Nghiên cứu trạng thái ứng xuất của cọc bê tông đóng trong nền đồng nhất đáy cọc gặp lực chống không đổi và xác định độ lún của cọc

Va chạm là một quá trình động lực học đặc biệt, việc nghiên cứu các bài toán va chạm dọc của vật rắn vào thanh với vật liệu và điều kiện biên khác nhau là những bài toán phức tạp, nhưng

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 5

TÍNH CẤP THIẾT CỦA ĐỀ TÀI 5

MỤC ĐÍCH CỦA ĐỀ TÀI 6

PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 6

PHẠM VI NGHIÊN CỨU 6

BỐ CỤC CỦA LUẬN VĂN 7

KẾT LUẬN 7

CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN LÝ THUYẾT VA CHẠM 8

1.1 LÝ THUYẾT VA CHẠM CỔ ĐIỂN 8

1.2 LÝ THUYẾT BIẾN DẠNG VỊ TRÍ 10

1.3 LÝ THUYẾT SÓNG 11

1.4 ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT VA CHẠM VÀO BÀI TOÁN ĐÓNG CỌC 12

1.5 NHẬN XÉT 13

CHƯƠNG 2 LÝ THUYẾT VA CHẠM DỌC CỦA VẬT RẮN VÀO THANH ĐÀN HỒI 15

2.1 PHƯƠNG TRÌNH CHUYỂN ĐỘNG CỦA THANH VÀ BÀI TOÁN BIÊN 15

2.1.1 PHƯƠNG TRÌNH CHUYỂN ĐỘNG CỦA THANH 15

2.1.2 CÁC ĐIỀU KIỆN CỦA BÀI TOÁN 16

2.2 PHƯƠNG PHÁP LAN TRUYỀN SÓNG 16

2.3 MỘT VÀI BÀI TOÁN VỀ VA CHẠM DỌC CỦA VẬT RẮN VÀO THANH ĐÀN HỒI 18

2.3.1 VA CHẠM DỌC CỦA VẬT RẮN VÀO THANH ĐÀN HỒI TỰ DO 18

2.3.2 VA CHẠM DỌC CỦA VẬT RẮN VÀO THANH ĐÀN HỒI, ĐẦU KIA CỦA THANH NGÀM CHẶT 21

2.4 NHẬN XÉT 27

CHƯƠNG 3 VA CHẠM CỦA BÚA VÀO CỌC TRONG NỀN ĐỒNG NHẤT ĐÁY CỌC GẶP LỰC CHỐNG KHÔNG ĐỔI 29

3.1 ĐẶT VẤN ĐỀ 29

3.2 THIẾT LẬP BÀI TOÁN 29

3.2.1 SƠ ĐỒ BÀI TOÁN 29

3.2.2 PHƯƠNG TRÌNH CHUYỂN ĐỘNG CỦA CỌC, NGHIỆM TỔNG QUÁT VÀ CÁC ĐIỀU KIỆN CỦA BÀI TOÁN 29

3.3 THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN XÁC ĐỊNH LỰC NÉN P(T) CỦA ĐỆM LÊN ĐẦU CỌC 31

3.4 XÁC ĐỊNH LỰC NÉN P(T) CỦA ĐỆM LÊN ĐẦU CỌC VÀ CÁC HÀM SÓNG TRONG CỌC 32

3.5 XÁC ĐỊNH TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT CỦA CỌC 48

3.6 ẢNH HƯỞNG KHỐI LƯỢNG, CHIỀU CAO RƠI CỦA BÚA, ĐỆM, DIỆN TÍCH TIẾT DIỆN NGANG, MA SÁT MẶT BÊN ĐẾN ỨNG SUẤT TẠI ĐẦU CỌC 53

3.6.1 ẢNH HƯỞNG CỦA ĐẦU BÚA 53

3.6.2 ẢNH HƯỞNG CỦA CHIỀU CAO RƠI BÚA 54

3.6.3 ẢNH HƯỞNG CỦA HỆ SỐ ĐỆM ĐẦU CỌC 55

3.6.4 ẢNH HƯỞNG CỦA TIẾT DIỆN NGANG CỌC 56

3.6.5 ẢNH HƯỞNG CỦA MA SÁT MẶT BÊN CỌC 56

3.7 NHẬN XÉT CHUNG 57

CHƯƠNG 4 ĐỘ LÚN CỦA CỌC ĐÓNG TRONG MỘT NHÁT BÚA 58

4.1 ĐẶT VẤN ĐỀ 58

4.2 XÁC ĐỊNH VẬN TỐC TẠI ĐÁY CỌC 58

4.3 TÍNH ĐỘ LÚN CỦA CỌC TRONG MỘT LẦN VA CHẠM 61

4.3.1 XÁC ĐỊNH THỜI ĐIỂM CỌC BẮT ĐẦU LÚN 61

4.3.2 XÁC ĐỊNH THỜI ĐIỂM CỌC KẾT THÚC LÚN 61

4.3.3 TÍNH ĐỘ LÚN CỦA CỌC TRONG MỘT LẦN VA CHẠM 62

4.4 TÍNH TOÁN VỚI SỐ LIỆU CỤ THỂ 62

4.4.1 GIỚI THIỆU VỀ CÔNG TRÌNH 62

4.4.2 CÁC SỐ LIỆU CỤ THỂ 62

4.5 ẢNH HƯỞNG CỦA LỰC CHỐNG MŨI CỌC R ĐẾN ĐỘ LÚN CỦA CỌC TRONG MỘT NHÁT BÚA 63

4.6 NHẬN XÉT CHUNG 64

KẾT LUẬN CHUNG 65

TÀI LIỆU THAM KHẢO 68

MỞ ĐẦU Tính cấp thiết của đề tài

Sự phát triển về kinh tế, xã hội tạo đà cho ngành xây dựng có nhiều thành tựu mới, đó là những công trình xây dựng nhà cao tầng, cầu giao thông với trọng tải lớn, các công trình thuỷ lợi, thuỷ điện

Yếu tố nền móng trong các công trình xây dựng dân dụng cũng như các công trình đặc biệt chiếm một tỷ lệ lớn về tổng thể giá thành và tầm quan trọng của công trình Nó giúp cho công trình bền vững theo thời gian làm việc bằng cách khống chế độ nghiêng và độ lún của móng trong giới hạn cho phép

Từ trước đến nay có rất nhiều biện pháp gia cố nền móng làm tăng khả năng chịu tải của công trình: thay thế lớp đất yếu trong phạm vi chịu tải của công trình bằng lớp đất có tính chất cơ lý tốt hơn, hoặc dùng bấc thấm để tăng nhanh khả năng thoát nước trong nền, nhờ đó tăng khả năng chịu tải

Tuy nhiên đối với những công trình lớn, cũng như làm việc trên nền đất yếu

có độ dày lớn việc sử dụng hệ móng cọc là hữu hiệu hơn cả Nhiệm vụ chủ yếu của móng cọc là nhận một phần hoặc toàn bộ tải trọng và ngoại lực truyền xuống tầng đất chịu lực tốt nằm ở dưới sâu Nếu chân cọc tỳ lên nền đất chắc ta có cọc chống, nếu tải trọng truyền vào đất chủ yếu nhờ ma sát giữa đất và mặt bên của cọc ta có cọc treo Hiện nay với các công nghệ thi công hiện đại như cọc đóng bằng búa máy, cọc ép thủy lực, cọc khoan nhồi giúp cho nhà thiết kế lựa chọn được phương án tối ưu khi xây dựng công trình Trong các phương pháp trên ph-ương pháp cọc đóng có một số ưu điểm sau:

