Mot so bai on luyen HSG 8

1. Phân tích đa thức thành nhân tử 1.(a - x)y 3 - (a - y)x 3 + (x - y)a 3 . 2.bc(b + c) + ca(c + a) + ba(a + b) + 2abc. 3.x 2 y + xy 2 + x 2 z + xz 2 + y 2 z + yz 2 + 2xyz. 2. Tìm x,y thỏa mãn: x 2 + 4y 2 + z 2 = 2x + 12y - 4z - 14. 3. Cho a +| b + c + d = 0. Chứng minh rằng a 3 + b 3 + c 3 + d 3 = 3(c + d)( ab + cd). 4. Chứng minh rằng nếu x + y + z = 0 thì : 2(x 5 + y 5 + z 5 ) = 5xyz(x 2 + y 2 + z 2 ). 5. Chứng minh rằng với x,y nguyên thì : A = y 4 + (x + y) (x + 2y) (x + 3y) (x + 4y) là số chính phương. 6. Biết a - b = 7. Tính giá trị của biểu thức sau: ( ) ( ) ( ) 1311 22 +−−+−−+ baababbbaa 7. Cho x,y,z là 3 số thỏa mãn đồng thời:      =++ =++ =++ 1 1 1 333 222 zyx zyx zyx . Hãy tính giá trị biếu thức P = ( ) ( ) ( ) 1997917 111 −+−+− zyx . 8. a.Tính 2222222 10110099 4321 +−++−+− . b.Cho a + b + c = 9 và a 2 + b 2 + c 2 = 53. Tính ab + bc + ca. 9. Cho 3 số x,y,z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 0 và xy + yz + zx = 0. Hãy tính giá trị của Biếu thức : S = (x-1) 2005 + (y - 1) 2006 + (z+1) 2007 10. Cho 3 số a,b,c thỏa điều kiện : cbacba ++ =++ 1111 . Tính Q = (a 25 + b 25 )(b 3 + c 3 )(c 2008 - a 2008 ). Sử dụng hằng đẳng thức và đồng dư 1. ( ) 72196519631961 196619641962  +++ 2. ( ) 191424 19171917  + 3. ( ) 20022 999  + 4. ( ) 183113 123456789  − 5. ( ) 1980198219811979 19811979  +− 6. ( ) 1203 333 10032  ++++ 7. ( ) 755552222 22225555  + TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT I: DẠNG • Nếu a > 0 : 2 2 2 4ac-b ax + bx +c = 4a 2 b P a x a   = + +  ÷   Suy ra 2 4ac-b = 4a MinP Khi b x=- 2a • Nếu a < 0 : 2 2 2 4 a c+b ax + bx +c = 4 a 2 b P a x a   = − −  ÷  ÷   Suy ra 2 4 a c+b ax 4 a M P = Khi b x= 2 a Một số ví dụ: 1. Tìm GTNN của A = 2x 2 + 5x + 7 Giải:A = 2x 2 + 5x + 7 = 2 5 25 25 2( 2. ) 7 4 16 16 x x + + − + = 2 2 2 5 25 56 25 5 31 5 2( ) 7 2( ) 2( ) 4 8 8 4 8 4 x x x − = + − + = + + = + + . Suy ra 31 5 8 4 MinA Khi x= = − . 2. Tìm GTLN của A = -2x 2 + 5x + 7 Giải: A = -2x 2 + 5x + 7 = - 2 5 25 25 2( 2. ) 7 4 16 16 x x − + − + = 2 2 2 5 25 56 25 5 81 5 2( ) 7 2( ) 2( ) 4 8 8 4 8 4 x x x + = − − + + = − − = − − ≤ . Suy ra 81 5 8 4 MinA Khi x = = . 3. Tìm GTNN của B = 3x + y - 8x + 2xy + 16. Giải: B = 3x + y - 8x + 2xy + 16 = 2(x - 2) + (x + y) + 8 ≥ 8. ⇒ MinB = 8 khi : ⇔ . 4. Tìm GTLN của C = -3x - y + 8x - 2xy + 2. Giải: C = -3x - y + 8x - 2xy + 2 = 10 - ≤ 10. ⇒ GTLNC = 10 khi: ⇔ . BÀI TẬP: 5. Tìm GTNN 2 5 2008A x x = − + 6. Tìm GTLN B = 1 + 3x - x 2 7. Tìm GTLN D = 2 2007 5x x − − 8. Tìm GTNN của F = x 4 + 2x 3 + 3x 2 + 2x + 1. 9. Tìm GTNN của G = 4 3 2 10 25 12x x x − + + 10. Tìm GTNN của M = x + 2y - 2xy + 2x - 10y. 11. Tìm GTNN C = ( ) 513413 2 +−−− xx 12. Tìm GTNN của N = (x +1) + ( x - 3) 13. Tìm GTNN của K = x + y - xy +x + y Bài tập: 1. Chứng minh rằng Biếu thức P = ( ) ( ) ( ) ( ) 11 11 222 222 ++−− ++++ xaaax xaaax không phụ thuộc vào x. 2. Cho biểu thức M = 82 63422 2 2345 −+ +−−+− xx xxxxx . a. Tìm tập xác định của M. b. Tính giá trị của x để M = 0. c. Rút gọn M. 3. Cho a,b,c là 3 số đôi một khác nhau. Chứng minh rằng : ( )( ) ( )( ) ( )( ) accbbabcac ba cbab ac caba cb − + − + − = −− − + −− − + −− − 222 4. Cho biểu thức : B = 10999 10 234 −+−+ + xxxx x a. Rút gọn B b. Chứng minh rằng : n 8 + 4n 7 + 6n 6 + 4n 5 + n 4  16 với n ∈ Z a. Rút gọn biểu thức : 9 9 632 6 632 32 2 2 − + − +++ − − −−+ + = x x yxxy xy yxxy yx A với x ≠ -3; x ≠ 3; y ≠ -2. b. Cho Biếu thức : A = 32 2 2 2 2 3 : 2 2 4 4 2 2 xx xx x x x x x x − −         + − − − − − + . a. Tìm điều kiện có nghĩa và Rút gọn biểu thức A. b. Tìm giá trị của x để A > 0. c. Tìm giá trị của A trong trường hợp 47 =− x . 