Luận Văn Nghiên cứu sự ảnh hưởng của các quá trình suy giảm kết hợp lên rối lượng tử của hệ hai qubit – cavit

Mục lục 1 Chương 1: Mở đầu Vào cuối thế kỷ thứ 19, Vật lý cổ điển vẫn được xem như là một hệ thống lí thuyết hoàn chỉnh và chặt chẽ. Nó cho kết quả phù hợp với thực nghiệm đối với các hiện tượng vật lý mà người ta đã biết đến. Đến năm 1900, Max Planck đề xuất giả thuyết về tính gián đoạn của bức xạ điện từ phát ra từ các vật để giải thích những kết quả thực nghiệm về bức xạ nhiệt của các vật đen. Chỉ một vài năm sau, Albert Einstein đã diễn tả chính xác hiện tượng này trong thuyết lượng tử ánh sáng. Sự không thể hòa hợp lý thuyết Maxwell với giả thuyết này đã buộc các nhà nghiên cứu phải đi đến kết luận rằng, các hiện tượng bức xạ chỉ có thể hiểu được bằng việc dứt khoát từ bỏ sự trực quan hóa về chúng. Được tìm ra bởi Planck, được nối tiếp bởi Einstein và Debye, lý thuyết lượng tử tiến thêm một bước nữa khi được diễn tả một cách hệ thống trong các định đề cơ bản của Bohr, đối lập một cách không khoan nhượng với cơ học cổ điển, tuy nhiên theo các kết quả định lượng, chúng lại vô cùng cần thiết cho việc tìm hiểu các tính chất của nguyên tử. Vật lý cổ điển như là trường hợp giới hạn được trực quan hóa đối với một lĩnh vực vật lý vi mô về cơ bản là không thể trực quan hóa được. Cơ học lượng tử (CHLT) ra đời như một lời giải đáp cho hàng loạt những mâu thuẫn nổi lên trong Vật lý của thế kỷ 19. Các tính toán của nó đã tiên đoán về tính chất của các hạt cơ bản phù hợp với thực nghiệm với độ chính xác cao đến kinh ngạc. Dù vậy, ngay từ đầu CHLT cũng chưa được công nhận đối với tất cả các nhà vật lý, ngay cả các nhà khoa học lỗi lạc như Schrodinger hay Richard Feynman từng nói “không một ai có thể hiểu được cơ học lượng tử”. CHLT đã mang lại những cuộc tranh luận gay gắt trong lịch sử phát triển của nó. Chính vì sự khó hiểu đó mà Einstein đã cho rằng cơ học lượng tử là không hoàn toàn chính xác, vật lý học 2 phải mô tả thiên nhiên đúng như sự thật của nó. Trong cuộc trò chuyện giữa Einstein với Abraham Pais, Einstein đưa ra câu hỏi thách thức “mặt trăng có còn đó hay không nếu chẳng ai nhìn nó”. Sự chống đối lên đến đỉnh cao khi Einstein cùng với Podolsky và Rosen đưa ra cái gọi là nghịch lý EPR [6]. Theo EPR, CHLT có thể chế tạo một cặp hạt liên đới lượng tử, nghĩa là một cặp hạt mà hàm sóng của chúng không thể viết thành tích trực tiếp hàm sóng của từng hạt, nói khác đi là các tính chất của các hạt không độc lập với nhau mà liên quan với nhau. Khi hai hạt liên đới ở xa nhau, nếu đo tọa độ của hạt thứ nhất sẽ biết được tọa độ của hạt thứ hai, song bây giờ đo xung lượng của hạt thứ hai ta lại biết được xung lượng của hạt thứ nhất. Như thế ta có thể đồng thời đo được tọa độ lẫn xung lượng của mỗi hạt, điều này trái với nguyên lý bất định Heisenberg của CHLT. Cũng giống như Einstein, Niles Bohr cũng hoàn toàn tin vào lý thuyết cổ điển. Ông nói rằng: “Mọi cách giải thích phải được phát biểu nhờ những thuật ngữ của lý thuyết vật lý cổ điển’’. Tuy nhiên sau những bàn luận về CHLT, đến năm 1930, khi những điều kỳ quặc của CHLT