2 3 2 2 2 1 =+++ ++++ nnnn CCCC (n là số nguyên dương, k n A là số chỉnh hợp chập k của n phần tử và k n C là số tổ hợp chập k của n phần tử) ĐS: 4 3 =M 5. (ĐH_Khối A 2006) Tìm số hạng chứa x 26 trong khai triển nhị thức Newton của n x x + 7 4 1 , biết rằng 12 20 12 2 12 1 12 −=+++ +++ n nnn CCC , (n nguyên dương và k n C là số tổ hợp chập k của n phần tử). ĐS: 210 6. (ĐH_Khối D 2008) Tìm số nguyên dương n thỏa mãn hệ thức 2048 12 2 3 2 1 2 =+++ −n nnn CCC . ( k n C là số tổ hợp chập k của n phần tử). ĐS: n=6 7. (ĐH_Khối D 2007) Tìm hệ số của x 5 trong khai triển thành đa thức của x(1−2x) 5 +x 2 (1+3x) 10 . ĐS: 3320 8. (ĐH_Khối D 2003) Với n là số nguyên dương, gọi a 3n − 3 là hệ số của x 3n − 3 trong khai triển thành đa thức của (x 2 +1) n (x+2) n . Tìm n để a 3n − 3 =26n. Chuyên đề: ĐẠI SỐ TỔ HỢP_SỐ PHỨC 3 ĐS: n=5 9. (ĐH_Khối D 2002) Tìm số nguyên dương n sao cho 0 1 2 2 4 2 243 n n n n n n C C C C+ + + + = . ĐS: n=5 10. (ĐH_Khối B 2008) Chứng minh rằng k n k n k n CCC n n 111 2 1 1 11 = + + + + ++ (n, k là các số nguyên dương, k≤n, k n C là số tổ hợp chập k của n phần tử). 11. (ĐH_Khối B 2007) Tìm hệ số của số hạng chứa x 10 trong khai triển nhị thức Newton của (2+x) n , biết: 3 n C n 0 −3 n − 1 C n 1 +3 n − 2 C n 2 −3 n − 3 C n 3 + … +(−1) n C n n =2048 (n là số nguyên dương, k n C là số tổ hợp chập k của n phần tử). ĐS: 22 12. (ĐH_Khối B 2006) Cho tập A gồm n phần tử (n≥4). Biết rằng, số tập con gồm 4 phần tử của A bằng 20 lần số tập con gồm 2 phần tử của A. Tìm k∈{1,2,…,n} sao cho số tập con gồm k phần tử cua A lớn nhất. ĐS: k=9 13. (ĐH_Khối B 2003) Cho n là số nguyên dương. Tính tổng n n n nnn C n CCC 1 12 3 12 2 12 1 2 3 1 2 0 + − ++ − + − + + , ( k n C là số tổ hợp chập k của n phần tử). ĐS: 1 23 11 + − ++ n nn 14. (ĐH_Khối B 2002) Cho đa giác đều A 1 A 2 …A n (n≥2, n nguyên) nội tiếp đường tròn tâm (O). Biết rằng số tam giác có các đỉnh là 3 trong 2n điểm A 1 A 2 …A n nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n điểm A 1 A 2 …A n , tìm n. ĐS: n=8 15. (ĐH_Khối A 2008) Cho khai triển (1+2x) n =a 0 +a 1 x+ … +a n x n , trong đó n∈N* và các hệ số a 0 , a 1 ,…a n thỏa mãn hệ thức 4096 2 2 1 0 =+++ n n a a a . Tìm số lớn nhất trong các số a 0 , a 1 ,…a n . ĐS: a 8 =126720 16. (ĐH_Khối A 2007) Chứng minh rằng 2 1 3 5 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 1 2 4 6 2 2 1 n n n n n n C C C C n n − − + + + + = + , ( k n C là số tổ hợp chập k của n phần tử). 17. (ĐH_Khối A 2005) Tìm số nguyên dương n sao cho ( ) 20052.122.42.32.2 12 12 24 12 33 12 22 12 1 12 =+++−+− + +++++ n n n nnnn CnCCCC , ( k n C là số tổ hợp chập k của n phần tử). ĐS: n=1002 18. (ĐH_Khối A 2004) Tìm hệ số của x 8 trong khai triển thành đa thức của [1+x 2 (1−x)] 8 . ĐS: 238 19. (ĐH_Khối A 2002) Cho khai triển nhị thức Chuyên đề: ĐẠI SỐ TỔ HỢP_SỐ PHỨC 4 n x n n n x x n n x n x n n x n n x x CCCC + ++ + = + − − − − − − − −− − − 3 1 3 2 1 1 3 1 2 1 1 2 1 0 3 2 1 22222222 (n là số nguyên dương). Biết rằng trong khai triển đó 13 5 nn CC = và số hạng thứ 4 bằng 20n, tìm n và x. ĐS: n=7, x=4 20. Cho số phức z=1+i. a. Viết khai triển nhị thức Newton của nhị thức (1+i) n . b. Tính các tổng S 1 =1−C n 2 +C n 4 −C n 6 +… S 2 =C n 1 −C n 3 +C n 5 −… 21. Chứng minh rằng C 100 0 –C 100 2 +C 100 4 –C 100 6 + … –C 100 98 +C 100 100 =–2 50 . −o0o− Chuyên đề: ĐẠI SỐ TỔ HỢP_SỐ PHỨC 5