5. a.Thực hiện phép tính: a.A = 16842 1 16 1 8 1 4 1 2 1 1 1 1 xxxx xx + + + + + + + + + + − . b. Rút gọn C = 2 2 22 22 9 9 1 9 1 9 1 9 1 a a aa aa + − + + − + − − . 6. Cho a,b,c là 3 số ≠ nhau đôi một. Tính S = ( )( ) ( )( ) ( )( ) bacb ac acba bc accb ab −− + −− + −− . 7. Tính giá trị của biểu thức : 3 3 5 3 2 − + − + − − ba ab ba ba biết: 09&05310 2222 ≠−=−− baabba 8. Cho a + b + c = 1 và 1 222 =++ cba . a. Nếu c z b y a x == . Chứng minh rằng xy + yz + zx = 0. b.Nếu a 3 + b 3 + c 3 = 1. Tính giá trị của a,b,c 9. Cho Biếu thức : 13 5 13 12 + − + − − = a a a a A . a. Tính giá trị của A khi a = -0,5. b. Tính giá trị của A khi : 10a 2 + 5a = 3. 10. Chứng minh nếu xyz = 1 thì: 1 1 1 1 1 1 1 = ++ + ++ + ++ zxzyzyxyx . 11.Chứng minh đẳng thức sau: abanabn abbnana baab baba ba aba 3396 352 9 3 2 2 22 22 22 2 +−− ++− = −− −− + − + 12.Thực hiện phép tính:       −       −       −       − 2222 2008 1 1 4 1 1 3 1 1 2 1 1 . 13.Tính tổng : S(n) = ( )( ) 2313 1 8.5 1 5.2 1 +− +++ nn . 14. Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức : A = 2 217122 23 − −+− a aaa . Biết a là nghiệm của Phương trình : 113 2 =+− aa . 15. Gọi a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác biết rằng: 8111 =       +       +       + c a b c a b Chứng minh rằng tam giác đó là tam giác đều. 16. Chứng minh rằng nếu a,b là 2 số dương thỏa điều kiện: a + b = 1 thì : ( ) 3 2 11 2233 + − = − − − ba ab a b b a 17.Thực hiện phép tính: A = ( )( ) ( )( ) ( )( ) zxzy xyz zyyx xzy zxyx yzx ++ − + ++ − + ++ − 222 18. Rút gọn biểu thức : A = cba abccb ++ −++ 3a 333 . 19. Chứng minh rằng biểu thức sau luôn dương trong TXĐ: B = ( )               − + +         + − − + − x x x x x x x x 1 1 1 1 : 1 1 33 2 2 2 20. Rút gọn rồi Tính giá trị biếu thức với x + y = 2007. A = xyyyxx xyyyxx 2)6()6( )3(2)5()5( ++++ −++++ . 21. Cho 3 số a,b,c ≠ 0 thỏa mãn đẳng thức: a acb b bca c cba −+ = −+ = −+ . Tính giá trị biểu thức P = ( )( )( ) abc accbba +++ . 22.Cho biểu thức : 2 2 2 2 2 2 2 4 . 2 4 . 2 4 yxz yzx xyz xyz zxy zxy A + − + − + − = . Chứng minh rằng nếu : x + y + z = 0 thì A = 1. . 2 5 25 56 25 5 81 5 2( ) 7 2( ) 2( ) 4 8 8 4 8 4 x x x + = − − + + = − − = − − ≤ . Suy ra 81 5 8 4 MinA Khi x = = . 3. Tìm GTNN của B = 3x + y - 8x + 2xy + 16. Giải: B = 3x + y - 8x + 2xy + 16. c 3 )(c 20 08 - a 20 08 ). Sử dụng hằng đẳng thức và đồng dư 1. ( ) 72196519631961 196619641962  +++ 2. ( ) 191424 19171917  + 3. ( ) 20022 999  + 4. ( ) 183 113 123456 789  − 5. ( ) 1 980 1 982 1 981 1979 1 981 1979  +− 6. (. (x + y) + 8 ≥ 8. ⇒ MinB = 8 khi : ⇔ . 4. Tìm GTLN của C = -3x - y + 8x - 2xy + 2. Giải: C = -3x - y + 8x - 2xy + 2 = 10 - ≤ 10. ⇒ GTLNC = 10 khi: ⇔ . BÀI TẬP: 5. Tìm GTNN 2 5 2008A x x = −