tài liệu ôn tập trọng tâm kiến thức môn toán

S GIÁO D C VÀ ðÀO T O ð NG THÁP PHÒNG GIÁO D C TRUNG H C H I ð NG B MƠN TỐN THPT TÀI LI U ƠN T P TR NG TÂM KI N TH C MÔN TOÁN (LƯU HÀNH N I B ) ð NG THÁP THÁNG 08 NĂM 2010 Chuyên đề 1: ƠN T P ð I S 10 CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC CƠ BẢN (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 a + b = (a + b) − 2ab a + b = (a − b) + 2ab (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 a + b3 = (a + b)3 − 3ab(a + b) a2 − b2 = (a + b)(a − b) (a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3 a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2 ) a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2 ) ( a+b+c ) =a +b2 +c2 +2ab+2ac+2bc A PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SOÁ Nh c l i: 1) M t s phép bi n đ i tương đương phương trình thư ng s d ng a) Chuy n v m t bi u th c t v sang v (nh ñ i d u c a bi u th c) b) Nhân ho c chia hai v c a phương trình v i m t h ng s (khác 0) ho c v i m t bi u th c (khác không) c) Thay th m t bi u th c b i m t bi u th c khác b ng v i bi u th c Lưu ý: + Chia hai v c a phương trình cho bi u th c ch a n đ phịng m t nghi m + Bình phương hai v c a phương trình đ phịng dư nghi m 2) Các bước giải phương trình Bước 1: Tìm điều kiện (nếu có) ẩn số để hai vế pt có nghóa Bước 2: Sử dụng phép biến đổi tương đương để biến đổi pt đến pt biết cách giải Bước 3: Giải pt chọn nghiệm phù hợp ( có) Bước 4: Kết luận I Giải biện luận phương trình ax+b=0: Dạng : ax + b = x : ẩn số  a, b : tham số (1) Giải biện luận: Ta có : Biện luận: (1) ⇔ ax = -b (2) b a • Nếu a = (2) trở thành 0.x = -b * Nếu b ≠ phương trình (1) vô nghiệm * Nếu b = phương trình (1) nghiệm với x Tóm lại : b • a ≠ : phương trình (1) có nghiệm x = − a • a = b ≠ : phương trình (1) vô nghiệm • a = b = : phương trình (1) nghiệm với x • Nếu a ≠ (2) ⇔ x = − Áp dụng: Ví du 1ï: Giải phương trình x + x + ( x + 2x ) ( x + 1) = x +1 ( x + 1) Ví du 2ï: Giải biện luận phương trình sau:  −4 ( x − a )  b) − 1 + a) m x + = x + 2m =  a −1  ( a − 1) Điều kiện nghiệm số phương trình: Định lý: Xét phương trình ax + b = (1) ta có: • (1) có nghiệm ⇔ • (1) vô nghiệm ⇔ • (1) nghiệm với x ⇔ a ≠0 a =  b ≠ a =  b = Áp dụng: Ví dụ : 1) Với giá trị a, b phương trình sau nghiệm với x a − ( x + 1)a + x − b = 2) Với giá trị m phương trình sau có nghiệm 2x + m x − 2m + − x −1 = x −1 x −1 c) x−m x−2 = x + x −1 II.Giải biện luận phương trình ax2+bx+c=0: Dạng: x : ẩn số  a, b , c : tham soá ax + bx + c = (1) Giải biện luận phương trình : Xét hai trường hợp Trường hợp 1: Nếu a = (1) phương trình bậc : bx + c = • b ≠ : phương trình (1) có nghiệm x = − c b • b = c ≠ : phương trình (1) vô nghiệm • b = c = : phương trình (1) nghiệm với x Trường hợp 2: Nếu a ≠ (1) phương trình bậc hai có ( ∆ ' = b '2 − ac với b' = Biệt số ∆ = b − 4ac Biện