SKKN Ứng dụng của hàm số trong việc giải và biện luận phương trình, bất phương trình

33 1.8K 1
SKKN Ứng dụng của hàm số trong việc giải và biện luận phương trình, bất phương trình

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: "ỨNG DỤNG CỦA HÀM SỐ TRONG VIỆC GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH" 1 I/ ĐẶT VẤN ĐỀ: Phương trình , bất phương trình là một trong những nội dung cơ bản của chương trình toán THPT.Các bài toán về giải phương trình,bất phương trình hay tìm điều kiện để phương trình , bất phương trình có ngiệm thường có trong các đề thi tuyển sinh vào ĐH,CĐ. Chính vì vậy việc đi sâu nghiên cứu tìm tòi thêm các phương pháp giải, biện luận phương trình, bất phương trình có một ý nghĩa rất quan trọng nhằm cung cấp thêm cho học sinh các kiến thức, kỹ năng giải quyết bài toán về phương trình, bất phương trình. Trong đề tài này tôi chỉ đi sâu vào giải và biện luận phương trình, bất phương trình. II/ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ: 1/ Cơ sở lý luận Hàm số là một vấn đề trọng tâm trong chương trình toán học ở trường THPT. Dạy học theo quan điểm hàm số giúp cho học sinh nâng cao được khả năng tư duy. Hàm số có ứng dụng rất rộng lớn trong nhiều lĩnh vực của toán học mà một trong các ứng dụng đó là việc giải và biện luận phương trình, bất phương trình. Các khái niệm về phương trình, bất phương trình đều được định nghĩa thông qua khái niệm hàm số do vậy việc sử dụng phương pháp hàm số trong việc nghiên cứu phương trình, bất phương trình có một ý nghĩa rất to lớn. Một mặt nó tác dụng củng cố thêm các kiến thức về hàm số và ngược lại các kiến thức đó lại được vận dụng trở lại trong các bài toán về phương trình và bất phương trình. 2/ Thực trạng của vấn đề: Qua nhiều năm thực tế giảng dạy trong trường THPT tôi thấy học sinh rất lúng túng trong việc giải quyết các bài tập mà cần đến các kiến thức về hàm số một phần do kiến thức về phần hàm số cũng tương đối trừu tượng và muốn đi sâu nghiên cứu các ứng dụng của 2 hàm số cũng chưa được coi trọng đúng mức. Trong một số bài toán về phương trình, bất phương trình nếu dùng các phương pháp khác thì bài toán trở nên rất phức tạp đôi khi có thể không giải được trong khi đó nếu sử dụng phương pháp hàm số thì cách giải trở nên rất đơn giản. 3/ Giải pháp và tổ chức thực hiện: Trong đề tài này tôi muốn trình bày với một ý tưởng giúp học sinh khai thác những kiến thức cơ bản về hàm số, phương trình, bất phương trình mà các em đã được học nhằm giúp các em nắm được kiến thức cơ bản một cách chắc chắn, sâu sắc từ đó các em có thể vận dụng được linh hoạt vào giải quyết các bài toán về giải, biện luận phương trình hay bất phương trình. Giải pháp và tổ chức thực hiện là: - Cho học sinh nghiên cứu đề tài (giáo viên dạy, học sinh học và làm bài tập) - Kiểm tra đánh giá mức độ nhận thức của học sinh trước và