+ Tăng năng suất thi công

+ Tiết kiệm vật liệu xây dựng móng

+ Chất lượng cọc khá đồng đều do có thể áp dụng cơ giới hoá cao trong công tác sản xuất và thi công cọc

Trong quá trình thi công đóng cọc bê tông đúc sẵn thường dùng búa diezen, búa hơi hoặc búa rơi tự do để hạ cọc xuống lòng đất, việc lựa chọn đệm búa và đệm cọc phù hợp là rất quan trọng Đệm búa là lớp đệm giữa mũ cọc và búa, đệm búa thường dùng gỗ, cao su, gỗ tạp cứng hoặc các chế phẩm của chất dẻo, cao su cứng Đệm cọc là lớp đệm giữa đầu cọc và mũ cọc, đệm cọc thường dùng lớp đệm gỗ nhiều lớp và đệm bao tải Có thể là gỗ lim nhưng để giảm giá thành, hiện nay phần lớn các đơn vị thi công dùng tấm ván hòm hoặc bao tải thay thế Đệm cọc và đệm búa có tác dụng làm giảm ứng suất khi đóng, làm lực đóng búa phân bố đều, giảm lực va đập của đầu búa, đảm bảo cho ứng suất đóng cọc trong thân cọc không vượt quá giá trị cho phép; nếu lớp đệm quá mềm sẽ làm giảm việc truyền năng lượng, đóng cọc khó khăn; lớp đệm quá cứng sẽ tăng ứng suất đóng búa dễ hỏng đầu cọc (không cho phép vượt quá 65% cường độ chịu nén của bê tông) Thông thường, công nghệ đóng cọc dựa vào công thức kinh

nghiệm hoặc kinh nghiệm thi công mà chưa nghiên cứu kỹ mối quan hệ rất

khăng khít giữa Búa - Đệm - Cọc - Đất Xác định ứng suất trong cọc để chọn

đầu búa hoặc đệm thích hợp để cọc đóng được an toàn, hiệu quả kinh tế cao là một vấn đề còn đang rất mới mẻ

Va chạm là một quá trình động lực học đặc biệt, việc nghiên cứu các bài toán va chạm dọc của vật rắn vào thanh với vật liệu và điều kiện biên khác nhau

là những bài toán phức tạp, nhưng mô hình bài toán này rất gần với các bài toán

kỹ thuật, đặc biệt là thi công đóng cọc, đây cũng chính là bài toán thiết kế theo giới hạn bền Khi xác định được trường ứng suất của cọc thì sẽ chọn được đệm đầu cọc và đầu búa đóng thích hợp để cọc không bị vỡ Xác định được vận tốc lún ở đáy cọc cũng như thời gian kết thúc lún trong một nhát búa

Lĩnh vực va chạm đã được áp dụng rộng rãi trong công nghệ chẩn đoán chất lượng cọc bê tông Trên thế giới đã xây dựng các lý thuyết về biến dạng nhỏ (PIT), biến dạng lớn (PDA), phương pháp trở kháng cơ học (MIIMP)… được các đơn vị trong nước nghiên cứu và triển khai như viện Cơ học, viện Khoa học Công nghệ xây dựng, trung tâm kiểm định Coninco…

Đề tài “Nghiên cứu trạng thái ứng suất của cọc bê tông đóng trong nền đồng nhất đáy cọc gặp lực chống không đổi và xác định độ lún của cọc” là đề tài có tính chất cấp thiết, có ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Mục đích của đề tài

Nghiên cứu ứng suất cọc bê tông đóng trong nền đồng nhất, đáy cọc gặp lực chống không đổi nhằm xác định ảnh hưởng của khối lượng đầu búa, đệm đầu cọc, diện tích tiết diện ngang, lực ma sát mặt bên của cọc đến ứng suất tại tiết diện đầu cọc và xác định độ lún của cọc nhằm bổ sung và hoàn thiện cho lớp bài toán về khảo sát trạng thái ứng suất của cọc bê tông đóng trong nền đồng nhất với điều kiện biên khác nhau bằng phương pháp lan truyền sóng

Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu dùng trong luận văn là sử dụng lý thuyết lan truyền sóng nghiệm Đalămbe và chương trình máy tính:

1 Áp dụng phương pháp lan truyền sóng (nghiệm Đalămbe) để giải các bài toán

2 Sử dụng chương trình máy tính MATLAB để kiểm chứng nghiệm giải tích với số liệu tính toán cụ thể của móng cọc cầu Chợ Dinh –Thành phố Huế

Phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu ảnh hưởng sự thay đổi lực ma sát mặt bên cọc, diện tích tiết diện ngang cọc và khối lượng đầu búa đến ứng suất của cọc bê tông đóng trong nền đồng nhất đáy gặp lực chống không đổi và nghiên cứu vận tốc lún, độ lún của cọc trong một nhát búa

Bố cục của luận văn

Ngoài phần mở đầu và kết luận của luận văn, nội dung của luận văn được trình bày trong 4 chương và phần phụ lục

Phần mở đầu nêu lên tính cấp thiết, mục đích, đối tượng, phạm vi nghiên cứu

và phương pháp nghiên cứu của đề tài

Chương 1: Trình bày tổng quan lịch sử phát triển lý thuyết va chạm

Chương 2: Cơ sở lý thuyết va chạm dọc của vật rắn vào thanh đàn hồi

Chương 3: Nghiên cứu bài toán va chạm của búa vào cọc đóng trong nền đồng nhất đáy cọc gặp lực chống không đổi

Chương 4: Xác định độ lún của cọc trong một nhát búa

Tiếp theo các công trình nghiên cứu của Galilê đã có nhiều nhà khoa học đi sâu vào nghiên cứu những quy luật cơ bản về chuyển động của các vật thể va chạm và tới năm 1669, Huyghen đã nghiên cứu và thiết lập được các quy luật cơ bản về va chạm của quả cầu

Đối tượng nghiên cứu của lý thuyết va chạm cổ điển là vật rắn tuyệt đối và

hệ chất điểm Vần đề khó khăn nhất là số phương trình độc lập thiết lập được không đủ so với số ẩn số độc lập phải tìm là do giả thiết vật rắn là tuyệt đối Để giải quyết vấn đề này, nhiều nhà khoa học đã tìm ra lối thoát bằng cách sử dụng mối quan hệ phụ thuộc của vận tốc Năm 1687, lần đầu tiên, Niutơn đã đưa ra hệ

số k là hệ số tỷ lệ giữa vận tốc tương đối trước và sau khi va chạm thẳng xuyên

tâm của vật thể

Mặc dù lý thuyết này còn hạn chế song vẫn còn được áp dụng cho đến tận ngày nay Sau Niutơn, lý thuyết va chạm cổ điển được Mapry, Ricát và nhiều nhà bác học khác tiếp tục bổ xung phát triển và hoàn thiện hơn

Nội dung lý thuyết va chạm cổ điển là một phần của cơ học vật rắn tuyệt đối

Để nghiên cứu lý thuyết này, người ta đã đưa ra các giả thiết đã thể hiện được những nét cơ bản của hiện tượng va chạm vật lý đó là:

- Khoảng thời gian va chạm  là vô cùng bé

- Bỏ qua sự dịch chuyển các vật thể trong thời gian va chạm

- Xung lực va chạm là hữu hạn nên có thể bỏ qua xung lực của các lực hữu hạn, đó là các lực không phải là lực va chạm

Phương trình cơ bản của lý thuyết va chạm cổ điển được viết như sau:

Từ phương trình cơ bản (1.1.1) người ta đã thiết lập được định lý mômen động lượng, phương trình tổng quát của lý thuyết va chạm, phương trình Lagrange loại 2, Tuy nhiên với những giả thiết cơ bản của lý thuyết va chạm

cổ điển không đủ để giải các bài toán va chạm Vì vậy cần phải đưa vào sự tương ứng phụ thuộc được xác định thông qua các thí nghiệm thực tế

Năm 1687, lần đầu tiên nhà bác học Niutơn đã đưa ra khái niệm hệ số khôi

phục k Hệ số này lúc đầu chỉ được coi là phụ thuộc vào vật liệu cấu tạo nên các

vật thể va chạm, sau này nhờ sự đo đạc và tính toán quá trình dao động của

Gayton và Tem đã cho thấy rằng hệ số k còn phụ thuộc vào khối lượng, hình

dạng và vận tốc tương đối của các vật thể va chạm

Năm 1724, nhà bác học Ricát đã nghiên cứu kết quả của các nhà khoa học

về lý thuyết va chạm, ông đặc biệt chú ý tới các đặc trưng vật lý, cơ học của các vật thể va chạm và phân chia quá trình va chạm thành hai pha sau:

 Pha đầu là giai đoạn biến dạng của các vật thể va chạm

 Pha thứ hai là giai đoạn biến dạng khôi phục lại hình dạng của các vật thể va chạm

Hệ số khôi phục k được xác định bằng công thức sau:

2 1

Trong đó:

S 1 , S 2: Xung lực va chạm ở pha đầu và pha cuối của va chạm tương ứng

- Khi vật thể hoàn toàn dẻo ta có: k = 0

- Khi vật thể hoàn toàn đàn hồi ta có: k = 1

- Khi vật thể không hoàn toàn đàn hồi ta có: 0  k  1

Lý thuyết va chạm cổ điển đóng vai trò lớn trong sự phát triển khoa học về

va chạm nhưng lý thuyết này đã không giải thích được hiện tượng biến dạng vị trí ở tại vùng tiếp xúc giữa các vật thể va chạm, mặt khác lý thuyết va chạm cổ điển này chỉ gần đúng với thực tế

Để chính xác hóa nghiệm của bài toán này phụ thuộc vào độ chính xác của

hệ số khôi phục nhưng hệ số khôi phục lại phụ thuộc vào rất nhiều yếu tố khác

Lý thuyết va chạm cổ điển được giới hạn bằng việc xét hiệu ứng tích phân ở pha đầu và pha cuối mà không xét đến quá trình của thời gian va chạm

Các tồn tại của lý thuyết va chạm cổ điển sẽ được nghiên cứu và giải quyết triệt để dựa trên cơ cở lý thuyết biến dạng vị trí và lý thuyết sóng hay tổng hợp của hai lý thuyết đó

1.2 Lý thuyết biến dạng vị trí

Vào năm 1881, Hec đã thay việc xét hiệu ứng tích phân ở cả hai pha của quá trình va chạm bằng việc nghiên cứu quá trình va chạm và đã đưa ra bài toán ứng suất vị trí được sinh ra khi có tác dụng va chạm giữa các vật thể đàn hồi Tuy nhiên đây mới chỉ đề cập đến bài toán tĩnh, sau đó Hec đã mở rộng miền áp dụng cho các bài toán động lực học của các vật thể đàn hồi sau khi bổ sung thêm giới hạn phụ như: cho biết vận tốc tương đối của các vật thể

Sau đó Luariê và Staerơman với sự nghiên cứu sâu sắc của bài toán tiếp xúc

đã chỉ ra rằng cách đặt bài toán va chạm là không xác định và nghiệm của Hec là một trong số nhiều nghiệm thoả mãn hệ phương trình của bài toán va chạm Trước hết ta trình bài nghiệm bài toán tĩnh học của Hec, sau đó sẽ xét tới nghiệm của bài toán động lực học

Đầu tiên để nghiên cứu nghiệm của bài toán tĩnh học, Hec đã đề ra các giả thiết sau:

 Hai vật thể đàn hồi không đặt tải trọng

 Các vật thể tiếp xúc với nhau tại một điểm

 Mặt của các vật thể ở tại vùng lân cận điểm tiếp xúc có pháp tuyến và độ cong nhất định

 Coi những điểm tiếp xúc là những điểm elip của các vật thể

 Hệ lực hoạt động tác dụng lên mỗi vật thể có hợp lực hướng theo pháp tuyến ngoài đối với mỗi mặt của vật thể này ở tại điểm tiếp xúc với vật thể thứ hai

 Hệ vật thể ở trạng thái cân bằng dưới tác dụng của hệ lực hoạt động và phản lực đàn hồi đặt lên vật thể ở vùng chịu nén

Từ các giả thiết trên, với điều kiện cân bằng tĩnh học ta có:

Phương trình (1.2.1) được gọi là phương trình cơ bản thứ nhất của lý thuyết

cổ điển về sự tác dụng tương hỗ lẫn nhau khi va chạm

Phương trình thứ hai được xác định khi xét tới các điều kiện động học của bài toán và ta có:

A p(x'

r

, ' ) ' ' ( , )



Trong đó:  i, i: là các hằng số Lame đối với các vật cụ thể

 1, 2: Là hệ số dịch chuyển tịnh tiến của vật thể sinh ra khi bị nén

Dựa vào lý thuyết thế năng của Niutơn ta có giải ra :

 = k.p2/3 Nghiệm của bài toán tiếp xúc Hec là , p(x,y) chúng phụ thuộc vào miền 

và biên của nó cho hệ phương trình (1.2.1) và (1.2.2) là không xác định và nghiệm của bài toán là không duy nhất

Để bài toán tiếp xúc có nghiệm duy nhất có thể thực hiện bằng hai cách sau: + Bổ xung giả thiết phụ để hệ phương trình là xác định và cho nghiệm duy nhất

+ Kiểm tra bằng thực nghiệm, các nghiệm tìm được của bài toán tiếp xúc sao cho các nghiệm đó phù hợp với thực tế

Người tổng quan lý thuyết biến dạng của Hec là Staerơman, ông đã coi miền tiếp xúc  là đa thức bậc 2n và ông đã giải ra được

1 n n

p

kỳ dạng dao động cơ bản của thanh”

Nghiệm của Naviê được viết dưới dạng cấp số vô hạn, điều này không thuận lợi cho việc áp dụng vào thực tế vì cấp số có được sự hội tụ chậm

