đề thi và đáp án bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán trung học cơ sở tham khảo (15)

• Ví dụ 8: a. Rút gọn Biếu thức 62 9124 2 2 −− ++ = aa aa B Với a 2 3 −≠ b. Thực hiện phép tính: ( ) aaa a a aa − + + − + ++ 2 2 2 8 : 5,01 25,0 32 (a ≠ ± 2.) Giải: a. 62 9124 2 2 −− ++ = aa aa B ( ) ( )( ) 2 32 232 32 2 − + = −+ + = a a aa a b. ( ) ( ) aa a a a aa aaa a a aa − + − + ⋅ + ++ = − + + − + ++ 2 2 8 2 2 42 2 2 2 8 : 5,01 25,0 3 232 ( ) ( ) ( ) ( ) aaa a aa aaa aa 1 2 2 2 2 422 42 2 2 = − − = − − ++− ++ = • Ví dụ 9: Thực hiện phép tính: xyyx yx yx xyyx A 2 : 22 33 22 22 −+ + − −+ = .( Với x ≠ ± y) Giải: ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 22 2 22 22 33 22 22 2 : yx yx xyyxyx yx yxyx xyyx xyyx yx yx xyyx A + − = −++ − ⋅ +− −+ = −+ + − −+ = • Ví dụ 10: Cho biểu thức : 12 1 234 34 +−+− +++ = xxxx xxx A . a. Rút gọn biểu thức A. b. Chứng minh rằng A không âm với mọi giá trị của x . Giải: 1 1 12 1 2234 34 234 34 +−++− +++ = +−+− +++ = xxxxx xxx xxxx xxx A ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 1 1 11 11 11 11 11 11 2 2 22 2 2 22 3 222 3 + + = ++− +−+ = ++− ++ = +−++− +++ = x x xxx xxx xxx xx xxxxx xxx b. ( ) ( ) 001;01; 1 1 2 2 2 2 ≥⇒>+≥+ + + = Axx x x A • Ví dụ 11: Tính giá trị biếu thức : 8765 8765 −−−− +++ +++ aaaa aaaa với a = 2007. Giải: ( ) ( ) 1313 23 3213 23 87658 8 123 8765 8765 8765 8765 8765 2007 1 1 11 1111 =⇒= +++ +++ = +++ +++ = +++ +++ = +++ +++ = +++ +++ = −−−− Ba aaa aaaa aaa aaaaa a aaa aaaa aaaa aaaa aaaa aaaa B • Ví dụ 12: Tính giá trị biếu thức : 2 2 : 2510 25 223 2 −− − +− − yy y xxx x . Biết x 2 + 9y 2 - 4xy = 2xy - 3 − x . Giải: x 2 + 9y 2 - 4xy = 2xy - 3 − x ( ) 033 2 =−+−⇔ xyx    = = ⇔    = = ⇔ 1 3 3 3 y x x yx ( )( ) ( ) ( )( ) 2 12 5 55 2 2 : 2510 25 2223 2 − +− ⋅ − +− = −− − +− − = y yy xx xx yy y xxx x C ( )( ) ( ) ( ) 3 8 2.3 2.8 5 15 −= − = − ++ = xx yx Bài tập: 11. Chứng minh rằng Biếu thức P = ( ) ( ) ( ) ( ) 11 11 222 222 ++−− ++++ xaaax xaaax không phụ thuộc vào x. 12. Cho biểu thức M = 82 63422 2 2345 −+ +−−+− xx xxxxx . a. Tìm tập xác định của M. b. Tính giá trị của x để M = 0. c. Rút gọn M. 15. Cho a,b,c là 3 số đôi một khác nhau. Chứng minh rằng : ( )( ) ( )( ) ( )( ) accbbabcac ba cbab ac caba cb − + − + − = −− − + −− − + −− − 222 16. Cho biểu thức : B = 10999 10 234 −+−+ + xxxx x a. Rút gọn B b. Chứng minh rằng : n 8 + 4n 7 + 6n 6 + 4n 5 + n 4  16 với n ∈ Z a. Rút gọn biểu thức : 9 9 632 6 632 32 2 2 − + − +++ − − −−+ + = x x yxxy xy yxxy yx A với x ≠ -3; x ≠ 3; y ≠ -2. b. Cho Biếu thức : A = 32 2 2 2 2 3 : 2 2 4 4 2 2 xx xx x x x x x x − −         + − − − − − + . a. Tìm điều kiện có nghĩa và Rút gọn biểu thức A. b. Tìm giá trị của x để A > 0. c. Tìm giá trị của A trong trường hợp 47 =− x . 19. a.Thực hiện phép tính: a.A = 16842 1 16 1 8 1 4 1 2 1 1 1 1 xxxx xx + + + + + + + + + + − . b. Rút gọn C = 2 2 22 22 9 9 1 9 1 9 1 9 1 a a aa aa + − + + − + − − . 20. Cho a,b,c là 3 số ≠ nhau đôi một. Tính S = ( )( ) ( )( ) ( )( ) bacb ac acba bc accb ab −− + −− + −− . 21. Tính giá trị của biểu thức : 3 3 5 3 2 − + − + − − ba ab ba ba biết: 09&05310 2222 ≠−=−− baabba 22. Cho a + b + c = 1 và 1 222 =++ cba . a. Nếu c z b y a x == . Chứng minh rằng xy + yz + zx = 0. b.Nếu a 3 + b 3 + c 3 = 1. Tính giá trị của a,b,c 23. Bài 11: Cho Biếu thức : 13 5 13 12 + − + − − = a a a a A . a. Tính giá trị của A khi a = -0,5. b. Tính giá trị của A khi : 10a 2 + 5a = 3. 24. Chứng minh nếu xyz = 1 thì: 1 1 1 1 1 1 1 = ++ + ++ + ++ zxzyzyxyx . 25. Chứng minh đẳng thức sau: abanabn abbnana baab baba ba aba 3396 352 9 3 2 2 22 22 22 2 +−− ++− = −− −− + − + 26. Thực hiện phép tính:       −       −       −       − 2222 2008 1 1 4 1 1 3 1 1 2 1 1 . 27. Tính tổng : S(n) = ( )( ) 2313 1 8.5 1 5.2 1 +− +++ nn . 28. Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức : A = 2 217122 23 − −+− a aaa . Biết a là nghiệm của Phương trình : 113 2 =+− aa . 29. Gọi a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác biết rằng: 8111 =       +       +       + c a b c a b Chứng minh rằng tam giác đó là tam giác đều. 30. Chứng minh rằng nếu a,b là 2 số dương thỏa điều kiện: a + b = 1 thì : ( ) 3 2 11 2233 + − = − − − ba ab a b b a 31. Thực hiện phép tính: A = ( )( ) ( )( ) ( )( ) zxzy xyz zyyx xzy zxyx yzx ++ − + ++ − + ++ − 222 32. Rút gọn biểu thức : A = cba abccb ++ −++ 3a 333 . 33. Chứng minh rằng biểu thức sau luôn dương trong TXĐ: B = ( )               − + +         + − − + − x x x x x x x x 1 1 1 1 : 1 1 33 2 2 2 34. Rút gọn rồi Tính giá trị biếu thức với x + y = 2007. A = xyyyxx xyyyxx 2)6()6( )3(2)5()5( ++++ −++++ . 35. Cho 3 số a,b,c ≠ 0 thỏa mãn đẳng thức: a acb b bca c cba −+ = −+ = −+ . Tính giá trị biểu thức P = ( )( )( ) abc accbba +++ . 36. Cho biểu thức : 2 2 2 2 2 2 2 4 . 2 4 . 2 4 yxz yzx xyz xyz zxy zxy A + − + − + − = . Chứng minh rằng nếu : x + y + z = 0 thì A = 1. HƯỚNG DẪN: 13. P = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 222 222 1 1 11 11 aa aa xaaax xaaax +− ++ = ++−− ++++ 14. M = 82 63422 2 2345 −+ +−−+− xx xxxxx . ( ) ( ) 4 13 2 2 3 + −+ = x xx 15. ( )( ) acbacaba cb − + − = −− − 11 = ( )( ) bacbcbab ac − + − = −− − 11 = ( )( ) accbbcac ba − + − = −− − 11 16. a.Rút gọn B = ( )( ) ( ) 1101 10 10999 10 2234 ++− + = −+−+ + xxx x xxxx x ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )       −< ++− +− ≠−> +− = 10; 1101 10 110; 11 1 2 2 x xxx x lxx xx b. n 8 + 4n 7 + 6n 6 + 4n 5 + n 4 ( ) [ ] 4 1 += nn 17. 9 9 632 6 632 32 2 2 − + − +++ − − −−+ + = x x yxxy xy yxxy yx A ( )( )( ) 233 0 9 9 632 6 632 32 2 2 ++− = − + − +++ − − −−+ + = yxx x x yxxy xy yxxy yx 18. a.A = 3 4 2 3 : 2 2 4 4 2 2 2 32 2 2 2 − = − −         + − − − − − + x x xx xx x x x x x x . b.A > 0 30 3 4 2 >⇔> − ⇔ x x x c.    = = ⇒=− 3 11 47 x x x  x = 11 2 121 =⇒ A  x = 3 ⇒ A không xác định 19. a.A = 3216842 1 32 1 16 1 8 1 4 1 2 1 1 1 1 xxxxx xx − = + + + + + + + + + + − . b. Rút gọn C = 1 9 9 1 9 1 9 1 9 1 2 2 22 22 −= + − + + − + − − a a aa aa . 20. S = ( )( ) ( )( ) ( )( ) bacb ac acba bc accb ab −− + −− + −− ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) 1−= −−− −−−− = −−− −+−+− = accbba accbba accbba acaccbbcbaab 21. Từ: 222222 103509&05310 ababbaabba −=⇒≠−=−− (1) Biến đổi A = 22 22 9 6153 3 3 5 3 2 ba baba ba ab ba ba − −− =− + − + − − (2) Thế (1) vào (2) ; A = - 3 22. Từ a + b + c = 1 và 1 222 =++ cba suy ra: ab + bc + ca = 0 (1) a. Nếu c z b y a x == suy ra : zyx cba zyx c z b y a x ++= ++ ++ === ( ) 222 2 zyxzyx ++=++⇒ Suy ra xy + yz + zx = 0. b. Áp dụng ( ) ( ) ( )( )( ) accbbacbacba +++=++−++ 3 333 3 Từ a 3 + b 3 + c 3 = 1. Suy ra: ( )( )( ) 03 =+++ accbba Từ đó tính được a , b , c. 23. Xem bài 21 24. Từ xyz = 1 Biến đổi yzy yz yzy y yzy zxzyzyxyx ++ + ++ + ++ = ++ + ++ + ++ 111 1 1 1 1 1 1 1 . 25. Chứng minh : ab ba abanabn abbnana baab baba ba aba − + = +−− ++− = −− −− + − + 3 3396 352 9 3 2 2 22 22 22 2 26.       −       −       −       − 2222 2008 1 1 4 1 1 3 1 1 2 1 1 . 3996 1999 2 1999 . 1998 1 1998 4.3.2 1999 5.4.3 . 1998 4.3.2 1997 3.2.1 === 27. ( )( ) ( ) 23223 1 13 1 8 1 5 1 5 1 2 1 3 1 2313 1 8.5 1 5.2 1 + =       + − − +−+−= +− +++ n n nn nn . 28. 182 2 217122 2 23 +−= − −+− = aa a aaa A .    −=⇒== −==⇒== ⇔=+− 52;1 5;13;0 113 2 Aaa AAaa aa . 29. ( ) ( ) ( ) 08111 222 = − + − + − ⇔=       +       +       + ca ac bc cb ab ba c a b c a b 30. Rút gọn ( ) ( ) ( ) ( )( ) 11 1 3 2 11 22 22 2233 ++++ −+− = + − = − − − aabbab baba ba ab a b b a 31. ( )( ) yx y zx x zxyx yzx + − + = ++ − 2 = ( )( ) zy z yx y zyyx xzy + − + = ++ − 2 ( )( ) zx x zy z zyzx xyz + − + = ++ − 2 . Cộng từng vế được A = 0. 32. A = cba abccb ++ −++ 3a 333 . ( ) ( ) cabcabcbacbaabccb −−−++++=−++ 222333 3a 33. TXĐ: 1 ±≠ x ;B = 2 1 1 x + 34. A = ( )( ) ( )( ) yxyx yxyx xyyyxx xyyyxx +++ −+++ = ++++ −++++ 6 16 2)6()6( )3(2)5()5( . 35. Từ: a acb b bca c cba −+ = −+ = −+ . Suy ra: 222 + −+ =+ −+ =+ −+ a acb b bca c cba Suy ra: a acb b bca c cba ++ = ++ = ++ Suy ra: hoặc a + b + c = 0 hoặc a = b = c. P = -1 hoặc P = 8 36. Từ: x + y + z = 0 suy ra: xyzzyx 3 333 =++ N M A = . ( ) ( ) 333333333222 41663 xzzyyxzyxxyzzyxM +++++−= ( ) ( ) 333333333222 429 xzzyyxzyxxyzzyxN ++++++= =========o0o=========