sau khi nghiên cứu chuyên đề. - Tổng kết các mặt đã làm được và chưa làm được trong chuyên đề để có hướng vận dụng chuyên đề cho các khóa học sinh tiếp theo. 4/ Nội dung của chuyên đề: 4.1/ Ứng dụng của hàm số trong giải phương trình và bất phương trình: a) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số trong việc giải phương trình * Kiến thức cơ bản Định nghĩa: Giả sử K là một khoảng, một đoạn, hay một nửa khoảng và f là hàm số xác định trên K 3 Hàm số f được gọi là đồng biến trên K nếu: ∀ x 1 ,x 2 ∈ K ,x 1 < x 2 ⇒ f(x 1 ) < f(x 2 ) Hàm số f được gọi là nghịch biến trên K nếu: ∀ x 1 ,x 2 ∈ K ,x 1 < x 2 ⇒ f(x 1 ) > f(x 2 ) Dấu hiệu đồng biến, nghịch biến: ĐL1: Cho hàm số ( ) xfy = xác định trên );( ba Nếu ( ) 0' ≥xf );( bax ∈∀ thì hàm số đồng biến trên );( ba Nếu ( ) 0' ≤xf );( bax ∈∀ thì hàm số nghịch biến trên );( ba Chú ý: ( ) 0' ≠xf );( bax ∈∀ ĐL2: Giả sử các hàm số ( ) xU và ( ) xV là hàm số Đồng biến (Nghịch biến) trên );( ba khi đó hàm số ( ) ( ) xVxUy += cũng là hàm số Đồng biến (Nghịch biến) trên );( ba ĐL3: Gỉa sử ( ) xU và ( ) xV là hàm số Đồng biến ( hoặc Nghịch biến) trên );( ba và ( ) 0xU ; ( ) 0xV với );( bax ∈∀ khi đó hàm số ( ) ( ) xVxUy = cũng là hàm số Đồng biến (Nghịch biến) trên );( ba ĐL4: Nếu ( ) xU là hàm số Đồng biến ( hoặc Nghịch biến) trên );( ba và ( ) 0xU với );( bax ∈∀ khi đó hàm số ( ) xU 1 là hàm số Nghịch biến (hoặc Đồng biến) trên );( ba ĐL5: Hàm số ( ) ufy = Đồng biến, hàm số ( ) xgu = Đồng biến thì hàm số hợp ( ) [ ] xgfy = Đồng biến - Các hướng khai thác. 4 + Đưa phương trình về dạng ( ) ( ) xgxf = . Trong đó ( ) xf là hàm số đồng biến ( ) xg là hàm số nghịch biến hoặc ngược lại. Khi đó nếu x = x 0 thỏa mãn ( ) ( ) 00 xgxf = thì x = x 0 là nghiệm duy nhất của phương trình. + Đưa phương trình về dạng ( ) Axf = Trong đó ( ) xf là hàm số đơn điệu. Nếu tồn tại x = x 0 sao cho ( ) Axf = 0 thì x = x 0 là nghiệm duy nhất của phương trình. + Đưa phương trình về dạng ( ) ( ) vguf = với ( ) xUu = ; ( ) xVv = trong đó ( ) tf là hàm số đơn điệu thì phương trình tương đương với ( ) ( ) xVxU = . Các ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Giải phương trình 035 2 =−+ − x x Bài giải: phương trình đã cho tương đương với x x −= − 35 2 Ta thấy hàm số ( ) 2 5 − = x xf là hàm số đồng biến vì ( ) 5ln5' 2− = x xf ( ) 0' xf với Rx∈∀ . Hàm số ( ) xxg −= 3 là hàm số nghịch biến trên R. và ( ) ( ) 222 =⇒= xgf là nghiệm duy nhất của phương trình Ví dụ 2 : Giải phương trình 132 2 += x x (1) Bài giải: (1) ⇔ ( ) 132 += x x 1 2 1 2 3 =       +         x x 5 Ta thấy hàm số ( ) x x xf       +         = 2 1 2 3 là hàm số nghịch biến ( Tổng của hai hàm số nghịch biến) và ( ) 212 =⇒= xf là nghiệm duy nhất của phương trình. Ví dụ 3: Giải phương trình ( ) 2 1 122 2 −=− −− x xxx (Đề thi đại học Thủy lợi năm 2001) Bài giải: uxx =− 2 vx =− 1 Thì ( ) 2 1−=− xvu