được phát triển thành một lý thuyết nhất quán thì tất cả mọi nghi ngờ của con người về CHLT đã được giải quyết. CHLT đã thực sự bùng nổ, nó đã trở thành một phần cơ bản và cốt yếu của Vật lý học. Những nghiên cứu mới về CHLT trong thời gian gần đây đã hướng đến một lĩnh vực mới - Khoa học thông tin lượng tử, nó kết hợp và dựa trên các quy luật toán học, vật lý, khoa học máy tính và kỹ thuật. Mục đích của nó là làm thế nào mà có thể khai thác được một cách tối ưu những nguyên lý đã được phát hiện trước đó trong việc truyền tải và xử lý thông tin. Những nguyên tắc cơ bản của lý thuyết lượng tử được áp dụng vào đó cho phép thông tin được mã hóa trong các trạng thái lượng tử có tính chất kì lạ và phản giác quan. Những nghiên cứu về lý thuyết gần đây đã mang đến những kết quả rất ngạc nhiên. Sự phát triển bùng nổ của khoa học thông tin gần đây có 3 thể được cho là sự hội tụ của hai yếu tố: thứ nhất, lý thuyết thông tin cổ điển do Shannon phát minh ra năm 1948 tuy đã đạt được những thành công không thể phủ nhận song nó vẫn còn rất nhiều hạn chế và chính những hạn chế đó đã đặt nền móng cho sự ra đời của lý thuyết thông tin lượng tử. Thứ hai, sự phát triển của khoa học công nghệ kèm theo đó là sự ra đời của nhiều phòng thí nghiệm hiện đại với những thiết bị tinh vi có khả năng thực hiện các thao tác và kiểm chứng các hiệu ứng lượng tử đã thực sự lôi cuốn mạnh mẽ các nhà khoa học tham gia nghiên cứu trên lĩnh vực này. Trong những thành công đó phải kể đến Serge Haroche và David J.Wineland với giải Nobel vật lý năm 2012, những người đã phát minh ra các phương pháp để thực hiện các thao tác cần thiết trên các hạt hoặc các hệ lượng tử riêng lẻ mà vẫn bảo toàn được bản chất lượng tử của chúng , mở ra một kỷ nguyên mới cho các nghiên cứu sâu rộng về thông tin lượng tử. Trong lý thuyết thông tin cổ điển, đơn vị cơ bản của thông tin là bit, còn trong lý thuyết thông tin lượng tử đơn vị cơ bản đó lại là bit lượng tử, còn gọi là qubit. Thuật ngữ này được Ben Schuhmacher đưa ra năm 1995. Nói chung quá trình truyền thông tin lượng tử có thể được xem như là sự tổng quát hóa hay sự mở rộng của quá trình truyền thông tin cổ điển. Bất kỳ một hệ lượng tử nào cũng được xem như là một qubit nếu nó được xác định bởi 2 trạng thái độc lập tuyến tính với nhau. Các photon phân cực, các hạt có spin ½, các nguyên tử hai mức, các cấu trúc chấm lượng tử kép,… đều có thể sử dụng như các qubit. Năm 1985 David Deutsch đã giới thiệu về máy tính lượng tử và cho thấy rằng lý thuyết lượng tử có thể giúp các máy tính thực hiện công việc nhanh hơn rất nhiều [7]. Trong khi các máy tính số ngày nay xử lý thông tin cổ điển được mã hóa theo các bit thì máy tính lượng tử lại xử lý thông tin theo các qubit. Máy tính lượng tử có thể sử dụng để thực thi những nhiệm vụ rất khó thực hiện đối với các máy tính số thông thường . Ví dụ, các siêu máy tính số ngày nay phải mất một thời gian dài hơn cả tuổi thọ 4 của vũ trụ để có thể tìm ra được các thừa số nguyên tố của một số nguyên có khoảng vài trăm chữ số, trong khi đó máy tính lượng tử có thể thực hiện nhiệm vụ này trong khoảng