SKKN Một số kinh nghiệm dạy khoảng cách trong Hình học không gian bậc THPT

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: “MỘT SỐ KINH NGHIỆM DẠY “KHOẢNG CÁCH” TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN BẬC THPT” PHẦN I: MỞ ĐẦU I - Lí do chọn đề tài: - Hình học không gian là môn học khó đối với nhiều học sinh phổ thông. Nhiều học sinh thấy khó và trở nên chán nản khi học môn học này. Các em đó hầu như phát biểu rằng: "Trong giờ lí thuyết em hiểu bài nhưng lại không áp dụng lí thuyết vào để tự làm được bài tập". Vì vậy, khi dạy học sinh phần hình học không gian, người giáo viên đặc biệt phải quan tâm, kiên nhẫn hướng dẫn các em từng bước cách tìm ra hướng giải cho từng loại bài toán và để các em tự làm được chứ không áp đặt kết quả hoặc cách làm cho học sinh. - Sách giáo khoa Hình học 11 nâng cao và cơ bản đều viết bài "KHOẢNG CÁCH" rất đơn giản nhưng bài tập yêu cầu với học sinh thì lại không đơn giản đối với học sinh. Nếu người dạy chỉ đưa ra định nghĩa như sách giáo khoa và cho học sinh làm bài tập ví dụ thì chắc chắn không nhiều học sinh có thể làm được. Nếu dạy hết các định nghĩa trong các mục 1, 2, 3 sau đó cho học sinh làm bài tập áp dụng trong mục 4 thì học sinh sẽ rất lúng túng. Học sinh lúng túng khi tìm hình chiếu H của điểm M trên mặt phẳng (P): nó sẽ nằm trên đường thẳng nào? tại sao? ( Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) (hoặc đến đường thẳng V ) là khoảng cách giữa hai điểm M và H , trong đó H là hình chiếu của M trên mặt phẳng (P) (hoặc trên đường thẳng V - Định nghĩa 1- SGK Hình học nâng cao 11 - trang 113) - Trong cấu trúc đề thi Đại học- cao đẳng cũng như tốt nghiệp hiện nay luôn có 1 câu hình học không gian và “khoảng cách” là vấn đề rất hay được hỏi đến trong các đề thi này. Điều này cũng làm cho không ít học sinh và giáo viên lo lắng. - Toán học là môn khoa học rèn luyện tư duy cho học sinh và hình học không gian là một chương rất tốt để thực hiện nhiệm vụ này. Xuất phát từ những lí do trên, tôi đã chọn đề tài: MỘT SỐ KINH NGHIỆM DẠY “ KHOẢNG CÁCH ” TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN II - Nhiệm vụ và phạm vi đề tài: - Nêu hướng giải quyết các bài toán tìm khoảng cách trong không gian: + Khoảng từ 1 điểm đến 1 đường thẳng + Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng + Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song + Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song + Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. - Mở rộng bài toán khoảng cách. Từ các bước cụ thể , học sinh có thể tiến hành bước đầu làm được các bài tập trong SGK, sau đó sẽ làm được những bài toán trong các đề thi Đại học có liên quan đến vấn đề khoảng cách. III- Kế hoạch nghiên cứu Năm 2006, dạy lớp 11 thí điểm phân ban. Dạy tới bài khoảng cách tôi đã soạn bài rất kĩ theo SGK và hướng dẫn của SGV. Học sinh của tôi trong giờ lí thuyết rất tập trung và tôi cảm thấy các em hiểu bài. Nhưng đến giờ bài tập rất ít học sinh làm được các bài tập trong SGK. Các em đều kêu khó. Tôi rất băn khoăn suy nghĩ: khi giảng cách làm cho các em thì các em hiểu, nhưng cho tự làm bài các em lại thấy khó. Vậy phải làm thế nào cho học sinh có hướng suy nghĩ cách giải quyết cho toán? Từ đó tôi suy nghĩ và hình thành chuyên đề này. IV- Phương pháp nghiên cứu • Tìm hiểu thực tế giảng dạy, học tập ở một số trường trong tỉnh. • Nghiên cứu tài liệu • Thực nghiệm • Nhận xét V- Thời gian hoàn thành Sau năm học thí điểm, tôi vừa làm vừa rút kinh nghiệm thực tế khi giảng dạy cho những lớp khác nhau. Một năm học sau tôi đã hoàn thiện được đề tài. PHẦN II: NỘI DUNG CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ CƠ SỞ PHÁP LÍ CỦA ĐỀ TÀI I - Cơ sở lí luận SGK HHNC 11 trình bày khoảng cách rất đơn giản. Sau khi đưa ra 1 loạt các khái niệm k/c ở các mục 1, 2, 3 rồi đưa 2 ví dụ áp dụng trong mục 4. 1- Khoảng cách từ 1 điểm đến một đường thẳng và 1 mặt phẳng: H M P) H M Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) (hoặc đến đường thẳng V ) là khoảng cách giữa hai điểm M và H , trong đó H là hình chiếu của M trên mặt phẳng (P) ( hoặc trên đường thẳng V - Định nghĩa 1- SGK Hình học nâng cao 11 - trang 113) 2- Khoảng cách giữa một đường thẳng và 1 mặt phẳng song song, giữa hai mặt phẳng song song: K B P) H A Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) song song với a là khoảng cách từ 1 điểm nào đó của a đến mặt phẳng (P). ( Định nghĩa 2- SGK Hình học nâng cao 11 - trang 113) Q) K B P) H A Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ 1 điểm bất kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia. ( Định nghĩa 3- SGK Hình học nâng cao 11 - trang 114) 3- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. J I c b a Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong không gian là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường đó . ( Định nghĩa 4 - SGK Hình học nâng cao 11 - trang 115) -khoảng cách giữa hai đường chéo nhau a và b bằng kc giữa a và mp (P) chứa b và song song với a. II- Cơ sở pháp lí Vì phương pháp này hoàn toàn dùng các định lí, các tính chất, đã được học, được chứng minh trong SGK nên học sinh được sử dụng trong các kì thi. CHƯƠNG II: THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI Như đã trình bày ở trên, HÌNH HỌC KHÔNG GIAN là bài toán khó, đặc biệt là bài toán khoảng cách. Nhiều học sinh không biết bắt đầu từ đâu, dùng phương pháp nào, tại sao lại nghĩ đến kẻ đường này, vẽ đường kia Một số học sinh khá hơn thì mày mò tìm ra được cách giải bài toán theo kiểu thử sai, có khi được khi không. Một số học sinh khác gần như không có “ lối đi” cho loại bài toán này. Đề tài này mong muốn giúp các em từng bước giải quyết vấn đề trên. CHƯƠNG III: BIỆN PHÁP THỰC HIỆN VÀ KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI I - Biện pháp thực hiện - Bổ sung, hệ thống các kiến thức cơ bản mà học sinh thiếu hụt: quan hệ song song, vuông góc trong không gian. - Xây dựng các bước tính từng loại khoảng cách. - Hướng dẫn một số bài toán khoảng cách trong SGK theo các bước trên. -Sau mỗi bài toán đều có nhận xét, củng cố, chỉ ra những sai lầm dễ gặp của học sinh và phát triển mở rộng (nếu có thể) giúp học sinh ghi nhớ và phát triển tư duy năng lực sáng tạo. -Sử dụng phương pháp phù hợp với hoàn cảnh thực tế, tạo hứng thú đam mê phương pháp mới cho các em. -Kiểm tra đánh giá để rút kinh nghiệm có phương pháp phù hợp hơn. II- Nghiên cứu thực tế 1- Khoảng cách từ 1 điểm đến một mặt phẳng và đến một đường thẳng. 1.1- Khoảng cách từ 1 điểm đến một đường thẳng. Phần này chỉ lưu ý học sinh: muốn tính được độ dài của đoạn MH, người ta thường xem nó là chiều cao của tam giác MAB (với A, B thuộc đường ∆ ). Nếu tam giác MAB vuông tại M thì tính độ dài MH như thế nào? có thể nhớ lại hệ thức trong tam giác vuông: 2 2 2 1 1 1 MH MA MB = + . Nếu tam giác cân tại M? thì H là trung điểm của AB. Nếu tam giác thường? thì tính diện tích tam giác và độ dài AB, từ đó suy ra độ dài MH. B B H H A A M M H B A M Ví dụ 1: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy a, cạnh bên 2a. Tính khoảng cách từ A đến SC. Với ví dụ này học sinh không khó khăn trong việc kẻ AH vuông góc với SC ( H thuộc SC) và nêu hướng tính AH: SO.AC = AH. SC. Giáo viên thống nhất hướng tính và kết quả . H O D C B A S 1.2 - Khoảng cách từ 1 điểm đến một mặt phẳng. Sau khi đưa ra định nghĩa, giáo viên cho 1 ví dụ. Chắc chắn là nhiều học sinh sẽ lúng túng không biết điểm H nằm trên đường nào. Giáo viên yêu cầu học sinh tìm chân đường cao kẻ từ đỉnh của hình chóp đều xuống mặt phẳng đáy, tương tự cho hình chóp có các cạnh bên bằng nhau.Từ đó giáo viên có thể nhấn mạnh cho học sinh ghi nhớ trường hợp này. Tiếp đó, giáo viên yêu cầu học sinh nhắc lại 3 tính chất của 2 mặt phẳng vuông góc. Hỏi học sinh: tính chất nào có thể sử dụng trong việc kẻ đường vuông góc xuống mặt phẳng. Học sinh sẽ phát hiện ra tính chất 2 ( hai mặt phẳng vuông góc với nhau theo giao tuyến d, trong mặt này kẻ đường thẳng a vuông góc với d thì a sẽ vuông góc với mặt phẳng kia). Từ đó giáo viên cho học sinh ghi nhớ "Các bước xác định khoảng cách từ 1 điểm M đến 1 mặt phẳng (P)" như sau: + Tìm mặt phẳng (Q) qua M và vuông góc với (P). + Tìm giao tuyến a của (P) và (Q). + Trong (Q), kẻ MH vuông góc với a. Khi đó d(M;(P)) = MH. Ví dụ 2: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB =a, AD = b, AA' = c. Tính khoảng cách từ B đến (ACC'A'). H D' C' B' A' D C A B GV yêu cầu mỗi học sinh làm 1 bước (theo các bước đã hướng dẫn). + Tìm mặt phẳng qua B và vuông góc với (ACC'A'): đó là mặt phẳng (ABCD) vì mp (ABCD) vuông góc với AA' nên vuông góc với (ACC'A')) + Giao tuyến của (ABCD) và (ACC'A'): là AC. + Trong mặt (ABCD), kẻ BH vuông góc với AC (H thuộc AC), thế thì BH vuông góc với (ACC'A'). Vậy d(B; (ACC'A')) = BH. + BH là đường cao của tam giác nào? HB là đường cao của tam giác vuông ABC nên: 2 2 2 2 2 1 1 1 ab BH BH BA BC a b = + → = + Ví dụ 3: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên bằng 2a, cạnh đáy bằng a. Gọi M là trung điểm của AB. Tính khoảng cách từ M đến (SCD). Yêu cầu mỗi học sinh làm 1 bước + Mặt phẳng (Q) qua M và vuông góc với (SCD): Lưu ý học sinh chọn mp (Q) chỉ cần vuông góc với 1 đường của (SCD). Trong các đường của (SCD) hiện nay thấy DC có liên quan nhiều đến quan hệ vuông góc hơn. Yêu cầu hs đọc những đường vuông góc với CD. Từ đó hs phát hiện ra mp (SNM) vuông góc với CD (N là trung điểm của CD), hay (SNM) vuông góc với (SCD). + Giao tuyến của (SCD) và (SMN) là: SN + Trong (SMN): kẻ MH vuông góc với SN (H thuộc SN) thì MH vuông góc với (SCD). Từ đó suy ra d(M; (SCD)) = MH. N H M O D C B A S + MH là chiều cao của tam giác nào? Dựa vào tam giác SMN, học sinh có thể đưa ra hướng tính: SO.MN = MH. SN III- Thực trạng: Khi chưa được hướng dẫn các bước tiến hành của bài toán k/c từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng. Học sinh lúng túng không biết dựng khoảng cách và nhiều em không làm được bài dẫn đến chán nản và cho rằng quá khó. Sau khi phân tích hướng dẫn các em tự đưa ra các bước tiến hành dựng k/c dựa trên những kiến thức đã có của bản thân trong các tiết học trước, h/s dần làm từng bước và kết thúc được bài toán. Bước làm khó nhất của bài toán bây giờ chính là tìm mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đã cho. Các em có thể tự làm được các bài trong sách giáo khoa và tiến đến các bài toán khó hơn. BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài tập 1: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc và có độ dài lần lượt là a, 2a, 3a. Tính khoảng cách từ O đến mp (ABC). Bài tập 2: Hai tia chéo nhau Ax, By hợp với nhau góc 60 0 nhận AB làm đoạn vuông góc chung. Trên By lấy C sao cho BC =a. a) Tính k/c từ c đến Ax b) tính k/c từ C đến (ABD) Bài tập 3: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có tam giác ABC vuông tại A. BC= 2a, AB= 3a . a) Tính k/c từ A đến (A’BC) b) Chứng minh rằng AB vuông góc với (ACC’A’) và tính k/c từ A’ đến (ABC’) Bài tập 4: Hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a. SA vuông góc với (ABCD). SA=2a. (P) qua BC và cắt SA, SD theo thứ tự tại E, F.Biết AD cách (P) một khoảng là 2 2 a . Tính khoảng cách từ S đến (P) và tính diện tích của tứ giác BCFE. Bài tập 5: Hình chóp tam giác đều SABC có cạnh đáy a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60 0 . M, N lần lượt là trung điểm của SA, SB. Tính k/c giữa AB và (CMN) 2- Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song, giữa hai mặt phẳng song song. 2.1- Khoảng cách giữa 1 đường thẳng và một mặt phẳng song song. Ví dụ 4: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên bằng 2a, cạnh đáy bằng a. Tính khoảng cách giữa AB và mp(SCD). Hầu như học sinh đều đổi khoảng cách giữa AB và mp(SCD) thành khoảng cách từ A (hoặc B) đến (SCD). Sau đó tiến hành theo các bước tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng. Nhưng việc dựng mặt phẳng qua A và vuông góc với (SCD) là hơi phức tạp đối với một số học sinh, một số khác dựng được mặt phẳng này nhưng hình vẽ rất rối. Giáo viên gợi ý cho học sinh: đã có sẵn 1 mặt phẳng vuông góc với (SCD) (theo ví dụ 3), đó là mặt nào? từ đó gợi ý cho em đổi khoảng cách phải tìm thành khoảng cách từ điểm nào tới (SCD)? [...]... sĩ số 50 BT2: Khoảng cách giữa đường và mặt song song Trước khi dạy các bước xác định loại khoảng cách này Lớp 11A1- sĩ số 50 Số lượng Phần trăm Không giải được 38 76% Giải đúng 12 24% Số lượng Phần trăm Không giải được 43 86 % Giải đúng 7 14 % Lớp 11A2- sĩ số 50 Sau khi hướng dẫn các bước xác định loại khoảng cách này Lớp 11A1- sĩ số 50: Số lượng Phần trăm Không giải được 10 20% Giải được 40 80% Số. .. bước xác định khoảng cách với học sinh, giúp học sinh có hướng làm loại toán này và không cảm giác đáp án như “từ trên trời rơi xuống” Đó là 1 điểm rất quan trọng đối với học sinh khi làm toán II- Kiến nghị Qua tìm ở một số trường THPT trong tỉnh, tôi nhận thấy nhiều trường có nhiều giáo viên rất tâm huyết với hình học không gian và đặc biệt là bài toán khoảng cách và học sinh của trường học cũng rất... sau: BT1: Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng Trước khi dạy các bước xác định loại khoảng cách này Lớp 11A1- sĩ số 50 Số lượng Phần trăm Không giải được 35 70% Giải đúng 15 30% Số lượng Phần trăm Không giải được 40 80% Giải đúng 10 20 % Lớp 11A2- sĩ số 50 Sau khi hướng dẫn các bước xác định cụ thể Lớp 11A1- sĩ số 50 Số lượng Phần trăm Không giải được 5 10% Giải đúng 45 90% Số lượng Phần trăm Không giải... học sinh, cùng học sinh xây dựng các bước làm cụ thể cho những loại bài toán khó Các em học sinh sẽ không cảm thấy sợ hình không gian như trước vì trước đây học sinh nhiều khi có cảm giác không có lối đi cho bài toán Nhưng với phương pháp này ta có cảm giác đã tìm ra được lối đi cho bài toán khoảng cách PHẦN III - KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ I - Kết luận Bài toán khoảng cách trong không gian là 1 bài toán... vậy SGK kể cả sách cơ bản và nâng cao viết về khoảng rất đơn giản với mục đích giảm tải Do đó nó lại càng khó cho những học sinh và kể cả giáo viên muốn tìm hiểu sâu về dạng toán này Dạy học nói chung và dạy học hình học không gian nói riêng cho học sinh không được được dạy theo kiểu nhồi nhét kiến thức mà người giáo viên chỉ là người dướng dẫn chỉ đường cho học sinh, để các em tư duy phát hiện ra kết... trăm Không giải được 10 20% Giải được 40 80% Lớp 11A2- sĩ số 52 Như vậy ta thấy rất rõ sự chênh lệch của số lượng học sinh trước khi hướng dẫn và sau khi hướng dẫn các em từng bước xác định các loại khoảng cách Tất nhiên, vừa học xong “ lí thuyết” áp dụng ngay vào bài tập thì bao giờ học sinh cũng hiểu, chưa quên và do vậy nhiều em sẽ áp dụng được hơn Nhưng không bởi vậy mà ta phủ nhận việc giúp học. .. (SBC) hay không? AI cắt SBC tại N là trung điểm của SB Giả sử IE vuông góc với mp(SBC) Theo định lí talét ta suy ra: IE/ AH= 2a 3 NI/ NA = 1/3 Vậy k/c từ I đến (SBC ) là 3 19 III- Kết quả nghiên cứu: Qua nghiên cứu, ứng dụng đề tài vào thực tiễn giảng dạy, tôi thấy có hiệu quả đáng kể.Cụ thể qua 1 số kết quả thu hoạch khi khảo sát tình hình giải bài toán tính khoảng cách trong hình không gian ở hai... BC= CD=DA =a SA vuông góc với mp (ABCD) SA =2a Tính khoảng cách giữa a) CD và (SAB) b) giữa AB và (SCD) c) giữa BC và (SDO) với O là trung điểm của AB d) Gọi (P) là mp song song và cách (SAB) một khoảng là a 3 4 Tính diện tích của thiết diện tạo thành do cắt hình chóp bởi mp(P) Bài tập 3: Hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với (ABCD) Tứ giác ABCD là hình vuông cạnh a SA =2a M, N lần lượt là trung điểm... tốt thể hiện qua các kì thi Nhưng cũng có 1 số trường giáo viên chưa hướng dẫn được cho học sinh phương pháp này hoặc có hướng dẫn rồi nhưng chưa chỉ ra được đặc điẻm quan trọng nào giúp ta xác định khoảng cách đúng và hiệu quả Thậm trí có có 1 số giáo viên còn chưa biết đến phương pháp này Vì vậy, tôi viết kinh nghiệm nhỏ này để làm tài liệu tham khảo cho học sinh và các giáo viên chưa tìm hiểu, hoặc... đường thẳng chéo nhau Sau khi đưa ra định nghĩa khoảng cách giữa hai đường chéo nhau (độ dài đoạn vuông góc chung) Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a SA ⊥ (ABCD), SA =a Xác định đoạn vuông góc chung của SA và BC; SA và DB; SA và d (trong đó d là đường thẳng nằm trong mp (ABC) và không đi qua A S A D O B C d Học sinh có thể dễ dàng tìm được đoạn vuông góc chung . KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: “MỘT SỐ KINH NGHIỆM DẠY “KHOẢNG CÁCH” TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN BẬC THPT PHẦN I: MỞ ĐẦU I - Lí do chọn đề tài: - Hình học không gian là môn học khó đối với nhiều học. chọn đề tài: MỘT SỐ KINH NGHIỆM DẠY “ KHOẢNG CÁCH ” TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN II - Nhiệm vụ và phạm vi đề tài: - Nêu hướng giải quyết các bài toán tìm khoảng cách trong không gian: + Khoảng từ. Hình học nâng cao 11 - trang 113) - Trong cấu trúc đề thi Đại học- cao đẳng cũng như tốt nghiệp hiện nay luôn có 1 câu hình học không gian và khoảng cách là vấn đề rất hay được hỏi đến trong