Phương trình đã cho tương đương với : vu uv −=− 22 ⇔ vu vu 22 +=+ Hàm số tương ứng ở hai vế là: ( ) t ttf 2+= (*) có ( ) 02ln21'  t tf += Nên ( ) tf đồng biến, do đó (*) ⇔ vu = ⇔ 11 2 =⇔−=− xxxx . Ví dụ 4: Giải phương trình: 2653 +=+ x xx (Đề thi ĐHSP Hà Nội – Khối A năm 2001) Bài giải: viết phương trình về dạng : 02653 =+−+ x xx Xét hàm số ( ) 2653 +−+= xxf xx (1) 6 ( ) 65ln53ln3' 5 −+= x xf ( ) xf ' là hàm số đồng biến ( vì là tổng của hai hàm số đồng biến và một hằng số không đổi) liên tục và có đổi dấu chẳng hạn: ( ) 065ln3ln0' −+=f ( ) 065ln53ln31' −+=f ⇒ ( ) 0' =xf có nghiệm duy nhất α =x và đổi dấu từ âm sang dương. Ta có bảng biến thiên. x ∞− α ∞+ ( ) xf ' - 0 + ( ) xf Từ bảng biến thiên suy ra đồ thị hàm số ( ) xfy = cắt trục hoành tối đa 2 lần ⇔ phương trình (1) có tối đa 2 nghiệm. Ta thấy ( ) ( ) 01;00 == ff Do đó phương trình đã cho chỉ có 2 nghiệm 0 = x hoặc 1 = x . Ví dụ 5: Giải phương trình: ( ) xx 32 log1log =+ Bài giải: Đặt ( ) txx ==+ 32 log1log khi đó phương trình đã cho tương ứng với:      = =+ t t x x 3 21 ⇔ tt 231 =+ 7 ⇔ t t 231 2 =+ Từ ví dụ 1 suy ra 2=t là nghiệm duy nhất của phương trình ⇒ 2log 3 =x ⇒ 9 = x . Ví dụ 6: Giải phương trình x xx 23232 =       −+       + (1) Bài giải: Chia hai vế phương trình cho x 2 ta được: (1) ⇔ 1 2 32 2 32 =         − +         + xx (2) Ta thấy 232 ± ⇔ 1 2 32 0          + Nên vế trái của phương trình (2) là hàm số nghịch biến ( vì là tổng của 2 hàm số nghịch biến) và 2 = x thỏa mãn phương trình (2) do đó 2 = x là nghiệm duy nhất của phương trình. Ví dụ 7: Giải phương trình ( ) ( ) 32log22log 2 32 2 322 −−=−− + + xxxx (1) Bài giải: Tập xác định: 032 2  −− xx ⇔    − 3 1   x x (1) ⇔ ( ) ( ) 32log22log 2 347 2 348 −−=−− ++ xxxx ⇔ ( ) ( ) 32log22log 2 347 2 348 −−=−− ++ xxxx Đặt 1347 +=a ; 32 2 −−= xxt khi đó phương trình trở thành: ( ) tt aa log1log 1 =+ + (2) 8 Đặt yt a =log thì (2) ⇔ ( )      +=+ = y y at at 11 hay ( ) y y aa 11 +=+ ⇔ 1 1 1 1 =       + +       + yy aa a (3) Ta thấy 1 1 0  +a a ; 1 1 1 0  +a Vế trái của (3) là tổng của 2 hàm số nghịch biến. 1=y thỏa mãn phương trình (3) ⇒ 1=y là nghiệm duy nhất của phương trình (3) Với 1=y ⇒ 1log =t a ⇔ at = ⇔ 34732 2 +=−− xx ⇔ 034102 2 =−−− xx ⇔ 34111 +±=x Vậy phương trình có 2 nghiệm: 34111 +±=x . b. Sử dụng phương pháp hàm số trong giải bất phương trình Các hướng khai thác - Đưa bất phương trình đã cho về dạng ( ) ( ) afxf  (1) (hoặc ( ) ( ) afxf  ) trong đó ( ) xf là hàm số đơn điệu từ đó suy ra nghiệm của bất phương trình. Nếu ( ) xf là hàm số đồng biến thì (1) ⇔ ax  ( ) xf là hàm số nghịch biến thì (1) ⇔ ax  . - Đưa bất phương trình về dạng ( ) ( ) xgxf ≤ và nhẩm được ( ) ( ) agaf = khi đó đưa vào tính đơn điệu của các hàm số ( ) xf và ( ) xg thì có thể suy ra được nghiệm của bất phương trình. 