ôn thi môn toán chuyên đề lượng giác

NG GIÁC MT S  VÀ NG DNG TP 1 : BING GIÁC VÀ H THNG VÕ ANH KHOA  HOÀNG BÁ MINH VÕ ANH KHOA  HOÀNG BÁ MINH NG GIÁC MT S  VÀ NG DNG TP 1 : BING GIÁC VÀ H THNG TP. H CHÍ MINH, THÁNG 7  2011 LU CuNG GIÁC  MT S  VÀ NG Dc biên son vi m cp, b sung kin thc cho hc sinh THPT và mt s bc n mng kin thc này trong quá trình hc tp và làm vic.  cun sách này, ngoài ving khái nim và dng bài tn, chúng tôi s ch s và ng dng ca môn hc này  các bn hiNó xut phát t i sao chúng ta li phi hc nó  n : - Phần I : Nêu lý thuyt cùng ví d minh hc hiu và bit cách trình bày bài. ng thra các dng gp trong quá trình làm bài trên lp ca hc sinh THPT.  phn này, chúng tôi s trình bày mt s  bn c có th nm v - Phần II : Trong quá trình tham kho và tng hp tài liu, chúng tôi s vào phn này các dng toán khó nhm giúp cho các hc sinh bng, rèn luy giNG GIÁC thành thp phi nhng dng toán này. - Phần III : Chúng tôi s i gii gi ý cho mt s c kim tra l, li gii ho tham kho thêm. Trong quá trình biên son, m gng bng vic tham kho mng rt ln các tài liu có sn và tip thu có chn lc ý kin t các bng nghi dn hoàn thin cukhi nhng thiu sót bi tm hiu bit và kinh nghim còn hn ch, chúng tôi rt mong nhc ý kia bc gn xa. Chi tit liên h ti : anhkhoavo1210@gmail.com minh.9a1.dt@gmail.com CÁC TÁC GIẢ VÕ ANH KHOA  HOÀNG BÁ MINH. LI C Trong quá trình biên son, cn nhng bcung cp tài liu tham kho và vui lòng nhn kim tra li tng phn ca bn tho hoc bu kin hoàn thành cun sách này : - Tô Nguyn Nht Minh c T Tp.HCM) - Ngô Minh Nht  Tp.HCM) - Mai Ngc Thng  Tp.HCM) - Trn Lam Ngc (THPT Chuyên Tr - Nguyn Huy Hoàng (THPT Chuyên Lê Hng Phong Tp.HCM) - Nguyn Hoài Anh (THPT Chuyên Phan Bi Châu Tp.Vinh) - c Minh c T Nhiên Hà Ni) và mt s thành viên di MC LC TẬP 1 : BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC VÀ HỆ THỨC LƯỢNG CHƯƠNG 1 : SƠ LƯỢC VỀ KHÁI NIỆM VÀ LỊCH SỬ 1 CHƯƠNG 2 : CÁC BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC 4 2.1 CHNG MINH MNG THNG GIÁC 7 BÀI TP T LUYN 15 2.2 TÍNH GIÁ TR CA BIU THC 21 BÀI TP T LUYN 33 2.3 CHNG THNG GIÁC SUY T NG THC C 36 BÀI TP T LUYN 45 2.4 CHNG MINH BIU THNG GIÁC KHÔNG PH THUC VÀO BIN S 46 BÀI TP T LUYN 51 CHƯƠNG 3 : HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC 52 3.1 CHNG THNG GIÁC TRONG TAM GIÁC 55 BÀI TP T LUYN 77 3.2 CHNG MINH BNG THNG GIÁC TRONG TAM GIÁC 81 BÀI TP T LUYN 133 3.3 NHN DNG TAM GIÁC VÀ TÍNH CÁC GÓC TRONG TAM GIÁC 143 BÀI TP T LUYN 191 ĐỌC THÊM : TÓM LƯỢC TIỂU SỬ CÁC NHÀ KHOA HỌC CÓ ẢNH HƯỚNG ĐẾN LƯỢNG GIÁC 199 TÀI LIU THAM KHO 205 c v khái nim và lch s 1  C V KHÁI NIM VÀ LCH S I. KHÁI NIỆM Trong toán hng giác hng giác là các hàm toán hc cc dùng khi nghiên cu tam giác và các hing có tính cht tung giác ca mi t l chiu dài hai cnh ca tam giác vuông chc t l chiu dài gin thng ni c bit trên vò khía cnh hi ng giác là chui vô hn hoc là nghim cu này cho ng giác có th i s là mt s thc hay mt s phc bt k. ( D th hàm sin ) II. LỊCH SỬ Nhng nghiên cu mt cách h thng và vic lp bng giác c cho là thc hiu tiên bi Hipparchus (1) (180-p bng tính  dài các cung tròn và chiu dài c (2) tip tc phát trin công trình, tìm ra công thc cng và tr cho   và   , c công thc h bc, cho phép ông lp bng tính vi bt k  chính xác cn thit nào. Tuy nhiên, nhng b tht truyn. Các phát trin tip theo din ra  , công trình ca Surya Siddhanta (3) (th k 4-5) a góc và nn th k i  R dùng c n v n 8 ch s thp phân. Các công trình u tiên này v c phát trin nhm phc v c, c th  ng h mt tri. c v khái nim và lch s 2  ng cách ti các ngôi sao gn, gia các mc gii hn hay trong các h thng hoa tiêu v tinh. Rc áp dng vào nhic khác : quang hc, phân tích th n t hc, lý thuyt xác sut, thng kê, sinh hc khoa, hóa hc, lý thuyt sa chn hng hc, h Ta ly ví d t mt bài toán sau trích t Lucia C. Hamson, Daylight, Twilight, Darkness and Time : Vic mô hình hóa v s gi chiu sáng ca mt tri là hàm thi gian trong i nhi khác nhau. Cho bit Philadelphia nm     Bc, tìm hàm biu th s gi chiu sáng ca mt tri ti Philadelphia. Chú ý rng m vi mt hàm s sin mà b di chuyn và kéo T cao ca Philadelphia, thi gian chiu sáng kéo dài 14,8 gi vào ngày 21 tháng 6 và 9,2 gi vào ngày 21 tháng 12, v cng cong (h s kéo u dc) là :        H s nào mà chúng ta c  th hình sin theo chiu ngang nu i gian  trong ngày? Bchu k ca mô hình nên là 365. n ca  là , nên h s kéo u ngang là : c v khái nim và lch s 3     ý rng cong bu mt chu trình ca nó vào ngày 21 tháng 3, ngày th 80 c chúng ta phi phi dch chuyng cong v bên ph. Ngoài ra, chúng ta ph hình hóa s gi chiu sáng ca ca mt tri  Philadelphia vào ngày th  ca ng hàm s :              i ng giác 4  CÁC BING GIÁC I. BẢNG GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC CUNG CÓ LIÊN QUAN ĐẶC BIỆT Ta gc bit vi cung  là các cung : - i vi  :  - Bù vi  :   - Hiu  vi  :   -    vi  :                  cos      sin      tan      cot      Ngoài ra, có mt s ng giác khác :           II. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC 1. CÔNG THỨC CƠ BẢN                                            [...]...Chương 2 : Các biến đổi lượng giác Từ hình vẽ thực tiễn trên, ta rút ra được một số công thức cơ bản về hàm lượng giác : 2 CÔNG THỨC CỘNG ( 3 a ) CÔNG THỨC NHÂN CÔNG THỨC NHÂN 2 { ( b ) CÔNG THỨC NHÂN 3 ( ) ( ( ( ) ) ) ( ( ) ) Công thức tổng quát đối với hàm tan : 5 Chương 2 : Các biến đổi lượng giác c CÔNG THỨC TÍNH THEO ( d CÔNG THỨC HẠ BẬC 4 a ) CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG [ ]... lại thành Rồi sử dụng công thức đã chứng minh ở trên 2.1.4 a) Để ý b) Để ý [ c) Ta có : d) Ta có điều cần chứng minh tương đương với : 18 ] Chương 2 : Các biến đổi lượng giác 2.1.5 Sử dụng công thức Cho , ta có : √ Suy ra 2.1.6 Áp dụng công thức : 2.1.9 Cần chứng minh [ ] 2.1.10 Để ý 2.1.12 Ta có : 2.1.13 Nhân 2 vế cho 2.1.14 Áp dụng công thức 19 Chương 2 : Các biến đổi lượng giác Viết lại thành 2.1.15... Chương 2 : Các biến đổi lượng giác ( ) Do đó, ta có điều phải chứng minh Bài 10: Chứng minh √ (ĐHSP Hải Phòng 2001) Giải: Đặt Ta có : Áp dụng công thức trên, ta được : Nhân lại, ta được : √ Vậy √ 13 Chương 2 : Các biến đổi lượng giác Bài 11: Chứng minh rằng ( ( Giải:  Ta có : Sử dụng công thức này, ta được : ……………………………………… Cộng lại, ta có được điều phải chứng minh  Ta sử dụng công thức Ta có : [ ]... biến đổi lượng giác c CÔNG THỨC BỔ SUNG √ ( ) √ ( ) √ ( ( ) ( √ ) ) ( ) √ Trong đó { √ III 1 - - √ CÁC LOẠI TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CHỨNG MINH MỘT ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC Ta thường sử dụng các phương pháp : biến đổi vế phức tạp hoặc nhiều số hạng thành vế đơn giản; biến đổi tương đương; xuất phát từ đẳng thức đúng nào đó, biến đổi về đẳng thức cần chứng minh Trong khi biến đổi ta sử dụng các công thức... công thức Ta có điều phải chứng minh tương đương với [ ] 2.1.16 a Cần chứng minh Suy ra b Ta có điều cần chứng minh tương đương với 2.1.17 Để ý rằng 2.1.18 Áp dụng công thức 2.1.19 Ta chỉ cần chứng minh ( 20 ) ( ) ( ) ( ) Chương 2 : Các biến đổi lượng giác 2.1.21 Sử dụng công thức sau : 2 - TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC Ở loại bài tập này, ngoài các công thức biến đổi cơ bản, ta cần chú ý thêm các công... công thức - Khi cần rút gọn biểu thức Ta viết Và dùng công thức biến đổi tích thành tổng để rút gọn - - Ngoài ra, để tính giá trị một biểu thức ta chứng tỏ các số hạng trong biểu thức là nghiệm của một phương trình, từ đó ta dùng công thức Viète(4) để tính tổng hoặc tích của lượng phải tìm Cần nhớ lại công thức Viète bậc 3 sau: Gọi là 3 nghiệm của phương trình thì 21 Chương 2 : Các biến đổi lượng giác. .. dụng tính tổng sau : 9 Chương 2 : Các biến đổi lượng giác Giải: Ta có : ( ) Suy ra Vì Nên Bài 5: Cho với Chứng minh Giải: Ta có : ( 10 ) Chương 2 : Các biến đổi lượng giác Nên [ ] Khi - thì thì Vậy ta có điều phải chứng minh Bài 6: Chứng minh (ĐH Đà Nẵng 1998) Giải: Đặt Ta có : [ ( )] [ ( )] ( ) Do đó Bài 7: Chứng minh 11 Chương 2 : Các biến đổi lượng giác Giải: Ta có điều cần chứng minh tương đương... biểu thức [ Tính giá trị của ] nếu ( 22 ) ) Chương 2 : Các biến đổi lượng giác Giải: Ta có : Mặt khác √ √ Bài 3: Tính giá trị của các biểu thức sau Giải: Ta có : ( ) 23 Chương 2 : Các biến đổi lượng giác ( ) ( ) ( ) ( ) ( Bài 4: Rút gọn biểu thức sau với √ √ √ √ Giải: Ta có : √ √ √ √ √ ( | 24 | ) { ( ) ) Chương 2 : Các biến đổi lượng giác Từ đó chứng minh Bài 5: Tính là số vô tỷ Giải: Ta có : Nên Suy... phương trình cần tìm là Suy ra Bài 8: Chứng minh rằng √ √ √ √ √ (Đề nghị Olympic 30-4, 2006) Giải: ể ằ ệ ủ ươ 27 Chương 2 : Các biến đổi lượng giác Hay Từ ta có (loại vì không thỏa 3 nghiệm trên) Như vậy ệ ủ ươ ịnh lý Viète, ta có { Đặt { √ √ √ √ √ √ Khi đó √ { √ Suy ra √ Do đó Nên √ √ Vậy √ 28 √ √ √ √ √ Chương 2 : Các biến đổi lượng giác Bài 9: Tính tổng { Với Giải: Từ hệ ta có : { Suy ra Do đó {... 2001) 16 Chương 2 : Các biến đổi lượng giác 2.1.13 Chứng minh (ĐH Phòng Cháy Chữa Cháy 2001) 2.1.14 Chứng minh √ (ĐHQG Hà Nội 1995) 2.1.15 Chứng minh 2.1.16 Chứng minh 2.1.17 Chứng minh 2.1.18 Chứng minh 2.1.19 Chứng minh ( ) ( ) 2.1.20 Chứng minh 17 Chương 2 : Các biến đổi lượng giác 2.1.21 Chứng minh 2.1.22 Chứng minh GỢI Ý GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN 2.1.1 – Sử dụng công thức hạ bậc 2.1.3 Đặt Khi đó ( . TẬP 1 : BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC VÀ HỆ THỨC LƯỢNG CHƯƠNG 1 : SƠ LƯỢC VỀ KHÁI NIỆM VÀ LỊCH SỬ 1 CHƯƠNG 2 : CÁC BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC 4 2 .1 CHNG MINH MNG THNG GIÁC 7 BÀI TP T LUYN 15 . TP T LUYN 13 3 3.3 NHN DNG TAM GIÁC VÀ TÍNH CÁC GÓC TRONG TAM GIÁC 14 3 BÀI TP T LUYN 19 1 ĐỌC THÊM : TÓM LƯỢC TIỂU SỬ CÁC NHÀ KHOA HỌC CÓ ẢNH HƯỚNG ĐẾN LƯỢNG GIÁC 19 9 TÀI LIU. di chuyn và kéo T cao ca Philadelphia, thi gian chiu sáng kéo dài 14 ,8 gi vào ngày 21 tháng 6 và 9,2 gi vào ngày 21 tháng 12 , v cng cong (h s kéo u