Phân tích ứng xử động học của dầm nằm trên nền đàn hồi dưới tác dụng của lực di động

Luận văn này nhằm phân tích ứng xử động học của kết cấu dầm nằm trên nền đàn hồi chịu tác động của tải trọng di dộng điều hòa bằng phương pháp phần tử hữu hạn.. Chương 4: Trình bày các k

Trường đại học công nghệ Viện cơ học

Lờ Thị Hà

PHÂN TÍCH ỨNG XỬ ĐỘNG HỌC CỦA DẦM NẰM TRấN NỀN ĐÀN HỒI DƯỚI TÁC DỤNG

CỦA LỰC DI ĐỘNG

Luận văn thạc sĩ

Hà nội 2010

Trường đại học công nghệ Viện cơ học

Lờ Thị Hà

PHÂN TÍCH ỨNG XỬ ĐỘNG HỌC CỦA DẦM NẰM TRấN NỀN ĐÀN HỒI DƯỚI TÁC DỤNG

Mở đầu……… 1

1 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài 1

2 Nội dung chính luận văn 2

3 Bố cục của luận văn… 3

Chương 1 4

1.1Tổng quan về bài toán di động 5

1.2 Bài toán tải di động cơ bản 7

Chương 2 11

Mở đầu 11

2.1 Đặt bài toán 12

2.2 Mô hình dầm Bernoulli 13

2.3 Mô hình nền Pasternak 13

2.4 Năng lượng biến dạng màng 14

2.5 Động năng 15

2.6 Nguyên lý Hamilton và phương trình chuyển động 16

2.7 Phương trình phần tử hữu hạn 18

2.8 Ma trận độ cứng và ma trận khối lượng 21

2.9 Vectơ lực nút phần tử 22

Kết luận chương 2 23

Chương 3 24

Mở đầu 24

3.1 Vectơ lực nút của kết cấu 24

3.2 Trường hợp một tải trọng tác dụng lên dầm 24

3.3 Trường hợp đa tải trọng tác dụng lên dầm 25

3.4 Phương pháp tích phân trực tiếp Newmark 26

3.5 Chương trình số 31

Chương 4 42

Mở đầu 42

4.1 Các tham số hình học và vật liệu 40

4.2 Các tham số không thứ nguyên 42

4.3 Kiểm nghiệm phần tử và chương trình số 45

4.4 Dầm tựa giản đơn 47

4.5 Dầm công- xôn 53

4.6 Trường hợp đa tải trọng di động 56

Kết luận chương 4 61

Kết luận 62

Danh mục công trình công bố của tác giả 64

Tài liệu tham khảo 65

MỞ ĐẦU

1 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

Kết cấu chịu tải trọng di động là bài toán có ý nghĩa khoa học, được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực của kỹ thuật dân dụng Trong thực tiễn có nhiều kết cấu chịu tác dụng của tải trọng di động, điển hình trong số đó là các các kết cấu trong lĩnh vực giao thông vận tải như đường ray xe lửa, cầu, đường băng sân bay Trong lĩnh vực thiết kế, chế tạo cơ khí nhiều chi tiết máy cũng chịu tác động của tải trọng di động và việc xác định chuyển dịch, ứng suất, biến dạng động đóng vai trò quan trọng tới độ chính xác trong hoạt động của máy móc cũng như độ bền của chi tiết

So với các bài toán động lực học kết cấu thông thường, bài toán kết cấu chịu tải trọng di động có các đặc trưng riêng Vị trí của tải trọng trong các bài toán này thay đổi theo thời gian và vì thế việc phân tích các bài toán loại này cần các kỹ thuật riêng Cần lưu ý rằng, sự thay đổi vị trí của tải trọng là nguồn động học duy nhất gây ra dao động của kết cấu

Phương pháp giải tích, chủ yếu dựa trên phép biến đổi Fourier và biến đổi Laplace cho phép thu được nghiệm của một số bài toán cơ bản Nội dung của phương pháp giải tích và các kết quả chính được Fryba trình bày chi tiết trong tài liệu chuyên khảo [1] Bên cạnh phương pháp dựa trên biến đổi Fourier và

biến đổi Laplace, phương pháp chồng chất mode (mode superposition method)

cũng được Timoshenk và các đồng nghiệp sử dụng để xây dựng biểu thức độ võng động học cho dầm chịu tác động tải trọng di động [2]

Trong những năm gần đây, các phương pháp số, đặc biệt là phương pháp phần tử hữu hạn được sử dụng như là giải pháp thay thế để giải quyết các bài toán khoa học kỹ thuật mà phương pháp giải tích truyền thống bị hạn chế Đề tài phân tích kết cấu chịu tải trọng di động cũng không nằm ngoài xu hướng này

Sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn cho phép người phân tích đánh giá ảnh hưởng của nhiều yếu tố khác nhau tới ứng xử phức tạp của kết cấu Phương pháp phần tử hữu hạn là công cụ hữu hiệu nhất trong việc phân tích kết cấu có ứng xử phi tuyến nói chung và kết cấu phi tuyến chịu tải trọng di động nói riêng Luận văn này nhằm phân tích ứng xử động học của kết cấu dầm nằm trên nền đàn hồi chịu tác động của tải trọng di dộng điều hòa bằng phương pháp phần

tử hữu hạn Như đã biết, nhiều kết cấu trên thực tế chẳng hạn kết cấu cầu, đường

băng có thể được mô phỏng như là dầm chịu tải trọng di động, và vì thế luận văn có ý nghĩa trực tiếp trong lĩnh vực giao thông vận tải

Trong luận văn chỉ giới hạn nghiên cứu ứng xử động học của dầm nằm trên nền đàn hồi dưới tác dụng của lực di động ( mô hình này là một phần của

mô hình xây dựng công trình giao thông) Để làm điều này, cần xây dựng ma trận độ cứng và ma trận khối lượng của dầm tính tới các ảnh hưởng nêu trên Đặc biệt cần nghiên cứu giải pháp xây dựng vec-tơ lực nút cho trường hợp lực di động có các đặc tính khác nhau Trên cơ sở công thức phần tử hữu hạn xây dựng được, thiết lập chương trình tính toán trên cơ sở phương pháp tích phân trực tiếp Newmark Ảnh hưởng của nền đàn hồi, tần số, vận tốc và gia tốc của lực tới các đặc trưng động học của dầm được nghiên cứu dựa trên chương trình

số phát triển

2 Nội dung chính luận văn

Mục đích chính của luận văn là nghiên cứu ứng xử động học của dầm dự ứng lực nằm trên nền đàn hồi dưới tác động của tải trọng di động điều hòa Trường hợp tải trọng tập trung được nghiên cứu trong luận văn như là trường hợp riêng của tải trọng di động điều hòa khi giá trị của tần số kích động nhận giá trị riêng nào đó để thành phần điều hòa trở thành hằng số Một trong các

điểm mới của luận văn so với các công việc trong [15, 16] là nghiên cứu ứng xử

của dầm có các điều kiện biên khác nhau Thêm vào đó, luận văn cũng sẽ cố gắng mở rộng cho trường hợp nhiều tải trọng

Phương pháp nghiên cứu sử dụng trong luận văn là phương pháp phần tử hữu hạn Galerkin Trong phương pháp này, công thức phần tử hữu hạn được xây dựng từ phương trình chuyển động của bài toán Tác giả nhận thấy rằng sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn Galerkin, mối liên hệ giữa phương pháp giải tích truyền thống và phương pháp số trở lên gần gũi hơn vì cả hai phương pháp đều xuất phát từ phương trình chuyển động viết cho hệ kết cấu Mặc dù luận văn liên quan tới dầm Bernoulli nhưng phương pháp trình bày trong luận văn hoàn toàn

có thể phát triển cho trường hợp dầm Timoshenko, trong đó độ võng và góc quay là các biến độc lập

3 Bố cục của luận văn

Chương 1: Trình bày các vấn đề cơ bản của bài toán tải trọng di động, tổng quan của đề tài

Chương 2: Xây dựng công thức phần tử hữu hạn cho bài toán trên cơ sở phương pháp Galerkin Xuất phát từ phương trình chuyển động viết cho hệ dầm trên nền đàn hồi có tính tới ảnh hưởng của lực dọc trục, phương trình phần tử hữu hạn được xây dựng trên cơ sở các hàm xấp xỉ của độ võng

Chương 3: Trình bày thuật toán giải phương trình chuyển động theo ngôn ngữ phần tử hữu hạn Phương pháp tích phân trực tiếp Newmark trên cơ sở thuật toán gia tốc trung bình, sử dụng trong luận án, được mô tả chi tiết Các chương trình tính toán cụ thể cũng được liệt kê trong chương 3

Chương 4: Trình bày các kết quả số, trong đó ảnh hưởng của các tham số lực ngoài, độ cứng nền và lực dọc trục tới ứng xử động học của dầm được khảo sát chi tiết Cuối cùng, một số vấn đề chính rút ra từ luận văn được trình bày trong phần kết luận

Chương 1

DẦM CHỊU TẢI TRỌNG DI ĐỘNG

1.1 Tổng quan về bài toán dầm chịu tải trọng di động

Bài toán dầm chịu tải trọng di động được quan tâm rất sớm, đặc biệt trong lĩnh vực cầu đường Nhiều kết quả nghiên cứu đã được công bố, tuy nhiên chỉ các kết quả chính hoặc ít nhiều liên quan tới luận văn này được tóm lược ở đây Các công trình nghiên cứu trong [1] của Fryba là tài liệu có giá trị nhất trong lĩnh vực kết cấu chịu tải trọng di động nói chung và kết cấu dầm nói riêng Trên

cơ sở các phép biến đổi Fourier và Laplace, Fryba đã xây dựng một cách hệ thống biểu thức độ võng và mô men động cho một loạt bài toán cơ bản của dầm chịu các loại tải trọng di dộng khác nhau Sử dụng phép biến đổi Fourier, trong thời gian gần đây nhiều tác giả đã mở rộng việc phân tích sang các bài toán dầm nằm trên nền đàn hồi chịu tải trọng di động [3,4] Ảnh hưởng của lực dọc trục tới ứng xử động học và ổn định của dầm nằm trên nền đàn hồi cũng được Kim

và cộng sự nghiên cứu bằng phép biến đổi Fourier [5-7] Cũng theo hướng này, Chonan xây dựng biểu thức độ võng và mô men động của dầm Timoshenko tựa giản đơn nằm trên nền đàn hồi Pasternak dưới tác động của lực di động có vận tốc không đổi [8] Ảnh hưởng của sự thay đổi vận tốc của tải di động tới ứng xử của dầm dưới tác động của lực tập trung và lực di động điều hòa lần đầu tiên được Abu-Hilal và các cộng sự quan tâm nghiên cứu [9,10]

Sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn trong phân tích bài toán tải trọng di động của kết cấu nói chung và của dầm nói riêng được bắt đầu quan tâm nghiên cứu từ những năm 80 của thế kỷ trước Hino và các cộng sự sử dụng phương

pháp Galerkin, một dạng của phương pháp gia trọng dư (weight residual method) để phân tích ứng xử động học của cầu và dầm dưới tác động của lực di

động có tính tới yếu tố chuyển vị lớn [11, 12] Phương trình chuyển động trong [11, 12] được giải bằng phương pháp tích phân trực tiếp Newmark trên cơ sở tuyến tính hóa tại mỗi bước thời gian Sử dụng phần tử Bernoulli 2 nút truyền thống, Lin và Trethewey nghiên cứu bài toán dầm Bernouli dưới tác động của hệ

lò xo-tải trọng di động trên dầm với vận tốc không đổi Độ võng động học của dầm được Lin và Trethewey thu nhận bằng phương pháp Runge-Kutta Cũng trên cơ sở phần tử dầm Bernoulli 2 nút, Thambiratnam và Zhuge tính toán sự phụ thuộc của độ võng và ứng suất cực đại trong dầm thay vào các tham số lực ngoài và độ cứng nền của dầm nằm trên nền Winkler chịu tác động của tải trọng

di động [14] Kết quả số nhận được trong [14] cho thấy sự phụ thuộc phức tạp của độ võng và ứng suất động học vào độ cứng nền và sự phụ thuộc này bị chi phối đáng kể bởi vận tốc tải trọng Thambiratnam và Zhuge mở rộng phương pháp nghiên cứu và các kết quả nhận được vào việc phân tích ứng xử động học của đường ray chịu tải di động của đoàn tàu Sử dụng phương pháp năng lượng, các tác giả trong [15, 16] đã xây dựng công thức phần tử dầm Bernoulli cho phân tích động học có tính tới ảnh hưởng của nền đàn hồi và lực dọc trục Sự phụ thuộc của độ võng động của dầm chịu tải trọng di động điều hòa vào các tham số tải trọng, độ cứng nền và lực dọc trục được nghiên cứu chi tiết trong [15, 16] trên cơ sở thuật toán gia tốc trung bình của phương pháp tích phân trực tiếp Newmark

Trong thời gian gần đây hướng nghiên cứu ứng xử của dầm dưới tác động của tải trọng di dộng trên cơ sở phương pháp nhân tử Lagrange trong đó phương trình chuyển động của dầm được giải trên cơ sở xấp xỉ độ võng bằng các đa thức thu được các kết quả đáng ghi nhận [17, 18] Phương pháp đề nghị bởi Kocaturk

và Simsek trong [17, 18] tương đối đơn giản và hiệu quả, có thể tính tới ảnh hưởng của các yếu tố khác nhau như lực dọc trục, tính nhớt của dầm Phương pháp cũng được các tác giả mở rộng cho phân tích ứng xử phi tuyến động học của dầm dưới tác động của tải trọng di động điều hòa [19]

Trong các nghiên cứu trên, ảnh hưởng của sự thay đổi vận tốc của tải trọng

di động tới ứng xử của dầm còn ít được quan tâm nghiên cứu Theo hiểu biết của tác giả, ngoại trừ các công trình của Abu-Hilal và các cộng sự trong [9, 10], trong đó ảnh hưởng của sự thay đổi vận tốc tới độ võng dầm được nghiên cứu trên cơ sở biến đổi Fourier Tuy nhiên, ảnh hưởng của vận tốc thay đổi tới hệ số động lực độ võng và mô men dầm chưa được khảo sát chi tiết và đây sẽ là một trong các mục đích của luận văn

1.2 Bài toán tải trọng di động cơ bản

Hình 1.1: Bài toán tải trọng di dộng cơ bản của dầm

Để định hướng cho việc nghiên cứu đề tài của luận văn và hiểu được các yếu tố ảnh hưởng tới các đặc trưng động học của dầm khi chịu tải di động, mục này xem xét bài toán tải trọng di dộng cơ bản Bài toán liên quan tới dầm tựa giản đơn có chiều dài L, độ cứng chống uốn EI chịu tải trọng di động tập trung

f như minh họa trên Hình 1.1, trong đó A, tương ứng là diện tích thiết diện ngang và mật độ khối lượng của vật liệu dầm

Phương trình chuyển động cho dầm dễ dàng thiết lập bằng cách xét cân bằng cho một phân tố dầm [20] và có dạng:

) ( ) , ( )

, (

2 2 4

4

vt x f t

t x w m x

t x w

trong đó m A (đơn vị là kg/m) là khối lượng trên một đơn vị chiều dài dầm;

 là hàm Delta Dirac và v là vận tốc của tải trọng f Tại thời điểm t 0 khi lực f bắt đầu tác động lên nút trái của dầm

Để giải được phương trình (1.1) ta cần đưa vào điều kiện biên và điều kiện ban đầu

0 ) , (x t 

Cần lưu ý rằng bài toán cơ bản mô tả bởi các phương trình (1.1)-(1.3) được xây dựng trên một loạt các giả thiết: dầm ban đầu thẳng lý tưởng với diện tích thiết diện ngang A không đổi, vật liệu dầm là đàn hồi tuyến tính, chuyển vị của dầm là nhỏ, bỏ qua ảnh hưởng của nhớt Ảnh hưởng của biến dạng trượt và quán tính quay được bỏ qua trong phương trình (1.1), điều này có nghĩa rằng tỷ

số giữa chiều cao thiết diện ngang của dầm và chiều dài dầm nhỏ Thêm vào đó, ảnh hưởng tương tác giữa tải trọng và biến dạng của dầm cũng được bỏ qua trong bài toán cho bởi các phương trình (1.1)-(1.3)

Nghiệm giải tích của các phương trình (1.1)-(1.3) có thể nhận được bằng các phương pháp khác nhau như trình bày trong [1] Một phương pháp khác khá đơn giản trên cơ sở tách biến do Olsson đề nghị trong [21]





 1

) / sin(

) ( )

, (

n

n t n x L z

t x

w  (1.4)

trong đó z n (t) chỉ phụ thuộc vàot là các modal chuyển vị (modal displacements)

và sin(n  x/L)chỉ phụ thuộc vào x là các hàm riêng (eigen functions) Đặt

phương trình (1.4) vào (1.1) ta nhận được phương trình để xác định z n (t)

) sin(

2 ) ( )

2

2

t AL

f t z t

t z

AL

EI n n

1

1 2

)

AL

f t

)

AL

f t



 với  n  1 (1.7b) trong đó  n là tỷ số của các tần số,  n  n/ n Từ các phương trình (1.4), (1.7a) và (1.7b) ta nhận được nghiệm giải tích của bài toán giá trị ban đầu (1.1)-(1.3) như sau [21]:

t n n T

t n n

n w

t x

) ,

(

2

2 2 2 1 0

t T

t T

t w

L

x n T

t n n T

t n n

n w

t x

w

n n

sin 2

1 96

sin sin

sin ) (

1 96

) , (

4 0 4

2 2

2 2 1 0 4

,  n (1.8b)

trong đó:

EI

fL w

48

3

0  là độ võng tại điểm chất tải tĩnh f tại giữa dầm; T L/v

là tổng thời gian cần thiết để tải trọng đi hết chiều dài dầm;  là tham số không thứ nguyên đặc trưng cho vận tốc của tải di động, định nghĩa bởi

T

T L

Từ các phương trình (1.8a), (1.8b) ta thấy rằng độ võng động học trực chuẩn w(x,t) /w0chỉ phụ thuộc vào 3 tham số không thứ nguyên là x / L, t / T và

 Các tham số này đặc trưng cho vị trí của điểm tại đó độ võng được xem xét, thời gian hiện tại tải đã di chuyển và vận tốc của tải trọng Trong 3 tham số này

 đóng vai trò quan trọng tới các đặc trưng động học của dầm Với   1, phương trình (1.9) cho



1L

v cr  (1.10)

Vận tốc v cr định nghĩa bởi phương trình (1.10) được gọi là vận tốc tới hạn

[1], phụ thuộc vào tần số cơ bản (fundamental frequency) của dầm Như vậy, tùy

theo độ cứng của dầm mà vận tốc tới hạn nằm trong khoảng v cr  400  1500 km/h, [1, 21] Với giá trị này của vận tốc tới hạn, chỉ với các giá trị 0   1 là

có ý nghĩa thực tế, và vì thế các đặc trưng động học của kết cấu chỉ được khảo sát trong miền 0   1 Với (1.9) và (1.10), tham số vận tốc  được định nghĩa

là tỷ số của vận tốc tải di động và vận tốc tới hạn, v / v cr

Để hiểu rõ ảnh hưởng của tải trọng di động tới ứng xử động học của dầm

người ta đưa vào khái niệm "hệ số động học" Hệ số động học cho độ võng f D

được định nghĩa bởi [1]

0

) , 2 / (

w

t L w

f D  (1.11) Tương tự ta cũng có các khái niệm cho hệ số động học cho mô-men của dầm

0

) , 2 / (

M

t L M

f M  (1.12) Trong đó M 0 fL2/ 4 là mô-men tĩnh tại giữa dầm Từ các phương trình (1.8a) và (1.8b) ta có thể xây dựng đường cong sự phụ thuộc của f D vào tham

số thời gian với các giá trị khác nhau của tham số vận tốc  Kết quả được minh họa trên Hình 1.2 trong đó đường cong ứng với   0 chính là đường ảnh hưởng của dầm trong trường hợp tĩnh

Hình 1.2: Hệ số f D của dầm tựa giản đơn với các giá trị khác nhau của 

Từ Hình 1.2 ta có thể rút ra một số nhận xét quan trọng liên quan tới ứng

xử động học của dầm:

Với   1, f D 0 với  1

T

t

Nói cách khác, độ võng tại giữa dầm bằng 0

tại thời điểm tải trọng ra khỏi dầm

Với   1, hệ số động học cho độ võng đạt giá trị cực đại trong khoảng thời gian tải trọng ở trên dầm Với   1, f D đạt cực đại ngay tại thời điểm tải trọng ra khỏi dầm, tức là t T

Các đường cong ứng với   0 , 125 và với   0 , 25 dao động quanh đường ảnh hưởng của dầm trong trường hợp tải trọng tĩnh Trong các trường hợp này, như ta thấy từ phương trình (1.9), thời gian cần thiết để tải trọng đi hết chiều dài dầm tương ứng bằng 4 và 2 lần chu kỳ dao động thấp nhất T1 Như ta thấy từ hình 1.2, tương ứng với các giá trị này của , mode dao động thấp nhất có đủ thời gian để thực hiện 4 và 2 chu trình dao động

Giá trị cực đại cho hệ số động học f D tương ứng với các giá trị của tham số vận tốc   0 , 125 ; 0,25; 0,5; 1 là 1,1209; 1,2575; 1,7054 và 1,5487 Như vậy, với một hệ kết cấu tồn tại một giá trị vận tốc của tải trọng ngoài với nó đáp ứng động học là cực đại Để đánh giá ứng xử động học và độ an toàn của kết cấu cần xác định giá trị vận tốc này cho mỗi kết cấu

Một số nhận xét tương tự trên cơ sở xây dựng các đường cong cho hệ số động học mô-men, định nghĩa bởi phương trình (1.12) Sự phụ thuộc của hệ số động học f M vào các tham số tải trọng không phải khi nào cũng đồng nhất như

f [1, 21] Thêm vào đó, như Olsson nhấn mạnh trong [21], các code thiết kế cầu dựa trên cơ sở mô-men cực đại và vì thế việc đánh giá mô-men động là cần thiết, không thể bỏ qua trong việc phân tích bài toán tải trọng di động Từ các phân tích và kết quả về ứng xử động học của bài toán tải trọng di động trình bày trên ta có thể rút ra một số nhận xét để định hướng trong việc nghiên cứu bài toán ứng xử động học của kết cấu chịu tải trọng di động:

 Cần xác định giá trị vận tốc tới hạn v cr cho kết cấu trên cơ sở tần số dao động cơ bản của kết cấu 1 Trên cơ sở giá trị v crnhận được đánh giá các hệ

số động học cho chuyển vị f D và hệ số động học cho moment f M

 Việc đánh giá ứng xử động học tốt nhất được thực hiện qua các tham số không thứ nguyên

 Cần đánh giá ứng xử cực đại cho các hệ số f D và f M Trong trường hợp tổng quát, giá trị cực đại của các đại lượng này không chỉ phụ thuộc vào vận tốc mà còn phụ thuộc vào các tham số khác Cần khảo sát ảnh hưởng

tương hỗ của các tham số tới ứng xử cực đại của kết cấu

di động Lý thuyết dầm sử dụng trong luận văn là lý thuyết dầm Bernoulli, tức

là thỏa mãn các giả thiết Kirchhoff Như vậy, độ võng và góc quay của dầm là các hàm phụ thuộc lẫn nhau Dự ứng lực trong dầm được tạo ta bởi lực dọc trục,

trong quá trình chế tạo dầm nhằm làm tăng khả năng sử dụng hữu hiệu vật liệu

Trong lĩnh vực cơ học kết cấu, có nhiều mô hình khác nhau có thể sử dụng

để mô phỏng ảnh hưởng của nền đất tới kết cấu dầm Chi tiết của các mô hình cùng với các ưu, nhược điểm được Dutta và Roy trình bày kỹ lưỡng trong [22]

Mô hình toán học cho hệ dầm-nền trình bày trong nghiên cứu này dựa trên giả thiết liên kết giữa dầm và nền là lý tưởng và như vậy nền không bị tách ta khỏi dầm ngay cả khi nó bị kéo Luận văn này sử dụng mô hình nền Pasternak, một

mô hình có độ chính xác cao hơn mô hình truyền thống Winkler và được sử dụng trong các tài liệu [8, 15, 16] trong nghiên cứu ứng xử động học của dầm trên nền đàn hồi chịu tải trọng di động Tuy nhiên, cần nhấn mạnh rằng, công thức phần tử hữu hạn trong [15, 16] được xây dựng trên cơ sở phương pháp năng lượng, khác với phương pháp Galerkin trình bày dưới đây

2.1 Đặt bài toán

Xét bài toán dầm trên nền đàn hồi chịu tải trọng di động điều hòa

t f

t

f( )  0cos  như minh họa trên Hình 2.1 cho trường hợp dầm tựa giản đơn Ký hiệu L,A,EI, lần lượt là tổng chiều dài, diện tích thiết diện ngang, độ cứng chống uốn và mật độ khối lượng

Hình 2.1: Mô hình dầm dự ứng lực nằm trên nền đàn hồi Pasternak

Vận tốc của lực f (t) được giả định thay đổi theo thời gian Hàm s (t) mô tả vị trí hiện tại của lực f (t) tính từ đầu trái dầm, được tính bởi công thức

2

1 2

1 )

T

v v v at v t

L L

Nền đàn hồi được mô hình bởi nền Pasternak, đặc trưng bởi hai tham số k1

và k2, trong đó k1đặc trưng cho khả năng chịu nén được mô tả bởi các lò xo Winkler còn k2đặc trưng cho sự trượt [22] Việc đưa vào tham sốk2nhằm tính tới ảnh hưởng tương tác giữa các lò xo Winkler mà mô hình nền Winkler thiếu vắng

Dầm dự ứng lực được đặc trưng bởi lực dọc trục N, đặt chính tâm tại hai đầu dầm Lực N thường được đưa vào trong quá trình chế tạo dầm, vì thế là giá trị của lực dọc trục N không thay đổi trong suốt quá trình làm việc của dầm Với sự có mặt của lực dọc trục các đặc trưng động học của dầm, kể cả tần số dao động riêng, biên độ dao động thay đổi Vì vậy, các hệ số động học cho độ võng, mô-men của dầm khi chịu tải trọng di động cũng thay đổi theo Mục đích chính của luận văn là nghiên cứu ảnh hưởng của các tham số tải trọng, lực dọc trục và

độ cứng nền tới các đặc trưng động học của dầm

2.2 Mô hình dầm Bernoulli

Dầm xem xét trong luận án được giả định tuân theo lý thuyết dầm Bernoulli, tức là thỏa mãn các giả thiết cơ bản Kirchhoff [23]:

 Thiết diện ngang của dầm không biến dạng

 Chuyển dịch ngang trên thiết diện ngang đồng nhất, và để đơn giản các

chuyển dịch này được giới hạn trong mặt phẳng (oxz)

 Một thiết diện trước biến dạng thẳng và vuông góc với đường trung hoà thì

sau biến dạng vẫn thẳng và vuông góc với đường trung hoà của dầm

Hình 2.2: Giả thiết Kirchhoff và lý thuyết dầm Bernoulli

Từ các giả thiết Kirchhoff và với lý thuyết chuyển vị nhỏ từ Hình 2.2 ta có thể xác định các thành phần chuyển vị tại một điểm nằm cách trục trung hòa một khoảng z như sau:

x

w z z z x u

trong đó  là góc quay của thiết diện ngang của dầm Độ cong của dầm được định nghĩa là sự thay đổi của góc quay theo chiều dài dầm

2 2

 là độ cong của dầm Với giả thiết ứng xử đàn hồi tuyến tính,

năng lượng biến dạng sinh ra do uốn dầm Bernoulli được tính bởi

V x

x

w EI dA

Ez dx dx

E U

0

2

2 2

0

2 2

2

1 2

1 2

Như đã trình bày trên, mô hình nền Pasternak được đặc trưng bởi hai tham

số là k1và k2 Tham số k1 là độ cứng của mô hình nền Winkler, trong đó nền được lý tưởng hóa bằng các lò xo tuyến tính, độc lập với nhau Hình 2.3 minh

họa mô hình vật lý của nền Winkler trong đó biến dạng của nền dưới tác động của tải ngoài chỉ giới hạn trong miền đặt lực Mối liên hệ giữa áp lực p và chuyển vị nền w tại điểm bất kỳ cho bởi:

w k

p 1 (2.6) trong đó, k1 là tham số đặc trưng cho độ cứng của nền, thường được biết đến với tên "độ cứng của lò xo Winkler"

Hình 2.3: Mô hình nền Winkler

Từ mối liên hệ (2.6), năng lượng biến dạng tích lũy khi nền Winkler biến dạng

do tác động trên miền có chiều dài L cho bởi:





L dx w k U

0

2 1 1

w k U

0

2 2 2

2

1

(2.8)

2.4 Năng lượng biến dạng màng

Công của lực dọc trục N được tích lũy dưới dạng năng lượng biến dạng màng U N [24] Công của lực dọc trục N được tính trên cơ sở xác định biến dạng màng của dầm khi có lực dọc trục tác dụng lên dầm

Hình 2.4: Mối liên hệ hình học cho phân tố vi phân dx Xét phân tố vi phân có độ dài dx như trên Hình 2.4 Độ dài mới của phân tố sau biến dạng có thể xấp xỉ bởi

2

1 2

dx ds

m

 (2.10)

Như đã nói ở trên, trong quá trình biến dạng tạo ra độ võng nhỏ w (x)lực dọc trục N không đổi Mỗi phân tố dx bị co lại một khoảng  m dx, và như vậy lực dọc trục sinh ra một công có độ lớn N  m dx Từ (2.10), năng lượng biến dạng màng tích lũy trong dầm do lực dọc trục N gây ra là

w t

v t

u T

dx t

w A t

I T

Trong phương trình (2.14) số hạng thứ nhất mô tả động năng quay của thiết

diện ngang của dầm, số hạng thứ hai là động năng cho chuyển vị theo phương z

Trong lý thuyết dầm Bernoulli ảnh hưởng của quán tính quay thường được bỏ

qua [17,20] tức là bỏ qua số hạng thứ nhất trong vế phải của phương trình (2.14)

Vì vậy, biểu thức động năng cho dầm Bernoulli đưa về dạng giản đơn:

dx t

w A T

L 2

0 2

2.6 Nguyên lý Hamilton và phương trình chuyển động

Nguyên lý Hamilton cho một cơ hệ cơ học được viết dưới dạng

2

1 0

t t

ngoài Với hệ dầm và nền mô tả trong mục 2.2, năng lượng biến dạng đàn hồi U

có dạng

U = U1+U2+ UB+UN (2.19)

với UB, U1, U2, UN tương ứng cho bởi các phương trình (2.5), (2.7), (2.8) và

(2.11) Thế của lực ngoài f(t) được tính bởi

V = -f(t)w(x,t)  (x – s(t)) (2.20)

Trong đó:  là hàm Delta Dirac, x là hoành độ, tính từ nút trái của dầm

Sử dụng phương pháp tích phân từng phần ta tính được:

dx wdt t

w A w

t

w A wdx

d t

w A

dtdx t

w t

w A dtdx

t

w A Tdt

t

t t

L t

t

L t

t t

0 2

0

2

1

2 1 2

1

2

1 2

1

2

1

) ( 2

Tdt

t

w A

t t

w EI dx x

w EI

L L

2 2

0 2

w x

2 2

wdx x

w EI w

x

w EI x

w x

w EI

L L L

3 3 0

L L





0 1 0

2 1

1 2

1

w d x

w k dx x

w k

L L

0 2

0 (2.25)

x

w N dx x

w N

L L

0 2

1

x

w N w x

Phương trình (2.20) cho

)) ( ( ) (t w x s t f

trở thành

0

2 2 0

2 2 2 0 2

1

4 4 4

4 0

3 3 0 2 2 2

2

) ( ( ) (

) (

t

t L

L L

L L

t

t t

t

t s x w t f

wdx x

w N w x

w N wdx x

w k w x

w k wdx w k

wdx x

w EI wdx x

w EI w

x

w EI x

w EI wdx t

w A

dt V U T Ldt

2 2 1 4 4 2

2

x

w N x

w k w k x

w EI t

w A

 f(t)(xs(t)) (2.29)

Phương trình (2.28) cũng cho các điều kiện biên không cơ bản:

P

M x

Giả sử dầm được chia thành NE phần tử có độ dài mỗi phần tử là l Theo

phương pháp Galerkin [25,26] thay cho trường chính xác w(x,t) ta tìm trường

xấp xỉ = (x,t) Mỗi phần tử trường (x,t) cho bởi:

=  H  d H i(x)d i(t) (2.31)

Trong đó H i (x) (i = 1,2,3,4) là các hàm trọng số (weighted function); d i là

các tọa độ tổng quát phụ thuộc vào thời gian, cần xác định Khi thay phương

trình (2.31) vào phương trình chuyển động (2.29) ta được dư số  tức là độ

chênh lệch giữa lời giải xấp xỉ và lời giải chính xác Phương pháp Galerkin yêu

Trong đó V là thể tích của dầm Phương trình (2.32) được biết như một

hàm dư số Galerkin Từ phương trình (2.29), ta có thể viết phương trình dư số

Galerkin cho mỗi phần tử với độ dài là l như sau:

lại phương trình (2.37) dưới dạng

[ ] ̈ + ([ ] + [ ] + [ ] + [ ]){ } + = { } (2.37)

Trong đó: ̈ = và

là ma trận độ cứng phần tử sinh ra từ biến dạng độ cứng của nền đàn hồi

Sử dụng cách ghép nối thông thường trong phương pháp phần tử hữu hạn

với lưu ý rằng các thừa số cho bởi (2.44) sẽ triệt tiêu lẫn nhau ở các phần tử liền

kề, ngoại trừ tại các đầu nút dầm, ta có thể viết phương trình chuyển động của

bài toán dưới dạng ngôn ngữ phần tử hữu hạn

[ ] ̈ + [ ]{ } = { } (2.45) với

[ ] = ∑ [ ]; [ ] = ∑ ([ ] + [ ] + [ ] + [ ]); { } = ∑ { }

(2.46)

Là các ma trận khối lượng, độ cứng và vectơ lực ngoài của toàn hệ Lưu ý

rằng trong các phương trình (2.46) ta giả thiết mômen và lực cắt ở hai đầu của

dầm bằng không

= , , , (2.48) Trong đó: , , , là độ võng và góc quay tại các nút i và j của phần

x l x l l

x l x l l

x l x

l

l

x l x l l

x l l

x l x l l

x l

l

x l x l l

x l x l l

x l l

x l x

l

l

x l x l l

x l l

x l x l l

x l

EI

0

4 2 5

4 5

5 6

2 5

6 2

4 5

4 2 5

5 6

2 5

6 2

3 4 3

2 12 3

3 2 4 3

2

12

3 2 12 2

36 2

3 2 12 2

36

3 3 2 4 2 3 2 12 3

2 4 2

3

2

12

3 2 12

2 36 2

3 2 12

2 36

2 3

4 6 2 6

12 6 12

4 6

12 1

l l l l

l

l l

EI l

3 2 1 1

4 22 3 13

156 13

54

4 22 156 420 1

l l l l

l l

l

l l l k

2 2

2

4 3 3

36 3 36

4 3 36

30 1

l l l l l

l l k l

2

4 3 3

36 3 36

4 3 36

30 1

l l l l l

l l N l

3 2

4 22 3 13

156 13

54

4 22 156 420

1

l l l l

l l

l

l l l A

KẾT LUẬN CHƯƠNG 2

Chương 2 đã xây dựng phương trình chuyển động theo ngôn ngữ phần tử hữu hạn cho hệ dầm - nền chịu tác dụng của tải trọng di động điều hoà Xuất phát từ biểu thức năng lượng biến dạng toàn phần và biểu thức động năng của dầm, phương trình chuyển động cho hệ liên tục dầm -nền Sử dụng phương pháp Galerkin cho hệ rời rạc hoá đã thu được phương trình phần tử hữu hạn của bài toán dầm trên nền đàn hồi Pasternark dưới tác động của lực di động

Sử dụng các đa thức Hermite bậc ba làm các hàm trọng số trong phương pháp Galerkin, các ma trận độ cứng sinh ra từ biến dạng của dầm, nền đàn hồi

và ảnh hưởng của lực dọc trục đã được tính dưới dạng hiện Ma trận khối lượng cũng được xây dựng trên cơ sở các hàm dạng Hermite

trong phương trình (2.45) bằng các sai phân của chuyển dịch D ở các khoảng

thời gian khác nhau, đây là phương pháp hiện được sử dụng rộng rãi hơn cả Phương pháp tích phân trực tiếp là sự lựa chọn khác thay cho phương pháp modal trong phân tích ứng xử động học và tỏ ra hữu hiệu cho nhiều bài toán động lực học kết cấu, lan truyền sóng, kể cả các bài toán phi tuyến phức hợp Thuật toán và chương trình số xây dựng trong chương này dựa trên cơ sở phương pháp tích phân trực tiếp Newmark

3.1 Vec-tơ lực nút kết cấu

Theo công thức phần tử hữu hạn trong chương 2, vectơ lực nút của phần tử thứ i được định nghĩa bởi:

= ∫ [ ] ( ) ( − ( )) = { , , , } ( ) (3.1) Như vậy, vectơ lực nút kết cấu nhận được bằng cách nối ghép ri theo phương pháp phần tử hữu hạn:



NE

i i r

1

(3.2)

3.2 Trường hợp một tải trọng tác dụng lên dầm

Trên Hình 3.1, hoành độ x được đo từ nút bên trái của phần tử mà lực tác dụng lên nó Đối với mỗi phần tử thì toạ độ này được xác định như sau:

x = s(t) – (n-1)l = v0t + − ( − 1) (3.3) Trong đó, n là số phần tử trên đó tải trọng f(t) tác dụng và t là thời gian hiện tại, a là gia tốc không đổi của tải trọng Như vậy, khi hoành độ x được xác

định ta tính được, hàm trọng số Hi được biết ở chương 2 Khi tải trọng chuyển động thì vectơ lực nút của các phần tử không có tải luôn bằng không Vì vậy, biểu thức vectơ lực nút của kết cấu có dạng như sau:

FL = H1 ( ); ML = H2 ( )

FR = H3 ( ); MR = H4 ( ) (3.5) được ký hiệu là biểu thức miêu tả giá trị của các hàm trọng số ở vị trí mà

tải trọng tác dụng lên dầm Như vậy, từ phương trình (3.4) và (3.5) xác định được vectơ lực nút của kết cấu tại thời điểm t

3.3 Trường hợp đa tải trọng

Với phần tử thứ j trên đó có lực tác dụng, hoành độ xj từ nút trái phần tử được tính như sau:

xj = s(t) – (j-1)l (3.10)

Trong đó, j là kí hiệu số phần tử chịu tác dụng của lực di động f j (t) Lưu ý

rằng, vectơ lực nút chỉ khác không cho những phần tử có tác dụng của lực di động Những số hạng đầu tiên của vectơ lực nút là những vectơ không đổi và nó

có dạng như sau:

Hình 3.2: Dầm chịu n tải trọng di động và lực nút nhất quán

cho phần tử chịu lực f j Với trường hợp n tải trọng tác dụng lên dầm (Hình 3.2) thì vectơ lực nút

kết cấu có thể được viết như sau:

… 0 0 0 … … 0 0 0

(3.6) Trong đó, FLi = H1fi(t); MLi = H2fi(t); FRi = H3fi(t); MRi = H4fi(t) , i = 1,2 n

3.4 Phương pháp tích phân trực tiếp Newmark

Năm 1959 Newmark đề nghị một nhóm các phương pháp cho phương pháp

tích phân trực tiếp Các phương pháp này hiện mang tên ông “ họ các phương

pháp Newmark”(Newmark family methods) Họ các phương pháp Newmark

bao gồm các thuật toán dùng trong phân tích các bài toán động lực học kết cấu

bằng cách tích phân trực tiếp phương trình chuyển động của kết cấu

Để minh hoạ cho phương pháp tích phân trực tiếp Newmark, ta viết

phương trình chuyển động (2.45) tại một thời điểm “t” như sau:

[ ] ̈ + [ ]{ } = (3.7)

Áp dụng phương pháp khai triển của chuỗi Taylor cho chuyển vị “D t” là:

= ∆ + ∆ ̇ ∆ +∆ ̈ ∆ + ∆ ∆ +… (3.8)

̇ = ̇ ∆ + ∆ ̈ ∆ +∆ ∆ + … (3.9)