9 - Đưa bất phương trình về dạng ( ) Axf  (hoặc ( ) Axf  ). Dựa vào việc khảo sát hàm số ( ) xf ta có thể suy ra nghiệm của bất phương trình. Trong một số bài toán để sử dụng được phương pháp hàm số phải thông qua bước đặt ẩn phụ. Các ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Giải bất phương trình 122 1 − − x x  (1) Bài giải: bất phương trình (1) ⇔ 0122 1 +− − x x Xét hàm số ( ) 122 1 +−== − xxfy x có tập xác định R ( ) 022ln2' 1 −−= −x xf Rx ∈∀ Nên hàm số ( ) xf nghịch biến trên R. Ta thấy ( ) 01 =f nên (1) ⇔ ( ) ( ) 1fxf  ( ) xf là hàm số nghịch biến suy ra nghiệm của bất phương trình là 1x Ví dụ 2: Giải bất phương trình ( ) ( ) 257log155log 2 3 2 2 ≤−++++− xxxx (1) Bài giải: Đặt txx =+− 55 2 ( ) 0≥t Bất phương trình (1) ⇔ ( ) ( ) 22log1log 2 32 ≤+++ tt (2) Xét hàm số ( ) ( ) ( ) 2log1log 2 32 +++= tttf trên [ ) +∞;0 ( ) ( ) ( ) 0 3ln2 2 2ln1 1 ' 2  + + + = t t t tf với [ ) +∞∈∀ ;0t Nên ( ) tf đồng biến trên [ ) +∞;0 10 [...]... thiên : Hay với a≥6 min f ( t ) = 6 [ 0;3] và bất phương trình (2) có nghiệm t ∈ [ 0;3] khi a≥6 thì bất phương trình (1) có nghiệm 4.3 Ứng dụng của hàm số trong việc biện luận số nghiệm của một phương trình hay bất phương trình Ví dụ 1: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình x 4 + 4x + m + 4 x 4 + 4x + m = 6 (1) 24 Giải: Đặt (t ≥ 0 ) t = 4 x 4 + 4x + m Phương trình (1) trở thành  t=2 t2 + t + 6 =... : x = −1 x = −1 Phương trình có 3 nghiệm phân biệt 4.4 Ứng dụng của hàm số trong việc giải và biện luận phường trình, bất phương trình Ví dụ1: Giải và biện luận phương trình( ĐH Ngoại Thương 2001) 5x Bài giải: Đặt 2 + 2 mx + 2 − 52 x 2 + 4 mx + m + 2 = x 2 + 2mx + m x 2 + 2mx + 2 = u 2 x 2 + 4mx + m + 2 = v Phương trình Xét hàm số ⇔ 5u − 5v = u − v f (t ) = 5 t + t (2) là hàm số đồng biến ( f ′(t )... các phương trình và bất phương trình sau: 1 3x + 4 x = 5 x 2 lg x 2 − x − 6 + x = lg( x + 2 ) + 4 3 log 2 x + 3log6 x = log 6 x 4 log 2 2 x + 1 + log 3 4 x + 2 ≤ 2 5 5+ x 5− x  0 x 2 − 3x + 1 ( ) ( ( ) ) ( ) lg 13 x ≥ −2 4.2 Ứng dụng của hàm số trong việc biện luận về sự tồn tại nghiệm của phương trình và bất phương trình a Sử dung tính liên tục của hàm số để chứng minh sự tồn tại nghiệm của một phương. .. ⇔ 256q ≤ 27 p 4 c Sử dụng phương pháp miền giá trị hàm trong việc biện luận sự tồn tại nghiệm của phương trình hay bất phương trình * Đối với phương trình ta sử dụng mệnh đề sau: Phương trình f ( x ) = m có nghiệm trên miền D khi và chỉ khi số y = f ( x) m thuộc miền giá trị của hàm trên D Ví dụ 1: Tìm m để phương trình: 3+ x + 6− x − ( 3 + x )( 6 − x ) = m 17 (1) Có nghiêm Bài giải: t'= Đặt 6− x −... (C) biện luận số nghiệm của phương trình x 3 + 3 x 2 − mx − m − 2 = 0 Hướng dẫn: Đưa phương trình về dạng: x 3 + 3 x 2 − 4 = m( x + 1) − 2 Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng phương trình: ∆ y = m( x + 1) − 2 quay xung quanh điểm A(−1;−2) 27 ∆ có Từ đó có kết quả: m < −3 : Phương trình có 1 nghiệm đơn m = −3 : Phương trình có nghiệm bội m > −3 : x = −1 x = −1 Phương. .. 