Lý thuyết va chạm dọc của thanh đàn hồi hiện nay dựa vào cơ sở các kết quả nghiên cứu của Sanhvơnăng và Bútxinet Sự nghiên cứu này đã tìm được nghiệm tổng quát của bài toán mà Naviê đã đề ra dưới dạng cho phép áp dụng vào thực

tế Nhưng lý thuyết va chạm dọc của Sanhvơnăng thường chưa thoả nãm với thực tế Để khắc phục điều này đã được Timôxencô chỉ ra bằng thực nghiệm Nguyên nhân là ở chỗ Sanhvơnăng cũng như Naviê đã coi mặt tiếp xúc giữa các vật thể là nhẵn lý tưởng vuông góc với trục thanh

Sự gồ ghề của các mặt tiếp gây ra sự sai lệch lớn đối với hiện tượng va chạm

ở trường hợp các thanh ngắn va chạm, để thực hiện gần đúng sơ đồ nghiệm bài toán đối với điều kiện thực tế của thực nghiệm và các tài liệu lý thuyết, nhà nghiên cứu khoa học Sia đã nghiên cứu sự va chạm của thanh với tiết diện đầu hình cầu với thanh đầu phẳng

Nhà khoa học Sia đã giả thiết rằng ở đầu thanh va chạm sự phân bố ứng suất tuân theo lý thuyết biến dạng vị trí của Hec và từ khoảng cách nào đó cách các đầu thanh va chạm sự phân bố ứng suất được xác định theo lý thuyết truyền sóng của Sanhvơnăng Như vậy Sia đã giải quyết trọn vẹn bài toán này vì ông đã không chỉ chú ý đến biến dạng vị trí của các vật thể va chạm mà còn chú ý đến

sự liên hệ giữa biến dạng của các vật thể va chạm với dao động đàn hồi của thanh

Lý thuyết va chạm là tổng hợp bởi lý thuyết biến dạng vị trí và lý thuyết truyền sóng Do đó, nhờ lý thuyết này mà ta xác định được thời gian va chạm và các thông số đặc trưng cho va chạm giữa các vật thể

1.4 Ứng dụng lý thuyết va chạm vào bài toán đóng cọc

Dựa vào lý thuyết va chạm tự do giữa hai vật thể đàn hồi và nguyên lý cân bằng Công khi đóng cọc, nhiều nhà nghiên cứu đã đưa ra các công thức động khác nhau để xác định sức chịu tải của cọc như công thức của: Crandall, Gherxevanop, Hiley, Redtenbacher và Hollandais Tuy nhiên hiện tại các công thức đang được sử dụng nhiều là công thức của Hollandais và Crandall

Việc xác định sức chịu tải của cọc theo phương pháp này đơn giản và đỡ tốn kém hơn nhiều so với phương pháp nén tĩnh Vì vậy hầu như công trình móng cọc nào cũng có thể tiến hành đóng thử cọc được, qua việc đóng thử cọc ta xác định được các thông số, các thông số này là kết quả để ta có thể kiểm tra và sửa đổi lại thiết kế Tuy nhiên trị số sức chịu tải của cọc xác định theo các công thức động đều không phù hợp với kết quả thí nghiệm bằng tải trọng tĩnh vì một số nguyên nhân sau:

 Thông thường tất cả các công thức động đều áp dụng lý thuyết va chạm của Niutơn Lý thuyết này chỉ áp dụng cho va chạm tự do giữa hai vật thể rắn

tuyệt đối vì vậy đem nó áp dụng cho sự va chạm giữa búa và cọc thì không

thể nào đưa đến kết quả chính xác được Chính vì lẽ đó mà Niutơn đã nói rằng: “ lý thuyết va chạm của tôi không nên áp dụng cho sự va chạm như kiểu

va chạm giữa búa và đe

 Trong các công thức động đều có một số hệ số kinh nghiệm Do đó việc xác định chính xác các hệ số này là hết sức khó khăn khi ứng dụng tính toán

 Việc đưa vào các giả thiết với mục đích chỉ làm đơn giản các công thức động dẫn đến những điều bất hợp lý như được thể hiện ở trong công thức của

Gherxevanop với giả thiết về độ nẩy lên của búa có h=0 nhiều khi dẫn đến sai

số rất lớn

Để khắc phục những tồn tại nêu trên, trên cơ sở các tiến bộ về lý thuyết va chạm dọc của thanh đàn hồi vào năm 1948, Gherxevanop đã áp dụng lý thuyết truyền sóng một chiều để xác định lực chống của cọc Liên tiếp các công trình của Vatxilépki đã dựa vào lý thuyết truyền sóng để nghiên cứu trạng thái ứng suất của cọc

E.A Smith là người đầu tiên áp dụng lý thuyết sóng cơ học để phân tích động một cọc tại các nước phương tây, sau đó phương pháp này của Ông đã được công ty Raymond phát triển và ứng dụng vào thực tiễn

Việc ứng dụng sóng ứng suất đã được nghiên cứu và phát triển tại trường Đại học Case ở Clevelandz thuộc United states of American do giáo sư Goble phụ trách vào giữa năm 1960 Từ kết quả nghiên cứu đã sản xuất ra được thiết bị chuyên dùng mà nó thu thập và phân tích được kết quả đo Ngày nay, việc ứng dụng trường ứng suất để phân tích đồng bộ một cọc được phát triển rộng rãi trên thế giới

Ở Việt nam từ năm 1971 trở lại đây đã có nhiều cơ sở như: Trường đại học Thuỷ lợi, Viện nghiên cứu khoa học công nghệ xây dựng, trường đại học Xây dựng, học viện kỹ thuật quân sự và viện Cơ học đã nghiên cứu các bài toán về

va chạm dọc của thanh đàn hồi với điều kiện biên khác nhau, đồng thời đã ứng dụng lý thuyết này vào bài toán đóng cọc trong điều kiện địa chất nền đồng nhất

và nền không đồng nhất để chọn đầu búa và đệm đầu cọc nhằm đóng cọc được

an toàn và hiệu quả kinh tế

1.5 Nhận xét

Lịch sử phát triển lý thuyết va chạm cùng với những kiến thức khoa học cơ

sở đã giúp cho tác giả có những hiểu biết tổng quan trước khi nghiên cứu một số bài toán cụ thể của chương 2

Chương 2

LÝ THUYẾT VA CHẠM DỌC CỦA VẬT RẮN

VÀO THANH ĐÀN HỒI 2.1 Phương trình chuyển động của thanh và bài toán biên

2.1.1 Phương trình chuyển động của thanh

Khi xét dao động dọc của thanh ta sử dụng giả thiết sau:

+ Các tiết diện của thanh vẫn vuông góc với trục thanh là phẳng trong suốt quá trình biến dạng

+ Bỏ qua năng lượng của những phần tử chuyển động vuông góc với trục thanh

m m’ m m’

P(x) P(x+x)

n n’ n n’

Hình 2.1 Xét một phân tố thanh

Gọi U là độ dịch chuyển dọc trục của tiết diện x tại thời điểm t

+ Lực kéo dọc tại tiết diện m-n sẽ là:

U x

Trong đó  là khối lượng riêng vật liệu thanh

Áp dụng nguyên lý Đalămbe ta có phương trình chuyển động của thanh là:

U x

Trong đó:

a= E là vận tốc truyền sóng trong thanh đàn hồi

2.1.2 Các điều kiện của bài toán

Để xác định chuyển động của thanh ta phải thiết lập bài toán biên tức là ta phải giải phương trình (2.1.1) với điều kiện đầu và điều kiện biên như sau:

 Điều kiện đầu của bài toán:

Vị trí tiết diện ngang và vận tốc của thanh ở thời điểm đầu (t=0) là các hàm

số đã biết của toạ độ x:

 Điều kiện biên của bài toán:

+ Nếu đầu thanh (x=0) bị ngàm chặt ta có : U(t,0) = 0 (2.1.2.2) + Nếu đầu thanh (x=L) bị ngàm chặt ta có : U(t,L) = 0 (2.1.2.3) + Nếu hai đầu thanh chuyển động thì điều kiện biên sẽ là :

U(t,0) =(t) ; U(t,L) =1(t) (2.1.2.4)

2.2 Phương pháp lan truyền sóng

Muốn xác định được chuyển động của thanh ta phải giải phương trình (2.1.1) theo điều kiện đầu và điều kiện biên Để giải phương trình này người ta

có thể dùng phương pháp tách biến hoặc phương pháp lan truyền sóng

Ở đây ta giải phương trình (2.1.1) bằng phương pháp lan truyền sóng cho trường hợp dao động tự do của thanh bằng cách đổi biến, dùng biến số mới Đặt biến số mới:  = at - x và = at + x

 ( ) và tích phân biểu thức này ta có:

U = Q( )   d  ( )

Ta đặt () =Q( ) d

Hàm dịch chuyển U được viết dưới dạng:

U = () + () Đổi qua biến cũ ta có:

U = (at - x) + (at + x) (2.2.1) Trong đó  và  là các hàm số phụ thuộc vào biến số t và x

Biểu thức (2.2.1) là nghiệm tổng quát của phương trình chuyển động của thanh đàn hồi theo Đalămbe

Đối với mỗi bài toán cụ thể, với điều kiện đầu và điều kiện biên đã cho thì ta

sẽ tìm được nghiệm cụ thể của bài toán

Ý nghĩa vật lý của bài toán được thể hiện rõ ràng như sau:

 Số hạng thứ nhất (at - x) là sóng dịch chuyển truyền dọc thanh theo

2.3 Một vài bài toỏn về va chạm dọc của vật rắn vào thanh đàn hồi

2.3.1 Va chạm dọc của vật rắn vào thanh đàn hồi tự do

Bài toỏn đó được Sanhvơnăng nghiờn cứu bằng phương phỏp của Buxinnhic, nghiệm tỡm được dưới dạng hàm liờn tục từng khỳc đối với vài khoảng giỏ trị của biến số Sau đú Nhicụlai là người tiếp tục ý tưởng của Xanhvơnăng và tỡm được nghiệm bài toỏn dưới dạng giải tớch trong toàn khoảng

Hình 2.2 Va chạm dọc của vật rắn vào thanh đàn hồi tự do

Ph-ơng trình vi phân chuyển động của thanh là

Xột điều kiện đầu và điều kiện biờn của bài toỏn

U(O,x) = 0; 



U t

= 0 Với 0  x  L ( 2.3.1.1)





U t

= -Vo Với x = L (2.3.1.2)

Trong đú:

L : Chiều dài thanh

Vo : Vận tốc ban đầu của vật thể va chạm

Ở tại đầu bị va chạm (x=L) của thanh, lực quỏn tớnh của vật thể va chạm sẽ

cú giỏ trị là:

Fqt =

x

L t U EF t

g

L t U Q

F: Diện tớch tiết diện ngang của thanh

Ta ký hiệu tỉ số giữa trọng lượng của vật thể va chạm Q và trọng lượng thanh Q1=FL là m, tức là Q=mQ1 dẫn đến hệ thức sau:

mL

x

L t U a t

L t U Q

 (2.3.1.4)

Điều kiện biên ở đầu tự do của thanh có dạng:



U t x





U t

=a[’(at - x) + ’(at + x)] (2.3.1.6)





U x

=-’(at - x) + ’(at + x) (2.3.1.7) Với x=0, theo điều kiện biên ta có:





U t x

( , ) 0

=-’(at) + ’(at) = 0 (2.3.1.8)

Hay ’(at) = ’(at)

Vậy ’(at-x) = ’(at-x)

Ta tích phân đẳng thức trên và loại bỏ các hằng số ta có:

(at - x) = (at - x) Vậy đẳng thức (2.2.1) có thể viết:

U=(at - x) + (at + x) Với t=0 ta có:





U t t

a

( , ) 0

 [’(x) + ’(-x)] = 0

Hay: ’(x) + ’(-x) = 0 (2.3.1.9) Mặt khác từ đẳng thức (2.3.1.5) ta có:

’(x) - ’(-x) = 0 Suy ra ’(x) =0 ; ’(-x) = 0 với (0  x  L)

Hay nói cách khác nếu ta thay biến số x bằng biến mới (z) ta có:

’(z) = 0 với (-L < z < L) Tích phân hệ thức (2.3.1.9) và loại bỏ các hằng số ta có:

(-x) -  (x) = 0

Theo điều kiện đầu: U(0,x) = (-x) +  (x) = 0

Từ đó suy ra: (-x) =  (x) = 0 với (0  x  L)

Do đó: (z) = 0 với (-L < z < L) (2.3.1.10) Khi sử dụng điều kiện (2.3.1.4) ta có:

mLa2[’’(at - L) + ’’(at + L)] = -a2

+ e

z mL



e

z mL

[-’(z - 2L) + 1

  (2.3.1.12) Tích phân lên ta đƣợc:

z L mL

  + C1

Dựa vào tính chất hàm liên tục của hàm U(t,L) và điều kiện đầu ta có:

 ] Hay nói cách khác:

U = (at + x) = - mL[1 - e

z L mL

  ] Vo



- 2Vo 3

z L mL

3

]

Do đó: ’(z)= - Vo

z L mL

  + Vo

a [1 - 2

mL(z-3L)] e

z L mL

= - ’(at - L) + ’(at + L) Khi at < 2L ta có:





U x

= - Vo

at mL

 < 0

Nghĩa là với at<2L thì vật thể va chạm và thanh còn tiếp xúc với nhau Nếu at>2L ta có:





U x

= - Vo

at L mL

 2

- Vo

at mL

+Vo

a [1 - 2

mL(at-2L)] e

at L mL

Điều đó có nghĩa là tại thời điểm t=2L

a thanh tách rời khỏi vật, hiện tƣợng va chạm kết thúc với t=2L

Hình 2.3 Va chạm dọc của vật rắn vào thanh ngàm một đầu

Điều kiện đầu của bài toán:

( , )

= - Vo với x=L (2.3.2.2)

Điều kiện biên của bài toán:

- Tại đầu thanh gắn chặt U(0,x) = 0

Lực quán tính của vật tác dụng lên đầu thanh tự do cho nên với x=L ta có:

( , ) = - a2 



2

2

U t L x

( , )

Nghiệm tổng quát của phương trình (2.1.1) là:

U = (at) + (at) = 0 (2.3.2.4) Dựa vào điều kiện tại đầu thanh bị gắn chặt ta có:

U = (at) + (at) = 0 (2.3.2.5)

Do đó:

-(at + x) = (at + x) Vậy U = (at - x) - (at + x) (2.3.2.6)

Sử dụng điều kiện đầu và điều kiện biên ta xác định được hàm  và 

- Từ điều kiện đầu ta có:

’(z) = 0 với (-L,z<L) (2.3.2.8)

Do đó trên đoạn (-L,L) thì (z) = const

Với điều đó, các hệ thức của (2.3.2.7) thoả mãn và ta lấy hằng số này bằng không

Bây giờ ta xét điều kiện (2.3.2.3), sau khi thay (2.3.2.6) vào điều kiện này ta có:

mL[’’(at - L) - ’’(at + L)] = ’(at - L) + ’(at + L)

Đặt at +L = z, phương trình trên được viết như sau:

’’(z) + 1

mL’(z) = ’’(z-2L) - 1

mL’(z-2L) (2.3.2.9) Các phương trình (2.3.2.8) và (2.3.2.9) cho phép ta xây dựng hàm (z) chưa biết được liên hệ với các giá trị của chúng trong 2 khoảng liên tiếp

Nếu các giá của (z) trên khoảng (2n-1)L<z<2nL đã biết thì vế phải của phương trình (2.3.2.9) sẽ được biết trong khoảng 2nL<z<(2n+1)L

Tích phân phương trình (2.3.2.9) ta có:

’(z) = C n e

z mL

+ e

z mL



e

z mL

[’’(z - 2L) - 1

mL’’(z - 2L)]dz (2.3.2.10) Trong đó:

C n: hằng số tích phân

Bây giờ ta sẽ xây dựng hàm ’(z) khi chuyển từ 1 tích phân trước đến một tích phân sau Từ phương trình (2.3.2.8) xác định ’(z) trong khoảng (-L,L) Sau khi sử dụng phương trình (2.3.2.10) ta sẽ tìm được ’(z) trong khoảng (L,3L), trong khoảng này vế phải của phương trình (2.3.2.10) sẽ bằng 0

Từ phương trình (2.3.2.10) ta có:

’(z) = C1e

z mL

 với (L<z<3L)

Để xác định hằng số C1 ta sử dụng điều kiện (2.3.2.2) và (2.3.2.6), ta có:

a[’(-L+0) - ’(L+0)] = -Vo Trên cơ sở từ công thức (2.3.2.10), số hạng thứ nhất ở trong ngoặc sẽ bằng

0, từ đó ta suy ra:

’(L+0) =Vo

L m



 C1= Vo

L m

Do đó: ’(z) = Vo

z L mL

  với (L<z<3L) (2.3.2.12) Bây giờ ta có thể xác định được hàm ’(z) trong khoảng (3L,5L)

ở đây ’(z-2L) =Vo

z L mL

 3, thay phương trình này vào phương trình (2.3.2.9)

ta được :

 3

Nghiệm tổng quát của phương trình này có dạng:

’(z) = C2 e

z mL

 3 với (3L<z<5L)

(2.3.2.13) Trong đó hắng số C2 được xác định từ điều kiện liên tục của vận tốc đầu thanh (X=L) trong thời gian va chạm

Như vậy ta có thể tìm được các hằng số C n với điều kiện liên tục về sau của hàm ’(z), ta nhận được dạng tổng quát điều kiện liên tục của vận tốc ở đầu thanh bị va chạm 

) thay giá trị C2 vào (2.3.2.13) ta được

’(z) = Vo

z L mL

  + Vo

a [1 - 2

mL(z-3L)]e

z L mL

 3 (2.3.2.21) Sau khi xác định được ’(z) trong khoảng (3L,5L), ta sử dụng đẳng thức (2.3.2.9) và (2.3.2.20) thì sẽ tìm được hàm ’(z) trong khoảng (5L,7L) Đối với điều kiện đó ta sẽ xác định được biểu thức dưới dấu vi phân trong đẳng thức (2.3.2.9)

’’(z-2L)- 1

mL’(z-2L)=- 2Vo

z L mL

 3+2e

z L mL

 5)+ 42Vo2

m L a

(z-5L) e

z L mL

 5

Khi dùng phương trình (2.3.2.9) với 5L<z<7L ta có:

’(z) = C3e

z mL



- Vo

z L mL

 3+2e

z L mL

 5)+ Vo

m L a

2 2 (z-5L) e

z L mL

 5 (2.3.2.22)

Để xác định hằng số C3 lần nữa ta chú ý đến đẳng thức (2.3.2.9) và ’(z) trong khoảng (3L,5L) ta có:

5

] Dưới đây là biểu thức ’(z) trong khoảng (5L,7L):

’(z)=Vo

z L mL

 5

]

Ta xác định ’(z) từ (2.3.2.8)

(z) = C với (-L<z<L) Đặt (z) = 0 với (-L<z<L) (2.3.2.23) Trên cơ sở các định lý tổng quát về va chạm của vật rắn ta có thể nhận xét: Dịch chuyển tại đầu tự do của thanh (Ux=L) phải là hàm số liên tục của thời gian, ta có:

Ux=L = (at - L) - (at + L) = (z - 2L) - (z) (2.3.2.24) tiếp tục ta có:

Việc xác định (z) trong các khoảng tiếp theo được thực hiện tương tự như xác định (z) ở trong hai khoảng đã chỉ ra ở trên

Trên cơ sở các công thức (2.3.2.11) và (2.3.2.22) ta có:

(z) = C'2 - mLVo

z L mL

  với (L<z<3L) (2.3.2.28)

(z)=C'2 - mLVo

z L mL

 +mLVo

z L mL

 3+2Vo

a (z-3L) e

z L mL

 3với (3L<z<5L) (2.3.2.29) Tương tự với đẳng thức (2.3.2.28) và (2.3.2.29) ta có:

z L mL

sự xuất hiện ở thành phần hàm số ’(z) và tương đương với hàm số (z) một số hạng mới nào đó, với sự bảo toàn các số hạng trước Việc nghiên cứu chi tiết này sẽ cho phép ta xây dựng được biểu thức giải tích hàm số ’(z) thuận tiện đối với khoảng tuỳ ý trong sự thay đổi biến số của hàm số

Sau khi xác định hàm số ’(z) ta có thể hoàn toàn biết được trường ứng suất, biến dạng và trường vận tốc trong thanh và thời gian va chạm của vật rắn vào thanh đàn hồi

Chương 3

VA CHẠM CỦA BÚA VÀO CỌC TRONG NỀN ĐỒNG NHẤT

ĐÁY CỌC GẶP LỰC CHỐNG KHÔNG ĐỔI 3.1 Đặt vấn đề

Trên cơ sở lý thuyết va chạm dọc của vật rắn vào thanh đàn hồi, một số tác giả đã nghiên cứu bài toán va chạm của búa vào cọc đóng trong nền đồng nhất đáy cọc gặp lực cản không đổi nhằm xác định hệ số truyền năng lượng của búa vào cọc [7], [8] và [9]

Trên cơ sở mô hình bài toán này, tác giả sẽ xác định ảnh hưởng khối lượng,

độ cao rơi của đầu búa, đệm đầu cọc, diện tích tiết diện ngang của cọc và ma sát của đất lên mặt bên của cọc đến lực nén của đệm lên đầu cọc, thời gian va chạm

và ứng suất cực đại xảy ra tại đầu cọc

3.2 Thiết lập bài toán

3.2.1 Sơ đồ bài toán

Hình 3.1 Sơ đồ bài toán va chạm của búa vào cọc trong nền đồng nhất đáy

u a t

u

2

2 2 2

2

(3.2.2.1) Trong đó : u là dịch chuyển của cọc

K=

EF rq

; K  0 khi at - x > 0

q là lực ma sát của đất trên một đơn vị diện tích mặt bên

r là chu vi diện tích ngang

E,F là mô duyn đàn hồi và diện tích tiết diện ngang của cọc

2

1 )

, (  (3.2.2.2) Nghiệm tổng quát của (3.2.2.1) ở miền 2 và 3 có thể viết dưới dạng :

2

1 )

, (x t at x K L x

, (x t at x at x K L x

c- Các điều kiện của bài toán

- Điều kiện đầu của bài toán

3.3 Thiết lập phương trình vi phân xác định lực nén P(t) của đệm lên đầu cọc

Ta gọi lực nén của đệm đàn hồi lên đầu cọc là P(t)

Khi đó ta có P(t) = C(ut - u0) (3.3.1) Trong đó : ut là dịch chuyển của đầu búa

u0 là dịch chuyển của đầu cọc

u t

) (







(3.3.3)

Ở đây M là khối lượng của đầu búa

Dịch chuyển tại đầu cọc là : u0 = (at)

Từ đó ta có : u0 a2 '' (at) (3.3.4)

Từ (3.2.2.2) và (3.2.2.5) ta có K

EFa

t P



) ( ) ( ''

t P a t

Thay (3.3.3),(3.3.4) vào (3.3.2) ta có phương trình vi phân xác định lực nén P(t)

2 2

) ( )

( )

(

) ( ) ( )

(

KCa t

P M

C t P EF

aC t P

Ka EF

t P a M

t P C t P

) 2

(

EF

aC M

2

) ( ) (

) ( 2 ) (t n P t n P t KCa

3.4 Xác định lực nén P(t) của đệm lên đầu cọc và các hàm sóng trong cọc

a- Xác định lực nén P(t) của đệm lên đầu cọc và các hàm sóng trong cọc trong khoảng thời gian : 0  t  L/a

Trong quá trình thực hiện tác giả xác định lực nén của đệm đàn hồi P(t) lên đầu cọc cho trường hợp 2

> 0 còn trường hợp 2

< 0 ta cũng lý luận tương tự Gọi P0(t) là lực nén của đệm đàn hồi lên đầu cọc trong khoảng thời gian

C t C

n

KCa C

t

(

P

t cos C t sin C e

t sin C t cos C ne

2 1

nt

2 1

nt 2

1 nt

2 1

2 2

1

1 )

0

(

n

KCa n CV nC

CV C

CV C nC P









Ở đây V là vận tốc rơi của búa được xác định theo công thức V  2gh

Theo (3.2.2.2) và (3.2.2.6) ta có sóng thuận ở miền 1 là:

EF

t P Kat Kx x at x

) ( '     

( '

( '

Tại thời điểm t = tL thì R

0 ) ( ' ) ( ' 0

x at x

at

x at x

at a t

L x t P EF x

P1( t )  e nt( C3cos  t  C4sin  t ) (3.4.6) Các hằng số C3, C4 đƣợc xác định dựa vào tính liên tục của hàm P(t) tại t=

L

a

L P a

L P







Giải ra ta đƣợc:

a

L a

L

a

L a

L

C4 cos sin (3.4.7) Trong đó:

0( )

a

L P

L n





) ( ) (

1

0 0

a

L P a

L nP

e a

L n

Ta gọi P2(t) là lực nén của đệm lên đầu cọc ở khoảng thời gian này khi đó:

P2 (t)  2n P2(t)  (2 n2)P2(t)   2Ca2 ' (at) (3.4.10)

Từ (3.4.3) sóng phản tại đầu cọc trong miền 6a:

) 2 ( 2

EF

1 )

,

L at K a

L t P

L t P aEF

2 2 2 2

a

L t P EF Ca t

P n t

P n t

C a

L t nC

C e

sin ) (

2 cos

) (

2

2 1

1 2

2

Ta đặt 0 2 (C2 nC1);

EF Ca

0 2

2 2 2 2

2

2

2 sin

2 cos

) ( ) (

) ( 2 ) (

KCa a

L t B

a

L t A

e

t P n t

P n t P

a

L t n

2 2

2 ) ( )

(

n

KCa t

P e

t

L t n

a

L t A

t P t

P2 ( ) 2 2 ( ) 0cos 2 0sin 2 (3.4.11.2) Nghiệm tổng quát của (3.4.11.2) có dạng:

a

L t A

t C

t C

t

2

1 sin

cos )

L

P  1 (2 ) 2 (2 )

a

L P a

L P







2 2

2 1

2 1

2 2

2 2

2

2 )

2 ( )

2 ( )

2 (

2 )

2 ( )

2

(

n

KCa a

L P a

L P a

L P n

KCa a

L P a

KCa a

L P a

L C

a

L

2 2

2 1

6 5

2 )

2 (

2 sin

1 2

1 2 2 2 1

2 2

2 )

2 ( )

2 ( )

2

(

)

2 (

2 )

2 ( )

2 ( )

2

(

n

nKCa a

L nP a

L P a

L

P

a

L P n

nKCa a

L nP a

L P a

L B n

KCa a

L nP a

L P a

L C

a

L

2 2

2 1

1 6

5

2 )

2 ( )

2 ( 1 2 cos

2 sin

a

L Q

a

L Q

C

a

L Q

a

L Q

C

2 sin

2 cos

2 sin

2 cos

1 2

6

2 1

2 1

1 0 0 2

2 2

2 0

1 1

2 )

2 ( )

2 ( 2

1

2 )

2 (

n

nKCa a

L nP a

L P a

LA B Q

n

KCa a

LB a

L P Q

0 6

5 2

2

2 2

cos

2 sin

2 sin cos

) (

n

KCa a

L t B

a

L t A

t t C t C

e t

L t n

2 1

)

,

L x at K a

L x t P a

x t P EF x

2 4

1 )

,

L x at K R a

L x t P a

L x t P EF x

) ( 2 )

L t P aEF at

L at K R a

L t P at

) 2 ( 2

EF

1 ) (

0 ,

0 ,

2 2 3

a

L t P EF Ca t

P n t

P n t

C a

L t nC

C e

sin ) (

2 cos

) (

2

2 1

1 2

2

Đặt

) (

2

) (

2

2 1

1

1 2

1

nC C

EF

Ca B

nC C

EF

Ca A

1 2 3

2 2 3

3

2

2 sin

2 cos

) ( )

( 2 ) (

KCa a

L t B

a

L t A

e t P n t

P n t

L t n

2 3

2 3

2 ) ( )

(

n

KCa t

P e

t

L t n

a

L t A

t P n P

n t

P3 ( ) 2 3 2 2 3 ( ) 1cos 2 1sin 2 (3.4.20) Nghiệm tổng quát của (3.4.20) có dạng

a

L t A

t C t C

t

2

1 sin

cos )

L

Giải ra ta đƣợc:

) (

sin ) (

cos

) ( sin ) (

cos

3 4

8

4 3

7

L L

L

t a

L Q

t a

L Q

C

t a

L Q

t a

L Q

)

2 2

3

a

L t B

a

L t A

t a

L n

KCa t

a

L P e

L t

L A B a

L t t

a

L B A

n

nKCa t

a

L nP t

a

L P e

Q

L L

L L

L L

a

L t

2

sin 2

2

2 ) (

) (

1

1 1 1

1

2 2 2 2

2 4

Vậy công thức xác định lực P3(t) là:

2 2 2 1

1 8

7 a L 2 t n 3

n

KCa 2 a

L 2 t ( cos

B

) a

L 2 t ( sin A 2

t t sin C t cos C e

2 1

)

,

L x at K R a

L x t P a

x t P EF x

2 2 4

1 )

,

L x at K R a

L x t P a

L x t P EF x

Tại thời điểm này ở đầu cọc đã có sóng phản ta lý luận tương tự như trên ta

có phương trình vi phân xã định lực nén của đệm đàn hồi lên đầu cọc:

) ( 2 )

L t P

Ca t

P n t

P n t

P4 ( ) 2 4 ( ) 2 2 4( ) 2 1 2 (3.4.28.1) trong đó:

C a

L t nC

C e

sin ) (

2 cos

) (

L t A

e t P n t

P n t

L t

sin

2 cos

) ( )

( 2 )

2

4 2 2 4

(3.4.28.2)

Trong đó :

) (

2

);

( 2

4 3

2

3 4

2

nC C

EF

Ca B

nC C

EF

Ca A

a

L t A

t P n P

n t

P4 ( ) 2 4 2 2 4 ( ) 2cos 2 2sin 2 (3.4.30) Nghiệm tổng quát của (3.4.30) có dạng:

a

L t A

t C

t C

t

2

1 sin

cos )

L P a

L P a

a

L Q

C

a

L Q

a

L Q

C

3 sin

3 cos

3 sin

3 cos

5 6

10

6 5

a

L B

a

L a

L P e

L n

2 2

3 5

A a

L a

L B

a

L A a

L nP a

L P e

L n

3 2

1 )

3 ( )

3 (

1

2 2 2

2 3

3 6

a

L t A

t t C

t C

2 sin cos

KL R

a

L x t P a

x t P EF x

KL R

a

L x t P a

L x t P EF x

Trong khoảng này sóng phản đã xuất hiện ở đầu cọc ta cũng lý luận tương

tự như trên ta có phương trình vi phân xác định P(t)của đệm đàn hồi vào đầu cọc

) ( 2 )

L t P a

L t P aEF at

L at K R a

L t P a

L t P at

(

) 5 ( 4

2 EF

1 )

(

'

0 2

,

0 2

5 2 2 5

a

L t P a

L t P EF

Ca t

P n t

P n

C a

L t nC

C e

sin ) (

4 cos

) (

4

2 1

1 2

2 cos ) (

2 sin ) (

2 )

2 ( 2 )

4 ( cos 2 )

2 ( 2

2 sin ) (

2 cos ) (

2

6 5

5 6

0 0

0 0

0 0

6 5

5 6

4 2

a

L t a

L nC

C a

L nC

C

B a

L t B nA a

L t B

a

L t n B

A

a

L nC

C a

L nC

C e

L t a

L a

L t a

L a

L t a

L t

a

L a

L t a

L a

L t a

L a

L t a

L t

2 sin ) 4 ( cos 2

cos ) 4 ( sin 2

4 sin

2 sin

2 sin )

4 ( sin

2 cos )

4 ( cos 2

4 cos

2 cos

C A a

L t

B nC C

A nB

a

L

a

L nC

C a

L nC

C e

a

L t P a

L

t

L t n

2 sin ) (

2 )

4 ( cos 2 )

(

2 sin ) (

2 cos ) (

4 2

5 6

0 0

1 2

0

` 0

6 5

5 6

4 0

)

4(cos2

4

)

4(sin)(

2cos)(

0 0 0

0

0

` 0 1

2 6

5

a

L t B

nA a

L t n

B A

nA a

L C nC

a

L nC

4 3

3 4 5

2 2 5

5

2 )

4 ( sin )

4 ( cos

4 )

4 ( sin

)

4 ( cos )

( )

( 2 )

(

CKa a

L t B

a

L t A

a

L t a

L t B

a

L t A

e t P n t

P n t

L t n

2 6

5 5

6 0 3

0 0 1

2 0 6

5 5

6 3

2 cos ) (

2 sin ) (

2 2

2

2 sin ) (

2 cos ) (

2

nA B a

L C nC a

L nC

C a

L nC

C B EF

KCa

B

A nB a

L nC C

B a

L nC

C a

L nC

C EF

2

; 2

4 0 0 4

nA B

EF

KCa B

n B A EF

KCa

Vậy (3.4.36.2) có nghiệm tổng quát là:

2 2

2 5

4

5

2 ) ( )

(

n

KCa t

P e

t

L t n

a

L t A

a

L t

a

L t B

a

L t A

t P t

P n t

P

4 sin

4 cos

4

4 sin

4 cos

) ( )

( 2 )

(

4 4

3 3

5 2 5

4 4

4 4

)

4 cos(

4 4

4 4

4 cos

4 sin

2

1 sin

cos )

(

2

2 4 2

4

2

2 4 2

4

3 3

12 11

5

a

L t a

L t A a

L t

B

a

L t a

L t B a

L t

A

a

L t B

a

L t A

t C

t C

Các hằng số C11, C12 đƣợc xác định dựa vào điều kiện liên tục của hàm P(t) tại

L

P  ; 5 (4 ) 4 (4 )

a

L P a

L P

a

L Q

C

a

L Q

a

L Q

C

4 sin

4 cos

4 sin

4 cos

7 8

12

8 7

KCa a

L P

2 2 2 4

7

2 2

B a

LA a

L P nQ

2 4 3 3 4

7 8

2 4 2

2 4 1

Vậy công thức xác định lực P5(t) là:

2 2

2 2

2 4 2

4

2

2 4 2

4 2

2 12

11 4

5

2 )

4 sin(

4 4

4 4

)

4 cos(

4 4

4 4

)

2 ( cos

)

2 ( sin 2

sin cos

)

(

n

KCa a

L t a

L t A a

L t B

a

L t a

L t B a

L t A a

L t B

a

L t A

t t C

t C

e t

L t n

4 2

1 )

,

L x at K R a

L x t P a

L x t P a

x t P EF x

KL R

a

L x t P a

L x t P EF x

2 6 4

2 1

)

,

L x at K R a

L x t P a

L x t P a

L x t P EF x