chưa đầy một giây. Lý thuyết lượng tử còn cho phép tồn tại một trạng thái đặc biệt của các qubit đó là trạng thái rối lượng tử, một tính chất lạ lùng, một mối tương quan phi định xứ vô cùng tinh tế giữa các phần của một hệ lượng tử - điều mà trong lý thuyết cổ điển không có được. Nhờ vào tính chất kỳ lạ này mà các hạt lượng tử trở nên liên quan mật thiết với nhau đến nỗi mà chúng chia sẻ cùng một sự tồn tại. Các hạt được rối với nhau có những tính chất rất đặc biệt: một phép đo trên hạt này ngay lập tức ảnh hưởng đến trạng thái của hạt kia cho dù chúng có ở rất xa nhau. Đáng kinh ngạc hơn, các hạt lượng tử lại có thể rối với nhau cho dù trước đó chúng không hề có sự tương tác thông qua hiện tượng tráo rối lượng tử [8-11]. Cách đây vài thập niên rối lượng tử đã trở thành một trong những chủ đề nghiên cứu chuyên sâu của các nhà khoa học quan tâm đến lý thuyết lượng tử. Nó mang một vai trò đặc biệt để có thể hoàn thành những nhiệm vụ mang tính chất không tưởng như: Mật mã lượng tử [12], tính toán lượng tử [13] hay viễn chuyển trạng thái lượng tử [14-16]…Đây là những ngành công nghệ mới mang lại rất nhiều hứa hẹn về khả năng ứng dụng rộng rãi trong tương lai. Những nhà phát minh ra cơ học lượng tử cũng không thể tin được rằng các trạng thái rối lượng tử lại có thể có những công dụng lớn đến như vậy. Mục đích quan trọng trong lý thuyết thông tin lượng tử là làm thế nào để sử dụng rối lượng tử, một nguồn tài nguyên rất hữu dụng cho việc xử lý thông tin lượng tử. Những công nghệ thông tin lượng tử được mong đợi là có thể khắc phục được những hạn chế còn tồn tại của công nghệ thông tin cổ điển. Những ý tưởng tính toán lượng tử xuất phát từ ý tưởng cho rằng các máy tính thực chất là các hệ vật lý và các quá trình tính toán thực chất là các quá trình vật lý. Việc tăng gấp đôi lượng Tranzito trên một mạch tổ hợp cứ sau mỗi 18 tháng trong suốt 30 năm qua đã khẳng định dự đoán của Moore [17]. Đến một thời điểm nào đó thì việc áp dụng các qui luật cơ học lượng tử để xử lý thông 5 tin trong tính toán là không thể tránh khỏi. Năm 1980, lần đầu tiên Feynman nhận thấy rằng các hiệu ứng cơ học lượng tử bất kỳ không thể nào được mô phỏng một cách có hiệu quả bởi một máy tính cổ điển. Năm 1990 người ta nhận thấy rằng sự song song lượng tử dựa trên đặc trưng của quá trình tiến hóa Unita có thể làm tăng tốc độ tính toán một cách đáng kể trong các bài toán như phân tích một số nguyên lớn ra thừa số nguyên tố hay dò tìm dữ liệu các công nghệ thông tin liên lạc và mật mã cũng đã được khám phá dựa trên cơ học lượng tử. Sự phân bố khóa lượng tử cho phép sự liên lạc an toàn tuyệt đối mà điều này không bao giờ có thể thực hiện được theo cách cổ điển. Tính chất không định xứ của cơ học lượng tử dẫn đến một hiện tương vô cùng kỳ lạ đó là viễn tải lượng tử. Bằng viễn tải lượng tử, một trạng thái lượng tử chưa biết bất kỳ bị phá hủy ở một nơi và bản sao hoàn hảo của nó lại xuất hiện ở một nơi rất xa khác. Dù đã có rất nhiều thành công đáng kinh ngạc về lĩnh vực này trong thời gian qua nhưng vẫn còn quá xa trước khi hiện thực hóa việc xử lí thông tin lượng tử trong các ứng dụng thực tiễn, cho dù đến nay cũng đã có nhiều nghiên cứu khác nhau về sự thực thi của một máy tính lượng tử như cộng hưởng từ hạt nhân (NMR), bẫy ion, hệ các trạng thái rắn và quang. Những minh họa gần đây nhất về tính toán lượng tử chỉ mới giới hạn 7 qubit, có nghĩa là chúng vẫn đang ở một mức độ cơ bản. Năm 1998, Chuang đã báo cáo về sự hiện thực hóa 2 qubit của một thuật toán lượng tử cơ bản, ông đã thu được bằng cách sử dụng công nghệ khối NMR. Trong cùng năm đó và năm tiếp theo cũng có một số minh họa thực nghiệm tương tự, ví dụ như, Jones và Mosca đã tạo ra được một thiết bị 2 qubit dựa trên chất lỏng, trong đó có 2 qubit được tích trữ trong các spin hạt nhân của nguyên tử hidro; Vandersypen cùng các cộng sự đã phát triển một thiết bị 7 qubit bằng cách sử dụng NMR để minh họa thuật toán thừa số hóa Shor trong năm 2001. Năm 2003, đã có một số nhà nghiên cứu lạc quan như Stoneham tin rằng ông có thể tạo ra một chiếc máy tính lượng tử dựa trên nghiên cứu vật liệu silic đến năm 2010. Trong 20 năm qua, nhiều thí nghiệm quang học cũng đã chứng tỏ 6 các hiệu ứng không định xứ trong phòng thí nghiệm [18,19] và gần đây nhất là trong các sợi quang dài 10km. Gần đây nhất, Aspenmayer cũng các cộng sự đã chứng minh rằng rối của sự phân cực photon có thể thu được trong không gian tự do trên khoảng cách 600m. Rối lượng tử là một trong những đối tượng thú vị nhất của cơ học lượng tử. Cái tên rối lượng tử lần đầu tiên được giới thiệu bởi Schrodinger bằng tiếng đức là: “Veschrankung” ( tiếng anh là Entanglement) [20]. Các trạng thái rối có thể sinh ra do tương tác giữa các hệ lượng tử, ví dụ như khi hai hạt được tạo ra một cách đồng thời với một số yêu cầu là spin hay xung lượng phải được bảo toàn. Tuy nhiên, một trạng thái rối có thể mất rối do tương tác với môi trường. Rối đóng một vai trò không thể thay thế như là nguồn tài nguyên trong các quá trình xử lý thông tin lượng tử bao gồm viễn tải lượng tử, mật mã lượng tử, và tính toán lượng tử. Trong khuôn khổ của luận văn này, chúng tôi sẽ nghiên cứu động lực học rối lượng tử của hệ qubit - cavity độc lập. Chúng tôi nghiên cứu sự ảnh hưởng của các quá trình suy giảm kết hợp lên rối lượng tử của hệ hai qubit – cavity độc lập, và tác động của rối lượng tử lên viễn tải lượng tử. Luận văn được chia làm 4 chương: Chương 1: Tổng quan về thông tin lượng tử, rối lượng tử và nêu nhiệm vụ, nội dung chính và bố cục của luận văn Chương 2: Trình bày phương trình Master cho hệ mở là cơ sở toán học để áp dụng vào hệ qubit - cavity độc lập. Chương 3: Trình bày các phương trình tốc độ và cách giải các phương trình tốc độ, trong đó xét đến quá trình suy giảm kết hợp của hệ khi chịu ảnh hưởng của yếu tố đó là sự lật pha của các electron. 7 Chương 4: Nghiên cứu sự rối lượng tử của hệ 2 qubit -cavity phụ thuộc vào cơ chế suy giảm kết hợp ở trên và các kết quả thu được. 8 Chương 2: Phương trình Master cho hệ mở 2.1. Ma trận mật độ Nếu hệ lượng tử là cô lập hay hệ ở trong trường ngoài mà tương tác giữa hệ và trường ngoài đã được biết chính xác thì trạng thái của hệ lượng tử được mô tả bởi hàm sóng và gọi là trạng thái sạch. Chúng ta khảo sát hệ lượng tử mà trạng thái của hệ được mô tả bằng hàm sóng )(x Ψ , trong đó x là kí hiệu một tập hợp biến số động lực xác định trạng thái của hệ. Giả sử )( ˆ xA là toán tử biểu diễn đại lượng vật lý A trong trạng thái )(x Ψ được xác định bằng công thức ∫ ΨΨ= dxxxAxA )()( ˆ )( * (2.1) Nếu hệ lượng tử không cô lập và tương tác với các hệ xung quanh không được xác định một cách chính xác thì trạng thái của hệ không được mô tả bằng một hàm sóng. Bởi vì khi chưa biết tương tác giữa hệ và trường ngoài thì không thể giải phương trình Schrodinger để xác định hàm sóng. Để mô tả hệ lượng tử trong khuôn khổ cơ học lượng tử, ta xét cả hệ đang xét( gọi là hệ con) và các hệ xung quanh tương tác với nó (gọi là hệ lớn) làm thành một hệ kín. Khi đó ta có thể dùng khái niệm hàm sóng để mô tả trạng thái của hệ kín. Giả sử hệ lớn được mô tả bởi một tập hợp biến số động lực q. Hàm sóng mô tả trạng thái hệ kín là hàm của x và q 9 ),()( xqx Ψ=Ψ (2.2) Ta chọn hàm sóng sao cho giá trị trung bình của đại lượng A(x) của hệ con được xác định bằng hệ thức dxdqxqxAxqA ∫ ΨΨ= ),()( ˆ ),( * (2.3) Chú ý rằng toán tử )( ˆ xA chỉ tác dụng lên biến x của hệ con. Đặt )( ˆ )(),( '' xAxxxxA −= δ (2.4) ∫ ΨΨ= dqxqxqxx ),(),(),( ,*, ρ (2.5) ta viết được ∫∫ = ,,, ),(),( dxdxxxxxAA ρ (2.6) Đại lượng ),( , xx ρ là yếu tố của ma trận mật độ ρ trong tọa độ biểu diễn. Dùng quy tắc nhân ma trận ta viết được [ ] ∫ == )( ρρ ATrdxAA xx (2.7) 10 [...]... (2.91) 30 } Chương 3 Hệ phương trình tốc độ của hệ qubit - cavity độc lập 3.1 Các phương trình tốc độ 3.1.1 Toán tử Hamitonian và toán tử Liouvillion của hệ Xét một hệ nguyên tử hai mức không suy biến tương tác với các photon trong microcavity (MC) đơn mode thông qua sự cho phép dịch chuyển của lưỡng cực điện [23, 24, 25, 26, 27] Chúng ta đưa vào các toán tử cg, cg+ và ce, ce+ là các toán tử hủy và sinh... tái chuẩn hóa các mức năng lượng dẫn đến sự thay đổi tần số (thay đổi Lamb) của hệ S Hiệu ứng này được gây bởi các tác động thông thường của môi trường làm nhiễu loạn Hamilton H của hệ S L( 2 ) ρ mô tả các quá trình suy giảm kết hợp do môi trường L(1) ρ được xác định qua biến phân của Hamitonian của hệ S L( 1) ρ = −i[δH , ρ ] δH = − (2.38) 1 ∑ ΓAhA 2 A (2.39) với ΓA hệ S và là các vi tử trong không... thành các không gian con tuyến tính và bất biến dưới tác dụng của Hamiltonian toàn phần (3.1): g ,0 - Không gian con một chiều với véc tơ cơ sở g ,0 Vn , n ≥ 1 - Các không gian con hai chiều với các véc tơ cơ sở e, n − 1 và Tương tác của electron với môi trường cũng như sự mất mát các photon trong MC là nguyên nhân suy giảm kết hợp của hệ Chúng tôi xét hai cơ chế vật lý của sự giảm kết hợp của hệ đó... phương trình Liouvillian lượng tử hay phương trình von Neumann 15 Trong thực tế, hệ mà chúng ta khảo sát luôn là hệ con hoặc là một phần của hệ lớn, do đó luôn có sự tương tác giữa hệ con với hệ lớn Vì vậy để mô tả trạng thái động lực của hệ con trong hệ lớn chúng ta dùng ma trận mật độ rút gọn 2.2 Phương trình Master cho hệ mở Xét một hệ lượng tử mở S tương tác với môi trường E Ma trận mật độ của hệ được... theo cách Một trường hợp đặc biệt của công thức trên được trình bày bởi Linblad [22]: L( 2 ) ρ = [ ] [ ]   1 ∑ ξ A  ΓA , ρΓ + A + ΓAρ , ΓA+  2 AB   (2.41) công thức này được dùng để nghiên cứu các hệ năng lượng có suy giảm kết hợp Trong không gian Hilbert của các véc tơ trạng thái của hệ S, chúng tôi µ chọn một cơ sở gồm tập hợp các véc tơ trực giao và chuẩn hóa , khi đó phương trình trị riêng của. .. hilbert của các véc tơ trạng thái của L( 2) ρ được xác định bởi công thức của Gorin, Kossakowski và Sudarshan [21]: 17 L( 2 ) ρ = [ ] [ ]   1 ∑ ξ AB  ΓA , ρΓ + B + ΓAρ , ΓB+  2 AB   ở đây, các hệ số không phụ thuộc thời gian ξ AB (2.40) là các yếu tố của một ma trận phức và biểu diễn toàn bộ thông tin về các thông số vật lý của quá trình tán xạ và quá trình suy giảm kết hợp chọn các vi tử ΓA ξ... ee (n,m) = 0, (3.25) n, m ≥ 1 3.1.2 Các phương trình tốc độ trong cùng một không gian con bất biến Từ các phương trình von Neumann của hệ electron- photon cùng với Hamiltonian toàn phần (3.1) và các phần tử ma trận (3.7) đến (3.23) của Lρ chúng ta thu được các phương trình tốc độ của hệ Vì không gian Hilbert của tất cả các vec tơ trạng thái của hệ là tổng của vô hạn các không gian con bất biến Vn, n>=0,... thái của môi trường Các phương trình chuyển động của toán tử mật độ rút gọn của hệ S được gọi là các phương trình Master Từ phương trình Von Neumann (2.34) cho trình vi tích phân của toán tử mật độ rút gọn 16 ρ ρ tot , chúng tôi đưa về phương của hệ mở dρ = −i [ H , ρ ] + L ρ dt (2.36) trong đó L là toán tử Liouvillian đặc trưng cho sự tương tác của hệ với môi trường Toán tử này gồm 2 thành phần L L(... A = ∑ f ABC EB ρC − λA − ∑ λAB ρ B dt BC B (2.72) 25 Hệ phương trình master của Lindblad-Gorini- Kossakowski-Sudarshan hay Radfield được sử dụng rộng rãi cho nhiều hệ mở 2.3 Giải hệ phương trình master cho hệ hai qubit Trong phần 2.2, chúng ta đã thành lập được hệ phương trình Master của hệ mở Đây là một hệ gồm 15 phương trình khác nhau với các hệ số là hằng số, có thể được viết gọn lại dưới dạng sau... phương trình Von Neumann dρ tot = −i[ H tot , ρ tot ] dt (2.34) với Htot là Hamitonian của cả hệ: Htot = H + HE + Hint (3.35) trong đó: H là Hamitonian của hệ S HE là Hamitonian của hệ E Hint là Hamitonian tương tác của S và E Trạng thái động lực của hệ S được mô tả bởi toán tử mật độ rút gọn được từ ρ tot ρ thu bằng cách lấy vết trên cơ sở của không gian Hilbert của véc tơ trạng thái của môi trường Các . nghiên cứu sự ảnh hưởng của các quá trình suy giảm kết hợp lên rối lượng tử của hệ hai qubit – cavity độc lập, và tác động của rối lượng tử lên viễn tải lượng tử. Luận văn được chia làm 4 chương: Chương. mã lượng tử, và tính toán lượng tử. Trong khuôn khổ của luận văn này, chúng tôi sẽ nghiên cứu động lực học rối lượng tử của hệ qubit - cavity độc lập. Chúng tôi nghiên cứu sự ảnh hưởng của các. lập. Chương 3: Trình bày các phương trình tốc độ và cách giải các phương trình tốc độ, trong đó xét đến quá trình suy giảm kết hợp của hệ khi chịu ảnh hưởng của yếu tố đó là sự lật pha của các electron. 7 Chương