luận: Nếu ∆ < pt (1) vô nghiệm b Nếu ∆ = pt (1) có nghiệm số kép x1 = x2 = − 2a Nếu ∆ > pt (1) có hai nghiệm phân biệt x1,2 = −b ± ∆ 2a b' ( x1 = x2 = − ) a ' −b ± ∆ ' ( x1,2 = ) a Áp dụng: Ví dụ 1: Giải phương trình sau: − 12x x a) ( x − ) +   = b) =x 12x − 2  −x + 1  1  x −5 = 1 − e) =− x+  d) x − + 2  x +  ( x + 1)  2x + ( 2x + 1)     Ví dụ 2: Giải biện luận phương trình : 1) x − 2x = m(x − 1) − 2) ( m − 1) x + 2mx + m − = c) x + 2x − = −3 (x − 1) b ) Điều kiện nghiệm số phương trình bậc hai: Định lý : Xét phương trình : ax + bx + c = (1) a = a ≠  ⇔ b = hoaëc  ∆ < c ≠  a ≠ ⇔  ∆ = a ≠ ⇔  ∆ > Pt (1) vô nghiệm Pt (1) có nghiệm kép Pt (1) có hai nghiệm phân biệt Pt (1) có hai nghiệm a ≠ ⇔  ∆ ≥ Pt (1) nghiệm với x a =  ⇔ b = c =  Đặc biệt Nếu pt(1) có hệ số a,c thoả a.c < pt(1) có hai nghiệm phân biệt Áp dụng: Ví dụ 1: Với giá trị m phương trình sau có hai nghiệm phân biệt: b) 2x + ( 2m − 3) x − ( m + 1) = a) x + 4x + − m = Ví dụ 2: Với giá trị m phương trình sau có hai nghiệm phân biệt: 2x − x + x x − 2x + b) c) a) =m−x = −x + m = mx + − 2m x −1 x −1 x−2 Ví dụ 3: Với giá trị m phương trình sau có ba nghiệm phân biệt: a) ( x + 1)( x + 2mx + m + 2) = b) ( x − 3) ( x + 3x + − m ) = c) − x + 2x + x = mx Định lý VIÉT phương trình bậc hai: Định lý thuận: Nếu phương trình baäc hai : ax + bx + c = ( a ≠ ) có hai nghiệm x1, x2 b  S = x1 + x = − a    P = x x = c  a  Định lý đảo : Nếu có hai số α , β mà α + β = S vaø α β = P ( S ≥ P) α , β nghiệm phương trình x2 - Sx + P = Ý nghóa định lý VIÉT: Cho phép tính giá trị biểu thức đối xứng nghiệm ( tức biểu thức chứa x1, x2 x + x2 1 + + ) mà không thay đổi giá trị ta thay đổi vai trò x1,x2 cho Ví dụ: A = x1 x x1 x không cần giải pt tìm x1, x2 , tìm hai số biết tổng tích chúng … Chú ý: Nếu pt (1) có hệ số thoả mãn a+b+c=0 pt (1) có hai nghiệm x1 = x = c a Nếu pt (1) có hệ số thoả mãn a-b+c=0 pt (1) có hai nghiệm x1 = −1 x = − Áp dụng: Ví dụ : Cho phương trình: x − x + m − = (1) Với giá trị m pt (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn x12 + x = Ví dụ 2: Cho phương trình: x − 2mx + 3m − = (1) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn x1 + x2 = Ví dụ 3: Cho phương trình: (3m − 1)x + 2(m + 1)x − m + = (1) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn x1 − x = Ví dụ 4: Cho phương trình: x + ( 2m − 3) x + − 2m = (1) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn x1 − x = Dấu nghiệm số phương trình bậc hai: Dựa vào định lý Viét ta suy định lý sau: Định lý: Xét phương trình bậc hai : ax + bx + c = (1) ( a ≠ ) ∆ >  Pt (1) coù hai nghiệm dương phân biệt ⇔ P > S >  ∆ >  ⇔ Pt (1) có hai nghiệm âm phân biệt P > S <  Pt (1) có hai nghiệm trái dấu ⇔ P 0; x ≠ 2x Ví dụ 2: Với giá trị m phương trình sau có nghiệm phân biệt: a) x − x − = m b) x − mx + m − = c) − x + ( m + ) x − 2m − = Ví du 1ï: Giải phương trình : 32x3 = III Phương trình bậc ba: Dạng: ax + bx + cx + d = (1) ( a ≠ ) Cách giải: Áp dụng biết nghiệm phương trình (1) Bước 1: Nhẩm nghiệm phương trình (1) Giả sử nghiệm x = x0 Bước 2: Sử dụng phép CHIA ĐA THỨC sơ đồ HOÓCNE để phân tích vế trái thành nhân tử đưa pt (1) dạng tích số : Sơ đồ Trong đó: x0 a A b B c C d (soá 0) x0 B + c = C, x C + d = a = A, x0 A + b = B, ⇔ (x-x0)(Ax2+Bx+C) =  x = x0 ⇔   Ax + Bx + C = (2) Bước 3: Giải phương trình (2) tìm nghiệm lại ( có) (1) Áp dụng: Ví dụ 1: Giải phương trình sau: a) x − x + 12 x − = c) 2x − 11x + 11x − = b) 15x + 4x − 32x + 40 = d) 4x − 6x + = (12x − 12x ) ( x + 1) − Ví dụ 2: Với giá trị m phương trình sau có ba nghiệm phân biệt: b) x − 3x − mx + m + = a) x − 3x + = mx + m − c) x − mx + ( 2m + 1) x − m − = d) − x + 3x + m3 − 3m = Ví dụ 3: Với giá trị m phương trình x − 2x + (1 − m ) x + m = có ba nghiệm phân biệt 2 x1 , x , x th a mãn ñi u ki n x1 + x + x < Chú ý Ta áp dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử kỷ thuật sử dụng sơ đồ HOÓCNE, để giải phương trình đa thức bậc cao (với điều kiện nhẩm nghiệm đa thức) Ví dụ: Giải phương trình sau: a) x − x + x + 21x − 18 = b) ( x + 1) 7−x = x2 + 13 − x B BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ I Bất phương trình bậc nhất: Dạng : (hoaëc ax + b > (1) ≥, −b (2) Biện luận: • • • b a b Nếu a < (2) ⇔ x < − a Nếu a = (2) trở thành : 0.x > −b * b ≤ bpt vô nghiệm * b > bpt nghiệm với x Nếu a > ( 2) ⇔ x > − Áp dụng: Ví dụ1: Giải biện luận bất phương trình : mx + > x + m 2 x + ≥  Ví dụ 2: Giải hệ bất phương trình sau: 4 − x ≥ 3 x + ≥  2x − ≤ x + Ví dụ 3: Với giá trị m hệ phương trình sau có nghiệm:  −5x + 2m − < x + m II Dấu nhị thức bậc nhất: Dạng: f ( x) = ax + b (a ≠ 0) Bảng xét dấu nhị thức: x ax+b − −∞ Trái dấu với a b a +∞ Cùng dấu với a Áp dụng: Ví dụ : Xét dấu biểu thức sau: A = ( x − 3)( x + 1)(2 − 3x ) B= x+7 ( x − 2)(2 x − 1) III Dấu tam thức bậc hai: f ( x) = ax + bx + c Dạng: (a ≠ 0) Bảng xét dấu tam thức bậc hai: x f(x) ∆0 +∞ −∞ b 2a x1 Định lý: Cho tam thức bậc hai: f ( x) = ax + bx + c • • • (a ≠ 0) ∆ < f (x) > ∀x ∈ R ⇔  a > ∆ < f (x) < ∀x ∈ R ⇔  a < ∆ ≤ f (x) ≥ ∀x ∈ R ⇔  a > ∆ ≤ f (x) ≤ ∀x ∈ R ⇔  a < Áp dụng: Ví dụ: Cho f ( x) = (m − 1) x − 2(m + 1) x + 3(m − 2) ( m ≠ 1) Tìm m để f (x) > ∀x ∈ R IV Bất phương trình bậc hai: Dạng: ax + bx + c > Cùng dấu a x2 +∞ Cùng dấu a Trái dấu a Cùng dấu a Điều kiện không đổi dấu tam thức: • +∞ ( ≥, ho c g(x) < v i m i x ∈ I\ {x } , x →x0 x →x0 I m t kho ng ch a x0 lim x →x0 D uc aL D u c a g(x) f (x) = ? ñư c cho b ng sau: g(x) f (x) x → x g(x) + + +∞ + −∞ − −∞ + − +∞ − − + − (Quy t c n y v n ñúng cho trư ng h p sau: x → x ; x → x ; x → +∞; x → −∞ ) lim Các ví d : Ví d 1: Tính gi i h n sau a) lim ( − x + 3x − 4x + ) b) lim ( x + 3x + ) x →−∞ x →+∞  x4 3 d) lim  − x +  x →+∞ 2  c) lim ( − x + 2x + 3) x →−∞ Ví d 2: Tính gi i h n sau 2x + a) lim x →−∞ x − a) lim+ x →2 b) lim x →+∞ 2x + x−2 b) x →2 lim  1 x → −   2 Ví d 3: Tính gi i h n sau 2x − 3x − a) lim x →+∞ x − 2x a) lim− 2−x 2x + − 2−x 2x +  2x − 3x −  b) lim  − 2x  x →+∞  x−2  x − 2x − x−2 b) lim+ x →2 x − 2x − x−2 B Liên t c Các đ nh nghĩa: • ð nh nghĩa 1: Gi s hàm s f(x) xác ñ nh kho ng ( a; b ) x ∈ ( a; b ) Hàm s f ñư c g i liên t c t i ñi m x0 n u lim f (x) = f (x ) x → x0 • ð nh nghĩa 2: Gi s hàm s f(x) xác ñ nh kho ng ( a; b ) Hàm s f ñư c g i liên t c kho ng ( a; b ) n u liên t c t i m i ñi m thu c kho ng ( a; b ) • ð nh nghĩa 3: Gi s hàm s f(x) xác ñ nh ño n [ a; b ]  lim+ f (x) = f (a)  Hàm s f ñư c g i liên t c ño n [ a; b ] n u liên t c kho ng ( a; b )  x →a lim f (x) = f (b)  x → b−  ð nh lý: 1) T ng, hi u, tích, thương c a hai hàm s liên t c t i m t ñi m nh ng hàm s liên t c t i m 2) Hàm đa th c hàm phân th c h u t (thương c a hai ña th c) liên t c t p xác ñ nh c a chúng (t c liên t c t i m i ñi m thu c t p xác ñ nh c a chúng) 3) Các hàm lư ng giác y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = cot x liên t c t p xác ñ nh c a chúng C ð o hàm 1) Định nghóa đạo hàm hàm số điểm: Cho hàm số y=f(x) xác định khoảng (a;b) x ∈ (a; b) Đạo hàm hàm số y=f(x) điểm x0, ký hiệu f'(x0) hay y'(x0) giới hạn hữu hạn (nếu có) f(x) − f(x ) cuûa lim x → x0 x − x0 f '(x ) = lim x →x0 f(x) − f(x ) x − x0 Ý nghóa hình học đạo hàm: • Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm x0 f'(x0) (C) đồ thị hàm số M (x ; f(x )) ∈ (C) ∆ tiếp tuyến (C) M y (C): y=f(x) M0 f(x0 ) x0 ∆ x a) Ý nghóa hình học đạo hàm: • Đạo hàm hàm số y=f(x) điểm x0 hệ số góc k tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm M (x ; f(x )) k = f '(x ) (k = tan α v i α = ( ox; ∆ ) ) b) Phương trình tiếp tuyến: • Nếu hàm số y=f(x) có đạo hàm x0 phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm M0(x0;f(x0)) là: y = f '(x )(x − x ) + f(x ) y = f(x )  y − y = k ( x − x ) :  k = f '(x )  hay: Các quy tắc tính đạo hàm: Đạo hàm tổng hiệu tích thương hàm số ′ a Đạo hàm tổng ( hiệu ): (u ± v ) = u ′ ± v′ b Đạo hàm tích: (u.v )′ = u ′.v + u.v′ Đặc biệt ′ ( C.u ) = C.u′ Với C số c Đạo hàm thương: ′  u  u ′.v − u.v′ Đặc biệt   = v2 v ′ ′ C C.v'   −1   =  v  = − v v v   d Đạo hàm hàm số hợp: Cho hai hàm số y = f (u ) u = g(x ) y = f [g(x )] gọi hàm hợp hai y′x = y′u u′x hàm số trên, đó: Đạo hàm hàm số bản: (C)′ = (x)' = ′ (x ) n ( C soá ) ( C.x ) ' = C = n.x n −1 ′ 1   =− x x V i u m t hàm s ′ ( n ∈ N, n ≥ ) (u ) (x ≠ 0) ′ u′ 1   =− u u n = n.u n −1.u ′ ( x )′ = 1x ( u )′ = 2u ′u ( x > 0) (sin x )′ = cos x (cos x )′ = − sin x ′ = + tan x cos x ′ ( cot x ) = − = − (1 + cot x ) sin x ′ a.d − c.b  ax + b    =  cx + d  (cx + d ) ( tan x ) = (sin u )′ = u ′ cos u (cos u )′ = −u ′ sin u u′ = (1 + tan u).u ′ cos u u′ ′ ( cot u ) = − = − (1 + cot u ) u′ sin u ′  ax + bx + c  a.a1 x + 2a.b1 x + b.b1 − a1 c  =   a x+b  (a1 x + b1 )2   1 ′ ( tan u ) = Ví dụ : Tìm đạo hàm hàm số sau x4 1) y = − x + 4x − 5x − 11 2) y = − x2 − 2 2x − 3x − 2x − 3) y= 4) y = 3x + 2x + Ví dụ : Tìm đạo hàm hàm soá sau: 1) y = sin x + s in2x 2) y = cos 2x + cos x x 3) y= 2sinx − sin x 4) y = + sin x Ví dụ : Tìm đạo hàm hàm số sau: 1) y = x + 2x + 2) y = x + − − x x2 4) y = 3) y= ( − x ) x + x2 −1 Ví dụ 4: Tìm đạo hàm hàm số sau: x+3 2) y = 1) y = x − x x2 + 3) y = x − + − x 4) y = x + − x Ví d 5: Tính f '(x) gi i phương trình f '(x) = bi t 2) f (x) = x − 2x + 1) f (x) = 2x + 3x − 36x − 10 x + 2x + x − 8x + 4) f (x) = x +1 x2 +1 Ví d 6: Tính f '(x) l p b ng xét d u c a f '(x) bi t 2) f (x) = − x + 8x + 1) f (x) = x − x + 3x + x2 − x +1 3) f (x) = 4) f (x) = 1− x x −1 Ví d 7: Vi t phương trình ti p n c a ñ th (C) c a hàm s 1) y = x − 3x + t i m (C) có hồnh đ b ng 3) f (x) = 2) y = x − 2x t i ñi m (C) có tung đ b ng 2x + t i giao ñi m c a (C) v i tr c tung 3) y = 2x − Ví d : Vi t phương trình ti p n c a ñ th (C) c a hàm s 1) y = x − 3x + bi t ti p n có h s góc b ng 2) y = x − 2x bi t ti p n song song v i ñư ng th ng y = 24x 2x + bi t ti p n vng góc v i ñư ng th ng y = x 3) y = 2x − C VI PHÂN N u hàm s f có đ o hàm f' tích f '(x).∆x g i vi phân c a hàm s y = f (x) , ký hi u df (x) = f '(x).∆x (1) ð c bi t v i hàm s y = x ta có dx = ( x ) '.∆x = ∆x nên (1) có th vi t thành: df (x) = f '(x).dx H t Chuyên đề 2: ƠN T P HÌNH H C 11 ƠN T P KI N TH C CƠ B N HÌNH H C L P - 10 th c lư ng tam giác vng: Cho ∆ABC vng A ta có : ð nh lý Pitago : BC = AB + AC A BA2 = BH BC; CA2 = CH CB b AB AC = BC AH c 1 = + d) AH AB AC H M C B e) BC = 2AM a b c b c f) sin B = , cosB = , tan B = , cot B = a a c b b b = g) b = a sinB = a.cosC, c = a sinC = a.cosB, a = , sin B cos C b = c tanB = c.cot C 2.H th c lư ng tam giác thư ng: * ð nh lý hàm s Côsin: a2 = b2 + c2 - 2bc.cosA a b c = = = 2R * ð nh lý hàm s Sin: sin A sin B sin C Các công th c tính di n tích: a/ Cơng th c tính di n tích tam giác: a.b.c a+b+c = p.r = p.( p − a )( p − b)( p − c) v i p = S = a.ha = a.b sin C = 4R 2 ð c bi t : ∆ABC vuông A : S = AB AC H a) b) c) b/ Di n tích hình vng : S = c nh x c nh c/ Di n tích hình ch nh t : S = dài x r ng d/ Diên tích hình thoi : S = (chéo dài x chéo ng n) d/ Di n tích hình thang : S = (ñáy l n + ñáy nh ) x chi u cao e/ Di n tích hình bình hành : S = đáy x chi u cao f/ Di n tích hình trịn : S = π R - 1- Các h th c quan tr ng tam giác đ u: ƠN T P KI N TH C CƠ B N HÌNH H C L P 11 A.QUAN H SONG SONG §1.ðƯ NG TH I ð nh nghĩa: ðư ng th ng m t ph ng g i song song v i n u chúng khơng có m chung II.Các ñ nh lý: ðL1:N u ñư ng th ng d không n m mp(P) song song v i ñư ng th ng a n m mp(P) đư ng th ng d song song v i mp(P) ðL2: N u ñư ng th ng a song song v i mp(P) m i mp(Q) ch a a mà c t mp(P) c t theo giao n song song v i a ðL3: N u hai m t ph ng c t song song v i m t ñư ng th ng giao n c a chúng song song v i đư ng th ng NG VÀ M T PH NG SONG SONG a a/ /(P) ⇔a∩(P) =∅ (P) d d ⊄ (P)  d / /a ⇒ d / /(P) a ⊂ (P)  a/ /(P)  ⇒ d / /a a ⊂ (Q) (P) ∩ (Q) = d  a (P) (Q) a d (P) (P) ∩ (Q) = d  ⇒ d / /a (P)/ /a (Q)/ /a  - 2- d a Q P §2.HAI M T PH NG SONG SONG I ð nh nghĩa: Hai m t ph ng ñư c g i song song v i n u chúng khơng có ñi m chung II.Các ñ nh lý: ðL1: N u mp(P) ch a hai ñư ng th ng a, b c t song song v i m t ph ng (Q) (P) (Q) song song v i ðL2: N u m t ñư ng th ng n m m t hai m t ph ng song song song song v i m t ph ng ðL3: N u hai m t ph ng (P) (Q) song song m i m t ph ng (R) ñã c t (P) ph i c t (Q) giao n c a chúng song song (P)/ /(Q) ⇔(P) ∩(Q) =∅ P Q a,b ⊂ (P)  ⇒ (P)/ /(Q) a ∩ b = I a/ /(Q),b / /(Q)  (P) / /(Q) ⇒ a / /(Q)  a ⊂ (P)  a P b I Q a P Q R (P) / /(Q)  (R) ∩ (P) = a ⇒ a / / b (R) ∩ (Q) = b  P a b Q B.QUAN H VNG GĨC §1.ðƯ NG TH NG VNG GĨC V I M T PH NG I.ð nh nghĩa: M t ñư ng th ng ñư c a ⊥ mp(P) ⇔ a ⊥ b,∀b ⊂ (P) a g i vng góc v i m t H qu : m t ph ng n u vng a ⊥ mp(P) góc v i m i ñư ng  ⇒a ⊥ b c P th ng n m m t b ⊂ mp(P) ph ng ñó II Các ñ nh lý: ðL1: N u ñư ng th ng d vng góc v i hai đư ng th ng c t a b n m mp(P) đư ng th ng d vng góc v i mp(P) d ⊥ a ,d ⊥ b  a ,b ⊂ mp(P) ⇒d ⊥ mp(P) a,b caét  - 3- d b P a ðL2: (Ba đư ng vng góc) Cho đư ng th ng a khơng vng góc v i mp(P) đư ng th ng b n m (P) Khi đó, u ki n c n đ đ b vng góc v i a b vng góc v i hình chi u a’ c a a (P) a ⊥ mp(P),b ⊂mp(P) a b ⊥a ⇔b ⊥a' b a' P §2.HAI M T PH NG VNG GĨC I.ð nh nghĩa: Hai m t ph ng ñư c g i vng góc v i n u góc gi a chúng b ng 900 II Các ñ nh lý: ðL1:N u m t m t ph ng ch a m t đư ng th ng vng góc v i a ⊥ mp(P) ⇒ mp(Q) ⊥ mp(P) m t m t ph ng khác  a ⊂ mp(Q) hai m t ph ng vng  góc v i ðL2:N u hai m t ph ng (P) (Q) vng góc (P) ⊥ (Q) v i b t c  (P) ∩(Q) = d ⇒a ⊥ (Q) ñư ng th ng a n m a ⊂ (P),a ⊥ d (P), vng góc v i  giao n c a (P) (Q) ñ u vng góc v i m t ph ng (Q) ðL3: N u hai m t ph ng (P) (Q) vng (P) ⊥ (Q) góc v i A  A ∈ (P) m t ñi m (P) ⇒ a ⊂ (P)  đư ng th ng a ñi qua A∈a  ñi m A vng góc a ⊥ (Q)  v i (Q) s n m (P) ðL4: N u hai m t ph ng c t (P) ∩ (Q) = a vng góc v i m t  ⇒ a ⊥ (R) ph ng th ba giao (P) ⊥ (R) n c a chúng vuông (Q) ⊥ (R)  góc v i m t ph ng th ba - 4- Q a P P a Q d P a A Q P R Q a §3.KHO NG CÁCH Kho ng cách t ñi m t i ñư ng th ng , ñ n m t ph ng: Kho ng cách t ñi m M ñ n ñư ng th ng a (ho c ñ n m t ph ng (P)) kho ng cách gi a hai ñi m M H, H hình chi u c a m M ñư ng th ng a ( ho c mp(P)) O O H a P d(O; a) = OH; d(O; (P)) = OH Kho ng cách gi a ñư ng th ng m t ph ng song song: Kho ng cách gi a ñư ng th ng a mp(P) song song v i a kho ng cách t m t ñi m ñó c a a ñ n mp(P) d(a;(P)) = OH Kho ng cách gi a hai m t ph ng song song: kho ng cách t m t ñi m b t kỳ m t ph ng ñ n m t ph ng d((P);(Q)) = OH 4.Kho ng cách gi a hai ñư ng th ng chéo nhau: đ dài đo n vng góc chung c a hai đư ng th ng d(a;b) = AB a) Kho ng cách gi a hai ñư ng th ng chéo b ng kho ng cách gi a m t hai ñư ng th ng ñó m t ph ng song song v i nó, ch a đư ng th ng cịn l i b) Kho ng cách gi a hai ñư ng th ng chéo b ng kho ng cách gi a hai m t ph ng song song l n lư t ch a hai đư ng th ng O a H P O P H Q a A b B §4.GĨC Góc gi a hai đư ng th ng a b góc gi a hai đư ng th ng a’ b’ ñi qua m t ñi m l n lư t phương v i a b - 5- a a' b' b H Góc gi a đư ng th ng a khơng vng góc v i m t ph ng (P) góc gi a a hình chi u a’ c a mp(P) ð c bi t: N u a vng góc v i m t ph ng (P) ta nói r ng góc gi a ñư ng th ng a mp(P) 900 Góc gi a hai m t ph ng góc gi a hai ñư ng th ng l n lư t vng góc v i hai m t ph ng ñó Ho c góc gi a ñư ng th ng n m m t ph ng vng góc v i giao n t i m Di n tích hình chi u: G i S di n tích c a đa giác (H) mp(P) S’ di n tích hình chi u (H’) c a (H) mp(P’) a a' P b a Q P S A C CÁC HÌNH ðA DI N §1 Hình chóp Hình chóp: Cho đa giác A1A2 An m t m S n m m t ph ng ch a đa giác N i S v i ñ nh A1, A2, ,An ñ ñư c n tam giác: SA1A2, SA2A3, ,SAnA1 Hình g m n tam giác đa giác A1A2 An g i hình chóp đư c ký hi u S.A1A2 An - 6- Q P S' = Scos ϕ ϕ góc gi a hai m t ph ng (P),(P’) b a C ϕ B Hình chóp đ u: • M t hình chóp đư c g i hình chóp đ u n u đáy c a đa giác đ u c nh bên b ng • M t hình chóp đư c g i hình chóp đ u n u ñáy c a ña giác ñ u có chân đư ng cao trùng v i tâm c a đa giác đáy Hình chóp tam giác đ u Hình chóp t giác đ u + Trong m t hình chóp đ u - Các c nh bên t o v i đáy góc b ng - Các m t bên t o v i ñáy góc b ng §2 Hình lăng tr Hình lăng tr : Hình h p b i hình bình hành A1A2A'2A'1, A2A3A'3A'2, ,AnA1A'1A'2 hai đa giác A1A2 An, A'1A'2 A'n g i hình lăng tr ho c lăng tr , ký hi u A1A2 An.A'1A'2 A'n + Trong m t hình lăng tr - Các c nh bên b ng nhau; - Các m t bên hình bình hành; - Hai ñáy hai ña giác b ng Hình h p: hình lăng tr có đáy hình bình hành + Trong m t hình h p - Các m t bên hình bình hành; - Các đư ng chéo c a hình h p c t t i trung ñi m m i đư ng - 7- Hình lăng tr đ ng: hình lăng tr có c nh bên vng góc v i m t đáy + Trong hình lăng tr đ ng - ð dài c nh bên chi u cao; - Các m t bên hình ch nh t Hình lăng tr đ u: hình lăng tr đ ng có đáy ña giác ñ u + Trong hình lăng tr ñ u - ð dài c nh bên chi u cao; - Các m t bên hình ch nh t b ng Hình h p đ ng: hình lăng tr đ ng có đáy hình bình hành Hình h p ch nh t: hình h p đ ng có đáy hình ch nh t - 8- Hình l p phương: hình h p ch nh t có t t c c nh b ng CÁC BÀI TỐN ƠN T P Bài 1: Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác đ u c nh a C nh SA vng góc v i m t ph ng (ABC), c nh bên SB t o v i m t ph ng ñáy m t góc 300 Tính SA Bài 2: Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác vng t i A có AB = a , AC = a M t bên SBC tam giác ñ u vng góc m t ph ng (ABC) Tính d(S;(ABC)) Bài 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông t i A, AB = a , AC = a , m t bên SBC tam giác đ u vng góc v i m t ph ng đáy Tính kho ng cách t S ñ n m t ph ng (ABC) Bài 4: Cho hình chóp t giác đ u S.ABCD có c nh đáy b ng a, góc SAC b ng 450 Tính kho ng cách t S đ n m t ph ng (ABCD) Bài 5: Cho hình chóp tam giác ñ u S.ABC có c nh ñáy b ng a Bi t c nh bên h p v i ñáy m t góc 600 G i M trung m c a SA Tính d(M;(ABC)) Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng c nh a, c nh bên SA vng góc v i m t ph ng đáy, góc gi a m t ph ng (SBD) m t ph ng ñáy b ng 600 Tính SA Bài 7: Cho hình chóp S.ABC có m t bên SBC tam giác ñ u c nh a, c nh bên SA vng góc v i m t ph ng ñáy Bi t BAC = 1200 , tính kho ng cách t S đ n m t ph ng (ABC) Bài 8: Cho hình chóp S.ABC có SA vng góc v i m t ph ng (ABC), đáy ABC tam giác vng t i B, AB = a 3, AC = 2a , góc gi a m t bên (SBC) m t ñáy (ABC) b ng 600 G i M trung ñi m c a AC Tính SA kho ng cách t ñi m M ñ n m t ph ng (SBC) Bài 9: Cho hình lăng tr đ ng ABC.A'B'C' có đáy ABC m t tam giác vng t i A AC = a, C = 600 ðư ng chéo BC' c a m t bên BB'C'C t o v i m t ph ng (AA'C'C) m t góc 300 Tính theo a kho ng cách gi a hai ñáy c a lăng tr Bài 10: Cho hình chóp t giác S.ABCD v i đáy hình ch nh t, SA vng góc v i m t ph ng ñáy, AB = a , AC = 2a , c nh bên SD h p v i m t ph ng đáy m t góc 300 Tính SA Bài 11: - 9- Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vng cân t i B v i AC = a, SA vng góc v i m t ph ng ñáy SB h p v i đáy m t góc 600 Tính SA Bài 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông c nh a, m t ph ng (SAB) vuông góc v i m t ph ng đáy, SA = SB , góc gi a đư ng th ng SC m t ph ng đáy b ng 450 Tính kho ng cách t S ñ n m t ph ng (ABCD) Bài 13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng c nh a, c nh bên SA = a ; hình chi u vng góc c a ñ nh S m t ph ng (ABCD) ñi m H thu c ño n AC, AH = AC G i CM ñư ng cao c a tam giác SAC Ch ng minh M trung m SA tính kho ng cách t S ñ n m t ph ng (ABCD) Bài 14: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông c nh a G i M N l n lư t trung ñi m c a c nh AB AD; H giao ñi m c a CN DM Bi t SH ⊥ (ABCD) SH = a Tính SH d(DM;SC) theo a -H t - 10- ... vế biểu thức bpt từ vế sang vế (nhớ đổi dấu biểu thức) 2) Nhân chia hai vế bpt với số biểu thức khác Ghi nh quan tr ng: + Âm đ i chi u + Dương khơng đ i chi u 3) Thay biểu thức bpt biểu thức khác... Cho phép tính giá trị biểu thức đối xứng nghiệm ( tức biểu thức chứa x1, x2 x + x2 1 + + ) mà không thay đổi giá trị ta thay đổi vai trò x1,x2 cho Ví dụ: A = x1 x x1 x không cần giải pt tìm x1,... ý Ta áp dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử kỷ thuật sử dụng sơ đồ HOÓCNE, để giải phương trình đa thức bậc cao (với điều kiện nhẩm nghiệm đa thức) Ví dụ: Giải phương trình sau: a)