Trong đó, đại lượng ∆ là bước thời gian

Newmark đã cắt bỏ những đạo hàm bậc cao và diễn đạt chúng dưới dạng như

sau:

= ∆ + ∆ ̇ ∆ +∆ ̈ ∆ + ∆ ∆ (3.10)

̇ = ̇ ∆ + ∆ ̈ ∆ +∆ ∆ (3.11) Nếu gia tốc được giả thiết là tuyến tính với các bước thời gian thì ta có biểu

diễn sau:

= ( ̈ ̈ ∆ )

∆ (3.12) Thay phương trình (3.12) vào hai phương trình (3.10) và (3.11) ta đưa ra

được phương trình của Newmark dưới dạng chuyển vị và vận tốc tại thời điểm

“t” như sau:

= ∆ + ∆ ̇ ∆ +( −)∆ ̈ ∆ + ∆ ̈ (3.13)

̇ = ̇ ∆ + (1 − )∆ ̈ ∆ +∆ ̈ (3.14) Newmark đã sử dụng phương trình (3.13) và (3.14), (3.17) cho mỗi bước thời

gian, đồng thời cho mỗi chuyển vị của bậc tự do trong kết cấu của dầm

Năm 1962 Wilson đã công thức hoá phương pháp Newmark dưới dạng ma

trận và thêm vào đó độ cứng, khối lượng đồng thời loại trừ các phép lặp bằng

cách giải nghiệm trực tiếp từ các phương trình đối với mỗi bước thời gian Để

làm được điều này thì ta biểu diễn vận tốc và gia tốc của chuyển vị nút dưới

dạng sau:

Từ phương trình (3.13) và (3.14) ta có:

̈ = ( − ∆ ) + ̇ ∆ + ̈ ∆ (3.15)

̇ = ( − ∆ ) + ̇ ∆ + ̈ ∆ (3.16) Trong đó các hằng số từ b1 đến b6 được xác định như sau:

Thay phương trình (3.15) và (3.16) vào phương trình (3.7) ta được phương

trình cân bằng của hệ tại thời điểm “t” được viết dưới dạng ẩn số là chuyển vị nút D t Trong phương trình (3.13) và (3.14) thì và là các tham số xác định

“hàm lượng” của gia tốc ̈ ∆ và ̈ trong biểu thức của ̈ và ̇ Các tham biến Newmark này được chọn bởi nhà phân tích và nó xác định tính ổn định số

và độ chính xác của thuật toán Họ các phương pháp Newmark có bốn nhóm chính, đó là:

+ Phương pháp sai phân trung tâm: = 0, =

+ Phương pháp gia tốc tuyến tính : = , =

+ Phương pháp Fox - Goodwin : = , =

+ Phương pháp gia tốc trung bình : = , =

Trong bốn phương pháp trên , ba phương pháp đầu ổn định có điều kiện cho các bài toán tuyến tính Điều này có nghĩa rằng cần sử dụng bước thời gian

đủ nhỏ để đảm bảo tính ổn định của thuật toán số Phương pháp gia tốc trung bình là phương pháp ổn định không điều kiện (cho các bài toán tuyến tính) và theo nghĩa này nó là phương pháp tốt nhất trong họ các phương pháp Newmark

Để giải phương trình (3.7), ta sử dụng phương pháp gia tốc trung bình nằm trong số các phương pháp tích phân trực tiếp ẩn, nó là phương pháp phổ biến nhất Ưu điểm chính của phương pháp tích phân trực tiếp ẩn là tính ổn định không điều kiện của thuật toán, tức là không có các ràng buộc về bước thời gian ngoại trừ yêu cầu về độ chính xác của kết quả số

Áp dụng cách khai triển chuỗi Taylor tại thời điểm  cho chuyển vị :

= [ ](∆ ) + [ ] (3.29) được gọi là ma trận độ cứng hữu hiệu

∆ ̇ ∆ + ̈ ∆ (3.30) được gọi là lực hữu hiệu

Phương trình (3.28) dùng để xác định chuyển vị tại thời điểm “t” đó chính

là D t Với các điều kiện biên trong chương 2 ta có điều kiện ban đầu cho (3.28)

Khi t = 0, D0 = 0, ̇ = 0 Gia tốc ban đầu ̈ được tìm từ phương trình (3.7):

[ ] ̈ + ([ ] + [ ] + [ ]){ } =

 ̈ = [ ] 〈 − ([ ] + [ ] + [ ]){ }〉 (3.31)

Khi t = ∆ thay vào (3.30) ta được

= + [ ]

∆ ̇ + ̈ (3.32) Thay (3.32) vào (3.28) ta tìm được chuyển vị nút D1

Với t = 2∆ ta có:

∆ ̇ + ̈ (3.33) Thay (3.33) vào (3.28) ta cũng tìm được chuyển vị nút D2

Tương tự, khi t = 3∆ ta có:

= + [ ]

∆ ̇ + ̈ (3.34)

Và từ (3.33) suy ra được chuyển vị D3

Lần lượt ta thay t = n∆ ta tìm được chuyển vị thứ n là Dn

Phương pháp tích phân trực tiếp ẩn ổn định số với bước thời gian ∆ bất kỳ

vì thế việc lựa bước thời gian chỉ dựa trên độ chính xác của lời giải So với phương pháp tích phân trực tiếp hiện, khối lượng tính toán cho mỗi bước thời gian trong phương pháp tích phân trực tiếp ẩn là nhiều hơn và vì thế phương pháp tích phân trực tiếp ẩn chỉ có tính ưu việt khi bước thời gian ∆ lớn hơn nhiều

Sơ đồ khối tính toán cho phương pháp tích phân trực tiếp Newmark

chương trình con được viết dưới dạng các function để tính toán ma trận độ cứng,

ma trận khối lượng và vec-tơ lực nút Để làm ví dụ minh họa, dưới đây liệt kê các lệnh của chương trình phân tích ảnh hưởng của tham biến vận tốc tới hệ số động lực cho độ võng f D