2) Tìm m để phương trình : log 2 ( x 2 + x + 2) + m = 3) Tìm m sao cho cos 2 x + m cos x + 4 ≥ 0 với mọi 22 có nghiệm m log 2 ( x + x + 2) 2 x có nghiệm d Sử dụng phương pháp max, min trong việc biện luận sự tồn tại nghiệm của phương trình, bất phương trình Để áp dụng được phương pháp này chúng ta sử dụng một số mệnh đề sau: Mệnh đề1: phương trình f ( x) = m có nghiệm trên miền D khi và chỉ khi: min... Đối với bất phương trình ta sử dụng mệnh đề sau: 19 t ∈ [ − 1;1] Để tìm điều kiện m sao cho bất phương trình y = f ( x) miền giá trị của hàm số Đặt f ( x)  m ) có nghiệm ta tìm mx − x − 3 ≤ m + 1 (1) có nghiệm X = x − 3 ⇒ x ∈ ( 0;+∞] ( ) m X 2 + 2 ≤ X +1 ⇔ m ≤ Phương trình (1) trở thành: ⇔ Bất phương trình (1) có nghiệm ⇔ ( hoặc và từ đó có kết luận về m Ví dụ 1: Tìm m để bất phương trình: Bài giải: ... 16 = m Xét hàm số f ( x ) = − x 4 − 4 x + 16 f ′( x) = −4 x 3 − 4 = −4( x 3 + 1) = 0 ⇔ x = −1 Số nghiệm của phương trình là giao điểm của đường thẳng y=m với đồ thị y = f (x) Ta có bảng biến thiên: −∞ x 1 +∞ + f ' ( x) 19 f (x) −∞ −∞ Suy ra: m > 19 : Phương trình vô nghiệm m = 19 :Phương trình có 1 nghiệm m < 19 :Phương trình có 2 nghiệm Để biện luận số nghiệm của phương trình theo tham số m chúng... thường đưa phương trình về một trong các dạng sau: (1): f ( x) = m hay f ( x) = g (m) 25 (2): f ( x) = kx + m (k là hằng số) (3): f ( x) = m( x − x0 ) + y 0 ( x0 , y 0 là hằng số) Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị y=m hoặc y = kx + m hoặc y = f (x) với đường thẳng y = m( x − x 0 ) + y 0 Ví dụ 2: Biện luận số nghiệm của phương trình: e t + m − 4 = (m − 4)e t Bài giải: Viết phương trình. .. nghiệm của bất phương trình đã cho là x 4 Ví dụ 5: Giải bất phương trình x + 9 + 2x + 4  5 Bài giải: f ( x) = x + 9 + 2x + 4 Xét hàm số f '( x) = ⇒ có tập xác định: 1 1 + 0 2 x+9 2x + 4 Hàm số đồng biến trên [ − 2;+∞ ) Ta thấy f ( 0) = 5 Vậy Khi −2≤ x ≤0 thì f ( x ) ≤ f ( 0) = 5 ⇒ Khi x 0 thì f ( x )  f ( 0) = 5 ⇒ ∀x  0 bất phương trình vô nghiệm là nghiệm Giới thiệu thêm một số bài tập áp dụng: Giải . TÀI: " ;ỨNG DỤNG CỦA HÀM SỐ TRONG VIỆC GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH" 1 I/ ĐẶT VẤN ĐỀ: Phương trình , bất phương trình là một trong những nội dung cơ bản của chương trình. tiếp theo. 4/ Nội dung của chuyên đề: 4.1/ Ứng dụng của hàm số trong giải phương trình và bất phương trình: a) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số trong việc giải phương trình * Kiến thức cơ bản Định. 4.2 Ứng dụng của hàm số trong việc biện luận về sự tồn tại nghiệm của phương trình và bất phương trình. a. Sử dung tính liên tục của hàm số để chứng minh sự tồn tại nghiệm của một phương trình. ĐL:

Ngày đăng: 08/04/2015, 15:03

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan