Tổng hợp một số đề và đáp án thi học sinh giỏi toán 8 hay

1 ĐỀ Bài 1:( 3,5 điểm)  x2   10 − x  x−2+  + + Cho biểu thức M =   : x+2  x − x − 3x x +      a) Rút gọn M b)Tính giá trị M x = Bài 2:(3điểm) a) Cho đa thức f(n) = n5 - 5n3 + 4n Chứng minh f(n) M120 với giá trị n ∈ N b) Tìm cặp số (x,y) thoả mãn phương trình 2x2 + y2 + 2xy – 2x + 2y + = Bài : (4 điểm) a)Cho hai số thực x, y thoả mÃn x3 3xy = 10 y − x y = 30 Tính giá trị biểu thức P = x + y 1 1 1 + + =2 b) Chøng minh r»ng nÕu + + = vµ a + b + c = abc a b c a2 b c Bài (7 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD Trên đường chéo BD lấy điểm P, gọi M điểm đối xứng điểm C qua P a) Tứ giác AMDB hình gì? b) Gọi E F hình chiếu M lên AD, AB Chứng minh EF // AC vả ba điểm E, F, P thẳng hàng c) Chứng minh tỉ số cạnh hình chữ nhật MEFN khơng phụ thuộc vào vị trí P PD = Tính cạnh hình chữ nhật PB 16 1 Bài 5(2,5 điểm) : Chứng minh x > 0, y > x + y ≥ x + y d) Giả sử CP ⊥ BD CP = 2,4 cm, Áp dụng với a, b, c cạnh tam giác p nửa chu vi CMR 1 1 1 + + ≥ 2( + + ) p−a p−b p−c a b c HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ ≠ 0, x ≠ ±2 ( 0,5 điểm) Bài 1: ĐKXĐ x a) Rút gọn M  x   10 − x + +  : x − + x +   x − x − 3x x +    x2  − + = :  x ( x − 2)( x + 2) 3( x − 2) x +  x + M = 2 −6 x+2 M = ( x − 2)( x + 2) =     2− x ( 1,5 điểm) b)Tính giá trị M x = 1 ⇔x= x = 2 1 1=3= Với x = ta có : M = − 2 1 Với x = - ta có : M = + = = 2 x = (0,5 điểm) (0,5 điểm) (0,5 điểm) Bài a) Phân tích f(n) = (n – 2)(n – 1)n(n +1)(n + 2) Lập luận f(n) M2.3.4.5 => f(n) M120 b) Tách 2x2 + y2 + 2xy – 2x + 2y + = (x + y +1)2 + (x – 2)2 = (0,5 điểm) ( điểm) (0,75 điểm) x =  y = −3 Lập luận  (0,75 điểm) Bài 3: a) Ta có : x3 − 3xy = 10 => ( x3 − 3xy ) = 100 => x − x y + x y = 100 y − 3x y = 30 => Suy ra: (y − x y ) = 900 => y − x y + x y = 900 x + x y + 3x y + y = 1000 => ( x + y ) = 1000 ⇒ x + y = 10 1 a b c 1 1 1 ⇔ + + = − 2.( + + ) a b c ab bc ca 1 a+b+c ⇔ + + = − a b c abc 1 Vì a+b+c = abc ta : + + = a b c ( điểm ) b) Ta có : ( + + )2 = Bài Vẽ hình đến câu a (0,5 điểm) ( điểm) a) Gọi O giao điểm AC BD Chỉ PO đường trung bình ∆ ACM (0,5 điểm) => PO // MA => AMDB hình thang ( 0,5 điểm) M · · b) Chứng minh IEA = OAB (0,5 điểm) I => EF // AC (0,5 điểm) Chỉ IP // AC => E, F, P thẳng hàng (1 điểm) E c) Chứng minh ∆ MAF ∆ BAD đồng dạng => tỉ số không đổi (1,5 điểm) d) Nếu D C P F O B A PD PD PB = = => =k>0 PB 16 16 => PD = 9k, PB = 16k (0,5 điểm) Từ CP ⊥ BD Chứng minh ∆ CPD ∆ DCP đồng dạng Lập tỉ số suy CP2 = PB.PD => k = 0,2 Tính PD = 1,8 PD = 3,2 (0,75 điểm) Tính BC = cm CD = cm (0,75 điểm) Bài 5: Chứng minh Bất đẳng thức thứ (0,75 điểm) Vì p nửa chu vi nên p – a > 0, p – b > 0, p – c > (0,5 điểm) Áp dụng BĐT thứ ta có 1 + ≥ = p −a p −b p −a + p −b c 1 + ≥ = p −b p −c p −b + p −c a 1 + ≥ = p−c p−a p−c+ p−a b (0,25 điểm) (0,25 điểm) (0,25 điểm) Cộng vế ta có điều phải chứng minh (0,5 điểm) ĐỀ  x   10 − x  + + Bài 1:(4 ®iĨm) Cho biểu thức M =   : x−2+ x+2     x − x − 3x x +    a Rút gọn M b.T×m x nguyên để M đạt giá lớn Bi 2:(3 ®iÓm) Cho biểu thức: A = ( b2 + c2 - a2)2 - 4b2c2 a Phân tích biểu thức A thành nhân tử b Chứng minh: Nếu a, b, c độ dài cạnh tam giác A < Bài 3:(3 ®iĨm) a Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau : A = x2 + 2y2 – 2xy - 4y + 2014 b Cho số x,y,z thỏa mãn đồng thời: x + y + z = 1: x + y + z = x + y + z = Tính tổng: S = x 2009 +y 2010 + z 2011 Bài 4:(3 điểm) a Giải phơng trình: 1 1 + + = x + x + 20 x + 11x + 30 x + 13 x + 42 18 b Giải phơng trình với nghiệm số nguyªn: x( x + x + 1) = 4y( y + 1) Bi 5:(7 điểm) Cho tam giác ABC nhọn có đờng cao AD,BE,CF cắt H a TÝnh tæng: HD HE HF + + AD BE CF b Chøng minh: BH.BE + CH.CF = BC c Chứng minh: H cách ba cạnh tam giác DEF d Trên đoạn HB,HC lấy điểm M,N tïy ý cho HM = CN Chøng minh ®êng trung trực đoạn MN qua điểm cố định .Hết Hớng dẫn chấm môn toán Nội dung Bài a  x2   x2  + +   =  x ( x − 2)( x + 2) − 3( x − 2) + x +   x − x − 3x x +    x − 2( x + 2) + ( x − 2) = ( x + 2)( x − 2) −6 = ( x + 2)( x − 2)  10 − x  ( x + 2)( x − 2) + (10 − x ) x−2+ =  x+2  x+2   = x+2 −6 x+2 ⇒ M= = ( x − 2)( x + 2) 2− x b a b a + NÕu x 〉 th× M 〈 nên M không đạt GTLN + Vậy x 2, M có Tử Mẫu số dơng, nên M muốn đạt GTLN Mẫu (2 x) phải GTNN, Mà (2 x) số nguyên dơng x = x = Vậy để M đạt GTLN giá trị nguyên x là: A = ( b2 + c2 - a2)2 - 4b2c2 = ( b2 + c2 - a2 - 2bc)( b2 + c2 - a2 + 2bc) 2 2 =  (b − c ) − a   (b + c ) − a      = (b + c – a)(b + c + a)(b – c – a)(b – c + a) Ta có: (b+c –a ) >0 ( BĐT tam giác) T¬ng tù: (b + c +a) >0 ; (b –c –a ) 0 Vậy A< A = x2 - 2xy + y2 +y2 - 4y + + 2010 = (x-y)2 + (y - 2)2 + 2010 §iĨ m 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Do (x-y) ≥ ; (y - 2) ≥ Nên:(x-y)2 + (y - 2)2 + 2010 ≥ 2010 Dấu ''='' x¶y ⇔ x – y = y – = ⇔ x = y = Vậy GTNN A 2010 t¹i x = y =2 Ta có: (x + y + z) = x + y + z + 3(x + y)(y + z)(z + x) kết hợp điều kiện cho ta có: (x + y)(y + z)(z + x) = ⇒ Một thừa số tích (x + y)(y + z)(z + x) phải Giả sử (x + y) = 0, kết hợp với đ/k: x + y + z = ⇒ z = 1, l¹i kết hợp với đ/k: x + y + z = ⇒ x = y = Vậy số x,y,z phải có số số 1, Nên tổng S ln có giá trị b a 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Phơng trình đợc biến đổi thành: (Với ĐKXĐ: { x ≠ −4; −5; −6; −7} ) 1 1 + + = ( x + 4)( x + 5) ( x + 5)( x + 6) ( x + 6)( x + 7) 18 1 1 1 ⇒( )+( )+( )= − − − x+4 x+5 x+5 x+6 x+6 x+7 18 1 = ⇒ ⇒ (x + 4)(x +7) = 54 − x+4 x+7 18 ⇒ (x + 13)(x – 2) = ⇒ x = -13 hc x = (Tháa mÃn ĐKXĐ) Vậy nghiệm phơng trình là: S = { 13; 2} b 0,5 + Phơng trình đợc biến ®ỉi thµnh: (x + 1)(x + 1) = (2y + 1) + Ta chøng minh (x + 1) (x + 1) nguyên tố ! V× nÕu d = UCLN (x+1, x + 1) d phải số lẻ (vì 2y+1 lẻ) 0,25  x2 + xM d x + 1M d d    x + 1M ⇒  ⇒  x + 1M ⇒  d ⇒ M mà d lẻ nên d = d d d  x − 1M  x + 1M  x + 1M d  + Nªn muèn (x + 1)(x + 1) số phơng Thì (x+1) (x + 1) phải số ph¬ng x +1 = k  x +1 = t  k =  k = −1 ⇒ (k + x)(k – x) = ⇒  hc  x = x = + Víi x = th× (2y + 1) = ⇒ y = hc y = -1.(Tháa m·n pt) VËy nghiệm phơng trình là: (x;y) = { (0;0), (0; 1)} Đặt: 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 A E F H M I B 0,5 K N D C O a b c d S ( HBC ) HD = S ( ABC ) AD HE S ( HCA) HF S ( HAB ) = = T¬ng tù cã: ; BE S ( ABC ) CF S ( ABC ) S ( HBC ) + S ( HCA) + S ( HAB ) HD HE HF Nªn = + + S ( ABC ) AD BE CF HD HE HF ⇒ =1 + + AD BE CF Tríc hªt chøng minh ∆ BDH : ∆ BEC ⇒ BH.BE = BD.BC Vµ ∆ CDH : ∆ CFB ⇒ CH.CF = CD.CB ⇒ BH.BE + CH.CF = BC.(BD + CD) = BC (®pcm) Tríc hÕt chøng minh: ∆ AEF : ∆ ABC ⇒ · AEF = · ABC · · Vµ ∆ CDE : ∆ CAB ⇒ CED = CBA · ⇒ · AEF = CED mà EB AC nên EB phân giác cđa gãc DEF Tríc hÕt chøng minh: T¬ng tù: DA, FC phân giác góc EDF DFE Vậy H giao điểm đờng phân giác tam giác DEF nên H cách ba cạnh tam giác DEF (đpcm) Gọi O giao điểm đờng trung trực hai đoạn MN à · HC, ta cã ∆ OMH = ∆ ONC (c.c.c) OHM = OCN (1) à à Mặt khác ta có OCH cân O nên: OHC = OCH (2) · · Tõ (1) vµ (2) ta cã: OHC = OHB HO phân giác góc BHC Vậy O giao điểm trung trực đoạn HC phân giác góc BHC nên O điểm cố định Hay trung trực đoạn MN qua điểm cố định O Chú ý: + Híng dÉn chÊm nµy cã trang, chÊm theo thang điểm 20 + Điểm toàn tổng điểm thành phần không làm tròn + Bài số phải có hình vẽ chấm + Mọi cách làm khác cho điểm tối đa tơng ứng víi tõng néi dung 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 O,25 0,25 Bi (4) Phõn tớch đa thức sau thành nhân tử : a) 4x2 – 49 – 12xy + 9y2 b) x2 + 7x + 10 A= Bài (4đ) Cho x2 − x − 2x − + − x − x − x + 10 x − a) Rút gọn A b) Tìm x nguyên để A nguyên Bài (4đ) Giải phương trình a) x + = 3x − b) x2 – = (2x + 3)(x + 5) + 23 Bài (6đ) Tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AD, BE, CF gặp H Đường thẳng vng góc với AB B đường thẳng vng góc với AC C cắt G a) Chứng minh GH qua trung điểm M BC b) ∆ABC ~ ∆AEF ˆ ˆ c) BDF = CDE d) H cách cạnh tam giác ∆DEF Bài (1đ) Cho ba số thực x, y z cho x + y + z = Chứng minh Bài (1đ) Giải bất phương trình 2007 < 2008 −x HẾT HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN HỌC Gợi ý đáp án Điểm Bài 1a) 4x2-49-12xy+9y2=(4x2-12xy+9y2)-49 =(2x-3y)2-72=(2x-3y+7)(2x-37-7) (1 đ) (1đ) Gợi ý đáp án Điểm Bài 1b) x2+7x+10 =x2+5x+2x+10 =x(x+5) +2(x+5) =(x+5)(x+2) Bài 2a) x2-7x+10=(x-5)(x-2) Điều kiện để A có nghĩa x ≠5và x ≠2 x2 − x − 2x − x2 − x − 2x − A= + − = + − = x − x − x + 10 x − x − ( x − 5)( x − 2) x − = (1đ) (1đ) (0,5đ) x − + x − x − − (2 x − 4)( x − 2) ( x − 5)( x − 2) (2đ) − x + x − 15 −( x − 5)( x − 3) − x + = = = ( x − 5)( x − 2) ( x − 5)( x − 2) x−2 2b) A = (1,5đ) −( x − 2) + 1 = −1 + , với x nguyên, A nguyên x−2 x−2 nguyên, x-2=1 x-2 =-1 nghĩa x=3, x=1 x−2 Bài 3a) Ta xét trường hợp sau TH1: x ≥ − ⇔ x + ≥ ⇒ x + = 3x − 2 ⇔ x + = 3x − ⇔ x = Ta thấy x=3 thuộc khoảng xét nghiệm phương trình TH2: x < − ⇔ x + < ⇒ x + = 3x − 2 ⇔ −2 x − = x − ⇔ x = ⇔ x = 0,2 Ta thấy x=0,2 khơng thuộc khoảng xét khơng nghiệm phương trình Kết luận phương trình có nghiệm x=3 Bài 3b) x2-2=(2x+3)(x+5)+23 ⇔x2-25=(2x+3)(x+5) ⇔(x-5)(x+5)=(2x+3)(x+5) ⇔(x-5)(x+5)-(2x+3)(x+5)=0 ⇔(x+5) [x-5 –(2x+3)] = ⇔(x+5)(-x-8)=0 ⇔ x-5=0 x+8 =0 ⇔ x=-5 x=-8 Bài 4a) Ta có BG ⊥AB, CH ⊥AB, nên A BG //CH, tương tự: BH ⊥AC, CG ⊥AC, nên BH//CG.tứ giác BGCH có cặp cạnh đối sơng song E nên hình bình hành Do hai đường F H chéo GH BC cắt trung điểm B D M C G (1đ) (1đ) (2đ) (2đ) Gợi ý đáp án Điểm đường Vậy GH qua trung điểm M BC 4b) Do BE CF đường cao tam giác ABC nên tam giác ABE ACF vng Hai tam giác vng ABE ACF có chung góc A nên AB AE AB AF = ⇒ = (1) chúng đồng dạng Từ suy AC AF AE AC Hai tam giác ABC AEF có góc A chung (2) Từ (1) (2) ta suy ∆ABC ~ ∆AEF 4c) Chứng minh tương tự ta ∆BDF~∆BAC, ∆EDC~∆BAC, suy · · ∆BDF~∆DEC⇒ BDF = CDE · · · · BDF = CDE ⇒ 900 − BDF = 900 − CDE 4d) Ta có · · ⇒· AHB − BDF = · AHC − CDE ⇒ · ADF = · ADE Suy DH tia phân giác góc EDF Chứng minh tương tự ta có FH tia phân giác góc EFD Từ suy H giao điểm ba đường phân giác tam giác DEF Vậy H ba cạnh tam giác DEF Bài 5) Ta có x3 + y3 + z3 – 3xyz = (x + y)3 + z3 – 3xyz – 3xy(x + y) = (x + y + z)[(x + y)2 – (x + y)z + z2] – 3xy(x + y + z) = (x + y + z)[(x + y)2 – (x + y)z + z2 – 3xy] = x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx =  x − xy + y + ( y − yz + z ) + ( x − xz + z )   2 2 = ( x − y ) + ( y − z ) + ( x − x )  dpcm   2007 + 2008 x 2007 < 2008 ⇔ >0 Bài 6) Điều kiện x ≠ , bất phương trình −x x ⇔ (2008 x + 2007) x > ( ) x > ⇔  x < − 2007 2008  Hoặc biểu diễn trục số : (1,5đ) (1,5đ) (1đ) 1đ 1đ − 2007 2008 Trong phần, câu, thí sinh làm cách khác cho kết đúng, hợp logic cho điểm tối đa phần, câu tương ứng Đề Bµi 1: 1) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a3 − b3 + c + 3abc 2) Cho a3 − 3ab2 = vµ b3 − 3a2b = 10 TÝnh S = a2 + b2 Bµi 2: 1) Giải phơng trình: x 2x + x − 2x + = 2) Cã tồn hay không số nguyên dơng n cho n6 + 26n = 212011 Bµi 3: 3 Rót gän biĨu thøc A = 23 − × 33 − × × 20113 − +1 +1 2011 + 10 Bµi 4: Cho ABC vuông A, có AB < AC Kẻ phân giác AD Gọi M N lần lợt hình chiếu D AB AC BN cắt CM K, AK cắt DM I, BN cắt DM E, CM cắt DN F 1) Chứng minh r»ng EF // BC 2) Chøng minh r»ng K lµ trực tâm AEF ả 3) Tính số đo BID Bµi 5: Cho a, b, c, d, e > tháa m·n ®iỊu kiƯn a + b + c + d + e = Tìm giá trị nhỏ nhÊt cđa biĨu thøc P = ( a + b + c + d) ( a + b + c ) ( a + b ) abcde HƯỚNG DẪN CHẤM Bài 1:(5 điểm) 1) (3 điểm) a3 b3 + c + 3abc = ( a − b ) + 3ab ( a − b ) + c + 3abc (1 ®) = ( a − b + c ) ( a − b ) − c ( a − b ) + c  + 3ab ( a − b + c )   (1 ®) = ( a − b + c ) ( a2 + b2 + c + ab + bc − ac ) (1 ®) 2) (2 ®iĨm) Ta cã a3 − 3ab2 = ⇒ ( a3 − 3ab2 ) = 25 ⇒ a6 − 6a 4b2 + 9a2b = 25 (0,5 ®) vµ b3 − 3a2b = 10 ⇒ ( b3 − 3a 2b ) = 100 ⇒ b6 − 6a2b + 9a 4b2 = 100 (0,5 ®) Suy 125 = a6 + b6 + 3a2b + 3a 4b2 = ( a2 + b2 ) Do ®ã S = a2 + b2 = (1 ®) Bài 2: (5 điểm) 1) (3 điểm) x 2x + x − 2x + = ⇔ x − 2x + + x − 2x + = ⇔ ( x − 1) + ( x − 1) = (1,5 đ) Vì ( x 1) ≥ ; ( x − 1) ≥ 2 (0,5 đ) x4 = Nên phơng trình tơng đơng x=1 x = (0,5 đ) (0,5 đ) Vậy phơng trình có nghiệm x = 2) (2 điểm) Giả sử tån t¹i n ∈ N* cho n6 + 26n = 212011 Ta cã 26n cã tËn cïng lµ vµ 212011 cã tËn cïng lµ VËy n6 có tận phải 5, n có tận (0,5 đ) 402 Khi n6 + 26n = 212011 cã d¹ng ( ) + 26 = ( 215 ) 21 (0,5 ®) ⇔ 25 + 76 = ( 01) 21 ⇔ 01 = 21 , vô lí Vậy không tồn số nguyên dơng n thỏa mÃn toán (0,5 đ) (0,5 đ) Bài 3: (2 điểm) Nhận xét số h¹ng cđa tỉng cã d¹ng ( ( ) )   k − ( k − 1) k + k + ( k − 1) ( k + 1) − ( k + 1) + 1 víi k = 2, 3, …, 2011 = = k + ( k + 1) k − k + ( k + 1) k − k + ( ) (1 ®) 61 OM DM OM AM = = (1), xÐt ∆ADC ®Ĩ cã (2) AB AD DC AD 1 AM + DM AD + = =1 Tõ (1) vµ (2) ⇒ OM.( )= AB CD AD AD 1 + ) =1 Chøng minh t¬ng tù ON ( AB CD 1 1 + )=2 ⇒ + = tõ ®ã cã (OM + ON) ( AB CD AB CD MN XÐt ∆ABD ®Ĩ cã 0,5® 0,5® 0,5® b, (2 ®iĨm) S AOB OB S BOC OB S S = = ⇒ AOB = BOC ⇒ S AOB S DOC = S BOC S AOD , S AOD OD S DOC OD S AOD S DOC 0,5đ Chứng minh đợc S AOD = S BOC 0,5® 0,5® ⇒ S AOB S DOC = ( S AOD ) Thay sè ®Ĩ cã 20082.20092 = (SAOD)2 ⇒ SAOD = 2008.2009 Do ®ã SABCD= 20082 + 2.2008.2009 + 20092 = (2008 + 2009)2 = 40172 (đơn vị DT) UBND HUYN KIM SN PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI - MƠN: TỐN Thời gian: 90 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu 1: (1,5 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a) 3x2 – 7x + 2; b) ( x2 – 2x)(x2 – 2x – 1) – Câu 2: (2,5 điểm) +x 4x2 −x x −3 x Cho biểu thức : A = ( − − ):( ) −x x −4 + x x −x a) Tìm ĐKXĐ rút gọn biểu thức A ? b) Tìm giá trị x để A > 0? c) Tính giá trị A trường hợp : |x – 7| = Câu 3: (2 điểm) a) Tìm x,y,z thỏa mãn phương trình sau : 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z – 6y + 20 = a b c x y z x2 y z b) Cho + + = + + = Chứng minh : + + = x y z a b c a b c Câu 4: (3 điểm) 0,5® 62 Cho hình thang cân ABCD có góc ACD = 60 , O giao điểm hai đường chéo Gọi E, F, G theo thứ tự trung điểm OA, OD, BC Tam giác EFG tam giác gì? Vì sao? Câu 5: (1 điểm) Cho x, y, z > Tìm giá trị nhỏ biểu thức P= x y z + + y+z z+x x+ y Hết Câu Đáp án Điểm = 3x2 – 6x – x + = 3x(x – 2) – (x – 2) 0,25 = (x – 2)(3x – 1) b) Đặt a = x2 – 2x 0.25 0.25 Thì x2 – 2x – = a – 0.25 Do đó:( x2 – 2x)(x2 – 2x – 1) – = a2 – a – = (a + 2) (a – 3) 0.25 Vậy: ( x2 – 2x)(x2 – 2x – 1) – = (x + 1)(x – 3)(x2 – 2x + 2) 0.25 x ≠  a) ĐKXĐ :  x ≠ ±2 x ≠  0,25 a) 3x – 7x + Câu (1.5 điểm) A= (2 + x) + x − (2 − x) x (2 − x) x2 + 8x x(2 − x ) = (2 − x)(2 + x) x( x − 3) (2 − x)(2 + x) x − = Câu (2.5 điểm) 0,25 x( x + 2) x(2 − x) 4x2 = (2 − x)(2 + x)( x − 3) x − 0,25 x ≠ 0, x ≠ ±2, x ≠ A = 4x Vậy với 0,25 0,25 x−3 b)Với x ≠ 0, x ≠ 3, x ≠ ±2 : A > ⇔ 4x2 >0 x−3 ⇔ x −3>0 ⇔ x > 3(TMDKXD) 0,25 Vậy với x > A > 0,25 0,5 x − =  x = 11(TMDKXD) ⇔  x − = −4  x = 3( KTMDKXD ) c) x − = ⇔  Với x = 11 A = 121 0,25 a) 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = ⇔ (9x2 – 18x + 9) + (y2 – 6y + 9) + 2(z2 + 2z + 1) = 0,25 ⇔ 9(x – 1)2 + (y – 3)2 + (z + 1)2 = (*) 0,25 Do : ( x − 1) ≥ 0;( y − 3) ≥ 0;( z + 1) ≥ Nên:(*) ⇔ x = 1; y = 3; 0,25 z = -1 0,25 Vậy (x,y,z) = (1; 3; -1) Câu (2.0 điểm) a b c ayz+bxz+cxy = ⇔ ayz + bxz + cxy b)Từ: + + = ⇔ x y z 0,25 xyz =0 0,25 x y z x y z + + = ⇔ ( + + )2 = Ta có : a b c a b c 2 x y z cxy + bxz + ayz ⇔ + + +2 =1 abc a b c x2 y z ⇔ + + = 1(dpcm) a b c 0,25 A B // // O - Hình vẽ X - Chứng minh: ∆ACD = ∆BDC (c.g.c) F = G 0, 0, = X · ⇒· ACD = BDC · ACD = 600 tam giác 0,25 E D 0,25 0,25 C 63 64 TRƯỜNG THCS NGUYỄN DU **************** ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI LỚP (VÒNG 2) MƠN : TỐN - THỜI GIAN : 90 PHÚT NĂM HỌC: 2007-2008 Bài 1: (2đ) a/ Cho x + y = a , x2 + y2 = b, x3 + y3 = c Chứng minh a3 + 2c = 3ab b/ Với giá trị x phân thức sau x4 + x3 + x + P= x − x3 + 2x − x + Bài 2: (1,5đ) Cho biểu thức: Q= 4a + 10a + 2a + 9a + 12a + a/ Rút gọn Q b/ Tìm giá trị a để Q đạt giá trị nguyên Bài 3: (1,5đ) Giải phương trình: x x +1 x + x + x + + + + + =5 2008 2009 2010 2011 2012 Bài 4: (2đ) Cho tam giác ABC , ba đường cao AA', BB', CC' cắt H Chứng minh: HA ' HB ' HC ' + + =1 AA ' BB ' CC ' Bài 5: (3đ) Cho hình vng ABCD M điểm tùy ý đường chéo BD Kẻ ME vng góc với AB, MF vng góc với AD a/ Chứng minh DE = CF, DE vuông góc với CF b/ Chứng minh DE, BF, CM đồng quy c/ Xác định vị trí điểm M BD để diện tích tứ giác AEMF lớn ****************************** ĐÁP ÁN TOÁN Bài 1: (2đ) a/ (0,75đ) a3 + 2c = (x + y)3 + 2(x3 + y3) = 3x3 + 3y3 + 3x2y +3xy2 3ab = 3(x + y)(x2 + y2) = 3x3 + 3y3 + 3x2y +3xy2 (0,25) (0,25) 65 Vậy: b/ (1,25đ) a + 2c = 3ab (0,25) ( x + 1)( x + 1) ( x + 1) ( x − x + 1) = Biến đổi P = (0,5) ( x + 1) − x( x + 1) ( x + 1)( x − x + 1) Lý luận mẫu thức > o với x P = ⇔ (x +1)2(x2 - x + 1) = ⇔ (x +1) = ⇔ x = -1 Bài 2: (1,5đ) a/ Biến đổi Q = 2( a + 2)(2a + 1) = (a + 2) (2a + 1) a + Thiếu điều kiện trừ 0,25đ b/ Q nguyên ⇔ a + ước ⇔ a+2 ∈ {1;−1;2;−2} ⇔ a ∈ { − 1;−3;0;−4} Bài 3: (1,5đ) (0,25) (0,25) (0,25) (a ≠ -2; a ≠ - ) (1đ) (0,25) (0,25) x x +1 x + x + x + + + + + =5 2008 2009 2010 2011 2012 x x +1 x+2 x+3 x+4 ⇔( − 1) + ( − 1) + ( − 1) + ( − 1) + ( − 1) = 2008 2009 2010 2011 2012 1 1 ⇔ (x-2008) ( + + + + )=0 2008 2009 2010 2011 2012 1 1 + + + + )≠0 Vì ( 2008 2009 2010 2011 2012 Nên x -2008 = ⇔ x = 2008 Vậy S = { 2008} (0,25) (0,25) (0,25) (0,5) (0,25) Bài 4: (2đ) Hình vẽ 0,25đ A S HBC + S HAC + S HAB = S ABC (0,5) S HBC S HAC S HAB jH + + =1 ⇔ S ABC S ABC S ABC B C A' HA'.BC HB '.AC HC '.AB ⇔ + + = (0,5) AA'.BC BB'.AC CC '.AB HA' HB ' HC ' ⇔ + + = (0,25) AA' BB ' CC ' B' C' (0,5) Bài 5: (3đ) Hình vẽ 0,25đ E B a/ (1đ) A F D C/m AEMF hình chữ nhật suy MF = AE M C/m ∆MFO vuông cân F suy MF = FD Suy AE = FD (0,25) C/m ∆DAE = ∆CDF (c.g.c) suy DE = CF (0,25) ADE = DCF C ADE+ EDC = 900 66 ⇒ DCF+ ⇒ CF ⊥ DE EDC = 900 (0,25) (0,25) b/ (0,75đ) C/m tương tự ta có EC = FB EC ⊥ FB C/m ∆FEB = ∆CME (EC = FB, ADE = DCF, ME = EB) ⇒ MCE = EFB (0,25) ⇒ MCE+ FEC = EFB+ FEC = 90 ⇒ CM ⊥ EF (0,25) ∆CEFcó CM,DE,BF đường cao nên chúng đồng qui (0,25) c/ (1đ) ME+MF=AE+EB=AB không đổi (0,25) ⇒ ME.MF lớn ⇔ ME=MF (0,25) ⇔ AEMF hình vng (0,25) ⇔ M ≡ O giao điểm hai đường chéo AC BD hình vng ABCD PHÒNG GD-ĐT TP TAM KỲ TRƯỜNG THCS NGUYỄN DU **************** ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI MƠN : TỐN - LỚP (VÒNG 2) NĂM HỌC: 2008 - 2009 THỜI GIAN : 90 PHÚT Bài 1: (2,5đ) a/ Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x5 – 5x3 + 4x b/ Cho a + b = Tính giá trị biểu thức: A = a2(2a - 3) + b2(-3 + 2b) Bài 2: (2,5đ) a/ Cho a;b;c ≠ 0, a + b + c =1 1 + + =0 a b c Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 = b/ Giải phương trình: x + 18 x + 17 x + 16 x + 15 + + + = −4 1991 1992 1993 1994 Bài 3: (2đ) Cho biểu thức: M = x2 y2 x2 y2 − − ( x + y )(1 − y ) ( x + y )(1 + x) (1 + x )(1 − y ) a/ Tìm điều kiện xác định biểu thức M b/ Rút gọn biểu thức M 67 c/ Tìm cặp số nguyên (x;y) để biểu thức M có giá trị Bài 4: (3đ) Cho hình thang ABCD (AB//CD) O giao điểm hai đường chéo AC, BD Chứng minh rằng: a/ Diện tích tam giác AOD diện tích tam giác BOC b/ Tích diện tích tam giác AOB diện tích tam giác COD bình phương diện tích tam giác BOC Hết - ĐÁP ÁN TOÁN 8: Bài 1: (2,5đ) a/ (1,5đ) x5 – 5x3 + 4x = x(x4 -5x2 + 4) (0,25) = x[x2( x2-1)-4(x2-1)] (0,5) 2 = x( x -1)(x -4) (0,25) = (x-2)(x-1)x(x+1)(x+2) (0,5) 2 b/ (1đ) A = a (2a - 3) + b (-3 + 2b) = 2(a3+b3)-3(a2+b2) (0,25) 2 2 = 2(a+b)(a –ab + b ) -3(a +b ) (0,25) 2 2 = 2(a –ab + b ) -3(a +b ) (vì a+b=1) (0,25) 2 = -2ab-a -b = -(a+b) = -1 (0,25) Bài 2: (2,5đ) a/ (1đ) (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc = (0,25) 1 ab + ac + bc + + =0 ⇒ =0 (0,25) a b c abc ⇒ ab + ac + bc = (0,25) ⇒ 2ab + 2ac + 2bc = ⇒ a2 + b2 + c2 = (0,25) x + 18 x + 17 x + 16 x + 15 + + + = −4 b/(1,5đ) 1991 1992 1993 1994 x + 2009 x + 2009 x + 2009 x + 2009 ⇔ + + + =0 (0,5) 1991 1992 1993 1994 1 1 ⇔ (x+2009) ( + + + )=0 (0,25) 1991 1992 1993 1994 1 1 ⇔ (x+2009) = + + + ≠ 0) (vì (0,5) 1991 1992 1993 1994 ⇔ x =-2009 (0,25) Bài 3: (2đ) a/ (0,5đ) x ≠ -1, y ≠ 1, x ≠ y (Thiếu,sai 1ĐK trừ 0,25đ) 68 b/ (1đ) M = 2 x y x y − − ( x + y )(1 − y ) ( x + y )(1 + x) (1 + x )(1 − y ) x (1 + x ) − y (1 − y ) − x y ( x + y ) = (0,25) ( x + y )(1 − y )(1 + x) (1 + x)(1 − y ) x (1 + y ) + y ( x − 1) ] = (0,25) ( x + y )(1 − y )(1 + x) (1 + x)(1 − y )( x + y )( x − y + xy ) = (0,25) ( x + y )(1 − y )(1 + x ) [ = x – y + xy M = ⇔ x – y + xy = ⇔ (x –1) (y+1) = c/ (0,5đ) Hoặc (0,25) (0,25) x − = x = ⇒ ⇔ (loại) y +1 = y =  x − = −1 x = ⇔ (thỏa)   y + = −2  y = −3 Vậy (x;y) = (0;-3) (0,25) Bài 4: (3đ) Hình vẽ phục vụ câu a (0,5), ( Hình vẽ chưa phục vụ chứng minh (0,25)) a/ (1,25đ) A B M O N D C H K Vẽ AH ⊥ DC, BK ⊥ DC (H,K ∈ DC) AH DC (0,25) S BDC = BK DC (0,25) ⇒ S ADC = S BDC (doAH = BK )(0,25) S ADC = ⇒ S AOD + S DOC = S BOC + S DOC (0,25) ⇒ S AOD = S BOC (0,25) b/ (1,25đ) Vẽ DM ⊥ AC (M ∈ AC), BN ⊥ AC (N ∈ AC) Ta có: S AOB S BOC BN AO AO = = OC BN OC (0,25) 69 DN AO S AOD AO = = S DOC OC DN OC (0,25) S AOB S AOD = S BOC S COD ⇒ S AOB S COD = S AOD S BOC ⇒ (0,25) ⇒ S AOB S COD = (.S BOC ) (doS AOD (0,25) = S BOC ) (0,25) TRƯỜNG THCS NGUYỄN DU **************** ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI LỚP (VỊNG 2) MƠN : TOÁN - THỜI GIAN : 90 PHÚT NĂM HỌC: 2009-2010 Bài 1: (2,5đ) a) Xác định a đa thức x3 - 3x + a chia hết cho (x - 1)2 b) Tìm x biết: x2 (x -1) + 2x (1-x) = Bài 2: (2,5đ) a) Cho biểu thức: P = x4 − x3 − x + x + x + 3x + x + Rút gọn chứng minh P không âm với giá trị cuả x b) Chứng minh rằng: Nếu a2 + b2 + c2 = ab + ac + bc a = b = c Bài 3: (2đ) a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A = 2a2b2 + 2b2c2 + 2a2c2 - a4 - b4 - c4 b) Chứng minh a,b,c ba cạnh tam giác A > Bài 4: (3đ) Cho hình bình hành ABCD Các tia phân giác góc A,B,C,D hình bình hành cắt E,F,G,H a) Tứ giác EFGH hình gì? Vì sao? b) Chứng minh EG = FH hiệu hai cạnh kề đỉnh hình bình hành ABCD c) Hình bình hành ABCD cần có thêm điều kiện để EFGH hình vng? ************************* 70 HƯỚNG DẪN CHẤM: Bài 1: (2,5đ) a) (1,25đ) x3 - 3x + a = (x2 - 2x +1)(x +2) + a - (0,75) (x3 - 3x + a) chia hết cho (x - 1)2 ⇔ a-2 = ⇔ a = b) (1,25đ) x2 (x -1) + 2x (1-x) = ⇔ x(x-1)(x-2) = (0,5) ∈ {0;1;2} Vậy x (0,75) Bài 2: (2,5đ) a) (1,25đ) (0,5) x4 − x3 − x + ( x − 1) = (0,5) x + x + 3x + x + x +2 Vì x2 ≥ với x, nên x2 + > Và (x - 1)2 ≥ với x (0,5) ( x − 1) ≥ với x, hay P ≥ (0,25) Suy x +2 P= a2 + b2 + c2 = ab + ac + bc ⇔ 2a2 +2b2 +2c2 -2ab -2ac-2bc = ⇔ (a-b)2+(a-c)2+(b-c)2 = b) (1,25đ) a − b =  ⇔ a − c = b − c =  ⇔ a=b=c (0,5) (0,25) (0,5) Bài 3: (2đ) a) (1đ) A = 2a2b2 + 2b2c2 + 2a2c2 - a4 - b4 - c4 = 4a2b2 - ( a4 + 2a2b2 + b4) + (2b2c2 + 2a2c2) - c4 (0,5) = (2ab)2- [(a2+b2)2-2c2(a2+b2)+c4] = (2ab)2-[(a2+b2) - c2]2 (0,25) = (2ab + a2 + b2 - c2)(2ab - a2 - b2+c2) = (a+b+c)(a+b-c)(c+a-b)(c-a+b) (0,25) b) (1đ) Nếu a,b,c ba cạnh tam giác a >0, b >0, c >0 (0,25) nhân tử biểu thức dương (theo bất đẳng thức tam giác) (0,5) Nên A >0 (0,25) Bài 4: (3đ) Hình vẽ 0.25đ a) (1đ) Tam giác AHD có: HAD + HDA = 1/2( A+ D) =900.Nên AHD=900 (0,5) Tương tự: BFC=900 , AEB=900 (0,25) Do tứ giác EFGH hình chữ nhật (0,25) 71 M C B H E G F A D N b) (1đ) C/m tam giác ABM cân B, E trung điểm AM (0,25) C/m tương tự G trung điểm CN Nên BG đường trung bình hình bình hành AMCN nên EG = 1/2(MC+AN)=MC (o,25) Suy MC=CB-BM= CB-BA (o,25) Vậy EG=FH=CB-AB (0,25) c) (0,75đ) C/m EG//AD , FH//AB (0,25) Hình chữ nhật EFGH hình vng ⇔ EG ⊥ FH ⇔ AD ⊥ AB ⇔ A =900 ⇔ ABCD hình chữ nhật (0,5) ( Học sinh làm cách khác cho điểm tối đa) ********************** ®Ị khảo sát học sinh giỏi Trờng THCS TT HƯng Hà - - môn: toán (thời gian làm 120 phút) Câu 1: (4 điểm): Cho a = n - 7n – a) Ph©n tÝch A thành nhân tử b) Tìm n để A = Câu 2: (4 điểm): Cho phân thức (x P= (x 2 ®Ị sè :1 ) ) + a (1 + a ) + a x + − a (1 − a ) + a x + a) Rót gän P b) Chøng minh phân thức không phụ thuộc vào x, có nghĩa với x a Câu 3: (4 ®iÓm) a) Cho a b c + + = Chøng minh r»ng b+c c+a a+b a2 b2 c2 + + =0 b+c c+a a+b b) Gi¶ sư a1, b1, c1, a2, b2, c2 số khác thoả m·n ®iỊu kiƯn : 72 a1 b1 c1 + + =0 a b2 c vµ a b2 c + + =1 a1 b1 c1 2 a + b2 + c =1 Chøng minh r»ng 2 a1 + b1 + c1 Câu 4(3 điểm): Giả phơng trình sau: a) (x - 7) (x - 5) (x – 4)(x - 2) = 72 b) x+3 = 5− x C©u 5: (5 điểm) Cho hình thang ABCD có đáy lớn CD Qua A vẽ đờng thẳng AK song song với BC Qua B vẽ đờng thẳng BI song song với AD, BI c¾t AC ë F, AK c¾t BD ë E Chứng minh a) EF//AB b) AB2 = CD.EF Đáp án - biểu điểm Câu 1: (4 điểm) a) (3 ®iÓm) A= n3 - 7n – A = n3 -4n - 3n – A = (n3 - 4n) – (3n + 6) A = n(n2 - 4)- 3(n + 2) A = n(n + 2) (n - 2) - 3(n + 2) ……………………… A = (n + 2)(n + 1)(n - 3) b) (1 ®iĨm) A = ⇔ (n + 2)(n + 1) (n -3) = ⇔ n + = hc n + = hc n - = ⇔ n = -2, n = -1, n= C©u 2: (4 điểm) a)Rút gọn P ta đợc kết cuối cùng: a2 + a +1 P= a2 − a +1 a2 + a +1 b) víi mäi x th× P = P không phụ thuộc vào x a a +1 xÐt mÉu a2 - a + 1= (a - 1/2)2 + 3/4>0 (a - 1/2)2 nên P cã nghÜa víi mäi x, mäi a C©u 3: (4 điểm) a) (2 điểm): Nhân vế a b c + + = víi a+ b+ c b+c c+a a+b sau rút gọn kết cuối ta đợc : b) đặt a1 = p, a2 a2 b2 c2 + + =0 b+c c+a a+b b1 c1 = q, =r b2 c2 ta cã p + q + r = (1) vµ 1 + + = (2) p q r 1 p+q+r + + +2 =1 pqr p2 q r 1 KÕt hỵp víi (1) ta cã: + + = p q r tõ (2) ⇒ 73 74 VËy a +b +c =1 a +b +c 2 2 2 2 C©u 4: (3 ®iÓm) a) (1,5 ®iÓm) (x = 7) (x - 5) (x 4)(x - 2) = 72 biến đổi thành phơng trình : (x2 - 9x + 14)(x2 - 9x +20) = 72 Đặt (x2 - 9x + 17)=y đợc y = ± tÝnh x1 = 1, x2 = tập nghiệm phơng trình S = 1,8 b) hai vế không âm nên bình phơng vế ta đợc x2 + 6x + =25 10x + x2 giải đợc x = S = {1} Câu 5: (5 điểm) a)(2,5 điểm) AEB ®ång d¹ng víi ∆ KED (g.g) { } ⇒ AE AB = EK KD àB đồng dạng với CFI (g.g) ⇒ AB AB = FC CI Mµ KD = CI = CD – AB ⇒ AE AF = EF // KC (định lý đảo talét AKC EK FC b)(2,5 điểm) AEB đồng dạng với KED (CMT) ⇒ ⇒ ⇒ DK + AB DE + EB = AB EB DK DE = AB EB DK + KC DB DC DB = ⇒ = (1) AB EB AB EB Do EF//DI (theo CMT: EF//KC, I THUéC kc) DB DI DB AB = ⇒ = EB EF (2) (V× DI = AB) ⇒ EB EF Tõ (1) Vµ (2) ⇒ DC AB = ⇒ AB = DC.EF AB EF 75 Phòng Giáo dục đào tạo Duy xuyấN Đề kiểm Định chất lợng học sinh khá,giỏi năm học 2009 - 2010 Môn: Toán - lớp (Thêi gian lµm bµi 120 phót)  x2   10 − x   + + : x−2+   x+2   x − x − 3x x +    Bài 1:(4 ®iĨm) Cho biểu thức: M =  a Rút gn M b.Tìm x nguyên để M đạt giá lớn nhÊt Bài 2:(3 ®iĨm) Cho biểu thức: A = ( b2 + c2 - a2)2 - 4b2c2 a Phân tích biểu thức A thành nhân tử b Chứng minh: Nếu a, b, c độ dài cạnh tam giác A < Bài 3:(3 ®iĨm) a Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: A = x2 + 2y2 – 2xy - 4y + 2014 b Cho số x,y,z thỏa mãn đồng thời: x + y + z = 1: x + y + z = x + y + z = Tính tổng: S = x 2009 +y 2010 + z 2011 Bµi 4:(3 điểm) a Giải phơng trình: 1 1 + + = x + x + 20 x + 11x + 30 x + 13 x + 42 18 b Giải phơng trình với nghiệm sè nguyªn: x( x + x + 1) = 4y( y + 1) Bi 5:(7 điểm) Cho tam giác ABC nhọn có đờng cao AD,BE,CF cắt H e TÝnh tæng: HD HE HF + + AD BE CF f Chøng minh: BH.BE + CH.CF = BC g Chứng minh: H cách ba cạnh tam giác DEF h Trên đoạn HB,HC lấy điểm M,N tïy ý cho HM = CN Chøng minh đờng trung trực đoạn MN qua ®iĨm cè ®Þnh .HÕt Họ tên thi sinh Số báo danh Phòng Giáo dục đào tạo DUY XUYÊN Hớng dẫn chấm môn toán Bài Nội dung Điểm ... CC'' ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỐN • Bài 1(3 điểm): a) Tính x = 7; x = -3 b) Tính x = 2007 c) 4x – 12.2x +32 = ⇔ 2x.2x – 4.2x – 8. 2x + 4 .8 = ⇔ 2x(2x – 4) – 8( 2x – 4) = ⇔ (2x – 8) (2x – 4) =... + 20 08 x 2007 < 20 08 ⇔ >0 Bài 6) Điều kiện x ≠ , bất phương trình −x x ⇔ (20 08 x + 2007) x > ( ) x > ⇔  x < − 2007 20 08  Hoặc biểu diễn trục số : (1,5đ) (1,5đ) (1đ) 1đ 1đ − 2007 20 08 Trong... 93 82 x + 11 x + 22 x + 33 x + 44 ⇔( + 1) + ( + 1) = ( 1) + ( + 1) 115 104 93 82 x + 126 x + 126 x + 126 x + 126 ⇔ + = + 115 104 93 82 x + 126 x + 126 x + 126 x + 126 ⇔ + − − =0 115 104 93 82